практ_4_ряд_фурье

Тема 2 Ряды Фурье
Практическое занятие 1 Ряды Фурье по ортогональным
системам функций
1.1 Пространство кусочно-непрерывных функций
1.2 Обобщенный ряд Фурье
1.3 Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье
1.1 Пространство кусочно-непрерывных функций
Функция f  x  называется кусочно-непрерывной на отрезке
a; b , если она непрерывна на этом отрезке, за исключением,
быть может, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода.
Пусть f  x  – кусочно-непрерывная на a; b функция. В любой точке разрыва x0  a; b такой функции существуют односторонние пределы f  x0  0  . Поэтому на каждом участке непрерывности существуют определенные интегралы Римана
b

a
f  x dx и
b
 f x dx .
2
Значит, кусочно-непрерывная на a; b
a
функция f  x  интегрируема вместе со своим квадратом на
a; b . Функция f x  в этом случае называется функцией с интегрируемым квадратом.
Так как на множестве кусочно-непрерывных функций определены линейные операции, удовлетворяющие аксиомам линейного пространства, то это множество образует линейное пространство.
Скалярным произведением функций   x  и   x  на отрезке
a; b называется число
b
 ,     x  x dx .
a
На рассматриваемом множестве скалярное произведение
функций  ,  существует и обладает следующими свойствами:
62
–  ,    ,   ;
– 1   2 ,   1 ,    2 ,  ;
–  ,     ,    R ;
–  ,    0 ,  ,    0    0 ,
т. е. удовлетворяет аксиомам евклидова пространства.
Множество всех кусочно-непрерывных на a; b функций со
скалярным произведением  ,  называется пространством L 2
и обозначается L2 a; b .
Неотрицательное число
b
 
 x dx
2
a
называется нормой функции   x  в L2 a; b .
Учитывая, что
b
  x dx   ,  ,
2
a
норму функции можно записать в виде:
   ,   .
Функция   x  называется нормированной, если ее норма равна единице.
Две функции  x   L2 a; b и  x   L2 a; b называются ортогональными на отрезке a; b , если их скалярное произведение
на a; b равно нулю:
b
 ,     x  x dx  0 .
a
Система функций
 n x   1 x ,  2 x ,..., n x ,...
(конечная или бесконечная) называется ортогональной на отрезке a; b , если все функции этой системы попарно ортогональны
на этом отрезке, т. е.
 m , n   0 , m  n , m, n  N .
63
Ортогональная система функций (  n x  ) на отрезке a; b
называется ортонормированной, если
b

2
  n ,  n     n2 x dx  1
n  N .
a
Любую ортогональную на a; b систему функций (  n x  ) с
  0 n  N можно нормировать. Для этого достаточно разделить каждую функцию системы (  n x  ) на ее норму. В резуль  x  
тате получим ортонормированную систему функций  n  .
 n 
Основной тригонометрической системой функций на отрезке
 l; l  называется система
x
x
2x
2x
nx
nx 

, sin
,..., cos
, sin
,... .
1, cos , sin , cos
l
l
l
l
l
l


Основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной 2l .
1.2 Обобщенный ряд Фурье
При изучении возможности представления функции рядом
Тейлора в точке x0 предполагалось, что f  x  бесконечно дифференцируема в окрестности этой точки. Представление же
функций рядами Фурье допускает более широкий класс кусочно-непрерывных функций.
Пусть (  n  x  ) – ортогональная система функций в L2 a; b  .
Выражение
с00 x   с11 x   с2 2 x   ...  сn n x   ... 

 с  x  .
n n
n 0
называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций (  n  x  ). Если (  n  x  ) – основная тригонометрическая система функций, то ряд называется тригонометрическим
рядом Фурье.
64
Метрикой  (расстоянием) в пространстве L2 a; b  называется величина
  f ,  
b
  f x   x dx .
2
a
Величина   f ,  характеризует близость функций f  x  и
  x  в среднем квадратичном.
Используя определение нормы функции, имеем
  f ,    f x    x  .
Ортогональным многочленом Фурье называется частичная
сумма
S n x  
n
 c  x  .
k
k
k 0
Если в качестве ортогональной системы функций выбрана
основная тригонометрическая система, то многочлен Фурье
называется тригонометрическим и обозначается Tn  x  .
1.3 Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье
Теорема 1 (об экстремальном свойстве коэ ф ф и ц и е н т о в Ф у р ь е ) Среди всех обобщенных многочленов вида S n x  
n
   x  ,
k
k
 k  R , наилучшей средней квад-
k 0
ратичной аппроксимацией функции f  x  на отрезке a; b  является многочлен Фурье, коэффициенты которого находятся по
 f , k  .
формулам  k  сk 
2
k
Теорема
f x   L2 a; b  и
2
(неравенство
Бесселя)
Если

 с  x  ее обобщенный ряд Фурье по ортогоn
n
n 0
нальной системе функций (  n  x  ), то справедливо неравенство
b

f 2 x dx 
n
c
k 1
a
65
2
k
k .
2

Ряд Фурье
 с  x  называется равномерно сходящимся к
n
n
n 0
функции f x   L2 a; b  на отрезке a; b  , если последовательность его частичных сумм ( S n  x  ) сходится к функции f  x 
равномерно, т. е. для любого   0 можно указать такое натуральное число N  N   , что при всех n  N   будет выполняться равенство
f x   S n x    x  a; b  .
Из равномерной сходимости следует, что при n  
max f x   S n x   0 .
a  x b
Ряд Фурье называется сходящимся в среднем квадратичном к
функции f  x  на отрезке a; b  , если последовательность его
частичных сумм ( S n  x  ) сходится к функции f  x  в среднем
квадратичном, т. е.
b
lim
n 
  f x   S x  dx  0 .
2
n
a
Понятие сходимости в среднем квадратичном является обобщением понятия равномерной сходимости.

Т е о р е м а 3 Если обобщенный ряд Фурье
 c  x 
k
k
функ-
k 0
ции f  x  сходится на отрезке a; b  равномерно к функции
f x   L2 a; b , то он сходится к f  x  на a; b  и в среднем квадратичном.
Т е о р е м а 4 Для того чтобы обобщенный ряд Фурье

 c  x 
k
k
функции f x   L2 a; b  сходился к f  x  на отрезке
k 0
a; b
в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля – Стеклова:


b
ck2  k
2
k 0

 f x dx .
2
a
66
Ортогональная система функций (  k  x  ), для которой выполняется равенство Парсеваля – Стеклова, называется замкнутой в
L2 a; b  , а само равенство – уравнением замкнутости.
Из теоремы 4 следует, что любая функция f x   L2 a; b  может быть разложена в сходящийся к ней в среднем квадратичном
ряд Фурье по ортогональной на a; b  системе функций (  k  x  ),
если эта система является замкнутой в L2 a; b  .
Вопросы для самоконтроля
1 Какая функция называется кусочно-непрерывной?
2 Что называется скалярным произведением функций и какими свойствами оно обладает?
3 Какая система функций называется ортогональной и ортонормированной?
4 Запишите основную тригонометрическую систему и докажите ее ортогональность.
5 Какое выражение называется обобщенным рядом Фурье?
6 Как измерить близость функций? Что называется среднеквадратичным уклонением функций?
7 Какое выражение называется ортогональным многочленом
Фурье? Запишите тригонометрический многочлен Фурье.
8 Сформулируйте теорему об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье.
9 Что можно сказать о сходимости обобщенного ряда Фурье,
если для него выполняется неравенство Бесселя?
10 Какая ортогональная система функций называется замкнутой?
67
Решение типовых примеров
1 Вычислить скалярное произведение функций  x   x и
 x   x 2 на отрезке 0;1 .
Р е ш е н и е . Имеем:
1
4
 ,   xx dx  x
4
0

1

2
0
1
.
4
2 Вычислить норму функции  x   sin x в L2 0;   .
Р е ш е н и е . Так как



то  
2

x 1

 sin xdx    sin 2 x   ,
2 4
0 2
0

2

.
2
3 Проверить ортогональны ли функции  x   x и  x   x 2
на отрезках а)  1;1 , б) 0;1 .
Решение.
а) функции  x   x и  x   x 2 являются ортогональными
на отрезке  1;1 , так как
1
 ,    xx2 dx  x
4 1
4
1
0;
1
б) функции  x   x и  x   x не являются ортогональными на отрезке 0;1 , поскольку
2
1
 ,    x  x 2 dx 
0
x4
4
1

0
1
 0.
4
4 Доказать, что основная тригонометрическая система функций
x
x
2x
2x
nx
nx 

, sin
,..., cos
, sin
,...
1, cos , sin , cos
l
l
l
l
l
l


на отрезке  l; l  является ортогональной и построить соответ-
68
ствующую ей ортонормированную систему.
Р е ш е н и е . Докажем, что система ортогональна. Имеем:
m  n x  cos m  n x dx 
mx
nx
1 
cos
cos
dx 
 cos

l
l
2 l 
l
l

l
l
l


m  n x dx  1 cos m  n x dx 
1
cos
2 l
l
2 l
l
l

l


m  n x  1 l sin m  n x   0 .
1 l

sin

l
2 mn
l
2 mn
 l
Аналогично доказывается равенство нулю остальных интегралов:
l
 sin
nx
dx  0  n  N ,
l
 cos
nx
dx  0  n  N ,
l
l
l
l
l
l
 cos
l
l
 sin
l
l
 sin
l
mx
nx
cos
dx  0 m, n  N , m  n ,
l
l
mx
nx
sin
dx  0 m, n  N , m  n ,
l
l
mx
nx
cos
dx  0 m, n  N , m  n .
l
l
Вычислим норму первого члена основной тригонометрической системы функций. Так как
l
l
1
2

 1 dx  x
 2l ,
2
l
то 1  2l .
69
l
Найдем норму произвольного члена системы, содержащего
косинусы:
nx
cos
l
2
nx 
1 
2nx 

  cos
 dx 
1  cos
dx 
l 
2 l 
l 
l 
l
l
2


l
l
2nx 
nx
1
 x
sin
 l ,  n N .
  l  cos
4n
l  l
l
2
Аналогично доказывается, что
nx
sin
 l  n N .
l
Разделим каждый член ортогональной на  l; l  системы на
соответствующую ему норму. В результате получается ортонормированная на отрезке  l; l  система функций:
x 1
x
1
n x 1
n x 
 1 1
, cos , sin
,..., cos
, sin
,...  .

l
l
l
l
l
l
l
 2l l

5 Записать первые три члена разложения функции f x   e x
на отрезке  1;1 по ортогональным многочленам Лежандра.
Р е ш е н и е . Ортогональная на  1;1 система многочленов
Лежандра задается условием:
n
1 dn 2
Pn x   n
x  1 , n  0,1,...
n
2 n! dx
Первые три члена этой системы имеют вид:
P0  x   1 ,
P1 x   x ,
1
P2 x   3x 2  1 .
2
Запишем
обобщенный
ряд
Фурье
для
функции
x
f x   e  L2  1;1:



70


ex ~
 c P x 
n n
n 0
и найдем три первых члена искомого разложения, использовав
формулы:
 f , P0 x  , с   f , P1 x  , с   f , P2 x 
с0 
1
2
2
2
2
P0 x 
P1 x 
P2 x 
Вычислим квадраты нормы многочленов Лежандра:
1
P0  x   dx  2 ,

2
1
1
P1 x   x 2 dx 
2

1
 
2
,
3

1
2
2
1

P2 x    3x 2  1 dx  .
2
5

1
Тогда
1
с0 
1
 f , P0 x   1 e x dx  1  e  1  ,
2
2 1
2
e

1
с1 
3
 f , P1 x   3 e x xdx  3 ,
2
2 1
e


1

5
5 x1 2
5
7
с2   f , P2 x  
e
3x  1 dx   e   .
2
2 1 2
2
e

Обобщенный
ряд
Фурье,
порожденный
x
f x   e  L2  1;1, запишется в виде

функцией

1 1 3
5 1 1
e x ~  e    x   e   3x 2  1  ...
2
e e
2
e2
71
Задания для аудиторной работы
1 Вычислить скалярное произведение функций  x   x3 и
 x   x 4  1 на отрезке 0;1 .
2x
nx
, …, sin
, … на
l
l
l
отрезке 0; l  является ортогональной и построить соответствующую ей ортонормированную систему.
3 Доказать, что система многочленов Лежандра, определяемая следующим образом:
n
1 dn 2
Pn x   n
x  n , n  0,1,... ,
n
2 n! dx
на отрезке  1;1 является ортогональной.
4 Записать первые три члена разложения функции f x   x на
отрезке  1;1 по ортогональным многочленам Лежандра.
2 Доказать, что система sin
x
, sin


Задания для домашней работы
1 Вычислить скалярное произведение функций  x   x и
 x   e x на отрезке 0;1 .
2 Доказать, что система 1 , cos x , cos 2 x , …, cos nx , … на отрезке 0;   является ортогональной и построить соответствующую ей ортонормированную систему.
3 Записать первые пять членов разложения функции
f x   x 2 на отрезке  1;1 по ортогональным многочленам Лежандра.
72
Практическое занятие 2 Ряды Фурье по тригонометрической системе
2.1 Ряд Фурье для периодической функции с периодом T
2.2 Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье
2.3 Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных
функций, непериодических функций
2.4 Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье
7.1 Ряд Фурье для периодической функции с периодом T
П е р и о д T  2l . Пусть f  x  – кусочно-непрерывная периодическая функция с периодом T  2l . Рассмотрим основную
тригонометрическую
систему
функций,
ортогональную
на  l; l  :
x
x
n x
n x 

,...,cos
,sin
,...  , (2.1)
1,cos ,sin
l
l
l
l


для которой:
1  2l , sin nx  cos nx  l .
Основная тригонометрическая система функций обладает
полнотой, т. е. для любой функции f  x  , интегрируемой с квадратом, имеет место равенство Парсеваля – Стеклова при a  l ,
b l:
l

l

f 2 x dx   cn2  n
2
.
(2.2)
n 0
Поэтому периодическую функцию f  x  с периодом T  2l
можно разложить в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f  x  в среднем квадратичном:

f x    cn n x  
n 0
2x
2x
 c4 sin
 ....
l
l
l
l
С учетом того, что коэффициенты при косинусах принято
обозначать буквой a , при синусах – буквой b , а начальный ко c0  c1 cos
x
 c2 sin
x
 c3 cos
73
a0
, ряд Фурье примет вид
2

a
nx
nx 

f x   0    an cos
 bn sin
,
2 n 1 
l
l 
эффициент – буквой c0 
где
a0 
1, f   1 l f x dx ,
2

1
l l
nx 

 f , cos

l
nx
l  1

an 

f x cos
dx , n  N
2

l l
l
nx
cos
l
(2.3)
nx 

 f , sin

l
nx
l  1
bn  
  f x sin
dx , n  N .
nx
l l
l
sin
l
Тригонометрический ряд

a
nx
nx 

(2.4)
f x   0    an cos
 bn sin
,
2 n 1 
l
l 
коэффициенты которого определяются по формулам (2.3), называется тригонометрическим рядом Фурье для периодической
функции f x   L2 a; b .
Для тригонометрического ряда Фурье справедливо уравнение
Ляпунова:
a02  2
1 2
  an  bn2  f .
(2.5)
2 n 1
l
П е р и о д T  2 . Пусть f x  L2   ;   . Ряд Фурье для такой функции получается из ряда (2.4) при l   :

a
f x   0   an cos nx  bn sin nx ,
(2.6)
2 n 1

74

где коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам:
a0 
an 
bn 
1

1

1


 f x dx ,


 f x cos nxdx , n  N
,


 f x sin nxdx, n  N
.

2.2 Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье
Каждой периодической с периодом T  2l функции
f x   L2  l ; l  можно поставить в соответствие ряд Фурье
a0  
nx
nx 
   an cos
 bn sin
,
2 n 1 
l
l 
где коэффициенты a0 , an , bn находятся по соответствующим
формулам.
Важными являются два вопроса о сходимости рядов Фурье:
– при каких условиях, налагаемых на функцию f  x  , ряд
Фурье сходится в том или ином смысле к этой функции и, следовательно, в соотношениях (2.4) и (2.6) справедливы знаки равенства?
– как влияют свойства функции f  x  на характер сходимости
ее ряда Фурье?
Ответ на эти вопросы будет дан в следующих теоремах.
Т е о р е м а 1 Если f x  L2  l ; l  – кусочно-непрерывная на
отрезке  l; l  функция, то ее тригонометрический ряд Фурье
(2.4) сходится к функции f  x  в среднем квадратичном:
f x  ~


a0 n 
kx
kx  



f
x

   ak cos
 bk sin
 dx  0 .


n 
2 k 1 
l
l  
 
Т е о р е м а 2 Если f x  L2  l ; l  – кусочно-гладкая на отрезке  l; l  функция, то ее тригонометрический ряд Фурье
(2.4) сходится в каждой точке этого отрезка и для суммы ряда
lim
75
Фурье справедливы следующие соотношения:
1) S x   f  x  , если x – точка непрерывности функции f  x  ;
f x0  0  f x0  0
2) S x  
, если x0 – точка разрыва пер2
вого рода функции f  x  ;
f  l  0  f l  0
3) S  l   S l  
.
2
На рисунке 2. 1 дана геометрическая интерпретация условий
1), 2), 3) теоремы 2.
Рисунок 2. 1 – Сходимость ряда Фурье в различных точках
Так, например, условие 2) означает, что в точках разрыва
первого рода сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева.
Т е о р е м а 3 Если функция f x   L2 a; b  является кусочногладкой и непрерывной на отрезке  l; l  , а на концах этого отрезка удовлетворяет условию f  l   f l  , то ее тригонометрический ряд Фурье на  l; l  сходится к f  x  равномерно.
Теоремы 1 – 3 показывают, как свойства функции
f x   L2 a; b  влияют на сходимость ее ряда Фурье:
– если f  x  – кусочно-непрерывная функция с периодом
T  2l , то ее ряд Фурье сходится к ней в среднем;
– если f  x  – кусочно-гладкая функция, то ее ряд Фурье сходится к f  x  в каждой точке непрерывности этой функции и к
f x  0  f x  0
в точке разрыва, т.е. сумма ряда не везде сов2
76
падает с f  x  ;
– если f  x  – кусочно-гладкая и непрерывная функция, то ее
ряд Фурье сходится равномерно к f  x  .
2.3 Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций, непериодических функций
Рассмотрим частные случаи.
Ч е т н а я ф у н к ц и я . Для четной функции имеет место равенство:
f  x   f x  x   l ; l  .
nx
В этом случае произведение f x cos
является четной
l
nx
функцией, а произведение f x sin
– нечетной. Поэтому коl
эффициенты ряда Фурье для четной функции находятся по формулам:
l
a0 
2
f x dx ,
l 0
2
nx
f x cos
dx ,

l 0
l
l
an 
bn  0 , n  N .
а сам ряд Фурье для четной функции содержит только косинусы
и свободный член:

a
nx
.
f x   0   an cos
2 n 1
l
Н е ч е т н а я ф у н к ц и я . Для нечетных функций имеет место равенство:
f  x    f x  x   l ; l  .
nx
В этом случае произведение f x cos
является нечетной
l
nx
функцией, а произведение f x sin
– четной. Таким образом,
l
коэффициенты тригонометрического ряда Фурье для нечетной
77
функции находятся по формулам:
a0  a n  0 , n  N ,
2
nx
bn   f x sin
dx , n  N ,
l 0
l
а сам тригонометрический ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусы:

nx
f x    bn sin
.
l
n 1
Н е п е р и о д и ч е с к а я ф у н к ц и я . Если кусочно-гладкая
функция f  x  задана на отрезке 0; l  , то ее можно разложить в
ряд Фурье или только по косинусам, или только по синусам.
Для разложения функции f  x  в ряд по косинусам ее продолжают на отрезок  l ;0 четным образом (рисунок 2. 2):
l

 f   x  x   l ;0 ,
f *  x  

 f  x  x  0; l  ,
которую затем периодически продолжают на всю числовую ось.
Рисунок 2. 3 – Продолжение непериодической функции нечетным образом
Рисунок 2. 2 – Продолжение непериодической функции четным
образом
В этом случае ряд Фурье для функции f  x  на отрезке 0; l 
содержит только косинусы:

a
nx
f x   0   an cos
dx ,
2 n 1
l
2
2
nx
dx , n  N .
где a0   f x dx , an   f x cos
l 0
l 0
l
l
l
78
Для разложения функции f  x  в ряд по синусам ее продолжают на отрезок  l ;0 нечетным образом (рисунок 2. 3):

 f   x  при x   l ;0 ,
f *  x  

 f  x  при x  0; l  ,
которую затем периодически продолжают на всю числовую ось.
В этом случае ряд Фурье для функции f  x  на отрезке 0; l 
содержит только косинусы:

n x
f  x    bn sin
dx ,
l
n 1
2
n x
f  x  sin
dx , n  N .
l 0
l
l
где bn 
2.4 Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье
Пусть f x  L2  l ; l  , 2l -периодическая функция, которая
представима сходящимся тригонометрическим рядом Фурье. В
электро- и радиотехнике для такой функции используется комплексная форма тригонометрического ряда Фурье:
f x  

 cn e
i
nx
l
(2.7).
n  
Коэффициенты c n , n  0,1,... , ряда (2.7) находятся по формулам:
l
c0 
l
1
f x dx ,
2l l
i
1
cn   f x e
2l l
nx
l
nx
l dx
n  0, 1, 2... .
n
,
l
n  0, 1, 2... – волновыми числами, множество всех волновых
чисел – спектром, коэффициенты c n – комплексными амплитудами.
Выражения e
i
называются гармониками, числа  n 
79
Вопросы для самоконтроля
1 Как вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда
Фурье для периодических функций?
2 При выполнении каких условий тригонометрический ряд
Фурье сходится к функции?
3 В чем особенность вычисления коэффициентов Фурье для
четных и нечетных функций?
4 Как разложить в ряд Фурье непериодическую функцию?
Решение типовых примеров
1 Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2
функцию (рисунок 2.4)
 1, если    x  0,
f x   
 1, если 0  x   .
Рисунок 2. 4 – График функции
 1, если    x  0,
f x   
 1, если 0  x   .
Р е ш е н и е . Вычислим коэффициенты Фурье функции f  x  :
0


1 



1
dx

dx
   0 ,
 
  
0

0


1
an     1cos nxdx   cos nxdx  0 ,

  
0

0
0




1
1  cos n
cos n

 1sin nxdx   sin nxdx  
bn 



  
n
0
   n 
a0 
1

f x dx 
80




0 

0, если n  2k ,
2
n
1   1   4
, если n  2k  1,
n
 n


где k  N .
Таким образом, для рассматриваемой функции ряд Фурье
имеет следующий вид:
4
1
1
1

f x    sin x  sin 3x  sin 5x  ... 
sin 2k  1x  ... .

3
5
2k  1

На рисунках 2. 5, 2. 6, 2. 7 изображены графики частичных
сумм S1  x  , S 2  x  , S 3  x  соответственно.
Рисунок 2. 5 – График S1  x 
Рисунок 2. 6 – График S2  x 
Рисунок 2. 7 – График S3  x 
Видно, как частичные суммы S n , ряда Фурье все точнее и
точнее представляют функцию f  x  при n   .
2 Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2 
81
функцию, заданную на отрезке   ,   равенством f  x   x .
Р е ш е н и е . Данная функция является чётной (рисунок 2. 8),
поэтому её ряд Фурье содержит только косинусы.
Рисунок 2. 8 – График 2  периодичной функции f x   x
Вычислим коэффициенты этого ряда:
a0 
an 
2

2



0

2 x2
x dx   x dx  
0
 2
2


0
x cos(nx)dx 
2


 ,
0

 x cos(nx)dx 
0
1


 cos(nx)dx  dv, v  n sin(nx), 
=
=
u  x, du  dx







2  x sin(nx)
1
2

= 
  sin x dx  
cos(nx) 0 =
2



n
n0
0
 n
2
2
= 2  cos(n )  1  2  (1)n  1 
n
n
0, если n  2k , k  1, 2,...,

= 4

, если n  2k  1, k  0,1,....

  n2
Следовательно,
 4  cos((2k  1) x)
x 
.

2  k  0 (2k  1) 2
82
3 Для функции f x   x на интервале  l ; l  (рисунок 2. 9)
записать ряд Фурье.
Рисунок 2. 9– График 2l -периодической функции f x   x
Р е ш е н и е . Найдем коэффициенты Фурье:
l
a0 
1
xdx  0 ,
l l
an 
1
nx
x cos
dx  0 ,

l l
l
bn 
l
l
l
1
nx
1 
l
nx
l
nx 
x
sin
dx


x
cos

cos
dx 

l l
l
l 
n
l l n l
l

l
  1
2l
.
n
Следовательно, ряд
f x   x имеет вид:
n 1
Фурье,
соответствующий
функции
nx
.
l
n 1
Так как функция f x   x на интервале  l; l  удовлетворяет
условиям теоремы 2, то ее ряд Фурье сходится к f  x  , но сходимость является не равномерной, а поточечной (во всех внутренних точках отрезка  l; l  ). На концах этого отрезка ряд
Фурье не является сходящимся к f  x  , поскольку, согласно теореме 2, его сумма
x~

 1n1 sin


n
2l
1
83
f  l  0  f l  0
0.
2
Таким образом, имеет место равенство
2l 
nx
n 1 1
x   l ; l  .
x    1
sin
 n 1
n
l
4 Разложить функцию f x   x на отрезке 0;   в тригонометрический ряд Фурье а) по косинусам, б) по синусам.
Р е ш е н и е . а) продолжим функцию f  x  на отрезок   ;0
четным образом, т. е. построим вспомогательную функцию
f *  x  , определенную на   ;   следующим образом:
S  l   S l  
f *  x   x . Найдем коэффициенты Фурье:
a0 
2


 xdx   ,
0





2  sin nx 
2
2
n
an   x cos nxdx   x
   sin nxdx  2  1  1
0

n  0 n 0
n
Откуда
0,
если n  2k ,


4
an  
, если n  2k  1.
2

  2k  1
Таким образом,
 4 
1
f *  x   
cos   2k  1 x  x    ; 
2  k 1  2k  12
2
или x  0;  

4
4
cos 3x 
cos 5 x  ... ;
2 
9
25
б) продолжим функцию f x   x теперь на отрезок   ;0
нечетным образом, т.е. построим вспомогательную функцию
f *  x   x , x   . Вычислим коэффициенты Фурье bn (так как
x

4
cos x 
для нечетной функции a0  an  0 ):
84



2
cos nx 
2
2
n 1
bn   x sin nxdx    x
cos nxdx   1 .
 

0

n  0 n 0
n
Тогда x  0;  
2

x  2
 1n1 sin nx 2 sin x  sin 2 x  2 sin 3x  ... .
n 1
n
3
Задания для аудиторной работы
1 Разложить на промежутке   ;   в ряд Фурье функции:
а) f x   5 x  1 ;
в) f  x   sin 2 x ;
 1 при    x  0,
г) f  x   
3 при 0  x   .
2 Разложить на промежутке 0;   в ряд Фурье по косинусам
функции:


1 при 0  x  2 ,
а) f  x   
0 при   x   ;

2
2
б) f x   2 x  3x .
3 Разложить на промежутке 0;   в ряд Фурье по синусам
функции:


0 при 0  x  2 ,
а) f  x   
 x при   x   ;

2
б) f x   6  2 x .
б) f  x   3x2 ;
4 Разложить на промежутке  0;ln 2 в ряд Фурье функцию
f  x   sh x , доопределив ее на   ln 2;0 а) четным, б) нечетным
способами.
85
5 Разложить на промежутке  1;1 в ряд Фурье функцию
 2 x при  1  x  0,
f  x  
1  x при 0  x  1.
Задания для домашней работы
1 Разложить на промежутке   ;   в ряд Фурье функции:
а) f x   2  3 x ;
в) f x   cos x ;
4 при    x  0,
г) f  x   
1 при 0  x   .
2 Разложить на промежутке 0;   в ряд Фурье по косинусам
функции.


1  2 x при 0  x  2 ,
а) f  x   
б) f x   4 x  3 .

0
при  x   ;

2
3 Разложить на промежутке 0;   в ряд Фурье по синусам
функции:


0 при 0  x  2 ,
1
а) f  x   
б) f x   4  x .
2
 x при   x   ;

2
4 Разложить на промежутке 0;3 в ряд Фурье функцию
б) f x   x  x 2 ;
f x   3x  x 2 , доопределив ее на  3;0 а) четным, б) нечетным
способами.
5 Разложить на промежутке  1;1 в ряд Фурье функцию:
4 x при  1  x  0,
f  x  
,
1  x при 0  x  1,
86