МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА
ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Часть 1. Теория погрешностей измерений
(для студентов 2 курса дневной формы обучения
спец. 7.070908 ”Геоинформационные системы и технологии”)
Харьков – ХНАГХ − 2006
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА
ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Часть 1.
Теория погрешностей измерений
Харьков – ХНАГХ − 2006
2
Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 1.
Теория погрешности измерений: Учебно-методическое пособие (для студентов
2 курса дневной формы обучения спец. 7.070908 „Геоинформационные
системы и технологии”). Сост. Войславский Л.К. − Харьков: ХНАГХ, 2006. –
64 с.
Составитель Л.К. Войславский
Рецензент: канд. техн. наук, доц. В.Д. Шипулин
Рекомендовано кафедрой геоинформационных систем и геодезии,
протокол № 4 от 02.12.2005 г.
3
4
СОДЕРЖАНИЕ
1. Необходимые сведения из метрологии…………………………………………………
1.1. Физические величины……………………………………………………………..
1.2. Измерения и их классификация…………………………………………………..
4
4
4
2. Погрешности измерений. Их классификация и свойства……………………………... 6
2.1. Классификация погрешностей измерений………………………………………. 6
2.2. Свойства случайных погрешностей……………………………………………… 8
3. Количественные критерии оценки точности измерений………………………………
3.1. Модели распределения случайных погрешностей………………………………
3.2. Модели распределения систематических погрешностей……………………….
3.3. Количественные критерии оценки точности ряда равноточных измерений
одной величины……………………………………………………………………
9
9
13
4. Оценка точности функций непосредственно измеренных величин………………….
4.1. Основная теорема теории погрешностей………………………………………...
4.2. Применение основной теоремы для расчета предельно допустимых невязок...
4.3. Апостериорная оценка точности функций измеренных величин………………
18
18
20
22
5. Математическая обработка ряда равноточных результатов измерений одной
и той же величины………………………………………………………………………..
5.1. Простая арифметическая средина и ее свойства………………………………...
5.2. Формула эмпирической средней квадратической погрешности………………..
5.3. Последовательность математической обработки ряда равноточных
измерений одной и той же величины……………………………………………
25
25
29
15
32
6. Неравноточные измерения………………………………………………………………
6.1. Вес как специальная мера относительной точности результатов измерений….
6.2. Веса функций результатов измерений……………………………………………
6.3. Примеры расчета весов в геодезической практике……………………………
6.4. Общая арифметическая середина и ее свойства…………………………………
6.5. Формула эмпирической средней квадратической погрешности единицы веса.
6.6. Последовательность математической обработки ряда неравноточных
измерений одной и той же величины……………………………………………
35
35
37
38
39
43
7. Двойные измерения………………………………………………………………………
7.1. Общие соображения……………………………………………………………….
7.2. Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений…………….
7.3. Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений………….
50
50
50
55
8. Краткие сведения о зависимых случайных величинах и зависимых
погрешностях……………………………………………………………………………..
8.1. Виды зависимостей………………………………………………………………...
8.2. Количественные характеристики линейной стохастической зависимости……
8.3. Зависимые случайные погрешности в геодезии…………………………………
58
58
60
62
47
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………………….. 64
5
1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕТРОЛОГИИ
1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Под физической величиной понимают свойство, общее в качественном
отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении
индивидуальное для каждого объекта. Такими свойствами могут быть масса,
длина, ширина, площадь, напряжение, давление и многие, многие другие,
присущие различным физическим объектам. При этом не существенно
конкретное качественное содержание того или иного физического объекта. Так,
масса присуща шоколаду, муке, глине, песку, камню и другим веществам;
длину имеет кусок ткани, отрезок трубы, расстояние между пунктами
геодезической сети, площадь имеет шкурка ценного пушного зверя и
земельный участок. Этот перечень можно продолжить.
В геодезии измеряют или определяют следующие физические величины:
горизонтальные направления и углы, вертикальные углы, расстояния,
превышения, высоты, уклоны, площади, координаты и др.
Конкретное количественное содержание в данном объекте свойства,
соответствующее понятию «физическая величина», называют размером
физической величины. Оценка размера физической
величины в виде
некоторого числа принятых для нее единиц называется значением физической
величины. Например, значение превышения между точками А и В равно
- 12.63 м.
Значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы
соответствующее свойство объекта, называется истинным значением
физической величины. Так, истинное значение суммы углов плоского
треугольника равно 180 градусов.
Попутно заметим, что в большинстве случаев практики истинное значение
величины остается неизвестным. Значение физической величины, полученное
экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному
значению, что в данном конкретном случае практики может быть принято
вместо него, называют действительным значением физической величины.
В геодезии значение физической величины, которое в данных условиях
измерений является наиболее близким по вероятности к истинному значению,
называют вероятнейшим значением.
1.2. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Измерением называют нахождение значения физической величины
опытным путем с помощью специальных технических средств.
Значение физической величины, найденной путем ее измерения, называют
результатом измерения. Результат измерения в общем виде можно
представить формулой:
l=nl0 ,
(1.1)
6
где l — результат измерения, l0 — значение единицы измерения, n —
число единиц измерения.
По физическому исполнению измерения могут быть прямые
или
непосредственные, когда интересующая нас величина непосредственно
сравнивается с единицей измерения, и косвенные, когда значение измеряемой
величины получается как функция одного или нескольких аргументов
измеренных непосредственно или косвенно.
Примеры:
Непосредственные измерения:
измерение температуры термометром;
измерение массы тела на равноплечных весах путем сравнения ее с
массой гири;
измерение длины линии мерной лентой.
Косвенные измерения:
измерение длины линии нитяным дальномером
D=kl+С,
(1.2)
где длина линии D определяется как функция непосредственно
измеренного отрезка рейки l , заключенного между дальномерными
штрихами, и параметров дальномера — коэффициента k; постоянного
слагаемого С.
измерение превышения тригонометрическим нивелированием
h=½ Dsin2+I-V,
(1.3)
где превышение h определяется как функция косвенно измеренных
дальномерного расстояния D, угла наклона  и непосредственно
измеренных высоты прибора I и точки визирования V.
Измерения подразделяют также на необходимые и дополнительные или
избыточные.
Измерения называют необходимыми, если они дают только один
результат прямого измерения, косвенного измерения или только одно
значение функции измеренных величин.
Примеры необходимых измерений: однократное измерение длины линии
мерной лентой или дальномером, измерение горизонтального угла теодолитом
одним полуприемом, определение тахеометром превышения со станции на
реечный пикет, определение координат точки засечкой по двум измеренным
углам, n-1 измеренных линий и углов в теодолитном ходе из n точек.
Необходимые измерения невозможно проконтролировать, поэтому нет
возможности судить об их качестве.
Все измерения, выполненные сверх необходимых, которые позволяют
получить два и более результата или два и более значения функции, называют
избыточными.
Избыточные измерения дают возможность:
осуществить контроль измерений;
оценить точность выполненных измерений;
7
получить такие приближенные значения измеренных величин,
которые в общем случае оказываются ближе к истинному значению,
чем отдельно взятый результат необходимого измерения.
Процесс измерения протекает при наличии и взаимодействии следующих
необходимых факторов:
1) объекта измерения;
2) субъекта измерения, т.е. исполнителя;
3) мерного прибора, при помощи которого исполнитель осуществляет
измерение;
4) метода измерения, определяющего измерительный процесс;
5) внешней среды, в которой протекает процесс измерения.
Точность измерений, т.е. отклонение их результатов от истинного
значения непосредственно зависит от названных выше факторов. Совокупность
этих факторов определяет условия измерений.
Условия принято считать одинаковыми, если:
1) измерялись физические объекты одного и того же рода;
2) измерения выполнялись исполнителями одинаковой квалификации;
3) измерения производились одинаковыми по качеству приборами;
4) применялся один и тот же метод измерений;
5) состояние внешней среды в процессе измерений изменялось в
одинаковых пределах.
Если измерения выполнены в одинаковых условиях, их результаты
считают равноточными.
Несоблюдение хотя бы одного из перечисленных выше условий делает
результаты неравноточными.
2. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ И СВОЙСТВА
2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Все измерения, как бы тщательно они не были выполнены,
сопровождаются погрешностями. В этом легко убедиться, измерив одну и ту
же величину несколько раз и сравнив полученные результаты. В общем случае
они будут отличаться друг от друга.
Под погрешностью измерения ε понимают разность между результатом
данного измерения l и истинным или действительными значением измеряемой
величины Х:
ε = l-X .
(2.1)
Другими словами, погрешность равна тому, что есть, минус то, что
должно быть.
Каждый из пяти факторов, перечисленных в п.1.2, порождает ряд так
называемых элементарных погрешностей. Таким образом, погрешность ε —
суммарное воздействие элементарных погрешностей.
Все погрешности измерений можно подразделить на три группы:
8
1. Грубые погрешности или промахи, резко отклоняют результаты
измерений от истинного значения. Всегда они возникают только по вине
исполнителя. В теории погрешностей грубые погрешности не изучают. Их
необходимо своевременно обнаружить, а результаты измерений, содержащие
эти погрешности, исключить из дальнейшей обработки. Наиболее
действенными методами обнаружения грубых погрешностей является
производство избыточных измерений. Вот почему в геодезии каждую величину
измеряют, как правило, не менее двух раз.
2. Систематические элементарные погрешности порождаются
существенными связями между факторами измерений и возникают всякий раз
при одних и тех же условиях. Систематические погрешности подчинены какойто в той или иной степени определенной закономерности.
Закономерности эти поддаются изучению. И при определенных условиях
систематические погрешности могут быть исключены из отдельного результата
измерений.
3. Случайные элементарные погрешности порождаются не
существенными, а второстепенными случайными связями между факторами
измерений, при данных условиях измерений они могут быть, а могут и не
появиться, могут быть большими или меньшими, положительными или
отрицательными. Величина и знак этих погрешностей носит случайный
характер, а их распределение подчинено законам теории вероятностей.
Случайные погрешности не могут быть исключены из отдельного
результата измерения. Влияние их на результаты измерений можно лишь
ослабить, повышая квалификацию исполнителя, совершенствуя измерительные
приборы и методику измерений, выполняя измерения при более благоприятных
условиях. Влияние случайных погрешностей можно также ослабить
надлежащей математической обработкой результатов измерений.
Суммарное влияние элементарных систематических погрешностей
образует систематическую погрешность θ результата измерения, а суммарное
влияние элементарных случайных погрешностей — случайную погрешность Δ
результата измерений.
Таким образом, погрешность измерения ε в (2.1) можно представить как
сумму двух составляющих:
ε= θ +Δ.
(2.2)
В (2.2) погрешность измерения четко разделена на систематическую и
случайную. Но это только в теории. На практике при производстве
геодезических измерений они действуют совместно, поэтому их разделение в
процессе обработки результатов измерений оказывается затруднительным.
Более того, в некоторых случаях погрешности, случайные по происхождению,
при определенных условиях становятся систематическими.
Пример. Погрешности высот точек съемочной сети, полученных из
геометрического или тригонометрического нивелирования, по своей природе
являются случайными. Однако при тахеометрической или мензульной съемке
9
на данной конкретной станции эта погрешность постоянна по величине и знаку,
а потому войдет в высоты реечных пикетов как систематическая.
2.2. СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В 2.1. установлено, что случайная погрешность — следствие воздействия
на результат измерений множества различных по происхождению случайных
факторов. Говоря о свойствах случайных погрешностей, мы имеем в виду не их
индивидуальные свойства, а наиболее общие свойства, которыми обладают
достаточно большие совокупности этих погрешностей.
Таких свойств четыре:
1. Свойство ограниченности. При данных условиях измерений случайная
погрешность по абсолютной величине не может превзойти некоторого
заранее известного предела. Этот предел называется предельной
погрешностью. Обозначив ее Δпр, данное свойство можно выразить
неравенством
|Δ|≤ Δпр .
(2.3)
2. Свойство компенсации. Если ряд измерений одной или нескольких
величин производится в одних и тех же условиях, то сумма случайных
погрешностей, деленная на их число, при неограниченном увеличении ряда
измерений в пределе стремится к нулю, т.е.
lim
n 
 Δ  0
n
.
(2.4)
В выражении (2.4) и в дальнейшем мы будем употреблять символику К.Ф.
Гаусса, где квадратные скобки означают сумму однородных величин.
Например,
 Δ  Δ1  Δ2  ...  Δn
 Δ2    ΔΔ  Δ12  Δ22  ...  Δn2
 aa   a12  a22  ...  an2
 ab  a1b1  a2b2  ...  anbn
(2.5)
3. Свойство независимости. Если производится два ряда измерений со
случайными погрешностями:
1) Δ1', Δ2',…, Δn' и
2) Δ1'', Δ2'',…, Δn'' ,
то сумма попарных произведений этих погрешностей, деленная на число
этих произведений, при неограниченном возрастании числа измерений в пределе
стремится к нулю.
Используя символику (2.5), это свойство можно записать следующим
образом:
10
lim
n
ΔΔ  0
n
.
(2.6)
Заметим, что данное свойство не является всеобъемлющим. В
геодезической практике не часто, но встречаются зависимые случайные
погрешности.
4. Свойство рассеивания. Если ряд измерений производится в одних и тех
же условиях, то для их случайных погрешностей имеет место предел
Δ   
lim
2
n 
n
2
.
(2.7)
Величина  называется стандартом. Квадрат стандарта 2 называют
дисперсией, а величину
р
c
2 ,
(2.8)
где c - произвольное положительное число, — весом.
Из (2.7) и (2.8) следует: ряды измерений, выполненные с более высокой
точностью, обладают меньшим стандартом и дисперсией и бóльшим весом.
3. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
3.1. МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В п.2.1 было отмечено, что случайная погрешность  — следствие
воздействия на результат измерения различных случайных связей между
факторами измерений. Она представляет собой алгебраическую сумму
множества элементарных случайных погрешностей.
Проанализируем процесс формирования случайных погрешностей на
примере измерения превышения при геометрическом нивелировании. Для этого
рассмотрим случайные погрешности округления отсчета, взятого по рейке с
точностью до 1 мм. Все возможные значения погрешностей округления (u)
укладываются в десять фиксированных равновероятных интервалов:
1)
2)
3)
4)
5)
–0.5 -0.4;
–0.4 -0.3;
–0.3 -0.2;
–0.2 -0.1;
–0.1 -0;
6. 00.1;
7. 0.10.2;
8. 0.20.3;
9. 0.30.4;
10. 0.40.5.
Графически это показано на рис. 3.1.
11
P
Δ(u)
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2 -0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Рис. 3.1
Вероятность попадания Δ(u) в любой из интервалов, представленных на
рис. 3.1, равна 0.1.
Такое распределение случайных элементарных погрешностей в теории
вероятностей называют равномерным распределением в интервале: -0.5 ÷ +0.5.
Заметим, что точно так же будут распределены элементарные погрешности
округления отсчетов по горизонтальному и вертикальному кругу теодолита,
отсчетов по рейке при определении расстояний нитяным дальномером,
отсчетов счетного механизма планиметра и в других случаях геодезической
практики.
Как известно, превышение равно разности отсчетов
h=uз-uп. Все
возможные значения погрешностей округления Δ(h) вычисленного превышения
приведены в табл.3.1.
Таблица 3.1.
Δок -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
0
+0.1 +0.2 +0.3 +0.4 +0.5
Δок
-0.5
0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1.0
-0.4 +0.1
0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9
-0.3 +0.2 +0.1
0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8
-0.2 +0.3 +0.2 +0.1
0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7
-0.1 +0.4 +0.3 +0.2 +0.1
0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6
0
+0.5 +0.4 +0.3 +0.2 +0.1
0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5
+0.1 +0.6 +0.5 +0.4 +0.3 +0.2 +0.1
0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4
+0.2 +0.7 +0.6 +0.5 +0.4 +0.3 +0.2 +0.1
0
-0.1 -0.2 -0.3
+0.3 +0.8 +0.7 +0.6 +0.5 +0.4 +0.3 +0.2 +0.1
0
-0.1 -0.2
+0.4 +0.9 +0.8 +0.7 +0.6 +0.5 +0.4 +0.3 +0.2 +0.1
0
-0.1
+0.5 +1.0 +0.9 +0.8 +0.7 +0.6 +0.5 +0.4 +0.3 +0.2 +0.1
0
Всего возможно 121 значение погрешностей округления Δ(h), которые
можно объединить в 21 группу равных значений. Эти группы не будут
равновероятны, как это можно видеть на рис. 3.2. и в табл. 3.2. (левая часть).
Такое распределение случайных погрешностей получило название
треугольного распределения Симпсона.
12
0.1
Δ(h)
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,2
0
0,4
0,6
0,8
1
Рис. 3.2
Таблица 3.2.
Значение
середины
интервала
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Диапазон
значений в
интервале
-1.05  -0.95
-0.95  -0.85
-0.85  -0.75
-0.75  -0.65
-0.65  -0.55
-0.55  -0.45
-0.45  -0.35
-0.35  -0.25
-0.25  -0.15
-0.15  -0.05
-0.05  0.05
0.05  0.15
0.15  0.25
0.25  0.35
0.35  0.45
0.45  0.55
0.55  0.65
0.65  0.75
0.75  0.85
0.85  0.95
0.95  1.05
Вычисленное
превышение на станции
Среднее превышение
на станции
Кол-во
Кол-во
Вероятность случаев Вероятность
случаев h
h
1
0.0083
3
0.002
2
0.0165
22
0.0015
3
0.0248
73
0.0050
4
0.0331
172
0.0117
5
0.0413
335
0.0229
6
0.0496
576
0.0393
7
0.0579
879
0.0600
8
0.0661
1198
0.0818
9
0.0744
1485
0.1014
10
0.0826
1612
0.1156
11
0.0909
1771
0.1210
10
0.0826
1692
0.1156
9
0.0744
1485
0.1014
8
0.0661
1198
0.0818
7
0.0579
879
0.0600
6
0.0496
576
0.0393
5
0.0413
335
0.0229
4
0.0331
172
0.0117
3
0.0248
73
0.0050
2
0.0165
22
0.0015
1
0.0083
3
0.0002
121
1.0001
14641
0.9998
13
f(Δ)
0,1
1
0,09
0,07
0,05
0,03
0,01
Рис. 3.3
При геометрическом нивелировании превышение на станции измеряют два
раза, по основной (черной) и смещенной (красной) сторонам рейки. За
окончательный результат измеренного превышения принимают среднее
значение. Для среднего превышения h возможно N=1212=14641 вариантов
случайной элементарной погрешности округления. Все множество значений
можно объединить в 21 интервал группирования, как это показано в правой
части табл. 3.2. Из рис. 3.3., где графически представлено распределение
погрешностей Δ, соответствующее данным табл. 3.2, можно видеть, что
распределение этой случайной погрешности описывается кривой линией,
выражающей некоторую функцию f(Δ). Внешне кривая напоминает колокол в
разрезе.
Отметим очевидные свойства функции f(Δ ):
1) Функция всегда положительна и симметрична относительно оси f(Δ),
т.е. положительные и отрицательные значения Δ равновероятны.
2) Функция имеет максимум в точке Δ=0, где производная f '(Δ)=0.
3) С увеличением абсолютной величины Δ функция f(Δ) асимптотически
приближается к оси Δ.
4) Положительным значениям Δ соответствуют отрицательные значения
f '(Δ), а отрицательным Δ - положительные значения f '(Δ), т.е. имеет
место неравенство f '(Δ)·Δ<0.
5) Представленные в правой части таблицы вероятности исчерпывают
все возможные значения f(Δ). Следовательно, площадь фигуры,
ограниченной осью Δ и кривой должна быть равна единице.
Всем перечисленным выше условиям отвечает функция, уравнение
которой
f(Δ) =

1
e
2
14
2
2 2
.
(3.1)
Параметр σ в (3.1) представляет стандарт, определенный нами в п.2.2. Чем
меньше σ, тем теснее группируются значения Δ относительно оси f(Δ).
Распределение случайных погрешностей, представленное функцией (3.1),
называют нормальным распределением.
Подводя итог приведенным выше рассуждениям, можно заключить, что
нормальное
распределение
случайных
погрешностей
—
продукт
алгебраического суммирования некоторого числа (не менее трех) элементарных
погрешностей.
В рассмотренном выше примере мы исследовали только один источник
формирования случайных погрешностей — погрешности округления отсчета.
Однако известно, что на точность измерения превышения методом
геометрического нивелирования помимо погрешностей округления влияют
также погрешности, обусловленные случайными колебаниями визирной оси
прибора, колебаниями изображения рейки вследствие рефракции и др.
факторами. Суммирование этих элементарных погрешностей, как это мы уже
видели, неизбежно должно привести к нормальному распределению.
Аналогичная картина имеет место и в других видах геодезических
измерений — горизонтальных и вертикальных углов и направлений, длин
линий и т.д. Все это дает нам основание рассматривать нормальное
распределение (3.1.) как универсальный закон вероятностного распределения
случайных погрешностей.
3.2. МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Систематические погрешности, имеющие место при измерениях, очень
разнообразны.
Распределение
ряда
систематических
погрешностей,
вызываемых тем или иным источником, происходит по своему, присущему
этому источнику погрешностей, закону.
Рассмотрим некоторые из них:
1. Постоянные систематические погрешности
Во всех результатах измерений погрешности имеют одинаковую величину
и знак. Классический пример такой погрешности — отклонение стрелки от
нулевой отметки перед взвешиванием у весов со стрелочной индикацией.
В практике геодезических измерений это погрешности координат и
высот опорных точек, погрешность определения места нуля вертикального
круга при тахеометрической или мензульной съемке.
Повышая точность измерений, при определении опорных точек и более
тщательно определяя место нуля, мы можем свести постоянные
систематические погрешности до пренебрегаемо малых величин по сравнению
с погрешностями случайными.
При точных угловых измерениях определяют элементы отклонения
прибора и визирных целей от центров знаков и вводят соответствующие
поправки (за центровку и редукцию) в результаты измерений.
2. Переменные систематические погрешности, зависящие от величины
измеряемого объекта и внешних условий измерений
15
Рассмотрим примеры такого рода погрешностей. Если длина ленты или
рулетки отклоняется от номинального значения на величину δ, то результат
измерения линии будет отягощен систематической погрешностью
Θк=nδ,
(3.2)
где n — число отложений мерного прибора вдоль измеряемой линии.
Для устранения этой погрешности необходимо ленту или рулетку перед
началом работы прокомпарировать, определить величину δ и вводить во все
результаты измерений поправки, определяемые выражением (3.2). Эта
поправка имеет знак «+», если δ>0, и знак «-», если δ<0.
Другой пример. Компарирование ленты или рулетки осуществляется при
определенной температуре t0. Реальные измерения производят при температуре
t. Вследствие этого возникает систематическая погрешность, обусловленная
изменением длины прибора,
Θt=α(t0-t)D
(3.3)
где α — коэффициент линейного расширения материала, из которого
изготовлен мерный прибор; D — длина измеренной линии. Измерив
температуру t, можно вычислить величину Θt и ввести в результат измерения
поправку, равную – Θt.
3. Периодические систематические погрешности
Это инструментальные погрешности, обусловленные эксцентриситетом
алидады горизонтального или вертикального круга теодолита. Они имеют
периодический характер с периодом, равным 360º. Уравнение этой
погрешности имеет вид
Θэ=е·sin(u-ue),
(3.4)
где e — линейный элемент эксцентриситета; ue – отсчет по лимбу,
соответствующий диаметру, совпадающему с элементом e; u – произвольный
отсчет по лимбу. Эксцентриситет алидады поддается исследованию. По
опытным данным составляется уравнение (3.4) и в случае необходимости в
измеренные направления вводят соответствующие поправки.
4. Односторонние действующие систематические погрешности
Такого рода погрешности имеют место:
вследствие случайных отклонений мерного прибора от створа линии
при измерении длин линий мерной лентой или рулеткой;
вследствие случайных отклонений рейки от вертикального положения
при геометрическом нивелировании.
Какими бы ни были величины и знак этих отклонений, в том и другом
случае они неизбежно увеличивают длину измеряемой линии или отсчет по
рейке. Определить величину такого рода погрешностей не представляется
возможным. Для ослабления их влияния применяют более точные методы
укладки мерного прибора в створе линии в первом случае или используют
рейки, снабженные круглым уровнем, во втором.
16
Определенный эффект получают, если плавно покачивать рейку и брать
минимальный отсчет.
3.3. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ РЯДА РАВНОТОЧНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Итак, мы установили, что результаты геодезических измерений и их
погрешности — случайные величины. Для суждения о надежности этих
величин и возможном разбросе их значений используют количественные
критерии, которые принято называть оценками.
В теории вероятностей и математической статистике используют два
вида оценок: интервальные и точечные.
1.Интервальная оценка. О точности измерений судят по тому, как далеко
могут уклониться при данных условиях измерений их результаты от истинного
или действительного значения измеряемой величины. Пределы этого
уклонения, принимая во внимание (2.1), можно записать в виде уравнения
P (a< X <b) = Q,
P (a<ε<b) = Q,
(3.5)
которое следует понимать так: вероятность того, что абсолютное
значение погрешности ε заключено в интервале [a,b] равна Q, где Q −
достаточно высокая вероятность, например 0,90; 0,95; 0,99.
В геодезической практике интервальные оценки используют крайне
редко, из-за того, что, как это следует из (2.2), погрешность ε является суммой
двух составляющих, систематической и случайной, подчиняющихся (как это
мы видели в 3.1, 3.2) разным законам распределения.
2. Точечная оценка. Точность ряда равноточных измерений
характеризуется только одной величиной.
В геодезии, в частности в различных нормативных документах,
регламентирующих точность отдельных видов геодезических работ,
используют три вида точечных оценок. Рассмотрим каждую из них.
Исходя из свойства рассеивания случайных погрешностей, выраженного
пределом (2.7), наилучшим точечным критерием мог бы быть стандарт σ. Но
это только в теории, так как для получения величины σ необходимо реализовать
бесконечный ряд измерений. На практике число измерений всегда ограничено,
и значение σ остается неизвестным. Вот почему вместо стандарта σ в геодезии
используют его приближенное значение, получившее название средней
квадратической погрешности, которая вычисляется по формуле
m=
[ 2 ]
.
n
(3.6)
Если мы имеем конечный ряд погрешностей Δ1, Δ2, Δn, на сумму [Δ2]
преобладающее влияние будут оказывать погрешности, большие по
абсолютной величине. Следовательно, чем точнее выполнены измерения, тем
меньшим как это видно из (3.6), будет значение m.
Далее на основании (2.7), (3.6) можем записать
17
lim m   .
n
(3.7)
Из (3.7) следует, что оценка m в пределе стремится к стандарту σ. Оценки,
обладающие таким свойством, называют состоятельными.
Далее из (3.6) следует, что если результаты измерений не содержат
систематических погрешностей, то и величина m не будет смещена в сторону
увеличения. Оценки, обладающие таким свойством, называют несмещенными.
Следовательно, средняя квадратическая погрешность m — состоятельная
и несмещенная оценка стандарта σ.
Другой точечной оценкой является предельная погрешность,
установленная в п.2.2 неравенством (2.3).
Предельная погрешность np , как и стандарт σ, зависит только от
условий
измерений. Следовательно, между этими величинами должна
существовать некоторая зависимость.
В теории вероятностей установлено, что, если случайные погрешности
распределены по нормальному закону, выраженному формулой (3.1), то
вероятность того, что
 <2 σ = 0.9544
 <3 σ = 0.9974.
Это значит, что абсолютная величина случайной погрешности может
быть больше 2σ лишь в 5 случаях из 100 возможных, а больше 3σ только в 3
случаях из 1000 возможных.
Исходя из этих соображений, а также принимая во внимание, что вместо
неизвестного стандарта используется средняя квадратическая погрешность, в
геодезии принято в качестве предельной погрешности принимать величины
Δпр=2σ ≈ 2m
(3.8)
при относительно небольшом количестве измеряемых величин или при
особо ответственных измерениях. Во всех остальных случаях
Δпр=3σ ≈ 3m .
(3.9)
Следовательно, если какой-либо результат измерений имеет погрешность,
большую чем предельная, то такой результат содержит грубую погрешность и
поэтому должен быть исключен из дальнейшей обработке и заменен новым,
полученным из повторных измерений.
Иногда вместо средней квадратической погрешности используют еще
одну точечную оценку среднюю погрешность, вычисляемую по формуле
υ=
  
n
.
(3.10)
В теории вероятностей доказано, что между величинами m и υ
существуют зависимости
υ =0.7979 m,
m =1.2533 υ.
18
(3.11)
Таким образом, все точечные оценки, так или иначе, связаны со средней
квадратической погрешностью. В свою очередь, величина m
является
приближенным значением стандарта.
Правомерным будет вопрос, насколько и как скоро значение m,
зависящее от числа измерений, приближается к σ. Исследуем это на частном
примере из практики геодезических измерений.
В табл. 3.3 приведены значения m, вычисленные последовательно по
первым пяти погрешностям Δi , затем по 10, 15… 60 погрешностям, т.е.
каждый раз добавлялось по 5 погрешностей, полученных как разность между
измеренным и действительным значением горизонтального угла Измерение
выполнено теодолитом 2Т30М в условиях, которым соответствует σ = 30''.
Таблица 3.3
n
5
10
15
20
30
35
40
45
50
55
60
mсек
35
31
29
28
29
28
29
29
29
32
30
Как видим, при n>5 значение m достаточно быстро сходится к пределу
(3.7). И все же m остается хотя и устойчивой, но тем не менее, случайной
величиной, т.е. есть содержит некоторую погрешность. Поэтому можно
поставить вопрос об оценке точности и надежности величины m. Такой
оценкой будет средняя квадратическая погрешность mm самой средней
квадратичеcкой погрешности m, которую вычисляют по приближенной
формуле
m
mm=
.
(3.12)
2n
Как следует из (3.12), mm – убывающая функция от n. О скорости этого
убывания можно судить по данным табл.3.4 , где приведены значения
относительной погрешности
mm
1

m
2n ,
(3.13)
выраженные в процентах.
Таблица 3.4.
n
2
3
mm% 50 41
4
35
5
32
6
29
7
27
8
25
9
24
10
22
15
18
20
16
25
14
30
13
Таким образом, при малом числе измерений, как это бывает в большинстве
случаев геодезической практики, средняя квадратическая погрешность имеет не
более одной - двух значащих цифр.
В заключение рассмотрим пример оценки точности угловых измерений по
невязкам треугольников, т.е. истинным погрешностям, для 31 треугольника
триангуляции 1 класса, которые приведены в табл. 3.5.
19
Таблица 3.5.
№ тр. Невязка Δ № тр. Невязка Δ № тр. Невязка Δ
1
-0.34
9
-1.99
17
-0.67
2
+0.74
10
+0.88
18
-0.20
3
-0.29
11
-0.66
19
+1.00
4
+0.69
12
-0.40
20
-1.46
5
+0.90
13
+0.08
21
-0.35
6
-1.99
14
+0.82
22
-1.44
7
+2.53
15
-1.18
23
+1.76
8
-1,97
16
+2.15
24
+0.47
1. Среднее квадратическое значение невязки
m=
№ тр.
25
26
27
28
29
30
31
Невязка Δ
+1.21
-0.11
+1.89
-1.37
+0.90
+0.23
-0.70
45.7
 1.2 .
31
2. Средняя квадратическая погрешность величины m
m
1.2
mm=

 0.15 или 12%.
2n 2  31
 31.37
3. Средняя невязка
v 
 1.0
n
31
или v= 0.79m = 0.95''.
4. Предельная невязка Δпр=2m=2.4''.
Проверим некоторые свойства случайных погрешностей:
1) свойство ограниченности. Наибольшая по абсолютному значению
невязка, равная 2.53'', только в одном случае из 31 больше 2m;
2) свойство компенсации. Среднее значение невязки
   1.13  0.036 //
n
31
оказывается очень малой величиной.
4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ НЕПОСРЕДСТВЕННО ИЗМЕРЕННЫХ
ВЕЛИЧИН
4.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В геодезической практике мы, как правило, имеем дело не с
непосредственно измеренными величинами, а с их функциями, т.е. косвенными
измерениями.
Так, уклон линии определяют как
отношение непосредственно
измеренных превышения и длины линии. Длину линии, недоступной для
непосредственного измерения, находят из решения треугольника, где
непосредственно измерены базисная сторона и горизонтальные углы. Площадь
земельного участка прямоугольной формы вычисляют как произведение
непосредственно измеренных длины и ширины участка. Перечень подобных
20
примеров можно продолжить. Отсюда возникает задача оценки точности
функции измеренных величин по известным стандартам σ или средним
квадратическим погрешностям m непосредственно измеренных аргументов.
Для решения этой задачи докажем теорему:
Если дана непрерывная дифференцируемая по всем аргументам функция
y=f(x1, x2 … xt),
(4.1)
аргументы которой x1, x2 … xt - независимые результаты
непосредственных измерений некоторых величин X1,X2 … Xt выполненных в
условиях, характеризуемых стандартами, σ1, σ2 … σt, то стандарт данной
функции будет равен
2
2
 y
 y  2  y  2
  1  
  2  ...  
 y  
 x1 
 x2 
 xt
где -
2
 2
  t ,

(4.2)
y
частные производные функции (4.1) по переменным x1, x2 … xt.
x i
Доказательство. Как известно полный дифференциал функции (4.1) равен
y
y
y
dx1 
dx 2  ... 
dxt .
x1
x 2
xt
dy 
(4.3)
Предположим, что величины x1, x2 … xt измерены n раз. При этом
результаты измерений содержат случайные погрешности
/1 , /2 ,.../t
//1 , //2 ,...//t
.................
1n  , 2n  ,...tn 
Тогда полагая, что погрешности Δi по сравнению с xi – малые величины,
на основании (4.3) можно записать
Δy 
Δy 
y
y
y
Δ1 
Δ2  ... 
Δt ,
x1
x 2
xt
y
y
y
Δ1 
Δ2  ... 
Δt ,
x1
x 2
xt
………………………………………
Δy( n ) 
y ( n ) y ( n )
y ( n )
Δ1 
Δ2  ... 
Δt .
x1
x2
xt
21
(4.4)
Возведем левые и правые части (4.4) в квадрат, полученные равенства
сложим и разделим почленно на n:
2

y y
  Δt 2  2
ΔiΔj
xi x j

2
2

y y
  Δt2  2
ΔiΔj
xi x j

Δy 
Δy 
 y
 y 
 y 
  Δ12  
  Δ2 2  ...  
 
 x1 
 x2 
 xt
2
2
2
 y
 y 
 y 
  Δ1 2  
  Δ2 2  ...  
 
 x1 
 x2 
 xt
2
2
… … … … … … .. … …. …. … …. ….
Δ 
(n) 2
y
2
2
 y
 y  ( n ) 2  y  ( n ) 2
 Δ1   
 Δ2   ...  
 
 x1 
 x2 
 xt
(4.5)
2
 (n) 2
y y (n) (n)
 Δt   2
Δi Δ j
xi x j

___________________________________________________________
2
2
 Δ2 y   y 2  Δ12   y 2  Δ22 
 y   Δt 
y y  Δi Δj 



...


2
 x x n





n
 x1  n
 x2  n
i
j
 xt  n
Предполагая, что n→ 0 , найдем пределы левой и правой части (4.5)
На основании свойства независимости (2.6) имеем:
 Δі Δj 
lim 
0
n 
n
(4.6)
Далее, на основании свойства рассеивания (2.7) можем записать:
 Δy2 
 Δi2 
2
lim
  y , lim
  i2
n 
n

n
n
(i = 1,2…t).
(4.7)
Подставляя (4.6) и (4.7) в (4.5) и извлекая квадратный корень из левой и
правой части этого выражения, получим (4.2). Теорема доказана.
4.2. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРЕДЕЛЬНО
ДОПУСТИМЫХ НЕВЯЗОК
1. Расчет допустимой угловой невязки теодолитного хода
Будем полагать, что все углы теодолитного хода измерены равноточно
техническим теодолитом в условиях, характеризуемых стандартом σβ=30".
Как известно, угловая невязка вычисляется по формуле:
f    изм    теор  1   2  ...   n    теор ,
(4.8)
где β1, β2, … βn — независимые переменные величины,   теор — для
данного хода - величина постоянная.
22
Находим частные производные (4.8) по переменным βi:
f 
1

f 
 2
 ... 
f 
 n
 1.
(4.9)
Подставляем (4.9) в (4.2). Так как измерения равноточные, σβ можно
вынести из под корня. В результате получим
2
2
 f     1
 1

... 

12    n  30 n .


n слагаемых
Для расчета предельной невязки воспользуемся выражением (3.8):
f  пр  2 f   1 n
(4.10)
Таким образом, мы получили известную из геодезии формулу предельно
допустимой угловой невязки.
2. Расчет допустимой невязки нивелирного хода
Предположим, нивелирный ход длиной L км проложен в равнинной
местности, где на каждый километр хода приходится примерно одно и то же
число станций при среднем расстоянии между рейками на одной станции l .
Следовательно, число всех станций в ходе будет близким к величине
n
L
.
l
Измерения на станциях выполнены равноточно
характеризуемых стандартом σст.
Невязку нивелирного хода подсчитывают по формуле
f h   hизм   hтеор  h1  h2  ...  hn   hтеор ,
(4.11)
в
условиях,
(4.12)
где, как и в (4.8), h1, h2, … hn — независимые переменные,  hтеор —
постоянная величина.
Находим частные производные функции (4.12) по переменным hi:
f h f h
f

 ...  h  1.
h1 h2
hn
(4.13)
Подставляем (4.13) в (4.2), выносим σст. из-под корня. В результате имеем
2
2
  h   ст 1
 1

... 

12   ст n .


(4.14)
n слагаемых
Для расчета предельной невязки воспользуемся (3.9). Тогда с учетом (4.11)
будем иметь
23
f hпр  3  h 
3 ст L
.
(4.15)
l
Величины σст. для каждого класса нивелирования
нормативными документами, т.е. являются постоянными.
Введем обозначение

установлены
3 ст
l
и подставим его в (4.15), получим известную из геодезии формулу
f hпр   L ,
(4.16)
где η - коэффициент, зависящий от класса нивелирования. Для IV класса
η=20мм, для технического нивелирования η=50мм.
4.3. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ
ВЕЛИЧИН
На практике при апостериорной оценке точности функций измеренных
величин неизвестные стандарты в (4.1) заменяют средними квадратическими
погрешностями. Тогда
2
2
 y
 y  2  y  2
 m1  
 m2  ...  
m y  
 x1 
 x2 
 xt
2
 2
 mt

(4.17)
Расчеты выполняют в такой последовательности:
1) функцию (4.1) записывают в явном виде;
2) находят частные производные этой функции по всем независимым
переменным;
3) подставляем частные
производные и средние квадратические
погрешности в (4.17);
4) выполняют необходимые математические преобразования и получают
окончательный результат.
Рассмотрим это на конкретных примерах.
Пример 1. Найти среднюю квадратическую погрешность уклона линии
АВ, если hАВ =12.6 м; mh=0.1 м; dAB=468 м; md=0.5 м.
h
.6  0.027 .
Уклон линии i   12
468
d
Частные производные от i по переменным h и d:
i 1
 ;
h d
i
h
i

 .
d
d
d2
Делаем подставку в (4.17):
mi 
mh2
d2
 mh2
24
i2
d2
.
Второе слагаемое в подкоренной сумме на два порядка меньше первого,
поэтому без ущерба для точности может быть отброшено. Тогда можно принять
mi 
mh
 0.0002
d
Пример 2. На топографической карте измерены прямоугольные
координаты x,y точек 1 и 2. Средние квадратические погрешности определения
координат mx1  mx2  m y1  m y 2  m
По координатам вычислены длина d и дирекционный угол α линии 1-2.
Необходимо определить средние квадратические погрешности md и mα.
Длину линии можно вычислить по формуле
d  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 .
Частные производные от d по переменным x1, x2, y1, y2 будут
2( x2  x1 )
x x
d

  2 1   cos a ,
x1
d
2 ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
d
 cos a
x 2
2( y 2  y1 )
y  y1
d

 2
  sin a ,
2
2
y1
d
2 (x  x )  ( y  y )
2
1
2
1
d
 sin a .
y 2
Делаем подстановку в (4.17) и, так как измерения равноточные, выносим m
из-под корня:
md  m cos 2 a  cos 2 a  sin 2 a  sin 2 a  m 2
Дирекционный угол может быть вычислен по формуле
y  y1
.
tg  2
x2  x1
Для удобства дальнейшего решения функцию целесообразно сначала
прологарифмировать:
ln tg  ln( y2  y1 )  ln( x2  x1 ) .
Поскольку функция задана в неявном виде, вычисляем производную левой
части этого уравнения:
ln tg  
1
tg  cos 2 

1
.
sin   cos 
Находим частные производные от α по переменным x1, x2, y1, y2
 sin  cos  sin 


,
x1
x 2  x1
d

sin 

,
x 2
d
25

sin  cos 
cos 


,
y1
y 2  y1
d
 cos 

.
y 2
d
Подставляем полученное значение в (4.17). Так как измерения
равноточные, m выносим из-под корня. Из-под корня также выносим общий
знаменатель d. Кроме того, для перехода от радианной меры к градусной
необходимо умножить правую часть на величину ρ=3438 (число минут в
радиане):
m 
m
m 2
 sin 2 a  sin 2 a  cos 2 a  cos 2 a 
.
d
d
Таким образом, погрешность дирекционного угла, вычисленного по
координатам, обратно пропорционально длине линии.
Пример 3. Измерены длина a=59.85 и ширина b=20.10 земельного участка
прямоугольной формы со средней квадратической относительной
погрешностью 1:2000. Необходимо найти площадь участка и среднюю
квадратическую относительную погрешность определения площади.
Площадь участка равна
F=ab=1203 м2
Прологарифмируем это выражение
ln F  ln a  ln b
и найдем полный дифференциал функции
dF da db


F
a
b
Заменив в полученном выражении дифференциалы
квадратическими погрешностями, на основании (4.17) получим
mF

F
ma2
a2

mb2
b2
средними
.
Но по условию задачи
ma mb
1


a
b
2000
Подставим эти значения, найдем
2
2
mF
1
1
 1 
 1 
 
2
.
 
 
F
2000
1414
 2000 
 2000 
От относительной погрешности при необходимости можно перейти к
абсолютной
mF 
1
1
1203
F
ab 
 0.9 м 2 .
1414
1414
1414
В заключение рассмотрим вопрос о надежности апостериорной оценки
точности по формуле (4.17), имея в виду, что входящие в нее средние
квадратические погрешности m1, m2…mn — величины приближенные,
26
полученные из небольшого числа измерений. Точная оценка надежности (4.17)
представляет определенные трудности. Для приближенной оценки
воспользуемся выражением (4.17), взяв в качестве независимых переменных
среднее квадратические погрешности mi.
Дифференцируем (4.17 ) по переменным mi. И подставляем найденные
значения в (4.17). В результате получим
1
mm y 
my
4
4
 y
 y  2 2
 y  2 2

 m1 m  
 m2 mm2  ...  
m1
 x1 
 x2 
 xt
4
 2 2
 mt m .
mt

(4.18)
Однако согласно (3.12)
mi
mm i 
2n
Подставляем это значение в (4.18), и получим зависимость величины mm y
от числа измерений:
1
mm y 
my
4
4
 y
 y  m14  y  m24



 
 ...  
 x1  2n1  x2  2n2
 xt
4
 mt4

.
 2nt
(4.19)
5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА РАВНОТОЧНЫХ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕЛИЧИНЫ
5.1. ПРОСТАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СРЕДИНА И ЕЕ СВОЙСТВА
Если l1, l2, …, ln — ряд независимых результатов равноточных измерений
одной и той же величины X, то за наилучшее приближение к ее истинному
значению обычно принимают простую арифметическую средину
L
l  .
n
(5.1)
Такое решение не является надуманным, так как при этом учитываются
свойства арифметической средины, которые рассмотрим ниже.
Свойства простой арифметической средины.
1. Если результаты измерений свободны от систематических
погрешностей, то простая арифметическая средина этих результатов при
увеличении числа измерений в пределе стремится к истинному значению
измеряемой величины, т.е
lim ( L  X )  0 .
(5.2)
n 
Согласно (2.1) и (2.2) при отсутствии систематических погрешностей
можно записать
Δ1=l1-X
Δ2=l2-X
……………
Δn=ln-X.
27
Сложив почленно и разделив на n
Δ  l   X
n
n
На основании (5.1) это равенство можно представить в виде
Δ  L  X
n
При n→∞ левая часть данного выражения на основании свойства
компенсации (2.4) стремится к нулю. Правая его часть так же будет стремится к
нулю, что и доказывает справедливость (5.2).
Cледовательно, L – состоятельная оценка величины X.
2. Арифметическая средина независимых равноточных результатов
измерений обладает стандартом в n раз меньшим стандарта σ этих
измерений.
Представим (5.1) в виде
l
l
l
L  1  2  ...  n
n n
n
Воспользуемся основной теоремой (4.2)
L 1
 .
li n
L 
1
n
2
2 
1
n
2
1
 2  ... 
n
2
2 
n
n
2


n
.
(5.3)
Наглядно это можно представить, изобразив на рис.5.1, области
рассеивания погрешностей Δ и ΔL:
ΔL
--3σ
-3σ/√n
Δ
Рис. 5.1
3σ/√n
3σ
Область возможного рассеивания погрешностей ΔL будет тем уже, чем
большее число измерений n. В связи с эти возникает вопрос, является ли
увеличение количества измерений эффективным средством повышения их
точности. При n ≤ 10 на этот вопрос можно ответить положительно. Но при
большем n возрастание точности будет идти гораздо медленнее увеличения n.
28
Так, для повышения точности в 4 раза потребуется 16 измерений, в 5 раз – 25, в
6 раз – 36, в 10 раз – 100 измерений.
Кроме того, всегда остаются малые по сравнению со случайными
систематические погрешности, которые не удалось полностью исключить. При
достижении некоторого n они станут преобладающими в величине L и будут
препятствовать дальнейшему повышению точности. И ещё, чем больше число
измерений, тем больше времени требуется на их выполнение. В течение этого
времени могут изменяться условия, что неизбежно нарушит их равноточность.
3. Если арифметическая средина образована из результатов измерений,
свободных от систематических погрешностей, то и сама она не содержит
систематической погрешности.
Допустим
обратное,
т.е.
результаты
измерений
содержат
систематические погрешности Θ1, Θ2… Θn. Тогда на основании (2.1) и (2.2)
можно записать:
l1-X=Θ1+Δ1
l2-X=Θ2+Δ2
……………...
ln-X=Θn+Δn.
Сложив почленно и разделив на n, получаем:
L X 
  Δ .
n
n
Правая часть полученного уравнения состоит из двух слагаемых,
представляющих систематическую и случайную погрешность арифметической
средины, откуда следует, если Θ1=Θ2=...Θn=0, то и
  будет равно 0, что и
n
доказывает сформулированное выше свойство.
Таким образом, при отсутствии систематических погрешностей
арифметическая середина L не только состоятельная, но и несмещённая
оценка величины X. Такую оценку принято называть вероятнейшим значением
измеренной величины.
При наличии систематических погрешностей арифметическая средина
также будет содержать систематическую погрешность
L 
 ,
n
а поэтому не будет обладать свойствами 1 и 3 . В этом случае
арифметическая средина L хотя и даст наилучшее из возможных приближений
к X, но не будет ее вероятнейшим значением.
Ранее в 2.1 было отмечено, что влияние случайных погрешностей можно
ослабить надлежащей математической обработкой. Такого рода обработку
называют уравниванием результатов измерений.
В процессе уравнивания результаты измерений исправляют путем ведения
поправок.
Под точной поправкой v будем понимать величину, прибавив которую к
результату измерения l , получим значение X, т.е.
29
l+ v =X
(5.4)
v = - (l-X).
Представим (5.4) в виде
Сравнив его с (2.1), обнаружим, что точная поправка по абсолютной
величине равна погрешности, но противоположна ей по знаку. Заметим, что
найти точные поправки в подавляющем большинстве случаев в геодезической
практике не представляется возможным, поэтому приходится довольствоваться
некоторыми их приближениями. Под приближенной поправкой v' будем
понимать величину, прибавив которую к результату измерения l, получим
некоторые приближенные к X, равное y, т.е.
l+ v'=y.
(5.5)
Приближенная поправка, прибавив которую к результату l, получим
вероятнейшее значение L, называется вероятнейшей поправкой, т.е.
li+vi=L
(i=1,2,…n.).
(5.6)
Четвертое и пятое свойства арифметической средины связаны с
вероятнейшими поправками.
4. Если за вероятнейшее значение принята арифметическая средина, то
сумма вероятнейших поправок равна нулю, т.е.
[v]=0.
(5.7)
На основании (5.6) можем записать
l1+v1=L
l2+v2=L
(5.8)
………..
ln+vn=L.
Сложив почленно, получим
[l]+[v]=nL.
(5.8a)
Умножив левую и правую части (5.1) на n, получим
[l]=nL.
(5.8b)
Вычитаем из (а) (b) и находим
[v]=0.
5. Сумма квадратов вероятнейших поправок, полученных из
арифметической средины, всегда меньше суммы квадратов приближенных
поправок, полученных для любой другой функции тех же результатов
измерений.
На основании (5.5) можем записать
l1+v'1=y,
l2+v'2=y,
………
ln+v'n=y.
30
(5.9)
Вычитаем из (5.9) (5.8) и имеем
v'1=v1+(y-L),
v'2=v2+(y-L),
………
v'n=vn+(y-L).
Возведя левые и правые части этих равенств в квадрат и, сложив почленно,
найдем
[v'2]=[v2]+2[v](y-L)+n(y-L)2.
В правой части этого равенства среднее слагаемое равно нулю в силу
(5.7). Поэтому
[v'2]=[v2]+n(y-L)2.
(5.10)
отсюда вытекает неравенство
[v2]<[v'2]
или
[v2] = min,
которое и доказывает сформулированное выше свойство.
5.2 ФОРМУЛА ЭМПИРИЧЕСКОЙ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ
В п.3 мы рассматривали количественные критерии и численный пример
апостериорной оценки точности ряда независимых равноточных измерений
одной величины по истинным погрешностям. Данный способ является,
безусловно, эффективным только тогда, когда в процессе измерений наряду с
результатами измерений получены их истинные погрешности. Однако во
многих случаях геодезической практики истинные погрешности остаются
неизвестными. Отсюда возникает необходимость апостериорной оценки
точности только по результатам измерений.
Для этого докажем теорему:
Если l1, l2, …,ln – результаты независимых равноточных измерений,
свободные от переменных систематических погрешностей, то величина
v 2 
,
m 
2
n 1
(5.11)
где v — вероятнейшие поправки, есть состоятельное и несмещённое
приближение к квадрату стандарта, т.е. дисперсии σ2.
Результаты измерений можно представить в виде
l1= X +Δ1+ 
l2= X +Δ2+ 
……………...
ln= X +Δn+  ,
31
(5.12)
где  — постоянная систематическая погрешность, Δi случайная
погрешность, Х – истинное значение.
Так как постоянная систематическая погрешность полностью входит в
арифметическую средину, можем записать
L= X +ΔL+  ,
(5.13)
где ΔL — истинная случайная погрешность арифметической средины.
Вычитая из (5.13) поочередно каждое из равенств (5.12) и принимая во
внимание, что согласно (5.8) L= li+ vi , получим
v1= ΔL- Δ1,
v2= ΔL- Δ2,
………
vn= ΔL- Δn.
Представим эти выражения в виде
Δ1= ΔL-v1,
Δ2= ΔL- v2,
(5.14)
………
Δn= ΔL- vn.
Возведем левые и правые части в квадрат, а результаты просуммируем:
[Δ2]= nΔL2-2ΔL[v]+[v2].
Учитывая четвертое свойство арифметической средины, выраженное
формулой (5.7), полученные выражения можно представить в виде
[Δ2]= nΔL2+[v2].
Преобразуем это выражение:
[v2] =[Δ2]- nΔL2.
В правой части вынесем n и разделим обе части на n-1. В результате
получим
 2

 v2 
   n   Δ   Δ2  .
(5.15)

L
n 1 n 1  n



Сначала докажем, что правая часть (5.15) – состоятельная оценка
дисперсии. Для этого перейдем к пределу при n→∞. Прежде всего имеем
n
lim
1.
n n  1
Далее первое слагаемое согласно свойству рассеивания в пределе
стремится к σ2, а второе слагаемое согласно первому свойству арифметической
средины в пределе стремится к нулю. В результате приходим к выводу, что
v 2 
lim     2 .
n n  1
Первая часть теоремы доказана.
Для доказательства второй части предположим, что выполнено t рядов,
независимых равноточных измерений
32
l'1, l'2,… l'n,
l"1, l"2,… l"n,
……………
l(t)1, l(t)2,… l(t)n.
Образуем для каждого ряда выражение вида (5.15) заменив согласно (5.11)
22
v
  на m2, т.е.
n 1
2





n

2
2 

mi 
 Li 

n 1 n



Полученные выражения сложим:
2

n t 
    i
2 
 m  
 Li  .

n 1 1  n



2
Разделив почленно все равенства на t и переходя к пределу при t→∞,будем
иметь
t
t

2


Δ
ΔL2i



 m 


i
n 
1

 lim 1

lim
t
n  1 lim
nt
t
t 
t 
t 

2





(5.16)
Рассмотрим пределы в фигурных скобках (5.16). Первый предел согласно
свойству рассеивания равен σ2, так как в числителе стоит сумма квадратов
случайных погрешностей, а в знаменателе их количество. Второй предел –
предел суммы квадратов случайных погрешностей арифметической средины,
деленных на их число, который согласно свойству рассеивания равен σL2 или,
принимая во внимание второе свойство,  L2 
2
n
.
Сделав подстановку, находим:
 m 2 
n
2
2

(


)2.
lim
t
n 1
n
t 
Следовательно, оценка (5.11) является несмещенной. Таким образом, мы
получили состоятельное и несмещенное приближение к стандарту σ.
Сохраняя в (5.11) то же обозначение средней квадратической погрешности
m, как и в (3.6), чтобы их как-то различать, приближение (5.11) мы будем
называть эмпирической средней квадратической погрешностью.
33
5.3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЯДА
РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Прежде чем приступить непосредственно к математической обработке
выведем несколько контрольных и рабочих формул.
Для вычисления простой арифметической средины вместо (5.1) на
практике удобно использовать формулу
L  L0 
l  ,
(5.17),
n
где L0 — так называемый «условный нуль», т.е. целесообразно выбранное
приближённое значение, чтобы разности
δli=li-L0
(i=1,2,….n)
(5.18)
были малыми величинами.
Действительно, в соответствии с (5.17), (5.18) можно записать
L  Lo 
l  L0   L
o
n

l   nL0  l  .
n
n
В результате получаем формулу (5.1).
Далее, для вычисления по формуле (5.11) эмпирической средней
квадратической погрешности необходимо сначала по преобразованной
формуле (5.8) вычислить вероятнейшие поправки
vi=L-li
(i=1,2,….n).
Контролем вычисления служит четвёртое свойство арифметической
средины. Но это только в теории.
На практике, вычисляя по формуле (5.7), мы округляем окончательный
результат. В результате получаем несколько смещённое значение L'
отличающееся от L на малую величину β, т.е.
β=L'- L
(5.19)
и смещенные поправки, также отличающиеся от вероятнейших на
величину β
v'i= L'-li+β =L'-li+β (ι=1,2,...,n).
(5.20)
Суммируя выражения (5.20) от 1 и до n, найдем
[v']=nL-[l]+nβ.
Окончательно
[v']= nβ.
(5.21)
В соответствии с пятым свойством арифметической средины
[v']> [v].
Чтобы найти несмещенное значение [v], воспользуемся выражением (5.10),
заменив в нем y на L':
[(v')2]= [v2]+n(L'-L)2.
34
(5.10a))
Из (5.19) и (5.21) следует, что
[v ]
.
n
L  L   
Подставляя найденное значение n(L'-L) в (5.10а), получим
[v 2 ]  [v  ] 
2
[v ] 2
.
n
(5.22)
Для вывода контрольной формулы снова воспользуемся (5.10), заменив v'
на δl, а y на L0.
Но из (5.17) следует, что
L0  L 
l  .
n
В результате подстановки в (5.10б) получим
[v 2 ]  [ 2 l ] 
[l ]2
.
n
(5.23)
Приведем, опуская выводы, еще две формулы для контроля вычисления
2
[v ]:
[v2]= - [δlv].
[v 2 ]  [l 2 ] 
[l ]2
.
n
(5.24)
(5.25)
Эмпирическая средняя квадратическая погрешность, вычисленная по
формуле (5.11) – величина приближения. Для оценки ее надежности
используем формулу
mm 
m
2(n  1)
.
(5.26)
Для определения средней квадратической погрешности арифметической
средины L преобразуем выражение (5.3), заменив в нем неизвестные стандарты
σ и σL средними квадратическими погрешностями m и M:
M
m
n
.
(5.27)
Надёжность величины М можно, учитывая (5.26), (5.27), оценить
формулой
mM 
mm
n
.
(5.28)
Далее рассмотрим пример математической обработки ряда независимых
равноточных измерений одной величины. Во второй колонке табл. 5.1
приведены результаты измерений теодолитом 2Т5 горизонтального угла 16
приёмами.
35
1. В соответствии с (5.17) за условный нуль принимаем L0=115°14'30",
находим величины δli= L0 - li и подсчитываем их сумму(см. колонку 3).
2. По формуле (5.17) вычисляем арифметическую средину, округляем
полученный результат до 0.1" и определяем из выражения (5.19) величину
смещения β.
3. Вычисляем смещенные за счёт округления значения вероятнейших
поправок v' и подсчитываем их сумму (см. колонку 5). Эта сумма оказалась
меньше величины nβ, что подтверждает правильность выполнения вычислений.
4. В колонках 4 и 6 вычисляем значения (δli)2 и (v'i)2 и подсчитываем их
суммы.
5. По формуле (5.11) с учётом выражений (5.22) и (5.23) вычисляем
дважды величину эмпирической средней квадратической погрешности m. Оба
результата совпадают в пределах точности вычислений.
6. По формуле (5.26) вычисляем среднюю квадратическую погрешность
величины m.
7. По формуле (5.27) находим среднюю квадратическую погрешность
арифметической длины L. По формуле (5.28) оцениваем её надёжность.
Таблица 5.1.
N п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Результаты измерения li
2
115 14 42.1
35.2
35.4
34.4
28.7
37.3
29.8
29.1
35.3
39.0
32.1
27.5
32.0
41.4
21.5
34.6
L0=115°14'30"
[δl]/n=3.46"
L'=115°14'33.5
β=0.04
m
δli (сек)
3
12.1
5.2
5.4
4.4
-1.3
7.3
-0.2
-0.9
5.3
9.0
2.1
-2.5
2.0
11.4
-8.5
4.6
[δl]=55.4
δli2
4
146.4
27.0
29.2
19.4
1.7
53.3
0
0.8
28.1
81.0
4.4
6.2
4.0
130.0
72.2
21.2
[(δl)2]=624.9
0.6 2
16 =5.4"
16  1
433 
36
v'i, сек
5
-8.6
-1.7
-1.9
-0.9
4.8
-3.8
3.7
4.4
-1.8
-5.5
1.4
6.0
1.5
-7.9
12.0
-1.1
[v']=0.6
nβ=0.64
(v'i)2
6
74.0
2.9
3.6
0.8
23.0
14.4
13.7
19.4
3.2
30.2
2.0
36.0
2.2
62.4
144.0
1.2
[(v')2]=433.0
Контроль:
mm 
m
5.4
2(16  1)
 1 ,
55.4 2
16  5.4
16  1
5.4
M 
 1.4 ,
16
624 
mM 
1
16
 0.25 .
6. НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
6.1 ВЕС КАК СПЕЦИАЛЬНАЯ МЕРА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЧНОСТИ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Стандарт и его приближённые значения – средняя и эмпирическая средняя
квадратические погрешности, рассмотренные в п.3.3 и 5.2, являются
абсолютными количественными мерами точности результатов измерений и их
функций. Однако при уравнивании неравноточных измерений возникает
необходимость ввести специальную меру точности. В качестве такой меры
принят вес, определённый нами в п.2.2 выражением (2.8).
Рассмотрим это понятие подробнее:
Вес – специальная характеристика относительной точности измерений и
их функций, исчисляемая как величина, обратно пропорциональная квадрату
стандарта, т.е. дисперсии.
Если имеется ряд неравноточных результатов измерений l1, l2,…, ln,
точность которых характеризируется стандартами σ1, σ2,…, σn, соответственно,
то веса, характеризирующие их относительную точность, определяются
отношениями
p1 
c

2
1
; p2 
c

2
2
;… p n 
c
 n2
,
(6.1)
где c – общий коэффициент пропорциональности.
Из (6.1) следует, что более точные измерения имеют больший вес, так как
им соответствует меньший стандарт.
Из определения весов и выражений (2.8) и (6.1) следует, что все веса
данного ряда измерений можно одновременно увеличивать или уменьшать в
одинаковое число раз.
Раскроем физический смысл коэффициента с.
Примем что с =σi². Подставив это значение в (6.1.), запишем:
 i2
 i2
 i2
p1  2 ; p2  2 ;… pi  1 ;…; pn  2 .
1
2
n
Отсюда следует, что выбор с равным квадрату стандарта σi² некоторого
результата измерения (реального или воображаемого) равносилен принятию
веса этого результата за единицу.
Обозначим стандарт результата измерения, обладающего весом, равным
единице, через  .
Тогда (6.1) можно представить в виде
37
2
2
2



p1  2 ; p2  2 ;… pi  1 ;…; pn  2 .
1
2
n
(6.2)
Величину  принято называть стандартом единицы веса, а его
приближенные
значения
соответственно
средней
квадратической
погрешностью единицы веса и эмпирической средней квадратической
погрешностью единицы веса.
Как следует из приведенных рассуждений и выражений (6.1), (6.2),
результаты равноточных измерений, обладающие одинаковыми стандартными,
т.е σ1= σ2=… σn, будут иметь одинаковые веса, которые можно принять
равными единице, т.е p1= p2=… pn=1.
Само собой разумеется, результаты неравноточных измерений,
полученные в разных условиях, будут иметь неравные веса. Попытаемся
определить, чему равняется вес простой арифметической средины L
независимых равноточных результатов измерений.
На основании (6.1)
напишем пропорцию
PL  2
,

p  L2
(6.3)
где σ - стандарт отдельного измерения, σL - стандарт арифметической
средины. Но согласно (5.3)
L 

n
.
Подставляя значение σL из (5.3) в (6.3), найдем
PL=np.
(6.4)
Отсюда следует, что вес арифметической средины независимых
равноточных результатов измерений в n раз больше веса отдельного
результата.
Приняв согласно (6.2) веса результатов измерений равными единице, на
основании (6.4) запишем
PL=n,
(6.5)
т.е. вес арифметической средины независимых результатов измерений
единичного веса равен числу этих результатов.
При обработке результатов однородных измерений их веса – величины
безразмерные.
Если же результаты измерений имеют разную размерность, например,
длины линий в метрах, а горизонтальные углы в секундах, то вес будет
м2
именованной величиной p 
.
сек 2
38
6.2. ВЕСА ФУНКЦИЙ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Для оценки относительной точности функции независимых результатов
неравноточных измерений может быть использована формула, вытекающая из
основной теоремы теории погрешностей.
В самом деле, формула (4.2)
2
2
 y
 y  2  y  2
  1  
  2  ...  
 y  
 x1 
 x2 
 xt
2
 2
  t .

Возведя левую и правую части (4.2) в квадрат, подставим вместо квадратов
стандартов σi² их значения, вытекающие из выражений (6.1)  i2 
c
, и
pi
сократим левую и правую части на общий множитель с. В результате можем
записать
2
1  y  1  y



p y  x1  p1  x 2
2
 y
 1

 ...  
 p2
 xt
2
 1

.
 pt
(6.6)
Рассмотрим некоторые приложения формулы (6.6).
Для функции
y=cx
1
1
,
 c2
py
px
или
py 
Применив это равенство к функции
px
.
c2
u= pi ·li,
где li - результат i-го измерения , а pi – его вес, получим
pu 
pi
 
2
 1.
(6.7)
pi
Следовательно, если умножить результат измерений на корень
квадратный из его веса, то вес произведения li pi будет равен единице, а его
стандарт - стандарту единице веса  .
Из пропорции, полученной на основании (6.1),
 y2
1

2
py

2
 py ,
 y2
найдем
y 
39

py
(6.8)
Таким образом, чтобы найти стандарт какого-либо результата
измерения или его функции, достаточно стандарт единицы веса разделить на
корень квадратный из веcа этого результата или его функции.
При определении весов на практике возможны два подхода:
1. Стандарты результатов измерений известны или могут быть определены
теоретически. В этом случае для расчета весов используют выражения(6.1),
(6.2), (6.3).
2. Стандарты неизвестны. В этом случае веса вычисляют, подставляя в (6.1)
вместо неизвестных стандартов их приближенные значения – средние или
эмпирические средние квадратические погрешности, т.е.
pi 
c
(i=1,2…n).
mi2
(6.9)
6.3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ВЕСОВ В ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ
1. Вес суммы равноточно измеренных углов теодолитного хода
На основании (6.6) можно записать
1
1
1
1
.

 ...
p[  ] p1 p 2
pn
Так как измерения равноточны, p1  p2  ...  pn  1 ,

откуда
p[  ] 
1
,
n
(6.13)
т.е. вес суммы углов теодолитного хода обратно пропорционален
количеству углов данного хода.
2. Вес линейных измерений полигонометрического (теодолитного)
хода
Длина хода равна сумме длин его сторон
L  d1  d 2  ...d n  [d ]
(a)
Стандарт длины линии при отсутствии систематических погрешностей
пропорционален корню квадратному из длины линии:
 d  d d ,
где µd- коэффициент случайного влияния.
Тогда согласно (6.1) веса измеренных линий будут
p1 
2
 d2 d1
, p2 
2
 d2 d 2
,…… p n 
2
 d2 d n
.
На основании (6.3), с учетом выражений (а), (б), обозначив
2

c 2,
d
можем записать
40
(б)
1
1
1
1
1
[d ] L


 ....
 (d1  d 2  ....d n ) 
 .
pL
p1 p 2
pn c
c
c
Откуда
pL 
c
.
L
(6.14)
Таким
образом,
вес
линейных
измерений
вытянутого
полигонометрического хода обратно пропорционален длине хода.
3. Вес превышения нивелирного хода, проложенного в равнинной
местности.
Если ход проложен в равнинной местности при среднем расстоянии

между рейками l , число станций в ходе будет равно n 
L
,
l
Согласно (6.6)
1
1
1
1


 ...
,
pL
p1 p 2
pn
(6.15)
где p1, p2, …, pn — веса измеренных превышений на станции.
Полагая, что на всех станциях превышения измерения равноточно, т.е.
p1=p2= …= pn=p, выражение (6.15) можно представить в виде:

Обозначив c  l p , получим
1
L 1
   ~.
~
pL l
p
1
L
 ,откуда
pL c
pL 
c
.
L
(6.16)
Следовательно, вес превышения нивелирного хода, проложенного в
равнинной местности, обратно пропорционален длине хода.
Рассуждая аналогично, можно доказать, что вес превышения нивелирного
хода, проложенного в пересеченной местности, обратно пропорционален
количеству станций, т.е.
pn 
c
.
n
(6.17)
6.4. ОБЩАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СЕРЕДИНА И ЕЕ СВОЙСТВА
Если l1, l2,…, ln, - независимые результаты измерений одной и той же
величины Х, относительная точность некоторых характеризуется
соответственно весами p1, p2, …, pn (измерения неравноточные), то за
наилучшее приближение к величине Х принимают общую арифметическую
середину
p l  p2l 2  ....  pn l n [ pl ]
.
L  11

p1  p2  ....  pn
[ p]
41
(6.18)
Величину L часто называют средней взвешенной.
Формулу (6.18) можно применять лишь тогда, когда веса отдельных
результатов измерений – величины одного порядка. Нельзя осреднять
результаты, полученные при существенно различающихся условиях измерений,
например, нельзя осреднять длину линии, измеренной один раз шагами, а
другой - светодальномером, или величину угла, измеренного один раз
техническим теодолитом, а другой высокоточным.
Из приведенных рассуждений следует, что на веса в (6.18) должно быть
наложено ограничительное условие, которое можно выразить неравенством
c1  pi  c2 i  (1,2,n) ,
(6.19)
где с1, с2 - некоторые положительные постоянные.
Как это было сделано в п.5.1, рассмотрим основные свойства общей
арифметической средины.
1. Вес общей арифметической средины независимых неравноточных
результатов измерений равен сумме весов этих измерений.
Для доказательства представим (6.18) в виде
L
pl
p1l1 p 2 l 2

 ...  n n .
[ p] [ p]
[ p]
Рассматривая L как функцию независимых переменных l1 , l 2 ,..., l n , для
определения ее веса, найдем частные производные:
p
L
 i
 p
l
i  1,2,..., n ,
и подставим их в (6.6). В результате имеем
p2 1
p2 1
p2 1
 p .
1
 12 
 22 
 ...  n2 

p L  p  p1  p  p 2
 p p n  p2
После сокращения и преобразования получим
p L   p,
(6.20)
что и доказывает названное выше свойство.
Соответственно стандарт общей арифметической средины, принимая во
внимание (6.8), будет равен
L 

 p
(6.21)
2. Если общая арифметическая средина образована из результатов
измерений, свободных от систематических погрешностей, то и
сама она не содержит систематической погрешности.
Допустим обратное, т.е. результаты измерений содержат систематические
погрешности 1 , 2 ,..., n . Тогда на основании (2.1) и (2.2) можно записать
42
l1  Χ  1  Δ1
l2  Χ   2  Δ2
.........................
ln  Χ   n  Δn .
Умножив каждой из этих равенств на соответствующий вес pi i  1,2,..., n ,
сложив почленно и разделив на  p , получим
p1l1  p1  p11  p1 Δ1 ,
p2 l 2  p2   p2 2  p2 Δ2 ,
........................................
pn l n  pn   pn n  pn Δn
 pl      p    pΔ
 p
 p  p
Правая часть полученного равенства состоит из двух частей,
представляющих систематическую и случайную погрешности общей
арифметической средины. Отсюда следует, если 1   2  ...   n равна нулю, то
и  p  будет равна нулю, что и доказывает сформулированное выше свойство.
3.
Если результаты неравноточных измерений свободны от
систематических погрешностей, то их общая арифметическая средина при
увеличении числа измерений в пределе стремится к истинному значению
измеряемой величины, т.е.
lim L  Χ   0 .
n 
(6.22)
На основании условия (6.19) можно написать неравенства
c1  p1 ,
c2  p2 ,
..............
cn  pn .
Складывая левые и правые части, получим новое неравенство
nc1   p .
Откуда можно заключить, что при n   имеет место предел
lim  p    .
n 
(6.23)
Из (6.21) и (6.23) следует, что стандарт  L будет стремиться к нулю, т.е.
при n  
lim  L  0 .
n
43
(6.24)
Это значит, что общая арифметическая средина L будет стремиться к
постоянной, а так как постоянная, исходя из второго свойства, не содержит
систематической погрешности, то она должна быть равна величине Х.
На основании третьего и второго свойства можно заключить, что при
отсутствии систематических погрешностей общая арифметическая средина L
является состоятельной и несмещенной оценкой X.
4. Сумма произведений уклонений результатов измерений от общей
арифметической средины
vi  L  li i  1,2,..., n
(6.25)
на соответствующие им веса равна нулю , т.е.
 pv  0 .
(6.26)
Умножив почленно каждое из выражений (6.25) на соответствующий вес
рi (i = 1 , 2 , … , n) и складывая полученные таким способом равенства, будем
иметь
 pv   pL   pl  .
Но согласно (6.18)
 pL   pl  .
Откуда следует (6.26 ), что и доказывает названное выше свойство.
Остаётся лишь доказать, что из всех возможных функций результатов
измерений этим свойствам обладает только общая арифметическая средина.
Для этого возьмем другую функцию y и напишем уклонение от нее:
v'i  y  li i  1,2,..., n .
(6.27)
Вычитая из (6.27) (6.25), получим разность уклонений
v '1 v1  y  L
v ' 2 v2  y  L
........................
v ' n  v n1  y  L
,
(6.28)
Умножив каждое из этих равенств на соответствующий вес pi ( i = 1, 2, …,
n), и затем сложив почленно, получим формулу
 pv'   pv   p y  L,
которую, учитывая (6.26), можно записать
 pv'   p y  L.
Отсюда следует, что  pv' будет равно нулю тогда и только тогда, когда
y=L, что и требовалось доказать.
5 Сумма произведений весов на квадраты уклонений от общей
арифметической средины всегда меньше чем сумма произведений весов на
44
квадраты уклонений от любой другой функции тех же результатов измерений,
т.е.
 pv 2   min ,
(6.29)
что соответствует неравенству
 pv 2    pv' 2  .
Для доказательства преобразуем ( 6.28 ) к виду
v1'  v1  ( y  L),
v 2'  v 2  ( y  L),
...........................
v n'  v n  ( y  L).
Возведем левые и правые части этих равенств в квадрат
v'12  v12  2v1  y  L    y  L  ,
2
v' 22  v 22  2v 2  y  L    y  L  ,
2
....................................................
v' 2n  v n2  2v n  y  L    y  L  ,
2
Затем умножим левые и правые части полученных уравнений на
соответствующие веса pi (i = 1 , 2 , … , n) , полученные выражения почленно
сложим. В результате будем иметь формулу
 pv' 2    pv 2   2  pv   y  L    p   y  L  ,
2
которая на основании (6.26) принимает вид
 pv' 2    pv 2    p   y  L  .
2
Откуда очевидно следует неравенство
 pv 2    pv' 2  ,
что и доказывает пятое свойство.
6.5 ФОРМУЛА ЭМПИРИЧЕСКОЙ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ
ЕДИНИЦЫ ВЕСА
Преобразуем формулу (6.21), заменив в ней, как это было сделано в
случае равноточных измерений (см. п.5.3), неизвестные стандарт  L и 
средними квадратическими погрешностями:
M

 p
,
(6.30)
где М – средняя квадратическая погрешность общей арифметической
средины,  – средняя квадратическая погрешность единицы веса.
Таким образом, чтобы оценить точность общей арифметической средины
помимо весов необходимо по результатам измерений определить среднюю
квадратическую погрешность единицы веса  .
45
Для решения поставленной задачи докажем теорему:
Если v1,v2,……vn – уклонения от общей арифметической средины,
независимых
результатов
измерений,
свободных,
от
переменных
систематических погрешностей, то величина
 pv 2 
 
 n  1
2
(6.31)
- состоятельное и несмещенное приближение к квадрату стандарта
(дисперсии) единицы веса.
Если переменные систематические погрешности отсутствуют в
результатах измерений, то согласно второму свойству они отсутствуют и в
общей арифметической середине.
Как и в случае простой арифметической середины (см. п.5.2) на
основании выражений (5.12), (5.13) получим формулы вероятнейших поправок.
v1  ΔL  Δ1
v2  ΔL  Δ2
…………….
vn  ΔL  Δn ,
где ΔL - случайная погрешность арифметической середины,
i ( i  1.2.....n ) - случайные погрешности результатов измерений.
Поменяв здесь местами уклонения vi и случайные погрешности Δi ,
возведём в квадрат левые и правые части. В результате получим
Δ12  ΔL2  2 ΔLv1  v12
Δ22  ΔL2  2 ΔLv2  v22
……………………….
Δn2  ΔL2  2 ΔLvn  vn2
Умножим теперь каждое из этих выражений на соответствующий ему вес
pi i  1,2....n  и проведём почленное суммирование. Это приведёт к формуле
 pΔ2    p  ΔL2  2 ΔL  pv    pv 2  .
Или, учитывая четвёртое свойство
 pv 2    pΔ2    р  ΔL2 ,
умножим левую и правую части на
n
n  n  1
46
2
 pv 2 
n   p   p  2 


L 

n 1 n 1 n
n


(6.32)
и перейдём к пределу по n

 pv 2 
 pΔ2 
 p
n 

2


Δ
lim
L .
l nlim
lim
lim
lim
n
n n  1
n n  1  n
n n




(6.33)
Рассмотрим пределы в правой части(6.33)
n
1.
n  n 1
1. lim
(6.34)
2. Умножим результаты измерений на корни квадратные из их весов
lі  lі pі
Величины
l
i
( і=1,2,.....n)
согласно (6.7) имеют веса, равные единице, следовательно,
их можно рассматривать как результаты равноточных измерений, а их
случайные погрешности
Δ  Δ p , Δ2  Δ2 p2 , …….. Δn  Δn pn
1 1 1
имеют стандарт, равный стандарту единицы веса  .
Поэтому на основании свойства рассеивания случайных погрешностей
(2.7) можем принять
 Δ 2 
 pΔ2 
  2.
 lim 
lim
n
n
n 
n 
(6.35)
3. На основании условия ограниченности весов (6.19) имеем неравенство
pі  c2
(і=1,2,........n).
Складывая неравенства весов от p1 до pn , получим
 р   nc2 .
Разделив левую и правую части последнего неравенства на n и переходя к
пределу, найдем
lim
n 
 p  c .
2
n
(6.36)
4. На основании третьего свойства общей арифметической середины
(6.20) можно заключить, что
lim Δ
n 
47
L
 0.
(6.37)
Подставляя пределы (6.35),(6.36),(3.37) в выражение (6.33) и принимая во
внимание ограниченность величины (6.36), приходим к пределу
 pv 2 
 2 ,
lim
n  n  1
что и доказывает состоятельность оценки (6.31).
Для доказательства несмещенности оценки (6.31) предположим,
имеется t- рядов результатов независимых неравноточных измерений
(6.38)
что
l1 , l 2 ,………. l n 
l1
l1

t 
, l 2  ,………. ln 
, l 2 t  ,………. ln t 
с весами p1 , p2 ,………… pn .
Тогда это доказательство сведется к доказательству несмещенности
оценки
  2 
 2
lim
t
t 
(6.39)
где 1 ,  2 ,…….  t - величины, вычисленные по формуле (6.31) для
каждого из приведенных выше рядов измерений. На основании формулы (6.31)
и выражения (6.32) можем записать
2
n  t  pΔ   p  t 2 
   


 ΔL  .
n  1  і 1 n
n і 1 


2
Разделив это выражение почленно на t и переходя к пределу при t   ,
будем иметь уравнение
t


2
ΔL 2 

t  pΔ 

  
p
n 


  
1
lim

lim 
.
lim
t
n  1  t  t  nt
n t  t 


2
(6.40)
Рассмотрим пределы в правой части (6.40). Согласно формуле (6.35)
  pΔ2    .
lim
2
t 
nt
Случайные погрешности ΔL1 , ΔL2 ,…… ΔLt общих арифметических средин
L  , L  ,….. Lt  - случайные погрешности равноточных величин, имеющих один и
тот же вес  p . На основании свойства рассеивания случайных погрешностей
(2.7) принимаем
48
lim
Δ
2
t
t 
L
 L .
2
Подставив эти пределы в (6.40), получаем формулу
  2 
n  2  p 2 

L .
 
lim
t
n 1 
n
t 

Заменим  L 2 ее значением из (6.21), проведем
преобразования. В результате получим
необходимые
  2 
n   n  1 2 

   ,

lim
t
n 1  n
t 

что и доказывает несмещенность оценки (6.31), которую назовем
эмпирической средней квадратической погрешностью единицы веса.
Надежность величины, вычисленной по (6.31), как и в случае
равноточных измерений (см. 5.3), может быть оценена с помощью
приближенной формулы
m



2n  1
(6.41)
На основании (6.38) приходим к выводу, что если известны истинные
случайные погрешности ряда неравноточных измерений одной и той же
величины, средняя квадратическая погрешность единицы веса может быть
вычислена по формуле
 pΔ2 
,

n
(6.42)
а ее надежность оценена по приближенной формуле
m 

2n
.
(6.43)
6.6 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЯДА
НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕЛИЧИНЫ
Рассмотрим пошаговую последовательность математической обработки
ряда неравноточных измерений одной и той же величины.
1. Вычисляем веса результатов измерений, используя для этой цели в
зависимости от конкретных условий измерений одну из формул (6.1), (6.9),
(6.13), (6.14), (6.15), (6.16).
2. По формуле (6.18) вычисляем общую арифметическую середину и
вероятнейшие поправки vі  L  lі .
Так как вычисление, как правило, выполняется с округлением, вместо L
получаем ее приближенное значение L  , а вместо поправок vі их смещенные
величины vі  (і=1,2,…..n).
49
Для
контроля
вычисления
воспользоваться формулой
вероятнейших
поправок
можно
 pv   p L  L  .
(6.44)
3. Вычисляем вероятнейшие поправки v. Вычисляем несмещенное
значение суммы pv 2  .С этой целью воспользуемся формулой
2
 pv2    pv 2    p   L  L  ,
полученной нами для доказательства пятого свойства
арифметической средины. Преобразуя это выражение, найдем
общей
 pv 2    pv2    p   L  L  ,
2
(6.45)
а для контроля воспользуемся формулой
 pv .
 
 p
2
 pv    pv
2
2
4. Подставляя найденное значение  pv 2  в (6.31), находим среднюю
квадратическую погрешность единицы веса  , а по формуле (6.41) оцениваем
ее надежность.
5. Используя выражение (6.30), определяем среднюю квадратическую
погрешность общей арифметической средней M, а по формуле
mM 
m
(6.46)
 p
оцениваем ее надежность.
В заключение рассмотрим пример. Для определения высоты узловой
точки C (рис.6.1) от исходных марок высокоточного нивелирования проложено
три нивелирных хода. Нужно найти наиболее надежное значение высоты точки
С, ее среднюю квадратическую погрешность М, среднюю квадратическую
погрешность на 1 км. хода  , оценить надежность величины  и М.
Все вычисления поместим в табл. 6.1
2
206.314
1
233.903
+11.143
-16.453
L=4.8 км
L=8.9 км
-8.546
L=6.5 км
3
226.012
Рис. 6.1
50
Таблица 6.1
№
ходов
Длина
ходов
в км
Высота
исходной
марки
Вычисленные
Измеренвысоты
ное превыузловой
шение
Точки Н 
Веса
ходов
с=10
Вероятнейшие
направ. v
мм.
v 
1
2
3
4.8
8.9
6.5
233.903
206.314
226.012
-16.453
+11.143
-8.546
2.08
1.12
1.54
+7
0
-9
49
0
81
217.450
217.457
217.466
 pH =1030.745  p =4.74  pv =0.7
L
2
p v 
2
101.9
0
124.7
pv =226.6,
2
1030.745
 217.4568 ,
4.74
 pL  L  4,74  0.15  0.7
pv   226.6  4,74  0.15
2
2
226.5

 10.6 мм
3 1
M 
m 
mM 
10.6
4.74
 226.5 ,
[ pv
2
2

0.7 
]  226.6 
4.74
 226.5 .
 4.9 мм ,
10.6
23  1
4.9
4.74
 5.3 мм ,
 2.2 мм .
Так как при вычислении весов в качестве произвольной постоянной
принято с=10, найденная нами величина  характеризует эмпирическую
среднюю квадратическую погрешность хода длиной 10 км. Чтобы определить
среднюю квадратическую погрешность на 1 км. воспользуемся формулой (6.8),
заменив в ней стандарт единицы веса  L средней квадратической
погрешностью  .
Поскольку вес хода длиной 1 км равен при c=10 равен p1км  10 ,
подставляя  и p1км в (6.8) , найдем
 км 
10.6
10
 3.4 мм.
51
7. ДВОЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
7.1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
В геодезической практике каждую величину измеряют независимо не
менее двух раз, так как одно измерение бесконтрольно. Так, горизонтальный
угол измеряется в положениях трубы теодолита ”круг право” и ”круг лево”,
линии измеряют два раза - в прямом и обратном направлении, при
геометрическом нивелировании превышение на станции определяют по чёрной
и красной сторонам рейки, в тригонометрическом нивелировании превышение
определяется в прямом и обратном направлении, при нивелировании II и III
класса нивелирный ход прокладывают в прямом и обратном направлении.
Такого рода пары измерений получили название двойные измерения.
В каждой паре двойных измерений имеет место разность
di = l'i - l"i, (i = 1, 2, … , n),
(7.1)
где l'i , l"i – результаты двух измерений одного и того же объекта.
Совокупности разностей d i , при достаточно большом их числе дают
возможность оценивать точность измерений, а в ряде случаев обнаруживать
систематические погрешности.
Оговоримся сразу, что из пяти факторов, рассмотренных нами в п.1.2,
разности d i зависят от исполнителя, прибора, метода измерения, и совершенно
не зависят от объекта измерения. Вот почему оценка точности по разностям
двойных измерений может оказаться завышенной, так как не учитывает
погрешности центрирования теодолита и установки визирных целей при
измерении горизонтальных углов, оседания башмаков или кольев при
геометрическом нивелировании и другие внешние факторы.
По этой причине оценку точности по разностям двойных измерений
иногда называют оценкой точности по внутренней сходимости.
7.2. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ РАВНОТОЧНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
При отсутствии систематических погрешностей на основании (2.1) можно
записать
l'i =X +Δ'i,
(7.2)
l"i = X + Δ"i, (i = 1, 2, … , n),
где X - истинное значение измеряемой величины Δ'i, Δ"i – случайные
погрешности результатов измерений.
Вычитая в (7.2) из первого равенства второе и принимая во внимание (7.1),
запишем
l'i - l"i = Δ 'i - Δ "i = d i (i = 1, 2, … , n),
52
(7.3)
Из (7.3) следует, что разности d i – истинные погрешности двойных
измерений.
Вот почему, если мы имеем ряд двойных измерений
l'i, l"i, …. l'n,
l'i, l"i, …. l"n,
из которых можно составить разности
l'1 - l"1 = d 1,
l'2 - l"2 = d 2,
········
l'n - l"n = d n,
то средняя квадратическая погрешность разности на основании (3.6)
определится из выражения
 d 2 
.
md 
n
(7.4)
С другой стороны, если m - средняя квадратическая погрешность
отдельного результата измерения, то на основании (4.17) можем записать
md  m 2
или
m
m d .
2
(7.5)
Подставляя md из (7.5) в (7.4), получим формулу вычисления средней
квадратической погрешности по разностям двойных измерений:
 d 2 
m
,
2n
а для среднего из двух измерений li =
(7.6)
1
(l'i + l"i ) на основании (5.2) будем
2
иметь
 d 2 
m
M

.
4n
2
(7.7)
При относительно небольшом числе измерений n надёжность оценок,
полученных на основании (7.6) и (7.7), можно определить из выражений
mm 
m md

2
или, учитывая (7.4) и (7.5),
53
md
2n 2
m
mm =
2n
.
(7.8)
Далее
mM =
mm
2
=
m
2n 2
,
или, принимая во внимание (7.7),
mM =
M
2n
.
Рассмотренный нами способ оценки точности по разностям двойных
измерений применяется тогда, когда разности d i в данном ряду не содержат
систематических погрешностей.
Для обнаружения систематической погрешности воспользуемся свойством
компенсации случайных погрешностей (2.4). При отсутствии систематической
погрешности величина
d  должна стремиться к нулю. Отличие её от нуля
n
может быть следствием:
различных случайных факторов;
наличия в разностях d i систематической погрешности  d .
В качестве рабочей гипотезы примем, что разности двойных измерений
содержат среднюю систематическую погрешность:
d =
d  .
n
Исключим эту величину из каждой разности d i :
 1  d1   d
2  d2  d
(7.10)
········
n  dn  d .
Вычисляем эмпирическую среднюю квадратическую погрешность. С
учётом (7.5) и (7.10) выражение принимает вид
m
[ 2 ]
.
2(n  1)
(7.11)
Составляем неравенство
d 
54
2m
n
(7.12)
при выполнении неравенства (7.12) приходим к заключению, что разности
d i содержит систематическую погрешность  d . В противном случае величина
d  - следствие различных случайных причин.
n
Рассмотрим пример. В табл. 7.1 приведены превышения, измеренные
нивелиром при двух горизонтах прибора на смежных станциях при одинаковых
расстояниях от инструмента до реек.
Таблица 7.1
№
станций
h1 м
h2 м
d мм
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.479
-0.292
-0.207
-0.175
-0.102
+0.066
+0.124
+0.190
+0.268
+0.303
-0.480
-0.289
-0.209
-0.172
-0.102
+0.065
+0.120
+0.188
+0.271
+0.305
+1
-3
+2
-3
0
+1
+4
+2
-3
-2
Прежде всего, определим среднюю разность
d    1 = -0.1 мм.
n
10
Полученная величина намного меньше предельной погрешности
округления отсчёта 0.5 мм, так что предполагать наличие в разностях d i
систематической погрешности нет никаких оснований.
По формуле (7.6) находим среднюю квадратическую погрешность
измеренного превышения:
[d 2 ] 57
mh 

=1.7 мм.
2n
20
Средняя квадратическая погрешность отсчёта по рейке на основании
(4.17), определится из выражения
mu 
mh
= 1.2 мм.
2
Среднюю квадратическую погрешность среднего превышения, исходя из
(5.27) получим из выражения
m
M  h = 1.2 мм.
2
Надёжность полученных оценок вычислим по формулам(7.8) и (7.9):
mmh 
mh
1.7

= 0.4 мм.
2n
20
55
mM =
M
1 .2
=
2n
20
= 0.3 мм.
Рассмотрим ещё один пример. В табл. 7.2 приведены результаты
исследования смещения шкал красной стороны пары реек. Такого рода
смещение получило название «разность пяток».
Таблица 7.2
№ точек
1
2
3
4
5
6
7
8
Отсчеты
рейка №1
5150
5200
5277
5379
5196
5245
5325
5426
рейка №2
5146
5194
5273
5375
5194
5242
5322
5420
Разность
d мм
∂ мм
+4
+6
+4
+4
+2
+3
+3
+6
0
+2
0
0
-3
-1
-1
+2
Из таблицы видно, что все разности имеют один знак, что само по себе
сигнализирует о наличии систематического смещения.
Находим величину этого смещения:

d   32
n
8
= 4 мм.
Вычисляем разности
∂i=d-θ.
Из выражения (7.11) получаем эмпирическую среднюю квадратическую
погрешность отсчёта по рейке
mu 
[ 2 ]
19

= 1.2 мм.
2(n  1)
14
Вычисляем критерий (7.12)
4
2  1.2
8
= 0.8 мм.
Наконец, по формуле (7.8) оцениваем надёжность значения mu :
m mu =
mu
2n
=0.3 мм.
Проведённое исследование позволяет сделать вывод, что красная шкала
рейки №1 смещена по отношению к шкале рейки №2 на +4 мм. Поэтому
необходимо либо заменить одну из реек в комплекте, либо учитывать это
смещение при вычислении превышения по красной стороне рейки.
56
7.3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ НЕРАВНОТОЧНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
Возьмём n пар двойных неравноточных измерений объектов одного и того
же рода
l'1, l"1 с весом p1
l'2, l"2 с весом p2
········
(7.13)
l'n, l"n с весом pn.
При этом в каждой паре измерения равноточны. Такая ситуация имеет
место при сравнении результатов линейных измерений полигонометрических
(теодолитных) ходах, где линии имеют разную длину, или при сравнении
результатов двойного нивелирования в ходах разной длины.
Составим для каждой пары (7.13) разности
l'1 - l"1 = d1,
l'2 - l"2 = d2,
(7.14)
········
l'n - l"n = dn,
которые являются истинными погрешностями.
В соответствии с (6.6) можем записать для веса разности выражение
1 = 1 + 1 = 2 .
pi
pi
pi
pd i
Отсюда находим вес разности
p di =
pi
.
2
(7.15)
Используя выражение (6.42) и принимая во внимание (7.15), найдем по
разностям двойных измерений среднюю квадратическую погрешность единицы
веса:

p
p1 2 p 2 2
d1 
d 2  ...  n d n2
2
2
2
n
или

[ pd 2 ]
2n
.
(7.16)
Соответственно средняя квадратическая погрешность результата одного
измерения с весом pi определяется на основании (6.8) из выражения
mi 

,
(7.17)
pi
а средняя квадратическая погрешность арифметической середины по
каждой паре (7.14) из выражения
57
Mi 

.
(7.18)
2 pi
Надежность оценок µ, mi, Mi, вычисленных по формулам (7.16), (7.17),
(7.18) соответственно, находим из равенств
m 
mmi 
mM i 

2n
mi
;
(7.19)
;
(7.20)
.
(7.21)
2n
Mi
2n
Формулы (7.16)-(7.21) справедливы, если разности di не содержат
существенных систематических погрешностей.
При наличии систематических погрешностей определяют коэффициент
систематического влияния из выражений:
 l
[d ]
,
[l ]
(7.22)
где l — длины измеряемых линий для двойных линейных измерений и
 L
[d ]
,
[ L]
(7.23)
где L — длина хода для двойного нивелирования.
Определив коэффицент λ, вычисляем значения
 i  di   l
для линейных измерений или
 i  di   L
для двойного нивелирования.
Вычисляем эмпирическую среднюю
единицы веса по формуле
квадратическую
p 2
.
2(n  1)

погрешность
(7.24)
Оценка надежности средней квадратической погрешности может быть
определена из выражения (6.41).
Средняя квдратическая погрешность измеренной длины линии или
нивелирного хода в соответствии с (6.8) будет равна
(7.25)
mi   L ,
а среднего превышения по ходу —
Mi 
mi
2


2p
(7.26)
Надежность оценок (7.25) и (7.26) определяем по формулам (7.20) и (7.21).
Оценим точность результатов двойного нивелирования по 10 ходам,
которые представлены в табл. 7.3.
58
Таблица 7.3.
№
Разность
ходов
d, мм
1
54.2
2
54.3
3
44.0
4
-13.4
5
-2.9
6
54.3
7
32.3
8
-5.5
9
-24.8
10
-29.5
Длина хода
L, км
2.6
8.2
7.7
8.7
6.2
3.5
2.3
6.7
3.1
6.0
-λL,
мм
-7.7
-24.3
-22.8
-25.8
-18.4
-10.4
-6.8
-19.9
-9.2
-17.8
 ,мм
2
46.5
30.0
21.2
-39.2
-21.3
43.9
25.5
-25.4
-34.0
47.3
2162.2
900.0
449.4
1536.6
453.7
1927.2
650.2
645.2
1156
2237.3
p2
831.6
109.8
58.4
176.6
73.2
550.6
282.7
96.3
372.9
372.8
mi
мм
20.5
36.4
35.2
37.5
31.6
23.8
19.3
32.9
22.4
31.1
Мi
мм
14.5
25.7
24.9
26.5
22.3
16.8
13.6
23.3
15.8
22.0
[d]=163.0 [L]=55.0 [  ]=-0.1 [p  2 ]=2924.9 [-λL]=163.1 λ[L]=163.2
Подсчитав суммы [d] и [L], вычисляем по формуле (7.23) коэффициент
систематического влияния:

[d ]
мм
 2.96
[ L]
км
Находим произведения λLi. Сумма λ[L] этих произведений в силу (7.23)
должна равняться [d].
Вычисляем разности
 i  d i   Li .
Сумма этих разностей должна быть равна нулю.
Принимая во внимание, что согласно (6.15) вес превышения нивелирного
хода p i 
1
, формулу (7.24) можно представить в виде
Li

2 
 
L
2(n  1)
.
Подставляя в нее значения из таблицы, найдем:

2924.9
мм
 12.7
,
2(10  1)
км
а ее надежность, исходя из (7.8), будет равна
m 
12.7
20
 2.8 мм .
Выражениям (7.25) и (7.26), учитывая (6.16), можно придать вид
mi   L ,
Mi  
L mi

2
2
(7.27)
(7.28)
и вычислить по ним величины mi и Mi, для каждого хода, которые
помещены в соответствующих колонках таблицы.
59
8. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ И
ЗАВИСИМЫХ ПОГРЕШНОСТЯХ
8.1 ВИДЫ ЗАВИСИМОСТЕЙ
Между парами величин Х и Y могут существовать следующие
зависимости:
1. Функциональная зависимость.
Когда каждому значению Х соответствует одно значение Y. Такая
зависимость может быть выражена в виде функции Y  f x , в виде графика
этой функции или в виде таблицы.
Так, функция
(8.1)
y  x2
может быть представлена в виде кривой (Рис. 8.1) или в виде таблицы
(табл.8.1).
Таблица 8.1.
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
9 4 1 0 1 4 9
Рис. 8.1
2. Стохастическая зависимость
При стохастической зависимости, которая имеет место только для
случайных величин, в том числе и для случайных погрешностей, одному
значению х может соответствовать несколько или ни одного значения y. Такая
зависимость может быть выражена только в виде таблицы или графика (рис.
8.2).
60
Y
A
X
В
Рис. 8.2
Как видим, здесь точки рассеяны вдоль достаточно узкой полосы,
группирующейся вдоль прямой АВ. Такая стохастическая зависимость
называется линейной.
Существуют и более сложные стохастические зависимости, когда точки
группируются вдоль узкой полосы, напоминающей кривую. Однако мы их
здесь рассматривать не будем. Заметим только, что многие нелинейные
зависимости можно преобразовать в линейные.
3. Отсутствие зависимости
Имеет место только для случайных величин, в том числе и для случайных
погрешностей. Как и в случае стохастической зависимости, такое множество
можно представить в виде таблицы или показать на чертеже.
Рис. 8.3.
61
Основным признаком, подтверждающим отсутствие зависимости, является
предел
[ xy]
lim
 0.
(8.2)
n n
Частным случаем предела (8.2) является свойство независимости
случайных погрешностей, представленное пределом (2.6).
8.2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ
ЗАВИСИМОСТИ
Линейная стохастическая зависимость не может быть точно описана
уравнением вида (8.1) или какими-либо другими. Вместе с тем существуют
количественные характеристики, достаточно точно описывающие тесноту связи
между величинами x и y.
Одной из таких характеристик оценки тесноты связи по опытным
(выборочным) данным величин x и y является корреляционный момент
k
[ xy]
 xy ,
n
(8.3)
где n - объем выборки, т.е. количество пар x, y;
[ x]
- среднее значение x;
x
n
[ y]
- среднее значение y.
y
n
Величина k зависит от размерности величин x и y и в этом отношении не
совсем удобна.
Наиболее эффективным критерием тесноты связи является выборочный
коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле
r
k
,
mx m y
(8.4)
[ x2 ]
[ y2 ]
2
где mx 
- эмпирические средние
 x , my 
 y2
n
n
квадратические отклонения (погрешности) величин x и y .
Свойства коэффициента корреляции:
1. Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от -1 до +1,
т.е.
 1  r  1
2. Когда коэффициент корреляции равен +1 или -1, между величинами x и
y существует линейная функциональная зависимость вида
y  ax  c или x  by  d .
3. Если r  0 , то между величинами x и y линейная зависимость
отсутствует, но могут существовать более сложные зависимости.
62
Коэффициент корреляции, вычисленный по опытным данным, в общем
величина случайная. Вот почему, особенно при значениях r  0.5 , возникает
вопрос, подтверждает ли вычисленное значение r наличие стохастической
связи величин x и y или оно есть следствием каких-то случайных факторов?
Другими словами, является ли r величиной значимой?
При n  50 критерием значимости может служить средняя квадратическая
погрешность
mr 
1 r2
.
n
(8.5)
Стохастическая связь между величинами x и y считается установленной,
если
r  3mr .
(8.6)
При n  50 критерием значимости могут служить критические значения
коэффициента корреляции при r  0 , приведенные в табл. 8.2. Если при объеме
выборки n и заданной вероятности 0.75, 0.90,…,0.995 вычисленное значение r
больше приведенного в таблице, то с вероятностью p можно утверждать, что
r  0 и стохастическая зависимость между величинами x и y существует.
Пример: По выборке n  16 вычислен коэффициент корреляции r  0.72 .
На пересечении строки n  16 и столбца p  0.995 находим критическое
значение, равное 0.6226. Так как 0.72>0.6226, с вероятностью p  0.995 можем
утверждать: величины x и y стохастически зависимые.
Таблица 8.2. - Критические значения для коэффициента корреляции, когда
p0
Pr  табл.знач.| p  0  
n
3
4
5
0.75
0.7071
0.5000
0.4040
0.90
0.9511
0.8000
0.6870
0.95
0.9877
0.9000
0.8054
0.975
0.9969
0.9500
0.8783
0.99
0.9995
0.9800
0.9343
0.995
0.9999
0.9900
0.9587
6
7
8
9
10
0.3473
0.3091
0.2811
0.2596
0.2423
0.6084
0.5509
0.5067
0.4716
0.4428
0.7293
0.6694
0.6215
0.5822
0.5493
0.8114
0.7545
0.7067
0.6664
0.6319
0.8822
0.8329
0.7887
0.7498
0.7155
0.9172
0.8745
0.8343
0.7977
0.7646
11
12
13
14
15
0.2281
0.2161
0.2058
0.1968
0.1890
0.4187
0.3981
0.3802
0.3646
0.3507
0.5214
0.4973
0.4762
0.4575
0.4409
0.6021
0.5760
0.5529
0.5324
0.5140
0.6851
0.6581
0.6339
0.6120
0.5923
0.7348
0.7079
0.6835
0.6614
0.6411
16
17
18
19
20
0.1820
0.1757
0.1700
0.1649
0.1602
0.3383
0.3271
0.3170
0.3077
0.2992
0.4259
0.4124
0.4000
0.3887
0.3783
0.4973
0.4822
0.4683
0.4555
0.4438
0.5742
0.5577
0.5426
0.5285
0.5155
0.6226
0.6055
0.5897
0.5751
0.5614
63
21
22
23
24
25
0.1558
0.1518
0.1481
0.1447
0.1415
0.2914
0.2841
0.2774
0.2711
0.2653
0.3687
0.3598
0.3515
0.3438
0.3365
0.4329
0.4227
0.4132
0.4044
0.3961
0.5034
0.4921
0.4815
0.4716
0.4622
0.5487
0.5368
0.5256
0.5151
0.5052
30
35
40
45
50
0.1281
0.1179
0.1098
0.1032
0.0976
0.2407
0.2220
0.2070
0.1947
0.1843
0.3061
0.2826
0.2638
0.2483
0.2353
0.3610
0.3338
0.3120
0.2940
0.2787
0.4226
0.3916
0.3665
0.3457
0.3281
0.4629
0.4296
0.4026
0.3801
0.3610
Если установлено, что между величинами x и y - связь существенная,
может быть составлено так называемое уравнение регрессии – функция,
описывающая стохастическую связь:
yi  y  r
my
mx
xi  x 
(8.7)
8.3. ЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ В ГЕОДЕЗИИ
Зависимые случайные погрешности в геодезии встречаются редко, но тем
не менее иногда имеют место.
Пусть даны два ряда зависимых случайных погрешностей Δ1, Δ2 ,...,Δn ,
выполненных в условиях, характеризуемых стандартами  и   . Тогда на
основании (8.3), (8.4) можем записать
[ ΔΔ]
n
k
r
.
 
k  lim
(8.8)
n 
(8.9)
В случае зависимых погрешностей формула основной теоремы в отличие
от (4.2) принимает вид
2
2
2
 y  2
 y  2  y  2
yy
  t  2 rij
 1  
  2  ...  
 y  
 i j . (8.10)
xi y j
 x1 
 x2 
 xt 
Простейшим примером зависимых случайных погрешностей являются
погрешности смежных углов при измерении способом круговых приемов. В
самом деле, погрешность общего направления 2 если уменьшает угол 1 , то
неизбежно увеличивает угол 2 и наоборот. Данное обстоятельство порождает
отрицательную стохастическую зависимость с коэффициентом корреляции
r  0.5 .
С более сложными случаями зависимых погрешностей мы познакомимся
во второй части данного курса.
64
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бурмистров Г.А. Основы способа наименьших квадратов. - М.:
Госгеолтехиздат, 1963.-392 с.
2. Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки
геодезических измерений. – М.: Недра, 1969.- 400 с.
3. Кемниц Ю.В. Теория ошибок измерений. – М.: Недра, 1962. – 175 с.
Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории
вероятностей.– М.: Геодезиздат, 1958. – 606 с.
5. Оуэн Д.Б. Сборник статистических таблиц. – М.: ВЦ АН СССР, 1973. –
586 с.
6. Хейфец Б.С., Данилевич Б.Б. Практикум по инженерной геодезии. – М.,
Недра, 1973. – 320 с.
7. Lesniok H. Wyklady z geodezji. Tom 1. - Warszawa, PWN. – 296 s.
65
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 1. Теория
погрешностей измерений.: Учебно-методическое пособие (для студентов 2
курса дневной формы обучения спец. 7.07098 «Геоинформационные системы и
технологии»)
Составитель Людвиг Карлович Войславский
Редактор: М.З.Алябьєв
План 2006, поз. 401
_____________________________________________________________________
Подп. к печ. 17.01.06.
Формат 60х84х1/16
Бумага офисная
Печать на ризографе
Уч.-изд. л. 3,0
Тираж 200 экз
Зак.№
Цена договорная
61002, ХНАГХ, Харков, ул.Революции, 12
Сектор оперативной полиграфии ИВЦ ХНАГХ
61002, Харьков, ул. Революции, 12
66