Васин А.А. Вартанов С.А. О свойствах и устойчивости

Васин А.А.
Вартанов С.А.
О свойствах и устойчивости равновесий в модели электорального
поведения избирателей
1. Введение.
В современном мире важнейшим элементом политического процесса в большинстве
стран являются референдумы и выборы в органы власти. Оба этих способа
волеизъявления граждан привлекательны с той точки зрения, что должны учитывать
мнения всех, кто имеет право голоса. Тем не менее, как выборы, так и референдумы
не всегда являются столь совершенными формами общественного принятия
решений, так как конечный исход их зависит не только от изначальных
предпочтений граждан, имеющих право голоса, но и от их явки. На нее влияют
различные обстоятельства, связанные с издержками, которые несет избиратель в
связи с участием в выборах. Кроме того, многие избиратели осознают, что
значимость их голоса пренебрежимо мала, особенно если речь идет о голосовании в
масштабах целой страны. Таким образом, неучастие в выборах тоже может
представлять собой пример рационального поведения. Возникающая при этом низкая
явка граждан может даже приводить к победе кандидатов-маргиналов. Более
подробно различные парадоксы при голосованиях описаны в работах [3] и [4].
Модель, исследуемая в настоящей работе, близка к моделям, рассмотренным в
работе [1]. Эта работа посвящена исследованию электорального поведения граждан
на выборах с двумя кандидатами. В ней основные результаты были получены в
предположении, что одного из кандидатов поддерживает всего один избиратель, в то
время как второй имеет намного большее число сторонников.
В настоящей работе исследуется теоретико-игровая модель голосования двух
групп избирателей численностями N1 и N 2 соответственно, каждая из которых
поддерживает своего кандидата. Предполагается, что N 2  N1 . Стратегия каждого
избирателя – принимать или не принимать участия в голосовании, при этом в случае
участия он несет фиксированные издержки ( ci , i  1, 2 ), не зависящие от исхода
голосования.
В
случае
победы
«своего»
1
кандидата
избиратель
получает
фиксированный выигрыш ai , i  1, 2 , превышающий его затраты на участие в
голосовании. Если кандидат терпит поражение, то его сторонники теряют столько
же. Взаимодействие избирателей описано в виде игры в нормальной форме с N1  N2
игроками.
Поведение избирателей предполагается рациональным: при выборе стратегии
каждый из них исходит из максимизации своего индивидуального выигрыша.
Равновесием
Нэша
в
рассматриваемой
модели
является
такая
ситуация
(распределение игроков по стратегиям), что никому из избирателей невыгодно
индивидуально
изменять
свое
решение
об
участии
в
голосовании
при
фиксированном поведении остальных участников.
2. Существование и количество равновесий Нэша
Утверждение 1. В исследуемой модели равновесие Нэша в чистых стратегиях
существует тогда и только тогда, когда N1  N 2 . В этом случае единственным
равновесием является ситуация, при которой все избиратели принимают участие в
голосовании.
Так как при неравной численности групп равновесия Нэша в чистых стратегиях
не существует, изучим свойства смешанных равновесий. При этом предположим,
что сторонники каждого из кандидатов ведут себя одинаково: любой избиратель из
второй группы участвует в голосовании с вероятностью q , а избиратель из первой
группы – с вероятностью p . Тогда смешанное равновесие определяется из системы


def N1 1

N  k 1
N k
N  k 1

p
,
q
  CNk 1 1 p k 1  p  1
C Nk 2 q k 1  q  2  C Nk 2 1q k 1 1  q  2
 w1


 1

k 0

def N1
  p, q   C k q k 1  q  N2  k 1 C k p k 1  p  N1  k  C k 1 p k 1 1  p  N1  k 1  w

N 2 1
N1
N1
2
 2
k 0

Здесь wi 

(1)
ci
, i  1, 2 - относительные издержки сторонников каждого из
ai
кандидатов. Заметим, что функции 1 и  2 , стоящие в левых частях системы (1),
есть не что иное, как вероятности того, что голос произвольного сторонника первого
или второго кандидата, является решающим для исхода голосования. В настоящей
2
работе показано, что эти обе функции являются квазивогнутыми по каждому из
аргументов
q1decr 
при
2
N 2  N 2  1  2
2
2
qdecr
 0 , qincr

фиксированном
значении
1
qincr

,
Обозначим
N1  N1  1
N1  N1  1 
N1  N1  1
N1  N1  1 
второго.
 N2  N1  N2  N1  1
 N2  N1  1 N2  N1  2 
,
.
i
Утверждение 2. При q   0, qdecr
 функция i  p, q  , i  1, 2 , монотонно
убывает по p на отрезке
 0,1 ,
i
при q   qincr
,1 - монотонно возрастает, а при
i
i
q   qdecr
, qincr
 имеет единственный максимум pmi  q  во внутренней точке отрезка
0,1 .
Аналогичное утверждение справедливо и для поведения функций i  p, q  при
фиксированном значении p . Таким образом, у каждого из уравнений системы (1)
есть не более двух решений относительно каждой переменной при фиксированном
значении второй. Обозначим решения второго уравнения qH  p  (меньшее), qL  p 
(большее), первого - pL  q  и pH  q  . Графики pL  q  и pH  q  приведены на
рисунке 1, графики qH  p  и qL  p  имеют аналогичный вид.
Рисунок 1. Примерный вид графиков функций pH  q  и pL  q 
3
Существует всего четыре типа возможных равновесий (HH, HL, LH, LL),
зависящих от того, каким именно корням они соответствуют.
Теорема 1. При равных относительных издержках ( w1  w2  w ) существует не
более двух смешанных симметричных равновесий со стратегиями участников первой
и второй групп p* и q* соответственно.
Если
p
*
HL
0  w  wˆ  max 1  p,1  p  , то существует ровно два равновесия
p0,1
*
, qHL
 и  pHL* , qHL*  , где pHL*  1  qHL* , pLH*  1  qLH* и pHL*  pLH* , имеющие тип HL
2
и LH соответственно (рис. 2b). Если wˆ  w  f 2  qincr
 , то существует ровно два
равновесия
 p ,q  ,
*
i
*
i
*
*
, pLL
i HH , LL , причем p0   pHH
 и
равновесия имеют типы HH и LL соответственно, и
 2  pi* , qi* 
p
2
Если 1  w  f 2  qincr
 , то существует единственное решение
для которого также
 2  pHH * , qHH * 
p

1  pHH * , qHH * 
q
*
*
q0   qHH
, qLL
 . Эти
p

*
HH
1  pi* , qi* 
q
 0.
*
, qHH
 типа HH ,
 0 (рис.2а).
Рисунок 2. Два фазовых портрета возможных равновесий. Пунктирные линии
соответствуют pL  q  (черные) и
qL  p  (серые), сплошные - pH  q  (черные) и
qH  p  (серые). Равновесия отмечены темно-серыми точками.
4
3. Локальная устойчивость равновесий
Рассмотрим итеративный способ процесс поиска смешанных равновесий,
аналогичный процедуре нащупывания по Курно. Поиск начинается в некоторой


точке p 0 , q 0   0,1   0,1 . Каждая группа участников последовательно использует
свой равновесный ответ на стратегию другой группы:
 p  , q     p  , q     p  q   , q     p  , q     p  , q  p  ... 
.
  p   , q      p  q    , q      p   , q      p   , q  p      ...
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
k
i 1
i
i
k
i 1
i
i 1
i 1
i 1
k
Индекс
k
k LL, LH , HL, HH  описывает
тип
рассматриваемого
равновесия.
Обозначим отображение равновесных ответов как r  p, q  : rk  p, q    pk  q  , qk  p   .
Равновесие
p
*
k
, qk * 
типа
k LL, LH , HL, HH 
p
устойчивым, если существует такая окрестность U точки
любой,
сколь
угодно
начинающийся в точке
малой
*
k
, qk *  , что описанный
0
окрестности
0
U
процесс
нащупывания,
 p  , q   U , не сходится или сходится не к  p
0
локально
 p  , q   U . Аналогично, если
выше процесс нащупывания сходится при любых
для
назовем
0
*
k
, qk *  , то
такое равновесие называется неустойчивым.
Используя свойства графиков qL  p  , qH  p  , pL  q  и pH  q  , исследованные

ранее, можно для любого начального значения p  , q
0
0
 из окрестности равновесия
построить траекторию процесса нащупывания. Таким образом, будет показана
локальная устойчивость или неустойчивость соответствующего равновесия. Так,
равновесия типов HH и LL локально устойчивы (рис. 3), а равновесия типов HL и
LH -неустойчивы (рис. 2).
5
а) тип HL
b) тип LH
Рисунок 3. Траектории процесса нащупывания в окрестности равновесия
типов HL и LH
а) тип HH
6
b) тип LL
Рисунок 4. Траектории процесса нащупывания в окрестности равновесия
типов HH и LL
4. Выборные парадоксы
Парадоксом при голосовании назовем такую ситуацию, в которой побеждает
кандидат с меньшим числом сторонников. Победу кандидата большинства назовем
естественным исходом голосования. Таким образом, вероятность парадокса при
равновесном поведении избирателей равна Ppar  P  n1  n2  , где, как и ранее, ni ,
i  1, 2 - случайные величины, показывающие количество сторонников кандидата i ,
принявших участие в голосовании. Аналогично, вероятность победы кандидата,
представляющего большинство, равна Pmaj  P  n1  n2  .
Исследуем, когда вероятность победы первого кандидата выше, чем
вероятность победы второго. Это условие эквивалентно тому, что парадокс при
голосовании более вероятен, чем его естественный исход. Рассмотрим функцию
P  p, q   P  n1  n2   P  n1  n2  , показывающую разность вероятностей победы
первого и второго кандидатов, при условии, что они используют смешанные
стратегии
 p, q  .
Обозначим
wp
корень уравнения P  p1*  w  , q1*  w    0 на
7
интервале
w   0, wˆ  . Заметим, что в этом случае пара
 p  w  , q  w 
*
1
p
*
1
p
соответствует LH -равновесию.
Утверждение 3. В равновесиях типов HL , HH и LL вероятность парадокса
всегда выше вероятности естественного исхода голосования. В равновесиях типа
LH при w   0, w p  естественный исход более вероятен, чем парадокс, а при
w   wp , wˆ 
вероятность парадокса выше вероятности естественного исхода
голосования.
Отдельный интерес представляет также то, насколько значимым для исхода
голосования окажется голос каждого из избирателей. С точки зрения интуиции
кажется, что с ростом численностей сторонников каждого из кандидатов важность
отдельного голоса уменьшается. Однако в рамках данной модели это не так.
Рассмотрим систему уравнений, являющуюся обобщением системы 1 на случай
неодинакового поведения избирателей:
 P  n1l  1  n2   P  n1l  n2   w1 , l  A1

.

k
k
 P  n2  1  n1   P  n2  n1   w2 , k  A2
Она описывает необходимое и достаточное условие смешанного равновесия. Во всех
уравнениях в левой части стоит не что иное, как вероятность того, что голос
сторонника l ( k ) первого (соответственно, второго) кандидата является решающим
для исхода голосования. Таким образом, в равновесии значимость голоса отдельного
избирателя связана только с его относительными издержками от участия в
голосовании и не зависит от количества сторонников каждого из кандидатов.
5. Заключение.
В работе исследована теоретико-игровая модель поведения двух групп
избирателей. Голосование проходит в один этап, все избиратели внутри каждой
группы предполагаются одинаковыми.
Показано, что равновесие Нэша в чистых стратегиях существует тогда и только
тогда, когда обе группы имеют равную численность. Для случая групп различной
численности исследовался вопрос существования и единственности равновесий
8
Нэша в смешанных стратегиях. Для этого случая была построена система уравнений
(1), описывающая необходимое и достаточное условие симметричного вполне
смешанного равновесия Нэша. Равновесными для членов обеих групп являются такие
и только такие стратегии, при которых вероятность решающего голоса для любого
участника голосования в точности равна значению его относительных издержек.
Было показано, что при равных относительных издержках всех избирателей
данная система имеет не более двух решений. Точное количество равновесий и их
свойства зависят от конкретного значения относительных издержек. Было построено
пороговое значение относительных издержек ŵ . Это значение определяется из
условия wˆ  max 1  p,1  p  , где 1  p, q  - вероятность того, что голос одного из
p 0,1
членов первой группы будет решающим, если члены первой и второй групп
принимают участие в голосовании с вероятностями p и q соответственно.
Если значение относительных издержек меньше порогового, то существует
ровно два смешанных равновесия, при этом вероятности участия в голосовании для
избирателей первой и второй групп в этих равновесиях дают в сумме единицу. Если


2
ˆ , w2  , где w2  max 2 p, qincr
же w  wˆ , то возможны два варианта. При w   w
,а
p0,1
2
qincr
определено в Утверждении 2, существует ровно два смешанных равновесия, а
при w  w2 - ровно одно. При этом вероятности участия в голосовании для
избирателей первой и второй групп в таких равновесиях удовлетворяют условию:
 2

 p, q   1  p, q   0 , где i  p, q  , i  1, 2 , - вероятности решающего голоса для
p
q
членов первой и второй групп соответственно.
Описанные типы равновесий были исследованы на предмет их локальной
устойчивости. Так, локально устойчивыми являются все равновесия, возникающие в
ˆ , в то время как при w  wˆ все равновесия локально неустойчивы.
модели при w  w
Однако при любых значениях w все смешанные симметричные равновесия являются
структурно устойчивыми, то есть ни одной из групп избирателей невыгодно
отступать от согласованного поведения.
В работе исследованы вероятности победы каждого из кандидатов в случае
равновесного поведения избирателей. Показано, что в большинстве равновесий более
9
вероятной является победа кандидата, поддерживаемого меньшинством, однако при
существуют и равновесия, в которых победа кандидата большинства более вероятна.
Дальнейшее исследование модели может проходить по нескольким путям. Вопервых, полученные в работе результаты полностью описывают множество
равновесий лишь для случая одинаковых относительных издержек. В реальности эти
издержки, вообще говоря, у каждого избирателя могут иметь своё значение, отличное
от значения издержек у остальных. Тем не менее, множество всех участников
голосования, как правило, можно разделить на подгруппы, в рамках каждой из
которых относительные издержки будут мало отличаться. Для модели с множеством
избирателей, состоящим из нескольких групп, отличающимися относительными
издержками, можно построить аналог системы (1) и исследовать его свойства.
6. Список литературы.
1. Haan M., Cooreman P. How majorities can lose the election. Another voting
paradox // Social Choice and Welfare, Springer, 2003, #20
2. Heijnen, P. On the probability of breakdown in participation games // Social Choice
and Welfare, Springer, Vol. 32 (3), pp.493-511, 2009
3. Nurmi H. Voting paradoxes and referenda // Social Choice and Welfare, Springer,
vol. 15(3), pp. 333-350, 1998.
4. Алескеров Ф.Т., Ордешук П. Выборы. Голосование. Партии // М.: Академия,
1995
10