Числовые характеристики случайных величин

Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 3
2.4. Числовые характеристики случайных величин
Распределение вероятностей дает полную информацию о случайной величине.
Иногда достаточной является более компактная информация, содержащая основные
сведения о случайной величине. Таковыми являются числовые характеристики.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется
___________________________________________________
Математическое ожидание имеет смысл «среднего значения» случайной величины.
Пример. Математические ожидания для некоторых дискретных распределений:
1) равномерное:__________________________________________________________
2) геометрическое:________________________________________________________
3) биномиальное:_________________________________________________________
4) пуассоновское:_________________________________________________________
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с
плотностью p  x  называется
________________________________________________________________________
Если вероятностная мера определяется функцией распределения, то
________________________________________________________________________
Пример. Математическое ожидание непрерывного равномерного распределения:
________________________________________________________________________
Математическое ожидание показательного распределения:
________________________________________________________
________________________________________________________
Математическое ожидание нормального закона:_______________________________
Имеют место следующие общие свойства математического ожидания:
1) ______________________________________________________________________
2) ______________________________________________________________________
3) ______________________________________________________________________
4) ______________________________________________________________________
5) ______________________________________________________________________
Модой дискретного распределения называется ___________________________
________________________________________________________________________
В непрерывном случае модой является_______________________________________
M
Если у распределения имеется более одного максимума, то оно называется
полимодальным. Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не
максимумом, а минимумом. Они называются антимодальными.
1
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 3
Медианой распределения случайной величины называется_________________
________________________________________________________________________
P  Ме  P  Мe.
Me
Дисперсией случайной величины называется ____________________________
Дисперсия всегда неотрицательна. Дисперсия она характеризует разброс значений
случайной величины относительно ее среднего значения. Иногда для вычислений
более удобна формула_____________________________________________________
Среднеквадратичным отклонением значений случайной величины от ее среднего
называется величина______________________________________________________
Пример. Дисперсии для некоторых дискретных распределений:
1) биномиальное:_________________________________________________________
2) геометрическое:________________________________________________________
3) пуассоновское:_________________________________________________________
Пример. Подсчитаем дисперсию непрерывного равномерного распределения:
___________________________________________________
___________________________________________________
Подсчитаем дисперсию показательного распределения:
___________________________________________________
___________________________________________________
Дисперсия нормального закона______________________________________________
Имеют место следующие общие свойства дисперсии:
1) ______________________________________________________________________
2) ______________________________________________________________________
3) ______________________________________________________________________
Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется
 k    M k .
математическое ожидание k-й степени этой случайной величины:
Для дискретной случайной величины это сумма вида:__________________
Для непрерывной случайной величины начальный момент определяется как
интеграл:_____________________________________________
2
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 3
Центрированной случайной величиной  , соответствующей величине  ,
называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
________________________________________________________________________
Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется
математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной
0
величины:
 
k    M  0
k
 M  M k .
Для дискретной величины это сумма вида:_________________________
Для непрерывной случайной величины центральный момент определяется как
интеграл:_____________________________________________
Из всех моментов в качестве характеристик чаще всего применяются:
первый начальный момент – _______________________________________________
второй центральный момент – ______________________________________________
третий центральный момент – ______________________________________________
Коэффициентом асимметрии или асимметрией распределения называется
величина:________________________________________________________________
Для симметричных распределений асимметрия равна нулю.
четвертый центральный момент – __________________________________________
Эксцессом случайной величины называется отношение_________________________
Для нормального распределения эксцесс равен нулю.
Рассмотренные
числовые
характеристики
являются
наиболее
употребительными. Во многих практических задачах полная характеристика (закон
распределения) или не нужна или не может быть получена. В этих случаях
ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью
числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное
свойство распределения. Часто числовыми характеристиками пользуются для
приблизительной замены одного распределения другим.
2.5. Многомерные случайные величины
Многомерной случайной величиной (случайным вектором) 1 ,  ,  n
называется_______________________________________________________________
Многомерной функцией распределения называется функция
________________________________________________________________________
3
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 3
В частном случае двумерная функция распределения определяется
следующим образом:______________________________________________________
Геометрической интерпретацией функции распределения F  x, y  является
вероятность попадания случайной точки  ,  в бесконечный квадрат с вершиной в
точке  x, y  .
Рассмотрим свойства многомерной функции распределения на примере двумерной
случайной величины  ,  :
1) ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2) ______________________________________________________________________
3) ______________________________________________________________________
4) ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Вероятность попадания точки  ,  в прямоугольник R со сторонами,
параллельными осям координат определяется по формуле:
________________________________________________________________________
y
 ,
 ,
 ,
 ,
x
Плотность распределения двумерной случайной величины выражается через
функцию распределения:___________________________________
Плотность распределения есть функция неотрицательная p x, y   0 . Кроме того
_____________________.
Вероятность попадания точки  ,  в произвольную область D вычисляется
как интеграл:__________________________________________
4
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 3
Функция распределения двумерной случайной величины может быть
выражена
через
плотность:____________________________________________
Зная закон распределения системы случайных величин, всегда можно
определить законы распределения отдельных величин системы. Плотности
распределения отдельных компонент выражаются через совместную плотность:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Возникает вопрос: можно ли по законам распределения отдельных компонент
восстановить закон распределения системы? В общем случае этого сделать нельзя.
Для того чтобы полностью охарактеризовать систему, нужно еще знать зависимость
между входящими в нее величинами. Она может быть определена с помощью так
называемых условных законов распределения:
___________________________________________________
Случайная величина  называется независимой от случайной величины  ,
если закон распределения величины  не зависит от того, какое значение приняла
величина  . Зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны. Для
непрерывных случайных величин условие независимости может быть записано в
виде:____________________________________________________________________
Для независимых непрерывных случайных величин плотность распределения
системы равна произведению плотностей распределения отдельных компонент:
________________________________________________________________________
Для расчета начальных и центральных моментов используются следующие
формулы. В дискретном случае:
 k , s  ,    xik y sj pij ;
i
j
i
j
k , s  ,    xi  M k y j  M s pij .
В непрерывном случае:
 k , s  ,  
k , s  ,  
 x
k
y s px, y dxdy;
R2
k
s
 x  M   y  M  px, y dxdy .
R2
Особую роль играет корреляционный момент __________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.
Если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, то имеется
зависимость между ними. Если корреляционный момент равен нулю, то о
зависимости случайных величин ничего сказать нельзя. Такие величины называются
некоррелированными.
Для характеристики связи между случайными величинами  ,  без учета
рассеивания используется безразмерная величина, называемая коэффициентом
5
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 3
корреляции: _____________________________________________________________
Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной
зависимости между случайными величинами. Если случайные величины связаны
линейной функциональной зависимостью, то   ,   1 . В общем случае
  ,   1.
2.6. Нормальное распределение
Функция распределения стандартного нормального закона N 0,1 имеет
специальное обозначение __________________________________________________
Функция t  не является элементарной, то есть, интеграл не может быть
сведен к табличным и быть композицией элементарных функций. Для функции t 
составлены подробные таблицы, ее значения вычисляются многими прикладными
компьютерными программами.
Как и любая функция распределения, функция t  обладает свойствами:
    1;
   0 ;
t  – неубывающая функция.
Кроме того, из симметричности нормального распределения N 0,1
относительно начала координат следует, что:__________________________________
 a
Если  имеет распределение N a,  , то  0 
– стандартная нормальная

случайная величина. Функция распределения  легко записывается через
функцию t :____________________________________________________________
Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными
величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины  ,
подчиненной нормальному закону N a,  , на участок  ,   :
___________________________________________________
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально
распределенной случайной величины  по абсолютной величине меньше заданного
положительного числа  :__________________________________________________
________________________________________________________________________
Положим   t :__________________________________________________________
Если t  3 , то_____________________________________________________________
Отсюда приходим к так называемому правилу трех сигм:__________________
Вероятность, которая стоит в правой части, пренебрежимо мала для многих
практических применений. Поэтому правило трех сигм читают так:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Как видно, это правило ошибочно лишь в 0.27% случаев.
6
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 3
7