5 класс, серия 8, клетчатая и разнообразная

5 класс, серия 1. Айболит летит на Майорку
5 класс, серия 1. Айболит летит на Майорку
1. Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?
2. В Таниной квартире имеется 8 розеток, 21 тройник и неограниченный запас компьютеров и принтеров. Какое наибольшее
число приборов Таня может включить в сеть одновременно,
если в каждом компьютере есть системный блок и монитор?
3. Доктор Айболит раздал четырём заболевшим зверям 102 чудодейственные таблетки. Носорог получил на одну больше, чем
крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон — на
одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток съел слон?
4. Доктор Айболит раздал нескольким заболевшим обезьянам
2012 чудодейственных таблеток. При этом он построил обезьян
по росту, и каждой следующей давал на одну таблетку больше,
чем предыдущей. Сколько было обезьян, если их не больше 11?
5. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом
девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться?
6. На вертикальную ось надели несколько колес со спицами.
Вид сверху изображен на рис. 1 После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рис. 2. Могло ли колес быть: а) три; б) два?
7. 6 карасей легче 5 окуней, но тяжелее 10 лещей. Что тяжелее — 2 карася или 3 леща?
1. Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?
2. В Таниной квартире имеется 8 розеток, 21 тройник и неограниченный запас компьютеров и принтеров. Какое наибольшее
число приборов Таня может включить в сеть одновременно,
если в каждом компьютере есть системный блок и монитор?
3. Доктор Айболит раздал четырём заболевшим зверям 102 чудодейственные таблетки. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон — на одну
больше, чем бегемот. Сколько таблеток съел слон?
4. Доктор Айболит раздал нескольким заболевшим обезьянам
2012 чудодейственных таблеток. При этом он построил обезьян по
росту, и каждой следующей давал на одну таблетку больше, чем
предыдущей. Сколько было обезьян, если их было не больше 11?
5. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде
в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом
девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться?
6. На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на рис. 1 После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рис. 2.
Могло ли колес быть: а) три; б) два?
7. 6 карасей легче 5 окуней, но тяжелее 10 лещей. Что
тяжелее — 2 карася или 3 леща?
8. Рейс из Москвы на Майорку вылетает в 14.45, а прилетает в 17.05. Обратный же
рейс вылетает в 18.15, а прилетает в 00.35 (время всегда указывается по местному
времени аэропорта). Какова продолжительность рейса и разность во времени между
Москвой и Майоркой?
8. Рейс из Москвы на Майорку вылетает в 14.45, а прилетает в 17.05. Обратный же
рейс вылетает в 18.15, а прилетает в 00.35 (время всегда указывается по местному
времени аэропорта). Какова продолжительность рейса и разность во времени между
Москвой и Майоркой?
9. Лена и Ира покупали на рынке виноград. Когда взвешивали Ленину покупку, весы
показывали два килограмма, когда Ирину --- то три. Потом они вместе положили свой
виноград на весы, и стрелка остановилась на 4,5 кг. Они заподозрил что-то не то, и
впрямь – стрелки весов были сдвинуты ( т.е. всегда показывали на одно и то же число
больше или меньше).Сколько на самом деле весили их покупки?
10. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда
лгут. Путник встретил троих островитян, и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей
среди твоих спутников?» Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что
сказал третий?
9. Лена и Ира покупали на рынке виноград. Когда взвешивали Ленину покупку, весы
показывали два килограмма, когда Ирину --- то три. Потом они вместе положили свой
виноград на весы, и стрелка остановилась на 4,5 кг. Они заподозрил что-то не то, и
впрямь – стрелки весов были сдвинуты ( т.е. всегда показывали на одно и то же число
больше или меньше).Сколько на самом деле весили их покупки?
10. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда
лгут. Путник встретил троих островитян, и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей
среди твоих спутников?» Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что
сказал третий?
5 класс, Серия 2. Жесть от Тараса.
В любой задаче надо найти ВСЕ ответы и ДОКАЗАТЬ, что других ответов нет.
Если вы идете сдавать задачу, напишите в тетрадке хотя бы вычисления. И
обязательно – ВСЕ СЛУЧАИ, которые перебираете.
11. На доске написана обыкновенная несократимая дробь. К ее знаменателю прибавили числитель, получилась новая дробь. К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получилась третья дробь. Когда к знаменателю третьей прибавили числитель, получилось 13/23. Какая дробь была
написана на доске в самом начале?
12. У Тараса есть лист жести 16×15. Он хочет разрезать его на куски 5×3 так,
чтобы не осталось отходов. Сколько получится кусков и сколько есть различных вариантов разрезания? Лист жести закреплен. Одинаковыми считаются варианты, у которых ЛИНИИ разрезов совпадают.
13. Вчера на базаре Тарас купил несколько
гвоздей и шурупов – гвозди по 7 рублей за
штуку, а шурупы по 2 рубля за штуку. Придя
сегодня на базар, он обнаружил, что цены
поменялись местами: гвозди стали стоить 2
рубля, а шурупы 7 рублей. Увидев такое, Тарас сказал с досадой: «Покупай я те же гвоздики и шурупчики сегодня,
сэкономил бы 27 рублей». Докажите, что Тарас не прав.
14. У Тараса было некоторое количество печенья; он сколько-то съел, а потом к нему в гости пришла Таня, и оставшееся печенье они разделили поровну. Оказалось, что Тарас съел в пять раз больше печений, чем Таня. Какую долю от всего печенья Тарас съел к моменту Таниного прихода?
15. У Тараса в двух карманах лежит 27 конфет. Если из
правого кармана он переложит в левый столько конфет, сколько было в левом, то в правом кармане у него
будет на 3 конфеты больше, чем в левом. Ск олько
конфет было в каждом кармане первоначально?
16. Тарас со своими одноклассниками кушал яблоки.
Вместе они съели 21 яблоко, причем все девочки съе-
ли по одинаковому числу яблок, и все мальчики тоже. Известно, что Тарас
съел яблок в два раза больше, чем Таня. Сколько было мальчиков и сколько
было девочек в компании поедателей яблок?
17. Помогите Тарасу восстановить пример на деление двух чисел, если известно, что частное в пять раз меньше делимого и в семь раз больше делителя.
18. Сможет ли Тарас разлить 50 литров бензина по трем бакам так, чтобы в
первом было на 10 литров бензина больше, чем во втором, а при переливании 26 литров из первого в третий в третьем стало бы столько же, сколько
во втором?
19. Тарас и его младший брат Вася участвовали в велогонке. Все участники
стартовали одновременно и показали на финише различное время. Вася
финишировал сразу после Тараса и оказался на десятом месте. Сколько человек участвовало в гонке, если Тарас был пятнадцатым с конца?
20. а) На уроке физкультуры 5 «Э» выстроился в линейку. По команде учителя каждый третий сделал шаг вперед. Осталось на месте 22 человека.
Сколько было человек в 5 «Э»?
Б) На уроке физкультуры 5 «Ю» выстроился в линейку. По команде учителя
каждый третий сделал шаг вперед. По второй команде каждый пятый из
оставшихся сделал шаг наз ад. После этого на месте остались 16 учеников.
Сколько всего учеников могло быть в этом классе?
5 класс. Серия 3, поедание блинов, колбасы, компота и чая
5 класс. Серия 3, поедание блинов, колбасы, компота и чая
21. Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане —
40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней
пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает.
Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?
22. В январе за 1 доллар можно было купить 40 винтиков или 60 шпунтиков. В феврале
винтики и шпунтики стали продавать наборами из 25 винтиков и 25 шпунтиков по цене
1 доллар за набор. Для сборки трактора необходимо 600 винтиков и 600 шпунтиков. В
каком месяце сборка трактора стоила дороже, если другие затраты не изменились?
21. Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане —
40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней
пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает.
Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?
22. В январе за 1 доллар можно было купить 40 винтиков или 60 шпунтиков. В феврале
винтики и шпунтики стали продавать наборами из 25 винтиков и 25 шпунтиков по цене
1 доллар за набор. Для сборки трактора необходимо 600 винтиков и 600 шпунтиков. В
каком месяце сборка трактора стоила дороже, если другие затраты не изменились?
23. На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца.
Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по
желтым — 7 кусков, а если по зеленым — 11 кусков. Сколько
кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх
цветов?
24. У мастера есть лист жести 23×35. Он хочет разрезать его на
куски 5×7 так, чтобы не осталось отходов. Сколько получится кусков и сколько есть
различных вариантов разрезания?
23. На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца.
Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по
желтым — 7 кусков, а если по зеленым — 11 кусков. Сколько
кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх
цветов?
24. У мастера есть лист жести 23×35. Он хочет разрезать его на
куски 5×7 так, чтобы не осталось отходов. Сколько получится кусков и сколько есть
различных вариантов разрезания?
25. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть от полученного уровня понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
26. Винни-Пух и Пятачок вышли одновременно навстречу друг другу. Каждый из них
идёт с постоянной скоростью и, дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через две с половиной минуты после начала движения. Когда
они встретятся во второй раз?
25. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть от полученного уровня понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
26. Винни-Пух и Пятачок вышли одновременно навстречу друг другу. Каждый из них
идёт с постоянной скоростью и, дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через две с половиной минуты после начала движения. Когда
они встретятся во второй раз?
27. а) Вася решил расставить на шахматной доске 15 коней так, чтобы каждый конь бил
ровно одного из оставшихся. Удастся ли Васе это сделать? б) А удастся ли ему расставить 15 коней так, чтобы каждый бил ровно двух других?
27. а) Вася решил расставить на шахматной доске 15 коней так, чтобы каждый конь бил
ровно одного из оставшихся. Удастся ли Васе это сделать? б) А удастся ли ему расставить 15 коней так, чтобы каждый бил ровно двух других?
28. а) На следующий день Вася решил попробовать расставить на шахматной доске 16
коней. Удастся ли Васе так их расставить, чтобы каждый конь бил ровно одного из
оставшихся? б) А так, чтобы каждый конь бил ровно двух других?
29. На автобусной остановке стояли школьники. На первом автобусе уехал каждый
десятый школьник, на втором – каждый седьмой из оставшихся, а на третьем – каждый пятый из оставшихся после второго автобуса школьников. В итоге на остановке
остались ожидать автобуса 111 школьников. А сколько их было вначале, если известно, что за время ожидания не подошел ни один школьник?
28. а) На следующий день Вася решил попробовать расставить на шахматной доске 16
коней. Удастся ли Васе так их расставить, чтобы каждый конь бил ровно одного из
оставшихся? б) А так, чтобы каждый конь бил ровно двух других?
29. На автобусной остановке стояли школьники. На первом автобусе уехал каждый
десятый школьник, на втором – каждый седьмой из оставшихся, а на третьем – каждый пятый из оставшихся после второго автобуса школьников. В итоге на остановке
остались ожидать автобуса 111 школьников. А сколько их было вначале, если известно, что за время ожидания не подошел ни один школьник?
30. Сова и Иа-Иа купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного
30. Сова и Иа-Иа купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного
пакетика хватает на две или три чашки чая. Этой коробки Сове хватило на 41 чашку
чая, а Иа-Иа — на 58. Сколько пакетиков было в коробке?
пакетика хватает на две или три чашки чая. Этой коробки Сове хватило на 41 чашку
чая, а Иа-Иа — на 58. Сколько пакетиков было в коробке?
5 класс. Серия 4, скоростная
5 класс. Серия 4, скоростная
31. Винни-Пух и Пятачок спускались с горы. Винни шел пешком, а Пятачок съезжал на лыжах в семь раз быстрее Винни. На полпути Пятачок упал, сломал лыжи и
ногу и пошел в два раза медленней Винни. Кто первым спустится с горы?
32. Три бегуна — Антон, Серёжа и Толя — участвуют в беге
на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился
в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа — Толя находился позади него в десяти метрах.
На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон,
когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)
33. Чтобы поспеть вовремя, то есть на 1 час раньше, автомобилист увеличил скорость вдвое. Если он разгонится, то есть еще раз увеличит скорость вдвое, то
насколько раньше он приедет?
34. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина
сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны,
когда все машины проедут пост ДПС?
31. Винни-Пух и Пятачок спускались с горы. Винни шел пешком, а Пятачок съезжал на лыжах в семь раз быстрее Винни. На полпути Пятачок упал, сломал лыжи и
ногу и пошел в два раза медленней Винни. Кто первым спустится с горы?
32. Три бегуна — Антон, Серёжа и Толя — участвуют в беге
на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился
в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа — Толя находился позади него в десяти метрах.
На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон,
когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)
33. Чтобы поспеть вовремя, то есть на 1 час раньше, автомобилист увеличил скорость вдвое. Если он разгонится, то есть еще раз увеличит скорость вдвое, то
насколько раньше он приедет?
34. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина
сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны,
когда все машины проедут пост ДПС?
35. Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в
остатке будет 100. Найдите это число.
35. Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в
остатке будет 100. Найдите это число.
36. Найти частное, если оно в 2 раза меньше делимого и в 6 раз больше делителя.
37. а) В магазине есть на равную сумму конфеты стоимостью 2 р. за килограмм и
стоимостью 3 р. за килограмм. По какой цене надо продавать смесь этих конфет?
б) Тот же вопрос, если тех и других конфет одинаковое по весу количество.
36. Найти частное, если оно в 2 раза меньше делимого и в 6 раз больше делителя.
37. а) В магазине есть на равную сумму конфеты стоимостью 2 р. за килограмм и
стоимостью 3 р. за килограмм. По какой цене надо продавать смесь этих конфет?
б) Тот же вопрос, если тех и других конфет одинаковое по весу количество.
38. Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня — 50 кг, Маня и Ваня — 90 кг, Ваня
и Даня — 100 кг, Даня и Аня — 60 кг. Сколько весит Аня?
10
–3
39. На каждой стороне шестиугольника написали по чис-
38. Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня — 50 кг, Маня и Ваня — 90 кг, Ваня
и Даня — 100 кг, Даня и Аня — 60 кг. Сколько весит Аня?
10
–3
39. На каждой стороне шестиугольника написали по чис-
лу. Сумму чисел каждых двух соседних сторон записали
в общую вершину этих сторон. Затем стёрли все числа на
сторонах и одно число в вершине. Можно ли восстановить число в вершине? А числа на сторонах?
лу. Сумму чисел каждых двух соседних сторон записали
в общую вершину этих сторон. Затем стёрли все числа на
сторонах и одно число в вершине. Можно ли восстановить число в вершине? А числа на сторонах?
?
12
5
4
40. Одним пакетиком чая можно заварить два или три
стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила
заварила 57 стаканов чая, а Таня — 83 стакана. Сколько пакетиков могло быть в
коробке?
?
12
5
4
40. Одним пакетиком чая можно заварить два или три
стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила
заварила 57 стаканов чая, а Таня — 83 стакана. Сколько пакетиков могло быть в
коробке?
5 класс. Серия 5, cуммы и хороводы
5 класс. Серия 5, cуммы и хороводы
41. Найдите 11 натуральных чисел, сумма которых равна а) 66; б) 69.
41. Найдите 11 натуральных чисел, сумма которых равна а) 66; б) 69.
42. В детском саду проводился День дружбы. Каждый ребѐнок принѐс несколько
своих любимых игрушек, причѐм все принесли одинаковое количество. Игрушки
положили на большой стол, после чего каждый подошѐл и выбрал себе любые
три. В итоге на столе остались 17 игрушек. Сколько детей в детском саду, если известно, что их точно больше одного.
42. В детском саду проводился День дружбы. Каждый ребѐнок принѐс несколько
своих любимых игрушек, причѐм все принесли одинаковое количество. Игрушки
положили на большой стол, после чего каждый подошѐл и выбрал себе любые
три. В итоге на столе остались 17 игрушек. Сколько детей в детском саду, если известно, что их точно больше одного.
43. Сколькими способами можно представить число
77 в виде суммы 11 различных натуральных чисел?
43. Сколькими способами можно представить число
77 в виде суммы 11 различных натуральных чисел?
44. На поляне собрались несколько больших и несколько маленьких барсуков (причем были и те, и
другие). Каждый большой барсук сказал, что маленьких барсуков больше двух, а каждый маленький — что больших больше двух. Сколько барсуков
могли сказать неправду?
44. На поляне собрались несколько больших и несколько маленьких барсуков (причем были и те, и
другие). Каждый большой барсук сказал, что маленьких барсуков больше двух, а каждый маленький — что больших больше двух. Сколько барсуков
могли сказать неправду?
45. На окружности отмечены 5 красных и 7 синих
точек. Рассмотрим всевозможные отрезки (хорды) с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) разного цвета;
б) одинакового цвета?
45. На окружности отмечены 5 красных и 7 синих
точек. Рассмотрим всевозможные отрезки (хорды) с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) разного цвета;
б) одинакового цвета?
46. В обычном домино на половинках доминошек
бывает от 0 до 6 точек. Всего в комплекте 28 доминошек. А сколько доминошек будет в комплекте, где
на половинке возможно от 0 до 13 точек?
46. В обычном домино на половинках доминошек
бывает от 0 до 6 точек. Всего в комплекте 28 доминошек. А сколько доминошек будет в комплекте, где
на половинке возможно от 0 до 13 точек?
47. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3. б) А если добавить еще цифру 4?
47. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3. б) А если добавить еще цифру 4?
48. Проехав треть пути по дороге из А в Б, Никита лег спать и спал до тех пор,
пока ему не осталось проехать треть того пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути Никита спал?
49. В хороводе по кругу стоят 15 детей. Справа от
каждой девочки стоит мальчик. У половины
мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у каждого из остальных мальчиков правый сосед - девочка. Сколько мальчиков и сколько девочек в
хороводе?
50. Маша составила два числа: в одном были только единицы и семерки, а в другом —только двойки и тройки, причем в каждом из чисел не все цифры были
одинаковы. Могло ли так быть, что одно из этих чисел делится на другое?
48. Проехав треть пути по дороге из А в Б, Никита лег спать и спал до тех пор, пока ему не осталось проехать треть того пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути Никита спал?
49. В хороводе по кругу стоят 15 детей. Справа от
каждой девочки стоит мальчик. У половины
мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у каждого из остальных мальчиков правый сосед - девочка. Сколько мальчиков и сколько девочек в хороводе?
50. Маша составила два числа: в одном были только единицы и семерки, а в другом —только двойки и тройки, причем в каждом из чисел не все цифры были
одинаковы. Могло ли так быть, что одно из этих чисел делится на другое?
5 класс. Серия 6, эрудиты чинят неточные весы
5 класс. Серия 6, эрудиты чинят неточные весы
51. Дормидонт косил луг. В первый день он скосил половину луга, во второй – треть
оставшегося нескошенным участка, а в третий – половину от сделанного за первые два
дня. Скосил ли Дормидонт весь луг и не перешел ли случайно на чужой участок?
52. Числа от 1 до 100 выписаны в строку в порядке возрастания. Разрешается менять местами любые два числа, между которыми стоят ровно а) одно число; б) два числа. Можно
ли такими операциями переставить числа так, чтобы они шли в порядке убывания?
53. Гриша взял бумажный треугольник и вырезал из него квадрат (см. рисунок). Известно,
что периметр треугольника был равен 17, а периметр полученной фигуры 23. Найдите
площадь новой фигуры, если площадь треугольника была 25.
54. Знайка знает, что Незнайка задумал три целых числа, больших 1,
но не знает самих этих чисел. Незнайка умножил первое число на
второе и получил 1001, а потом перемножил второе и третье и получил 305. Увидев это и немного подумав, Знайка сказал, что
Незнайка где-то ошибся. Почему он так решил?
55. На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке, после чего проделали эту операцию ещё несколько раз.
Могло ли в итоге получиться ровно 2012 отмеченных точек?
56. Неточные весы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не
больше, чем на 0,5 кг (при разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Петя взвесил на них свой
портфель. Весы показали 5 кг. Портфель Васи потянул на 4
кг. А когда Петя с Васей положили на весы оба портфеля,
они показали 10,5. Сколько весит каждый из портфелей?
57. Неточные весы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не больше, чем на 0,5 кг (при
разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Когда на них положили свои
портфели Петя и Вася, весы показали 5,5 кг, портфели Пети и Коли
вместе потянули на 7 кг, портфели Коли и Васи — на 6 кг. А когда на
весы положили все три портфеля, они показали 8 кг. Сколько весит
каждый из портфелей?
58. В классе не более 40 учеников, и рост каждого выражается целым
числом сантиметров. Средний рост всех учеников класса, кроме самого высокого, равен
148 3/4 см, а средний рост всех учеников класса, кроме самого низкого, равен 149 4/7 см.
Сколько учеников может быть в классе?
59. В однокруговом футбольном турнире участвовали 6 команд. За победу команда получает три очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Могла ли в итоге одна из команд
набрать 7 очков, а остальные — больше?
60. В компании из 10 человек есть «эрудит», который знает дату рождения каждого из
остальных, но никто из остальных не знает даты рождения этого человека. Вы можете
спросить у любого члена компании про любого другого её члена, знает ли спрошенный
дату его рождения, и получить честный ответ. Как за девять таких вопросов наверняка
найти «эрудита»?
51. Дормидонт косил луг. В первый день он скосил половину луга, во второй – треть
оставшегося нескошенным участка, а в третий – половину от сделанного за первые два
дня. Скосил ли Дормидонт весь луг и не перешел ли случайно на чужой участок?
52. Числа от 1 до 100 выписаны в строку в порядке возрастания. Разрешается менять местами любые два числа, между которыми стоят ровно а) одно число; б) два числа. Можно
ли такими операциями переставить числа так, чтобы они шли в порядке убывания?
53. Гриша взял бумажный треугольник и вырезал из него квадрат (см. рисунок). Известно,
что периметр треугольника был равен 17, а периметр полученной фигуры 23. Найдите
площадь новой фигуры, если площадь треугольника была 25.
54. Знайка знает, что Незнайка задумал три целых числа, больших 1,
но не знает самих этих чисел. Незнайка умножил первое число на
второе и получил 1001, а потом перемножил второе и третье и получил 305. Увидев это и немного подумав, Знайка сказал, что
Незнайка где-то ошибся. Почему он так решил?
55. На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке, после чего проделали эту операцию ещё несколько раз.
Могло ли в итоге получиться ровно 2012 отмеченных точек?
56. Неточные весы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не
больше, чем на 0,5 кг (при разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Петя взвесил на них свой
портфель. Весы показали 5 кг. Портфель Васи потянул на 4
кг. А когда Петя с Васей положили на весы оба портфеля,
они показали 10,5. Сколько весит каждый из портфелей?
57. Неточные весы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не больше, чем на 0,5 кг (при
разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Когда на них положили свои
портфели Петя и Вася, весы показали 5,5 кг, портфели Пети и Коли
вместе потянули на 7 кг, портфели Коли и Васи — на 6 кг. А когда на
весы положили все три портфеля, они показали 8 кг. Сколько весит
каждый из портфелей?
58. В классе не более 40 учеников, и рост каждого выражается целым
числом сантиметров. Средний рост всех учеников класса, кроме самого высокого, равен
148 3/4 см, а средний рост всех учеников класса, кроме самого низкого, равен 149 4/7 см.
Сколько учеников может быть в классе?
59. В однокруговом футбольном турнире участвовали 6 команд. За победу команда получает три очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Могла ли в итоге одна из команд
набрать 7 очков, а остальные — больше?
60. В компании из 10 человек есть «эрудит», который знает дату рождения каждого из
остальных, но никто из остальных не знает даты рождения этого человека. Вы можете
спросить у любого члена компании про любого другого её члена, знает ли спрошенный
дату его рождения, и получить честный ответ. Как за девять таких вопросов наверняка
найти «эрудита»?
5 класс. Серия 7, великий комбинатор
5 класс. Серия 7, великий комбинатор
61. В жилеточном магазине меняют клетчатую жилетку на полосатую, а полосатую — на клетчатую. Однажды Остап Бендер купил 10 клетчатых и 15 полосатых жилеток. После этого он несколько раз приходил в магазин, менял три какие-то свои жилетки и покупал одну новую. Мог ли он добиться, чтобы у него стало
30 клетчатых и 30 полосатых жилеток?
61. В жилеточном магазине меняют клетчатую жилетку на полосатую, а полосатую — на клетчатую. Однажды Остап Бендер купил 10 клетчатых и 15 полосатых жилеток. После этого он несколько раз приходил в магазин, менял три какие-то свои жилетки и покупал одну новую. Мог ли он добиться, чтобы у него стало
30 клетчатых и 30 полосатых жилеток?
62. На детском празднике в качестве призов выдали 10 апельсинов, 20 яблок и 30 бананов, причем каждый ребенок получил
хотя бы один фрукт. При этом ровно 2 человека выиграли одновременно и апельсин, и яблоко, 3 человека — и апельсин, и банан, 4 человека — и яблоко, и банан. Могло ли в празднике участвовать 55 детей?
62. На детском празднике в качестве призов выдали 10 апельсинов, 20 яблок и 30 бананов, причем каждый ребенок получил
хотя бы один фрукт. При этом ровно 2 человека выиграли одновременно и апельсин, и яблоко, 3 человека — и апельсин, и банан, 4 человека — и яблоко, и банан. Могло ли в празднике участвовать 55 детей?
63. Однажды Остап поймал несколько окуней общим весом 100 кг. Оказалось, что вес
трех самых больших окуней — 35 кг, а вес трех самых маленьких — 25 кг. Сколько окуней
поймал рыбак? (У всех рыб разный вес, кроме того, рыба может весить и не целое число
килограммов.)
63. Однажды Остап поймал несколько окуней общим весом 100 кг. Оказалось, что вес
трех самых больших окуней — 35 кг, а вес трех самых маленьких — 25 кг. Сколько окуней
поймал рыбак? (У всех рыб разный вес, кроме того, рыба может весить и не целое число
килограммов.)
64. На досуге Остап к каждому трёхзначному числу прибавляет число (не обязательно
трехзначное), записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. Если результат
сложения оказывается трехзначным, Остап записывает этот результат на листочек. Какие
трёхзначные числа встречаются на его листочке чаще всего и сколько раз они написаны?
64. На досуге Остап к каждому трёхзначному числу прибавляет число (не обязательно
трехзначное), записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. Если результат
сложения оказывается трехзначным, Остап записывает этот результат на листочек. Какие
трёхзначные числа встречаются на его листочке чаще всего и сколько раз они написаны?
65. Килограмм говядины с костями стоит 156 рублей, килограмм говядины без костей —
180 рублей, а килограмм костей — 30 рублей. Каков вес костей в килограмме говядины,
если считать, что все мясные продукты продаются по себестоимости, без наценок?
65. Килограмм говядины с костями стоит 156 рублей, килограмм говядины без костей —
180 рублей, а килограмм костей — 30 рублей. Каков вес костей в килограмме говядины,
если считать, что все мясные продукты продаются по себестоимости, без наценок?
66. Кооперативом «Рога и копыта» была куплена партия товара и продана с прибылью в
1000 рублей. На вырученные деньги была куплена другая партия того же товара и продана по прежним ценам, при этом прибыль составила 1500 рублей. Сколько уплатил Остап
за первую партию товара?
66. Кооперативом «Рога и копыта» была куплена партия товара и продана с прибылью в
1000 рублей. На вырученные деньги была куплена другая партия того же товара и продана по прежним ценам, при этом прибыль составила 1500 рублей. Сколько уплатил Остап
за первую партию товара?
67. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых — целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника — тоже
целое число метров?
67. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых — целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника — тоже
целое число метров?
68. На плоскости отмечено 100 точек. Остап соединил провел все возможные отрезки
между двумя точками. Сколько отрезков провел Остап?
68. На плоскости отмечено 100 точек. Остап соединил провел все возможные отрезки
между двумя точками. Сколько отрезков провел Остап?
69. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 2012 или с периметром 2014? (Прямоугольники a×b и b×a считаются одинаковыми.)
69. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 2012 или с периметром 2014? (Прямоугольники a×b и b×a считаются одинаковыми.)
70. Для постройки дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При
этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и
решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа.
Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей и на всех этажах во всех подъездах одинаковое число
квартир.)
70. Для постройки дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При
этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и
решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа.
Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей и на всех этажах во всех подъездах одинаковое число
квартир.)
5 класс, серия 8, клет чат ая и разнообразная
5 класс, серия 8, клет чат ая и разнообразная
71. На поле для «морского боя» размера 10×10 стоит корабль 1×4. Какое минимальное количество выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка в него
попасть?
71. На поле для «морского боя» размера 10×10 стоит корабль 1×4. Какое минимальное количество выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка в него
попасть?
72. На доске 8×8 стоят 20 ладей, которые бьют все поля. Доказать,
что из них можно выбрать 8 ладей, которые бьют все поля
72. На доске 8×8 стоят 20 ладей, которые бьют все поля. Доказать,
что из них можно выбрать 8 ладей, которые бьют все поля
73. При каком наибольшем n можно расставить на шахматной доске n белых и n черных ладей так, чтобы никакие две ладьи разных
цветов не били друг друга?
73. При каком наибольшем n можно расставить на шахматной доске n белых и n черных ладей так, чтобы никакие две ладьи разных
цветов не били друг друга?
74. На каждом из полей верхней и нижней горизонталей шахматной доски 88 стоит по фишке: внизу – белые, вверху – черные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на соседнюю свободную клетку по вертикали или горизонтали. За какое наименьшее число ходов можно добиться того, чтобы все черные фишки стояли внизу, а белые – вверху?
74. На каждом из полей верхней и нижней горизонталей шахматной доски 88 стоит по фишке: внизу – белые, вверху – черные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на соседнюю свободную клетку по вертикали или горизонтали. За какое наименьшее число ходов можно добиться того, чтобы все черные фишки стояли внизу, а белые – вверху?
75. Задача 74 для доски для доски 77.
75. Задача 74 для доски для доски 77.
76. Пять человек решили сдать в общую кассу по 30 форинтов. К сожалению, у них
были только купюры по 20 и 50 форинтов. Тем не менее, каждый отдал ровно по
30 форинтов. Какая наименьшая сумма денег могла быть у всех пятерых вместе?
76. Пять человек решили сдать в общую кассу по 30 форинтов. К сожалению, у них
были только купюры по 20 и 50 форинтов. Тем не менее, каждый отдал ровно по
30 форинтов. Какая наименьшая сумма денег могла быть у всех пятерых вместе?
77. На доске размером 30n клеток расставлено несколько ладей таким образом, что
каждая ладья бьет ровно одну другую. При этом в каждой вертикали и в каждой
горизонтали стоит как минимум одна ладья. Докажите, что n делится на 3
77. На доске размером 30n клеток расставлено несколько ладей таким образом, что
каждая ладья бьет ровно одну другую. При этом в каждой вертикали и в каждой
горизонтали стоит как минимум одна ладья. Докажите, что n делится на 3
78. Малыши Аня, Ваня и Настя изучали алфавит. Оказалось, что из букв, которые знает Аня, Ване известны только «а» и «и», а Насте – только «а» и «л». При этом Аня
с Ваней, использовав все буквы, которые знают, сумели написать слово «АЛФАВИТ», а Ваня с Настей, опять-таки использовав все свои знания, написали слово
«ПИЛОТКА». Какие буквы изучил каждый ребенок?
78. Малыши Аня, Ваня и Настя изучали алфавит. Оказалось, что из букв, которые знает Аня, Ване известны только «а» и «и», а Насте – только «а» и «л». При этом Аня
с Ваней, использовав все буквы, которые знают, сумели написать слово «АЛФАВИТ», а Ваня с Настей, опять-таки использовав все свои знания, написали слово
«ПИЛОТКА». Какие буквы изучил каждый ребенок?
79. В жаркий день четыре семейных пары выпили 44 бутылки
кока-колы. Александр выпил 2 бутылки, Борис – 3, Виктор
– 4, Григорий – 5. Известно, что супруга Андреева выпила
столько же, сколько ее муж, супруга Борисова – вдвое
больше мужа, супруга Викторова – втрое, а жена Голованова – вчетверо больше, чем ее муж. Как зовут Голованова?
79. В жаркий день четыре семейных пары выпили 44 бутылки
кока-колы. Александр выпил 2 бутылки, Борис – 3, Виктор
– 4, Григорий – 5. Известно, что супруга Андреева выпила
столько же, сколько ее муж, супруга Борисова – вдвое
больше мужа, супруга Викторова – втрое, а жена Голованова – вчетверо больше, чем ее муж. Как зовут Голованова?
80. В таблице 10004 в верхней строке записаны числа 1, 9, 6, 8. Следующая строка
заполняется таким образом: в каждую клетку пишется сумма трех чисел предыдущей строки, не стоящих над этой клеткой, уменьшенная на число, стоящее над
данной клеткой. Какое число будет стоять в правом нижнем углу таблицы?
80. В таблице 10004 в верхней строке записаны числа 1, 9, 6, 8. Следующая строка
заполняется таким образом: в каждую клетку пишется сумма трех чисел предыдущей строки, не стоящих над этой клеткой, уменьшенная на число, стоящее над
данной клеткой. Какое число будет стоять в правом нижнем углу таблицы