Тема 5. Переменные финансовые ренты МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE

МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Тема 5. Переменные финансовые ренты
Цель и задачи:
Цель и задачи изучения темы — ознакомить студентов с методами расчета
характеристик сложных случаев финансовых рент, научить их рассчитывать
стоимость
переменных
и непрерывных
потоков
при
различных
закономерностях
размеров
платежей,
понимать
связь
различных
характеристик рент. Студенты должны освоить вывод базовых формул
переменных и непрерывных финансовых рент, уметь применять такие
формулы, грамотно организовывать и проводить соответствующие расчеты
средствами Excel.
Оглавление
5.1. Ренты с закономерными изменениями размеров платежей .......................................1
5.1.1. Ренты с абсолютным ростом членов .................................................................1
5.1.2. Ренты с относительным ростом членов .............................................................3
5.2. Финансовые расчеты с помощью Excel ...................................................................5
5.2.1. Расчет параметров фонда накопления .............................................................5
5.2.2. Расчет параметров амортизации долга .............................................................5
5.3. Непрерывные потоки платежей .............................................................................5
5.3.1. Характеристики непрерывного потока общего вида ..........................................6
5.3.2. Непрерывные потоки с постоянной интенсивностью ..........................................7
5.3.3. Непрерывные потоки с линейной интенсивностью ............................................7
5.3.4. Непрерывные потоки с экспоненциальной интенсивностью ...............................8
Выводы .....................................................................................................................9
Вопросы для самопроверки .........................................................................................9
Библиография .......................................................................................................... 10
5.1. Ренты с закономерными изменениями
размеров платежей
Перейдем теперь к рассмотрению переменных рент. Члены такой ренты могут
в общем случае изменяться произвольным образом. Однако на практике обычно
они изменяются в соответствии с выбранной закономерностью. Простейшими
закономерностями являются равномерный абсолютный рост членов ренты
и равномерный относительный рост членов ренты. Рассмотрим сначала случай
равномерного абсолютного роста членов.
5.1.1. Ренты с абсолютным ростом членов
Рассмотрим ренту, содержащую n членов. Интервал между членами ренты
одинаков. Предположим, что он составляет 1 год. Пусть, как обычно, это рента
постнумерандо.
Пусть первый платеж равен R и в дальнейшем
предыдущего на одну и ту же величину a (рис. 5.1).
каждый
платеж
больше
Таким образом, это рента с постоянным приростом платежей, равным а, рента
с постоянным абсолютным приростом платежей.
1
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Определим наращенную стоимость ренты S, т. е. стоимость ренты на конец
ее срока.
Рис. 5.1. Финансовая рента с равномерным абсолютным ростом членов
Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим
поочередно члены ренты, от последнего к первому.
Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения,
поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа.
В результате преобразования он сохраняет свою величину
R +(n -1) a.
Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину
(R+(n  2)a) (1 + i).
Продолжая
рассуждения,
преобразуется в
получим,
что
произвольный
k-й
член
(R+(k  1)a) (1 + i)n k .
В частности, первый член преобразуется в
(R+(1  1)a) (1 + i)n 1 = R (1 + i)n 1.
Членами возникшей последовательности являются попарные произведения.
Первые сомножители образуют арифметическую прогрессию с разностью —
a и первым членом R+(n-1)a. Вторые сомножители образуют геометрическую
прогрессию с знаменателем (1+i) и первым членом 1. Сумма такого ряда и есть
наращенная сумма ренты S. Для удобства дальнейших преобразований введем
обозначение:
q = 1 + i.
Тогда
S = R+(n  1)a + (R+(n  2)a)q + . . . (R+(k  1)a)q n k + . . . Rq n 1.
Эту сумму можно преобразовать следующим образом. Умножим обе части
равенства на q:
Sq = (R+(n  1)a)q + (R+(n  2)a)q 2 + . . . (R+(k  1)a)q n k +1 + . . . +Rq n .
Вычтем из второго равенства первое:
S(q  1) = Rq n + a(q n 1 + . . . +q)  (R + (n  1)a).
2
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
В средней части полученного выражения
прогрессия. Просуммировав ее, получим:
присутствует
геометрическая
q n 1  1
S(q  1)  Rq  aq
 (R  (n  1)a).
q 1
n
Отсюда после простых преобразований приходим к формуле наращенной
суммы ренты:
a (1  i) n  1 na
S  (R  ) 

.
i
i
i
n
Умножив обе части на (1+i) , получим формулу для оценки современной
стоимости ренты:
a 1  (1  i)  n
na
A  (R  ) 

(1  i)  n .
i
i
i
Отметим, что постоянная величина a прироста членов ренты может быть
положительной (и тогда члены ренты растут), но может быть и отрицательной
(и тогда члены ренты убывают). Если она равна 0,
a = 0,
то переменная рента становится постоянной. Новые формулы при
автоматически переходят в прежние, полученные для постоянной ренты.
этом
5.1.2. Ренты с относительным ростом членов
Мы получили формулы для ренты с равномерным абсолютным ростом членов.
Рассмотрим теперь ренту с равномерным относительным ростом членов.
Пусть рента содержит n членов. Интервал между членами ренты одинаков.
Предположим, что он составляет 1 год. Пусть, как обычно, это рента
постнумерандо.
Пусть первый платеж равен R и в дальнейшем каждый платеж больше
предыдущего в одно и то же число раз (рис. 5.2). Коэффициент роста членов
обозначим посредством (1+h). Тогда h — постоянный темп прироста членов
ренты.
Таким образом, перед нами рента с постоянным темпом
т. е. с постоянной величиной относительного прироста платежей.
Рис. 5.2. Финансовая рента с равномерным относительным ростом членов
3
прироста,
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Определим наращенную стоимость ренты S, т. е. стоимость ренты на конец
ее срока.
Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим,
как обычно, члены ренты, от последнего к первому.
Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения,
поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа.
В результате преобразования он сохраняет свою величину
R(1+h)n 1.
Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину
R(1+h)n 2 (1 + i).
Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется
в
R(1+h)k 1 (1 + i)n k .
В частности, первый член ренты преобразуется в
R(1 + i)n 1.
Члены возникшей последовательности образуют геометрическую прогрессию,
содержащую n членов. Если упорядочить ее в соответствии с проведенными
рассуждениями, от последнего члена ренты к первому, то знаменателем
n 1
прогрессии является (1+i)/h, а ее первым членом Rh . Сумма такой прогрессии
и есть наращенная сумма ренты S.
По формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:
(1  i) n  (1  h) n
SR
.
ih
Отсюда современная стоимость ренты A равна:
1  (1  h) n (1  i)  n
AR
.
ih
Отметим, что величина h, характеризующая постоянный темп изменения
членов ренты, может быть положительной (и тогда члены ренты с постоянным
темпом растут), но может быть и отрицательной (и тогда члены ренты убывают
с постоянным темпом).
Если же темп изменения равен 0,
h = 0,
то члены ренты остаются постоянными. При этом новые формулы автоматически
переходят в ранее полученные формулы для постоянной ренты.
4
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
5.2. Финансовые расчеты с помощью Excel
5.2.1. Расчет параметров фонда накопления
Фонд накопления формируется путем суммирования отдельных платежей
с целью дальнейшего использования накопленной суммы. Если предусмотрено
регулярное поступление платежей и начисление процентов на уже накопленную
частичную сумму, то можно использовать формулы финансовой ренты.
Помимо получения готовых итоговых результатов, бывает необходимо
проследить накопление фонда в динамике. Для решения такой задачи полезно
использовать средства Excel. В Практикуме на конкретном примере показано, как
в общем случае можно построить расчетную электронную таблицу формирования
фонда накопления, позволяющую проследить динамику роста фонда, и как
с помощью
сопровождающих
диаграмм
придать
полученным
расчетным
результатам необходимую наглядность.
5.2.2. Расчет параметров амортизации долга
Под амортизацией долговых обязательств понимается возврат долга
с процентами по частям, в виде некоторого потока платежей. В типичной
ситуации платежи имеют одинаковую величину и возникают через равные
промежутки времени. Таким образом, поток платежей образует постоянную
финансовую ренту. Если указана периодичность выплат, число платежей
и процентная ставка, то задача сводится к определению размера платежа. Если
периодичность начисления процентов и периодичность платежей совпадают,
то, как мы уже знаем, размер платежа можно вычислить по формуле
RA
i
,
1  (1  i) n
где A — сумма, взятая в долг; i — сложная процентная ставка; n — число выплат.
Выше были приведены формулы и для других, более сложных случаев.
В Практикуме на конкретном примере рассмотрена организация расчетной
таблицы амортизации долга средствами Excel. Такая таблица позволяет увидеть
динамику выплат долга и процентов по нему, величину остающейся суммы долга
в каждом периоде времени, построить необходимые графики и наглядно увидеть
последовательность выплат в их динамике.
5.3. Непрерывные потоки платежей
Выше мы рассматривали распределенные во времени потоки платежей
и их характеристики. Основной характеристикой является приведенная стоимость
потока. Полученные формулы позволяют проводить необходимые расчеты при
приведении потока к различным конкретным моментам времени.
Потоки представляли собой дискретные последовательности платежей,
приуроченные к определенным моментам времени (например, к концу годовых
периодов). Теперь у нас есть возможность анализировать не только дискретные,
но и непрерывные потоки платежей.
5
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
5.3.1. Характеристики непрерывного потока общего вида
Непрерывный поток соответствует непрерывному поступлению
Платежи могут быть положительными и отрицательными.
платежей.
Непрерывный поток описывается функцией поступления платежей R (t). Эта
функция определяет интенсивность поступления платежей во времени. Общая
сумма платежей за время T:
T
 R(t)dt.
0
Общая сумма
S ,
приведенная к некоторому моменту времени
 , с учетом
роста платежей по сложной процентной ставке i определяется формулой
T
S   R(t)  (1  i) t dt.
0
В частности, наращенная (конечная) сумма S платежей с учетом их роста
по сложной процентной ставке i определяется формулой
T
S  ST   R(t)  (1  i) Tt dt.
0
Современная
(начальная)
стоимость
такого
потока
к начальному моменту времени) определяется формулой
A (приведенная
T
A  S0   R(t)  (1  i)  t dt.
0
Эти две величины связаны соотношением
S = A(1 + i)T .
Таким образом, определив одну из них, можно сразу определить и другую.
Поэтому мы сосредоточим внимание на одной, например на наращенной сумме S.
6
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
5.3.2. Непрерывные потоки с постоянной интенсивностью
Пусть интенсивность потока платежей постоянна и равна R. Таким образом,
R(t) = R.
Тогда
T
S = ST =  R(t)  (1  i)
Tt
0
T
dt   R  (1  i) T t dt 
0
(1  i)  t
 R (1 + i)  (1  i) dt  R (1 + i)
 ln(1  i)
0
T
T
t
T
T
0

R  (1  i)T
((1  i) T  1)
T

((1  i)  1)  R 
.
 ln(1  i)
ln(1  i)
Полученная формула отличается от выведенной ранее формулы для
дискретной постоянной финансовой ренты знаменателем дроби. В дискретном
случае знаменатель равен i, в непрерывном случае он равен ln(1+ i).
5.3.3. Непрерывные потоки с линейной интенсивностью
Пусть интенсивность потока платежей изменяется линейно, т. е. с постоянной
величиной прироста. Таким образом,
R (t) = R0 + at.
При положительном коэффициенте a это соответствует равномерному росту
платежей, при отрицательном коэффициенте a — их равномерному снижению.
При a=0 получаем предыдущий случай постоянной интенсивности платежей.
Определим наращенную сумму S:
T
S = S =  R(t)  (1  i)
T
Tt
0
T
T
0
0
T
dt   (R 0  at)  (1  i) T t dt 
0
  R 0  (1  i)T t dt   at  (1  i) T t dt.
Первый интеграл совпадает с вычисленным выше интегралом для потоков
с постоянной интенсивностью (при интенсивности, равной R0). Таким образом,
T
R
0
0
 (1  i)
Tt
((1  i)T  1)
dt  R 0 
.
ln(1  i)
7
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Второй интеграл следует вычислить отдельно. Здесь следует использовать
правило интегрирования по частям. В результате получим:
T
 at  (1  i)
0
Tt
(1  i)T  1  T  ln(1  i)
dt  a 
.
(ln(1  i)) 2
Общим результатом является:
((1  i)T  1)
(1  i)T  1  T  ln(1  i)
S  R0 
a
.
ln(1  i)
(ln(1  i)) 2
Первое слагаемое в этой сумме демонстрирует влияние начального члена R0,
а второе — влияние величины постоянного прироста a. При a=0 эта формула
автоматически превращается в полученную выше формулу для непрерывных
потоков с постоянной интенсивностью.
Формулу можно представить и по-другому:
a
(1  i)T  1
aT
S  (R 0 
)

.
ln(1  i) ln(1  i)
ln(1  i)
5.3.4. Непрерывные потоки с экспоненциальной
интенсивностью
Пусть
интенсивность
потока
платежей
изменяется
экспоненциально,
т. е. с постоянной величиной относительного прироста. Таким образом,
R(t) = R 0 eat .
При положительном коэффициенте a это соответствует равномерному
относительному росту платежей, при отрицательном коэффициенте a —
их равномерному
относительному
снижению.
При
a=0 получаем
случай
постоянной интенсивности платежей.
Определим наращенную сумму S.
T
S = ST =  R(t)  (1  i)
Tt
0
T
= R 0 (1 + i)
e
T
at
T
dt   (R 0  e at )  (1  i) Tt dt 
0
T
t
 (1  i) dt  R 0 (1 + i)
0
T
 R 0 (1 + i)
T
e
0
T
e
0
(a ln(1i))t
eaT  (1  i)T
dt  R 0
.
a  ln(1  i)
Таким образом,
eaT  (1  i)T
S  R0
.
a  ln(1  i)
8
at
 e  ln(1i)t dt 
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Выводы
Платежи,
входящие
в состав
финансовой
ренты,
могут
изменяться
в соответствии с определенной закономерностью. Начальная и конечная сумма
ренты зависит от такой закономерности.
Для
ренты
с платежами,
изменяющимися
в соответствии
с законом
арифметической или с законом геометрической прогрессии, могут быть получены
итоговые формулы. Они являются обобщением формул постоянной финансовой
ренты.
Полученные результаты переносятся
на непрерывное представление.
с дискретного
представления
ренты
Непрерывная финансовая рента определяется плотностью потока платежей.
Плотность может быть постоянной (соответствует постоянной дискретной
финансовой ренте), линейной (соответствует дискретной финансовой ренте
с платежами,
изменяющимися
по закону
арифметической
прогрессии),
экспоненциальной (соответствует дискретной финансовой ренте с платежами,
изменяющимися по закону геометрической прогрессии). Соответствующие
формулы выводятся путем интегрирования.
Вопросы для самопроверки
1. Как выводится формула суммы ренты с постоянным абсолютным приростом
платежей?
2. Какова формула суммы ренты с постоянным абсолютным приростом
платежей?
3. Как преобразуются формулы, если постоянная величина абсолютного
прироста равна 0?
4. Как выводится формула суммы ренты с постоянным относительным
приростом платежей?
5. Какова формула суммы ренты с постоянным относительным приростом
платежей?
6. Как преобразуются формулы, если постоянный темп относительного
прироста равен 0?
7. Какой формулой определяется сумма непрерывного потока платежей?
8. Каковы формулы конечной и начальной стоимости потока?
9. Как связаны друг с другом конечная и начальная стоимость потока?
10.Как выводится формула конечной стоимости непрерывного финансового
потока с постоянной интенсивностью?
11.Какова формула конечной стоимости непрерывного финансового потока
с постоянной интенсивностью?
12.Как выводится формула конечной стоимости непрерывного финансового
потока с линейной интенсивностью?
13.Какова формула конечной стоимости непрерывного финансового потока
с линейной интенсивностью?
14.Как выводится формула конечной стоимости непрерывного финансового
потока с экспоненциальной интенсивностью?
15.Какова формула конечной стоимости непрерывного финансового потока
с экспоненциальной интенсивностью?
9
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Библиография
1. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: В 2 т. СПб., 1997.
2. Капитоненко В. В. Финансовая математика и ее приложения. М., 1998.
3. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета
кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М., 1998.
4. Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника
вычислений. М., 1998.
5. Малыхин В. И. Финансовая математика. М., 1999.
6. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М., 1999.
7. Чернов В. П. Математика для топ-менеджеров. СПб., 2002.
8. Чернов В. П. Математические методы финансового анализа. СПб., 2005.
9. Четыркин Е. М. Финансовый анализ производственных инвестиций. М.,
1998.
10.Четыркин Е. М. Финансовая математика. М., 2000.
10