Базовая модель обобщенного опыта

Муниципальное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа №66 г. Тулы.
Базовая модель обобщенного опыта
учителя математики
Цуриковой Татьяны Николаевны.
Тема опыта:
«Активизация учебной
деятельности школьников
при изучении математики».
г. Тула.
Список ИПМ.
Сведения об авторе.
Условия формирования опыта.
Теоретическая основа опыта.
Активная учебно-познавательная деятельность – Необходимое условие
воспитания школьников.
5. Формирование способов и приемов познавательной деятельности.
6. Организация коллективной учебно-познавательной деятельности
учащихся в процессе обучения математике.
6.1. Самостоятельная работа учащихся в коллективной работе на
уроках математики (вопросы, задания и объяснения учителя).
6.2. Условия эффективной организации коллективной учебной работы
учащихся.
6.3. Одна из форм коллективной деятельности учащихся.
7. Некоторые аспекты формирования познавательного интереса в процессе
обучения математике.
7.1. Обучение учащихся методам самостоятельной работы с учебниКом и математической книгой.
8. Активизация учебной деятельности школьников при изучении некоторых понятий математики.
9. Наглядный способ решения задач как одно из средств активизации
мыслительной деятельности учащихся.
10.Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном
процессе. Из опыта работы заслуженного учителя В.Р.Илларионовой.
11. Приложение 1. «Задачи, строящиеся по принципу «от простого к сложному».
12. Приложение 2. Прием выполнения серий учебно-познавательных
заданий, родственных по своему математическому содержанию.
13. Приложение 3. Урок по теме: «Что такое математическая модель».
14. Приложение 4. Обобщающий урок по теме: «Действия со степенями».
15. Приложение 5. Творческая работа учащегося. Реферат по теме:
«Геометрия и ее роль».
16. Приложение 6. Творческие работы учащихся. Реферат по теме:
«Математика в жизни». «Математическая сказка».
17. Урок по теме: «Квадратичная функция» (9 класс).
18. Итоговый урок по теме: «Функции» (7 класс).
19. Урок по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессия»
(9 класс).
20. Игра-урок «Звездный час» (6 класс).
21. Урок по теме: «Умножение и деление натуральных чисел».
22. Литература.
1.
2.
3.
4.
Ведущие идеи.
1. Развитие самостоятельности и творческой активности
учащихся в процессе обучения математике от низшего уровня
самостоятельности
к
высшему
уровню,
творческой
самостоятельности.
2. Через сочетание различных форм и методов обучения
активизировать
учебно-познавательную
деятельность
учащихся.
1.Сведения об авторе опыта.
Цурикова Татьяна Николаевна, стаж педагогической работы –
16 лет. Высшая категория. Имею высшее образование, окончила
Тульский Государственный педагогический институт имени
Л.Н. Толстого в 1986 году по специальности учитель математики и
физики.
В настоящее время работаю в МОУ-СОШ №66 Привокзального
района г. Тулы учителем математики.
2. Условия формирования
опыта.
Принятая в нашей стране система воспитания имеет своей целью
формирование личности человека. Трудолюбие, честность,
скромность, чувство собственного достоинства, товарищество,
взаимное уважение – все это неотъемлемые черты морального облика
человека.
Очевидно, что эти черты должны формировать вся школьная
жизнь, в том числе учебная деятельность учащихся на уроках,
направляемая и оцениваемая учителем. Требование организации
активной учебно-познавательной деятельности школьников является
одним из важнейших воспитательных требований именно благодаря
своей явной обучающей целесообразности.
Человеческая личность формируется в процессе активного ее
взаимодействия с окружающим миром, в деятельности. Отсюда
принята воспитательная роль активной учебно-познавательной
деятельности учащихся.
Развитие активности, самостоятельности, инициативы, творческого
отношения к делу – это требования самой жизни, определяющие во
многом совершенствование методов обучения.
Требование соединения учебной деятельности школьников (в
которой формируются математические знания и умения) с их
познавательной деятельностью (знакомящей школьников с методами
познания, с различными познавательными источниками, такими как
объяснение, чтение книги, проведение опыта, решение задач) в
современной методике принято выражать с помощью термина
«учебно-познавательная».
Существенным
признаком
учебнопознавательной деятельности школьников является ее творческий
характер, ибо воспитание творческих способностей может быть
осуществлено только путем активного участия школьников в
процессе творческой деятельности. Поэтому формой и средством
усвоения опыта творческой деятельности, обеспечивающего
способность применять знания в новой ситуации, умение решать
новые проблемы, являются практические и познавательные задачи,
требующие творческого решения.
3. Теоретическая основа
опыта.
О необходимости активной мыслительной деятельности в процессе
усвоения знаний говорил В. Сухомлинский: «Для ученика, если он не
переживал гордости своей мыслью, умственный труд становиться
нежеланным. Чтобы удовлетворить интеллектуальные потребности
юношества, мы прибегали к специальным «упражнениям на
размышление»… Опыт привел меня к убеждению, чем больше
ученикам надо запоминать и хранить в памяти (а запоминать в
средних и старших классах надо очень много), тем больше
необходимости в обобщении, в отвлечении от конкретного
материала, в размышлениях, рассуждениях. Это как бы снимает
усталость, пробуждает новый интерес к знаниям, к фактам».
Всякий учебный материал имеет свою логическую структуру, на
которой держится плоть конкретных фактов и сведений. Осознание
этой структуры – одно из эффективных средств внесения элементов
творчества в учебную деятельность учащихся.
Творить – значит создавать новое. Это новое может быть не только
неизвестным ученику фактом, а новым приемом мыслительной
деятельности, открытием связи между явлениями, нахождением
логической структуры раздела и т.п.
В своей работе стараюсь
использовать опыт учителей новаторов.
Фамилия, имя, отчество
Научно-педагогическая
область
1. Хазанкин Р.Г.- Педагогика
учитель-методист
2.Крутецкий Б.А.
Психология
3. Эрдниев Б.П.
Педагогика
4. Беспалько В.П.
Педагогика
5. Гальперин Л.
Педагогика
Основные
идеи,
взятые
вооружение автором опыта.
на
Изменение
традиционной
структуры
урока,
нестандартные формы урока.
Учет
индивидуальных
и
возрастных
особенностей
детей.
Технологии
творческого
обучения математике.
Уровни развития мыслительной деятельности.
Принципы обучения, этапы
организации усвоения.
Новизна.
Новизна моего опыта заключается в том, что я по-своему, с учетом условий
своей школы (недостаточность материальной базы школы, уровень развития
учащихся, степени своего педагогического мастерства) использую общие
правила, педагогические проблемы в конкретной ситуации, повышаю
эффективность урока математики.
4.
Активная
учебнопознавательная деятельность –
необходимое
условие
воспитания школьников.
Учебно-познавательная деятельность должна, кроме математических целей
изучения нового материала, ставить перед учащимися цель уяснения
логической структуры процесса получения новой информации, уяснения
двусторонней связи между изучением теории и практическими задачами.
В сознании учащихся должна отпечататься динамика познавательного
процесса: они должны не просто знакомиться с теорией предмета, а видеть
источники возникновения ее и практическую целесообразность изучения этих
вопросов, не просто решать задачу, указанную учителем, приобретая нужные
навыки и умения, а рассматривать условия, в которых возникают задачи
данного типа. Без четко выраженного движения от фактов, известных
ученикам, к фактам, неизвестным им, без сознания этой связи, которая
побуждает их к решению учебной задачи (ею может быть и установление
теоретических свойств), нет сознательного изучения активного изучения основ
наук.
Существует
много
эффективных
приемов
организации
учебнопознавательной деятельности учащихся. Одним из них является рассмотрение –
на основе только решенной задачи – целой серии «родственных» учебнопознавательных заданий (например, с помощью изменения условий
математической закономерности).
Пусть, например, после ознакомления с теоремой Пифагора учащиеся
решают следующую задачу: «Найти высоту дерева по данным, указанным на
рисунке 1».
Условие задачи определяет два числовых данных:
длину катета, являющегося основанием треугольника (14 м ), и величину угла, противолежащего этому
катету (300).
Изменяя заданную длину катета а, учитель выясняет, анализируя с классом ответы отдельных учащихся, что при этом ход решения задачи и этапы
рассуждений не меняются. В общем виде решение
дается записью: х= (2а)2-а2=а 3. При получении
буквенных выражений ответы необходимо каждый
раз обсуждать с учащимися, при каких значениях
букв имеет смысл полученный результат.
Рис.1
Совсем иное положение возникает при изменении другого числового
данного- величины угла при вершине. Учащиеся- при помощи наводящих
вопросов и комментариев
учителя- приходят к графическому способу
построения данного треугольника и измерения искомого элемента. После
разбора этих задач целесообразно спросить учащихся: нет ли других, таких же
«удобных числовых данных угла при вершине, при которых становится
возможным аналитический способ решения задачи». (Многие учащиеся
самостоятельно находят ответ: 600 и 450).
Эти дополнительные вопросы, казалось бы, фиксируют внимание учащихся
на частных случаях. Однако именно анализ частных случаев является зачастую
основой для разбора соответствующих практических ситуаций. К примеру, в
рассматриваемой ситуации для учащихся становится ясной простота решения
задачи при условии, что величина угла при вершине треугольника равна 45 0
(здесь искомая высота всегда равна длине данного катета). После этого учитель
может сообщить, что именно такой треугольник чаще всего строится
работниками лесного хозяйства, когда требуется определить высоту дерева.
Учитель предлагает учащимся найти идею самостоятельного прибора (модели
равнобедренного прямоугольного треугольника), с помощью которого можно
быстро определить искомую высоту дерева:
она равна расстоянию человека до основания
дерева плюс высота человека ( рис.2).
При построении серии логически связанных
друг с другом учебных заданий важно, какое
из них явится первичным, исходным. При этом,
учитывая интересы фронтальной работы, учителю нередко приходится руководствоваться
соображениями доступности решения данной
задачи, принципом «от простого к сложному».
Рис.2
Приложение 1.
Решение математических задач является основным видом учебной
деятельности, посредством которой учащиеся приобщаются к приемам,
умениям, навыкам творческой математической деятельности. Решение
математических
задач
приобретает
единую
учебно-познавательную
направленность в том случае, когда оно реализует решение одной и той же
дидактической (учебно-познавательной) задачи изучение математической
закономерности, на основе анализа одного из частных случаев.
Приложение 2.
Благодаря обучающей, воспитывающей и развивающей деятельности
учителя, «дирижирующего» активной учебной работой школьников, становится
применимым на протяжении изучения всего курса
математики способ
построения учебно-познавательной деятельности учащихся по структуре
исследовательского метода, начиная от осознания познавательной проблемы и
кончая поиском практических приложений полученных новых знаний.
Познавательные трудности преодолеваются при помощи коллективного
обсуждения в классе, направляемого вопросами, заданиями, комментариями
учителя.
Смысл требования активной учебно-познавательной деятельности учащихся
имеет два аспекта: внутренний (психолого-педагогический) и внешний
(организационный).
Внутренний аспект активной учебной деятельности школьников заключается
в том, что она определяется такими компонентами, как интерес к учению,
инициативность в учебной работе, познавательная самостоятельность,
напряжение физических и умственных сил для решения поставленной
познавательной задачи. Развитие этих компонентов и составляет необходимое
условие организации активной учебно-познавательной деятельности учащихся.
Внешний (организационный) аспект активной учебной деятельности
школьников заключается в том, что в эту деятельность необходимо вовлечь
всех учащихся класса и каждого из них. В условиях классно-урочной системы
это требование может быть осуществлено лишь с помощью умелого сочетания
фронтальной, групповой, индивидуальной учебной работы учащихся, а также с
помощью современных средств индивидуализации обучения. Такими
средствами являются дидактические материалы с печатной основой, карточкиинструкции, карточки образцы, средства программированного контроля и т.п.
5. Формирование способов и
приемов познавательной
деятельности.
Теоретическая деятельность человека включает целевое запоминание и
воспроизведение информации, ее преобразование, контроль за механической
деятельностью. Это значит, что наряду с понятийным аппаратом данной теории
человек должен владеть
способами и приемами его построения,
преобразования, развития, применения на практике.
Следует иметь ввиду, что понятия данной теории составляют основу
соответствующих способов и приемов, применяемых при ее построении.
Структура определения понятий органически связана со способами и приемами
познавательной деятельности.
Чтобы обеспечить творческую самостоятельность учащихся нужно их
вооружить соответствующими приемами и способами деятельности.
Процесс формирования приемов и способов осуществляется в передаче
опыта не только путем общения учителя с учащимися, но также и
экстериоризацией требуемой деятельности, моделированием ее во внешней,
материальной форме при постепенном преобразовании в деятельность
внутреннюю. Моделирование того или иного способа или приема деятельности
происходит в поиске последовательности операций и действий, приводящих к
требуемому результату и его обоснованию.
По степени общности выделяют такие классы приемов и способов
познавательной деятельности:
1. приемы и способы решения конкретных, отдельных задач и проблем,
выполнение тех или иных практических работ;
2. приемы и способы решения определенных классов задач и проблем;
3. приемы и способы познавательной деятельности, применяемые в данной
теории;
4. общенаучные приемы и способы познавательной деятельности.
Первые описываются алгоритмическими предписаниями решения данной
отдельной задачи, вторые – класса задач, третьи – логическими операциями и
правилами их применения, четвертые – приемами и способами логики
познания.
По своей форме приемы и способы деятельности описываются:
а) алгоритмическими предписаниями, алгоритмическими схемами, блоксхемами;
б) правилами и законами логики.
В процессе своей деятельности учащийся пользуется готовыми
алгоритмическими предписаниями, правилами и законами или самостоятельно
их составляют. В первом случае им выполняется репродуктивная, а во втором –
продуктивная деятельность.
Репродуктивный путь формирования того или иного способа деятельности
включает такие этапы:
1) разъяснение учащимся схемы деятельности (инструктаж);
2) изучение ими этой схемы;
3) выполнение нескольких упражнений по этой схеме;
4) установление границ применимости этой схемы.
Продуктивный путь формирования того или иного способа деятельности
включает:
1) решение проблемы или задачи;
2) описание схемы деятельности, ее построение;
3) решение аналогичной проблемы или задачи по составленной схеме
деятельности;
4) уточнение схемы деятельности;
5) решение еще одной аналогичной задачи или проблемы обобщенного
типа;
6) уточнение полученной ранее схемы деятельности;
7) установление границ применимости этой схемы;
8) поиски ее обобщений, конкретизаций и аналогов.
В процессе обучения указанные схемы применяются в развернутой и
свернутой форме. Методы деятельности, а также общие способы всегда
являются элементами приемов и способов решения тех или иных классов задач
и проблем.
При решении задач целесообразно описывать практические ситуации,
которые потребовали их составления. Если же задача сформулирована, то при
ее изучении следует «вернуться» к ситуации, которая ее породила.
К сожалению, многие школьники не умеют описать хотя бы в свернутой
форме общий подход к решению проблем и задач. На вопрос: «С чего будете
начинать решение задачи? Кокой общий план решения задачи вами намечен?»полный ответ дают лишь отдельные учащиеся.
Постоянное применение единой общей схемы решения задач, доказательств
предложений приводит к ее усвоению и к совершенствованию
соответствующих навыков и умений школьников. При этом следует лишь
добиваться, чтобы учащиеся научились самостоятельно составлять план
деятельности, алгоритмическое предписание.
Широкое раскрытие алгоритмического содержания тех или иных вопросов в
математике, использование рациональных алгоритмов, алгоритмических схем
способствуют развитию логического мышления и приобретению глубоких и
прочных знаний.
Приложение 3.
6.Организация коллективной
учебно-познавательной
деятельности учащихся в
процессе обучения
математике.
Важные рекомендации совершенствования методов обучения математике
можно получить из требований усиления их познавательной, творческой
направленности.
Педагоги издавна знали о том, что активная деятельность по осмыслению
знаний, улучшает их усвоение и запоминание. «Один добытый опыт важнее
семи правил мудрости»,- утверждает арабская пословица, донося до нас
правило народной педагогики.
ДО сих пор нельзя считать решенной проблему самостоятельной работы
школьников на уроках, в условиях, благоприятных для организации
коллективной учебной работы. Трудности решения этой проблемы в
практике массового обучения имеют объективный характер. Во-первых,
требует особых умений педагога преодоление противоречия между
коллективными условиями обучения и индивидуальным характером
усвоения. Во-вторых, коллективные условия учебной работы требует
особого искусства в руководстве обучением каждого ученика класса.
Психологами и педагогами предложены различные критерии для
выделения индивидуально-типологических групп учащихся. Эти критерии
могут быть связаны:
1) с особенностями умственной деятельности учащихся (соотношение
наглядно-образных
и
отвлеченных
компонентов
мышления,
совокупность определенных интеллектуальных свойств);
2) с личностными особенностями учащихся (отношение к учению,
интересы, трудолюбие и т. п.);
3) как с интеллектуальными, так и с личностными особенностями
школьников.
Ограниченность
возможностей
рассматриваемого
индивидуальнотипологического подхода в организации групповой деятельности учащихся
связана с формированием многочисленных качеств. К примеру, приходится
рассматривать группы сильных, слабых и средних учащихся.
Настоящая группа с позиций ученика – это группа, объединенная
совместной деятельностью. О групповой работе можно говорить лишь в том
случае, если учащиеся имеют взаимный учебный контакт, вовлечены в
совместную согласованную деятельность, образуют рабочие группы.
Оптимальная величина каждой группы составляет 5-7 человек, причем
групповая работа может быть единой (все группы выполняют одинаковые
задания), либо дифференцированный (группы выполняют разные задания в
рамках общей для всего класса темы).
Таким образом, возникает новое понимание коллективной учебной работы
учащихся, важнейшим элементом которой является совместная согласованная
деятельность учащихся.
Любая работа учителя на уроке со всеми учениками является коллективной в
силу коллективных условий, предопределяемых классно-урочной системой
обучения. Коллективной учебной работой может называться лишь такая работа,
которая характеризуется постоянным общением учащихся друг с другом, их
учебным взаимодействием, формированием коллективного мнения (при
организуемых учителем обсуждениях плана выполнения общего задания и
разборе полученных результатов). Только в этом случае процесс обучения
способствует воспитанию ряда полезных качеств личности, таких, как умение
работать в коллективе, уважение общественного мнения, взаимная
ответственность за результаты учебного труда и др.
Принцип
сочетания
коллективной
и
индивидуальной
учебной
познавательной работы учащихся является важным организационным
требованием совершенствования классно-урочной системы обучения.
Недостатки в организации коллективной и связанной с ней индивидуальной
учебной работы учащихся при изучении математики проистекают не только изза недооценки соответствующих воспитательных возможностей. Зачастую
причиной является также недооценка специфика обучения математике,
эффективное усвоение которой возможно только при условии организации
коллективной учебно-познавательной работы учащихся.
Первым это обстоятельство понял В.Л.Гончаров, разработав систему
арифметических
упражнений,
осуществляющих
функциональную
пропедевтику, выполнение которых приводит к коллективной работе учащихся.
К идее коллективного выполнения вычислительных и графических
упражнений, требующего взаимной, согласованной деятельности учащихся на
уроке, В.Л.Гончаров пришел из чисто содержательно-математических
соображений, из интересов усвоения математического материала.
Активизация самостоятельной деятельности учащихся, проводимая в
условиях коллективного обучения, требует особых форм учета знаний,
контроля и оказания помощи, особых дидактических материалов. При этом не
следует считать коллективные формы работы с учениками как бы неизбежным
злом, которое нужно уменьшить до минимума. Педагогика давно установила,
насколько плодотворны для обучения именно коллективные формы знаний- не
только для воспитания черт характера нового человека, но и для формирования
его мышления. Именно коллективное изучение основ наук создает
благотворную для знаний атмосферу творческих поисков, споров, дискуссий,
приучает учащихся следить за основаниями своих рассуждений, помогает
развивать правильную логическую речь. А развитие смысловой стороны речи,
учат психологи, оказывается основным и решающим процессом в развитии
мышления и речи ребенка (Л.С.Выготский).
Приложение 1
Задачи, строящиеся по принципу
«от простого к сложному».
В учебнике по геометрии даны задачи:
1. Какой вид имеет треугольник, если любой его угол меньше суммы двух
остальных углов?
2. Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на два остроугольных
треугольника?
Если для большинства учащихся класса решение этих задач не доступно, но
не смотря на это, учитель желает разобрать их решение на уроке, то
целесообразно эти задачи решать в следующей последовательности:
1) Какой вид имеет треугольник, если:
1. один из его углов меньше суммы двух других?
2. каждый из двух данных углов треугольника меньше суммы двух
остальных его углов?
3. любой его угол меньше суммы двух остальных углов?
2) Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать:
1. на два прямоугольных треугольника?
2. на остроугольный и тупоугольный треугольники?
3. на два остроугольных (или тупоугольных) треугольника?
4. на прямоугольный и остроугольный (или тупоугольный)
треугольники?
Не следует думать, что такая последовательность решения серии
родственных задач ограничивает возможность развития познавательных
способностей сильных учащихся. В частности, к задаче 1 можно поставить
дополнительные задания для выполнивших фронтальное задание:
1*. Какой вид имеет треугольник, если:
а) один из его углов равен сумме двух других углов?
б) один из его углов больше суммы двух других углов?
в) существует ли треугольник, у которого любой его угол равен сумме
двух остальных углов? Больше этой суммы?
Приложение 2.
Прием выполнения серий учебнопознавательных заданий, родственных
по своему математическому и
логическому содержанию.
Задача. Сколько треугольников на чертеже? (для различных чертежей)
Имеет смысл объединить рассмотрение всех
этих задач на основе анализа решения одной из них. Условимся, что все «элементарные» треугольники на чертеже, т.е. не пересеченные никакими отрезками, обозначаются последовательно цифрами: 1,2,3 и т.д.
а) Вначале рассматривается самый простой случай, когда ответ получаем,
пересчитывая число, «элементарных» треугольников, т.е. треугольников,
образованных одной геометрической фигурой.
б) Далее всем ученикам предлагается записать в тетради (или показать
карточкой «обратной связи») ответ для случая, когда на данном чертеже, кроме
треугольников, образованных одной фигурой, есть треугольники, образованные
объединением двух фигур. Ошибочные ответы разбираются коллективно; все
ученики должны убедиться в том, что части 1+2, 1+3, 2+3 и др. также могут
образовать треугольники.
в)
«Следовательно, чтобы не ошибаться при решении таких задач,
необходимо…»- говорит учитель и просит продолжить. «Сосчитать
треугольники «из одной части» и треугольники «из двух частей»»,-заканчивает
один из опрошенных учеников. «А разве не могут быть треугольники «из трех,
четырех частей»?»-спрашивает учитель. Учащиеся чертят такие случаи, после
чего общая рекомендация уточняется.
г) Учитель советует использовать эту рекомендацию и для определения
последовательности необходимых подсчетов и первоначальной записи
искомого числа в виде суммы.
д)
После этой работы дается аналогичная задача на подсчет числа
четырехугольников на данном чертеже, но не самая простая. Если большинство
учащихся избежало прежней ошибки, то, значит, они усвоили общий способ
рассуждений. Полезно проверить, сколько из них могут сформулировать
правило и последовательность необходимых подсчетов.
е)
На материале аналогичных задач (трех-пяти) проводится учебное
соревнование. Все ученики вначале записывают их ответы, которые затем
проверяются коллективно. Ошибки исправляют сами ученики (каждый в своей
тетради), контроль за работой школьников с помощью учителя осуществляют
они сами.
Эффективность этого приема приводит к обобщенному выводу о
целесообразности и необходимости учебно-познавательных связей в изучении
математических сведений и их практической деятельности в процессе
осмысливания и закрепления теоретического материала.
Благодаря «наводящим» вопросам учителя, его объяснениям и комментариям
(пространность которых зависит от уровня математического и логического
развития как наиболее математически одаренных учащихся, так и всего класса
в целом), становится возможным формировать эти учебно-познавательные
связи, начиная с начальных классов.
Именно благодаря обучающей, воспитывающей и развивающей деятельности
учителя, «дирижирующего» активной учебной работой школьников, становится
применимым на протяжении изучения всего курса математики способ
построения учебно-познавательной деятельности учащихся по структуре
последовательного метода, начиная от осознания познавательной проблемы и
кончая поиском практических приложений полученных новых знаний.
Познавательные трудности преодолеваются
при помощи коллективного
обсуждения в классе, направляемого вопросами, заданиями, комментариями
учителя.
Урок по теме:
«Квадратичная функция»
Цели урока:
-Систематизировать знания учащихся по теме.
-Активизировать деятельность учащихся в процессе обучения.
-Повысить интерес учащихся к изучению материала.
Организационный момент.
Класс делится на две команды.
Каждая команда выбирает капитана, придумывает название и девиз. Капитан
во всех конкурсах предоставляет слово желающему отвечать от своей команды.
Занятие ведет учитель. По ходу занятия он выставляет каждому учащемуся
баллы, а затем по заработанным баллам – оценки в журнал. Учет ведется по
таблице:
Вопрос
Команда 1
Команда 2
Баллы
Разминка.
I.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
II.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Команды поочередно отвечают на вопросы (каждый ответ оценивается
в 1 балл):
Дайте определение квадратичной функции.
Что является графиком квадратичной функции?
Дайте определение квадратного уравнения.
Перечислите виды неполных квадратных уравнений.
Запишите формулы корней квадратного уравнения.
Когда квадратное уравнение имеет: а) два корня? б) один корень? в) не
имеет корней?
Запишите формулу разложения квадратного трехчлена на множители.
Сформулируйте теорему Виета.
Команды поочередно выполняют задание: схематически изобразить на
доске графики функций (за каждый ответ – 1балл, за ответы в
примерах 4, 10-по 2 балла).
у=-х2-3;
у=х2+1;
у=-(х-5)2;
у=-(х-7)2+2;
у=х2;
у=-х2;
у=0,5х2;
у=2х2;
у=5х2;
10) у= х2-3 .
Конкурс капитанов.
Задание. Из слова «парабола» составить всевозможные слова.
Побеждает тот, кто больше составит слов (за каждые 5 слов ставится 1 балл).
Конкурс знатоков функции.
1. В этом конкурсе каждая команда должна решить по два примера. За
решение каждого примера-3 балла. Члены команды обдумывают решение
на месте, а потом один учащийся объясняет его у доски.
Команде 1.
Команде 2.
Пример 1.Решите неравенство:
Пример 1. Решить неравенство:
(х-2)(х+5)<0
-х2-2х+8<0
(дать два способа решения)
Пример 2. Найдите наибольшее
Пример 2. Найдите наибольшее
или наименьшее значение функили наименьшее значение функции :
ции:
2
у=4х -2х+3.
у=-9х2+2х+4.
1.1 Решение. 1-й способ – метод интервалов: х1=2, х2=-5.
Ответ: (-5;2).
2-й способ:
х-2 0, или х-2 0,
х+5 0;
х+5 0;
х 2,
х 2,
х -5.
х -5.
(-5;2).
Ответ: (-5;2)
1.2 Решение. Так как а 0, ветви параболы направлены вверх и существует
наименьшее значение функции.
Найдем координаты вершины параболы:
ХВ=
; ув=
В(
).
Ответ: наименьшее значение у= функция принимает при х= .
2.1.
Решение. Х2+2х-8=0, х=-4; х=2
Ответ: (- ;-4
2; ).
2.2. Решение. Так как а 0, ветви параболы направлены вниз и существует
наибольшее значение функции
Координаты вершины параболы:
Хв=
; ув=
В(
).
Ответ: наибольшее значение у=
функция принимает при х=
.
2. Этот пример дается одновременно обеим командам, за его решение 5 баллов.
Пример. Найдите наибольшее или наименьшее значение функции:
Решение: у=
. Дробь принимает наименьшее значение,
если ее знаменатель принимает наибольшее значение.
Рассмотрим функцию t=-х2+3х-7.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а
значит, функция принимает наибольшее значение. Найдем координаты
вершины этой параболы:
х=
; у=-2,25+4,5-7=-4,75;
т.е. координаты вершины параболы (1,5; -4,75).
Значит, функция, стоящая в знаменателе дроби, принимает наименьшее
значение в этой точке. Вычислим его:
принимает наибольшее значение -4,75 при х=1,5.
Ответ: функция принимает наименьшее значение у=
при х=1,5.
Конкурс «графоманов».
Задание 1. Постройте график функции.
(Задание лучше дать одновременно командам на обдумывание (по вариантам), а
у доски заслушивать решение поочередно). За решение примера 1 ставится
4балла, примера 2— 5 баллов.
Команде 1
Команде 2.
Пример 1. у= х х.
Пример 1. у= - х х.
2
Пример 2. у= х + х х
Пример 2. у=
,где х=0.
1.1. Решение:
2.1. Решение:
1.2. Решение:
2.2. Решение:
Пример 3. у= х2+х-6 .
Этот пример дать обеим командам одновременно. В случае, если решит только
одна команда, заслушать решение у доски.
Решение.
Сначала строим график функции у= х2+х-6.
Задание 2. (3 балла). Найдите, где на координатной плоскости находятся точки,
удовлетворяющие неравенству:
Команде 1.
у<х2+х-6 (та же парабола, что и в
примере 3 задания 2).
Решение:
Команде 2.
у-х2-х+6>0
Решение:
5. Конкурс «смекалистых»
Задание дать обеим командам.
Существует ли квадратичная функция у= ах2+вх+с с целыми коэффициентами
а, в, с, которая при х=3 принимает значение 1945, а при х=4 значение 1995?
Решение:
1945= 9а+3в+с,
1995=121а+11в+с.
Вычтем из второго первое:
50=121а+8в,
25=56а+4в.
В последнем уравнении в левой части – нечетное число, а в правой – четное,
значит, данная система в целых числах решений не имеет.
Ответ: не существует.
6. Конкурс «просто умненьких».
Задание 1. Составьте уравнение квадратичной функции по ее графику.
Решение:
у=(х-3)2-2= х2-6х+9-2=х2-6х+7.
Ответ: у=х2-6х+7.
Решение:
у= (х+2)2+4=х2+4х+4+4=х2+4х+8.
Ответ: у=х2+4х+4.
Задание 2. Составьте уравнение квадратичной функции, если известно, что
график проходит через точки А(0;1), В(1;2), С(2;3).
Решение:
А(0;1)
1=0+0+с,
В(1;0)
0=а+в+с,
С(2;3)
3=4а+2в+с,
Решим эту систему:
с=1;
с=1;
с=1;
с=1;
а+в=-1;
а+в=-1;
-а-в=1;
а=2;
4а+2в=2
:2
2а+в=1;
2а+в=1;
в=-3;
т.е. уравнение имеет вид:
у=2х2-3х+1.
Ответ: у=2х2-3х+1.
Подведение итогов.
Урок по теме:
«Арифметическая и геометрическая прогрессия».
Цель урока: 1) рассмотреть два типа прогрессии: арифметическая и
геометрическая;
2) вывести формулы n-го члена арифметической и геометрической
прогрессий;
3) рассмотреть характеристические свойства прогрессий;
4) активизировать знания учащихся при изучении нового материала.
Ход урока.
I.
Организационный момент.
II.
Фронтальный опрос. Повторение.
Учитель: На предыдущем уроке мы познакомились с понятием
последовательности, ее видами и рекуррентной формулой. Ответьте на
вопросы:
1) Какие последовательности вам известны?
2) Какая последовательность называется конечной?
3) Приведите примеры бесконечной и конечной последовательности.
4) Как можно задать последовательность?
5) Какая формула называется рекуррентной?
6) Последовательность задана формулой хn=n2. Какой номер имеет член
этой последовательности, равный 100, 144, 225? Является ли членом
последовательности число 48, 49, 169?
7) Какой член последовательности
а) следует за членом х59, х300, хn, хn-1, хn+1, х3n;
б) предшествует члену х61, х100, хn-3, хn+4, х3n;
в) перечислите члены последовательности (аn), которые расположены
между аn и аn+3, аn-5 и аn, аn-2 и аn+2.
III. Объяснение нового материала.
Открыли тетради, записали число, тему урока:
«Арифметическая прогрессия», «Геометрическая прогрессия».
Разделите лист тетради на 2 части. В одной колонке мы будем записывать
все об арифметической прогрессии, во второй – о геометрической прогрессии.
1) Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное
значение равно 365 ¼ суткам, поэтому каждые четыре года накапливается
погрешность, равная одним суткам. Для учета этой погрешности к каждому
четвертому году добавляются сутки, и удлиненный год называют високосным.
Например, в третьем тысячелетии високосными годами будут годы:
2004, 2008, 2012, 2016, 2020,…
Получилась последовательность. Что можно сказать о последовательности,
как она получилась?
Ученики: В этой последовательности каждый ее член, начиная со второго,
равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4.
Учитель:
Такие
последовательности
называют
арифметическими
прогрессиями.
Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность,
каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену,
сложенному с одним и тем же числом.
аn – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется
условие:
аn+1=аn+d, где d-разность арифметической прогрессии
Из формулы следует
аn+1 – аn =d.
Теперь перейдем к геометрической прогрессии:
2) (Чертеж заранее сделан на доске). Рассмотрим
равносторонний треугольник со стороной 4 см. В
нем построен треугольник, вершинами которого
являются середины сторон данного треугольника.
По свойству средней линии сторона треугольника
равна 2 см. Продолжая аналогичные рассуждения,
получим треугольники со сторонами 1, ½; ¼; 1/8…см
Запишем последовательность длин сторон треугольников: 1, ½, ¼, 1/8…см. Что можно сказать об этой
последовательности? Как можно ее получить?
Ученик: В этой последовательности каждый член , начиная со второго, равен
предыдущему, умноженному на одно и то же число ½.
Учитель:
Такие
последовательности
называют
геометрическими
прогрессиями.
Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность,
отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен
предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Последовательность (вn)-геометрическая, если для любого натурального n
выполняется условие:
вn+1=вn g, вn не равно 0, где g-некоторое число, не равное нулю
Из формулы следует, что
вn+1
вn =g, число g-знаменатель геометрической прогрессии.
Задание: 1. Составьте арифметическую прогрессию
2. Напишите арифметическую прогрессию, т.е. последовательность целых
отрицательных чисел, если а1=1, а разность d=-1.
(-1, -2, -3,-4,…).
3. Составьте последовательность, если с1=3, а разность равна 0.
4. Составьте геометрическую прогрессию.
5. Напишите последовательность (вn), если в1=3, g=-2.
(3, -6, 12, -24,…).
6. Напишите последовательность (вn), если в1=7, g=1.
7.
Как вы думаете, какая прогрессия (арифметическая
геометрическая) реализуется в игре «О, счастливчик!»?
или
Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти
любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и другие
члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером, такой
способ неудобен.
Найдем такой способ.
Ученики самостоятельно выводят формулу n-ого члена арифметической
прогрессии.
а2 = а1+d;
а3 = а2+d=а1+2d;
а4 = а3+d=а1+3d;
--------------------аn = а1+d(n-1).
Задание 2. Найдите сотый член арифметической прогрессии, если а1=-6, d=4.
а100=-6+4(100-1)=390.
Выведем формулу n-ого члена геометрической прогрессии.
в2 =в1g;
в3= в2g=в1g2;
в4 = в3g=в1g3;
------------------вn=в1gn-1.
Задание 3. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если в1=81,
g=1/3.
в7=в1g6, в7=81*1/3=34:36=1/9.
Метод, с помощью которого мы вывели формулы n-ого члена, называется
методом математической индукции. Более подробно этот метод
рассматриваться позже, я же введу понятие, чтобы вы имели представление,
что такой метод существует. Индуктивными называют рассуждения, в которых
осуществляется переход от частных заключений к общим. Некоторое свойство
подмечается на каком-то числе примеров, в какой-то момент высказывается
общая гипотеза, которая затем подвергается дальнейшей экспериментальной
проверке. В естественных науках наступает момент, когда проверка считается
достаточной для того, чтобы принять гипотезу, посчитать ее доказанной.
Задание 4. Выяснить, является ли число 99 членом арифметической
прогрессии 3; 5; 7; 9;…? Найти номер этого члена.
а1=3, d=2, аn=99.
аn=а1+d(n-1);
99=3+2(n-1);
2n=98; n=49. Ответ: n=49.
Задание 5. Число 486 является членом геометрической прогрессии 2; 6; 18;..
Найти номер этого члена.
вn=486, в1=2, g=3.
вn=в1gn-1;
486=2*3n-1;
3n-1=243;
3n-1=35;
n-1=5;
n=6.
Ответ: n=6.
IV. Исторические сведения.
Ученик 1: А теперь совершим экскурсию в историю. Термин «прогрессия»
(от латинского «progressio», что означает движение вперед) был введен
римским автором Боэцием (VI в) и понимался в более широком смысле, как
бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая и
геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных
пропорций, изучением которых занимались древние греки.
Равенство вида аk-1-аk=аk-аk+1, они называли непрерывной арифметической
пропорцией, а равенство
вk-1:вk=вk:вk+1 непрерывной геометрической
пропорцией. Из этих равенств следует, что аk=(аk-1+аk+1):2, вk= вk-1вk+1, т.е.
этими
соотношениями
выражаются
характеристические
свойства
арифметической и геометрической прогрессии.
Ученик 2: Отдельные факты об арифметических и геометрических
прогрессиях знали китайские и индийские ученые. Известная индийская
легенда об изобретателе шахмат встречается впервые у хореземского
математика Аль-Бируни (973-1050 г.). Легенда рассказывает, что изобретатель
шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен,
сколько их получится, если на первую клетку положить 1 зерно, на вторую - в 2
раза больше, т.е. 2 зерна, на третью – в 2 раза больше, т.е. 4 зерна и т. д. до 64
клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?
Число зерен является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый
член которой равен 1, а знаменатель 2.
S=1+2+22+23+…+263=264-1.
Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо
превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего
времени.
V. Закрепление. №348(б), №391(г).
VI. Домашнее задание. п.16, №343(в), №387(б),
п.17, №347.
Урок-игра «Звездный час».
Первый тур.
В первом туре играют шесть человек-участников и шесть человек
«родственников».
Предлагается шесть заданий, которые в виде плакатов вывешиваются на
доске. «Звездочка» дается участнику, если его правильный ответ совпал с
ответом»родственников».
Во второй тур выходит четыре человека, верно ответившие на четыре
вопроса.
Задание 1. На плакатах изображены рисунки из следующих сказок:
1. «Колобок»;
2. «Семеро козлят»;
3. «Иван-Царевич»;
4. «Курочка-ряба».
Выберите плакат, который больше всего подходит к математическому
«Звездному часу».
Участники игры поднимают карточку с номером правильного ответа.
Ответивший правильно, получает половину пластмассового яйца из киндерсюрприза. Это поможет жюри следить за тем, кто верно ответит на четыре
вопроса.
Задание 2. На плакатах написаны фамилии:
1. Нурк;
2. Виленкин;
3. Колмогоров
4. Эратосфен;
5. Магницкий.
Выберите фамилию автора учебника, по которому занимается класс.
Задание 3. Вывешивается плакат с записью:
1. 0 N;
2. 0 Z;
3. 0 R.
Поднимите карточку с номером строки, в которой записано ошибочное
утверждение.
Задание 4. Разделите единицу на половину (на плакате написаны ответы):
1. 1;
2. 0,5;
3. 2;
4. ½.
Задание 5. Выберите из приведенного списка фамилию женщиныматематика:
1. Ковалевская;
2. Байкова;
3. Крупская.
Задание 6. Назовите науку о числах:
1. Алгебра;
2. Геометрия;
3. Математика;
4. Арифметика.
Второй тур.
На десяти кубиках написаны буквы. Составивший слово из наибольшего
количества букв, выходит в третий тур, отдает звезду (если она у него есть) и
идет открывать ящик с игрушкой. В третий тур выходят три человека.
Третий тур.
Предлагается выполнить три задания. Правильно ответившие на два из них
выходят в финал.
Задание 1. Определите числовую закономерность и продолжите числовой
ряд 2; 3; 6; 11; 18;… Вывешивается плакат с ответами:
1. 19;
2. 14;
3. 27;
4. 21.
Задание 2. Вставьте верный знак действия, чтобы выполнялось равенство
37,3 * ½= 74 . Вывешивается плакат с ответами:
1. + (плюс);
2. - (минус);
3. : (деление);
4. * (умножение).
Задание 3. Назовите точную дату, когда начинается XXI век. Вывешивается
плакат с ответами:
1. 31 декабря 2001 года;
2. 1 января 2000 года;
3. 1 января 2001 года.
Финал.
Задание. Составьте наибольшее количество слов из букв, входящих в слово
«информатика».
Победитель награждается мягкой игрушкой.
Итоговый урок по теме: «Функции»
Цель урока: 1) Повторить знания учащихся по теме «Функции».
2) Развивать интерес к предмету, показать практические
приложения темы.
3) Воспитывать практическое отношение к своим знаниям, учить
сравнивать, делать выводы.
Ход урока.
I.Сообщение задачи урока.
Учитель: Ребята, сегодня у нас с вами не совсем обычный урок. Мы
совершим с вами плавание на боевом корабле, будем принимать участие в
боевых учениях. А где мы будем плавать, можно узнать, если выполним
задание 1.
II. Выполнение заданий.
Задание 1. Решите анаграммы.
Ффиицэоктне, оярпам, адчааз, анлияней кцнуфяи.
(коэффициент, прямая, задача, линейная функция).
Исключите лишнее слово. Что объединяет остальные слова? (Все слова
связаны с функциями).
Учитель: Да сегодня мы на боевом корабле будем путешествовать по
функциям.
Назназим: капитана корабля, в подчинении ему – штурман, механик, боцман,
радист, все остальные матросы.
Дадим слово механику: «Изучив справочник судоводителя, я узнал, какие
учебные предметы должен знать судоводитель: географию, алгебру, физику,
геометрию, астрономию, иностранные языки.
Учитель: Среди этих предметов –алгебра. Вот сегодня в процессе
путешествия по функциям мы и посмотрим, насколько подкован экипаж
нашего корабля.
Задание 2. Проверим насколько вы знаете «район плавания». Прошу
капитана и штурмана к нашей карте (стенд-игра). Они будут отвечать на мои
вопросы по району плавания – функциям. В случае затруднения им помогает
экипаж.
Вопросы:
1. Что называется функцией?
2. Как по-другому называется независимая переменная?
3. Как по-другому называется зависимая переменная?
4. Что называется областью определения функции?
5. Что называется множеством значений функции?
6. Какая функция называется линейной?
7. Какая функция называется прямой пропорциональностью?
8. Что называется графиком функции?
9. Что является графиком линейной функцией?
10.Что является графиком прямой пропорциональности?
11.Где расположен график прямой пропорциональности, если а) k>0; б) k<0?
12.Когда графики двух линейных функций а)пересекаются; б)параллельны?
Молодцы, у нас достойные капитан и штурман.
Вопросы к классу:
1. Как называются числа k и в у линейной функции?
2. Даны две линейные функции у= k1+b1 у=k2+b2. Какие условия должны
быть выполнены, чтобы графики этих функций имели бесконечно много
общих точек? Не имели общих точек?
3. Что можно сказать о взаимном расположении графиков функций
у=-4/5х+1/2 и у=0,5-0,8х?
4. Что показывает угловой коэффициент у линейной функции? (угол наклона
прямой к положительной полуоси Ох).
5. О чем говорит k=-0,2, k=3. (Угол между положительной полуосью Ох и
прямой угол тупой и острый).
Экипаж теоретически готов к плаванию.
Задание 3. Повторение понятия «функция».
1. Для успешного проведения учений каждому члену экипажа раздается по
одному «навигационному прибору». Будет ли данная зависимость
«ученик-прибор» функцией? (Да)
2. Каждому по 4 гвоздика с веревочкой. Полученная зависимость «член
экипажа - четыре гвоздика» функция? (Нет).
3. На всех -одно задание. Функция? (Да).
Задание 4. Итак, вы готовы к учениям. Перед вами задача: начертить
маршрут вашего движения на учениях, если ваш путь описывается формулой
у=100х.
(Один чертит на доске). Какой нужно выбрать масштаб?
(по оси Ох – 1клетка – 1 час,
по оси Оу – 1клетка – 100 км).
1) Узнайте, на каком расстоянии от базы вы должны быть через 2 часа; 4
часа?
2) Через сколько часов вы будите на расстоянии 600 км? 800 км от базы?
Задание 5. На ваших приборах вы будите моделировать графики движения
кораблей условного противника.
1)Движение кораблей противника описывается прямой пропорциональностью,
k<0. Моделируем.
2) k>0.
3) Движение описывается формулой у=4.
4) у=5х, у=5х+4. Работа происходит в паре.
5) Теперь моделируем движение нашего корабля и движение корабля
противника.
а) Наше движение задано формулой у=-4х, движение корабля противника
у=-4х+3. Встретятся корабли?
б) Движение нашего корабля – у=2х, а корабля противника – у=-3х.
Задание 6. Задание боцману.
Члены экипажа судна показали, что все они могут принять участие в боевых
учениях. Мы выходим в открытое море, наша задача – обнаружить и
уничтожить суда условного противника.
Но что случилось! Вдруг отказали все бортовые системы корабля и
навигационные приборы, а нам нужно срочно вычислить предполагаемые
координаты точек встречи с судами противника. Нам известны формулы
движения нашего корабля и судна противника. Как узнать координаты точек
встречи?
(Работают 3 человека у доски, остальные – на местах по рядам).
1) у=10х-8 и у=-3х+5;
2) у=14-2,5х и у=1,5х-18;
3) у=14х и у= х+26.
1) 10х-8=-3х+5;
2) 14-2,5х=1,5х-18;
3) 14х=х+26;
13х=13;
-4х=32;
13х=26;
х=1, у=2;
х=-8, у=-30;
х=2, у=28;
(1; 2);
(-8; -30);
(2; 28).
Задание 7.
1) Займемся повышением своей боеготовности, т.е. проведем так
называемое «политзанятие».
Прослушивание доклада учащегося о
функциях.
2) Наш корабль получил сигнал о нахождении в ближайших водах четырех
кораблей. Удалось расшифровать формулы движения одной пары. Другая
пара движется по тому же правилу, но одна формула неизвестна.
Установите её.
у=5х+2 и у=5х;
у=-3х+8 и ?
Задание 8. Слово радисту.
Я получил задание от головного корабля, в котором указаны координаты
пяти кораблей условного противника. Вот они:
В(2; -1), С(3; 2), К(-4; 2), Д(0; 4), М(-5; 0).
(Радист отмечает на координатной плоскости)
Ваша задача уничтожить эти корабли. Для этого вы должны составить такую
формулу, чтобы смогли «попасть» в указанные точки.
III. Подведение итогов.
Учитель: Корабли условного противника уничтожены. Боевая задача решена.
Благодарю экипаж корабля за службу.
Выставление оценок.
Литература.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Лернер И.Я., Скаткин М.Н. Требования к современному уроку.
Методические указания – М.,1966.
Хабиб
Р.А.
О
новых
приемах
обучения
планиметрии.«Просвещение»,1969.
Хабиб Р.А. Организайия коллективной учебно-познавательной
деятельности учащихся в процессе оюучения математике.
Харламов И.Ф. Как активизировать учение школьников.- Минск,
«Народная асвета»,1974.
Тайчинов М.Г. , Турсунов Р.К. Активная познавательная деятельность –
необходимое условие воспитание школьников.
Лийметс Х.Й. Групповая работа на уроке. М., «Знание», 1975.
Гончаров В.Л. Арифметические упражнения и функциональная
пропедевтика. М.-Л., Издд-во АПН РСФСР, 1947.
Окунев А.А. Спасибо за урок, дети.- М.:Просвещение, 1988.
Фридман Л.М.и др. Как научиться решать задачи.- М.: Просвещение,
1989.