Учитель - LanCats

Подробный конспект урока
изучения нового на тему
«Свойства функции y=tg x и y=ctg x их график»
Название учебника:
Алгебра: Учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В.
Сидоров и др.-2-е изд.- М.: Просвещение, 1995-223 стр. Глава VII, § 42 - 43.
Тип урока: Урок изучения нового
Учебная задача урока: Изучит функции y = tgx, y = ctgx как модели процессов
реальной действительности, выявить их свойства и вид графика.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
Знает: свойства функций y = tgx, y = ctgx;
Умеет: Строить графики тригонометрических функций y = tgx, y = ctgx;
определять по графику основные свойства функций y = tgx, y = ctgx.
Понимает: какие процессы реальной действительности связаны с функциями y =
tgx, y = ctgx.
Методы обучения:
- Репродуктивный метод;
- Эвристическая беседа, частично поисковые методы.

Форма работы:
Фронтальная.

Средства обучения:
Традиционные, презентация,

Структура урока:
Мотивационно - ориентировочный этап (15 мин.),
Содержательный этап (25 мин.),
Рефлексивно-оценочный этап (5 мин.).
I.
Мотивационно-ориентировочный этап.
Актуализация.
 Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие
нечетными:
1. 𝑦 =
𝑥
2
𝑡𝑔2 𝑥
Учитель: Сперва выясним какова область определения данной функции
𝜋
Ответ учеников: Область определения данной функции будет 𝑥 ∈ (− +
𝜋𝑛;
𝜋
2
2
𝜋𝑛)
Решение:
(−𝑥) 2
𝑦(−𝑥) =
𝑡𝑔 (−𝑥)
2
𝑥
𝑦(−𝑥) = − 𝑡𝑔2 𝑥 − нечётная
2
2. 𝒚 = 𝒄𝒕𝒈𝒙𝟐
Учитель: Выясним какова область определения этой функции
Ответ учеников: Область определения данной функции будет 𝑥 ∈ (𝜋𝑛; 𝜋 +
𝜋𝑛)
Решение:
𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔(−𝑥)2
𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔𝑥 2 = 𝑦(𝑥) − чётная
𝝅
3. 𝒚 = 𝒕𝒈( 𝒙 − )
𝟑
Учитель: Выясним какова область определения этой функции
Ответ учеников: Область определения данной функции будет 𝑥 ∈ (−
𝜋𝑛;
𝜋
6
5𝜋
6
+
+ 𝜋𝑛)
Решение:
𝑦(−𝑥) = 𝑡𝑔 (−𝑥 −
𝜋
𝜋
) = −𝑡𝑔(𝑥 + 3 )- общего вида
3
 Доказать , что y = tg
x
3
периодическая функция с периодом 3π
Учитель: прежде чем доказать является ли данная функция
периодической ,сперва скажите какая функция называется
периодической?
Ответ учеников: Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая
свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то
есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу
некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на
всей области определения.
Учитель: теперь выясним какова область определения данной функции?
𝜋
Ответ учеников: Область определения данной функции будет 𝑥 ∈ ( − +
𝜋𝑛
3
;
𝜋
6
+
𝜋𝑛
3
6
)
Учитель: Теперь давайте докажем выражение
Ответ учеников: Доказательство: Так как 𝑡𝑔
𝑡𝑔
𝑥
3
, 𝑡𝑔
𝑥−3𝜋
3
𝑥
𝑥
3
3
= 𝑡𝑔 ( − 𝜋) = 𝑡𝑔
, то 𝑡𝑔
𝑥
3
𝑥+3𝜋
3
𝑥
= 𝑡𝑔 ( + 𝜋 ) =
3
– периодическая функция с
периодом 3𝜋
 Определить значение 𝑡𝑔𝑥 и 𝑐𝑡𝑔𝑥 при значении 𝑥 равное:
1.
5𝜋
4
; 2)
𝜋
3
;
Решение:
1. 𝑡𝑔
5𝜋
4
= 1(по формулам приведения)
5𝜋
=1
4
𝜋
2. 𝑡𝑔(− ) = −√3
3
с𝑡𝑔
𝜋
√3
𝑐𝑡𝑔 (− ) = −
3
3
Мотивация.
Тангенс и котангенс исходно рассматривались как тени гномонов
(древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела,
колонна, шест), позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень)
определить угловую высоту солнца. Кратчайшая тень указывает и направление
истинного меридиана. Гномоном также называют часть солнечных часов, по тени
от которой определяется время в солнечных часах.) – горизонтального и
вертикального – соответственно на вертикальной и горизонтальной стене. Отсюда
их арабские названия «зилл ма'кус» (обращенная тень) и «зилл мустав» (плоская
тень); затем они стали просто «тенью» и «тенью дополнения». Подобные термины
использовались и в Европе: umbra versa (обращенная тень) и umbra recta (прямая
тень).
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться),
появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов –
касательная к единичной окружности). Функция тангенс — это частное от
деления функции синус на функцию косинус.
Учебная задача.
Изучить функции y = 𝑡𝑔х и y = c𝑡𝑔𝑥 , а именно выявить из свойства и вид
графика.
Тема урока: «Функций y = = 𝑡𝑔х и y = c𝑡𝑔𝑥 , их графики и свойства»
II.
Содержательный этап.
Учитель: Сегодня у нас первый урок изучения нового. С отдельными
тригонометрическими понятиями вы уже могли встречаться на уроках геометрии
и алгебры. А сегодня на уроке мы познакомимся со свойствами и графиками
функций y = tgx и y = ctgx.
Учитель: И так начинаем со свойств функции y = tgx
Рис1
Учитель: Какова область определения функции y = tgx?
Ответ учеников: Рассмотрим функцию y = tgx , это функция не имеет точки
𝜋
принадлежащей прямой 𝑥 = , нет точки принадлежащей прямой 𝑥 =
3𝜋
2
2
𝜋
, нет точки принадлежащей прямой 𝑥 = − .
2
Учитель: Эти прямые проведены пунктиром на рис. 1.
Первое представление о графике получено: он состоит из бесконечного
𝜋
𝜋
множества ветвей (в полосе между 𝑥 = − и 𝑥 = в полосе между 𝑥 =
2
2
𝜋
2
и
3𝜋
2
)
Учитель: Какой является данная функция, чётной или нет?
Ответ учеников: Данная функция является не чётной, т.к. 𝑡𝑔(−𝑥) = − 𝑡𝑔𝑥 .
График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Учитель: Молодцы, всё првильно.
Учитель: Функция y = tgx является периодической?
Ответ учеников: Да. Функция y = tgx является периодической с периодом 𝜋, это
следует из соотношения 𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑡𝑔𝑥.
Учитель: Правильно. График нечетной функции симметричен относительно
начала координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точкам часть
𝜋
графика на промежутке от 0 до , а затем воспользоваться указанной
2
симметрией.
π
Учитель: Приступим к построению графика на полуинтервале [ 0 , ) Выберем
2
контрольные точки:
Учитель: Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них
плавную кривую (рис. 2).
Рис.2
Учитель: Добавим линию, симметричную построенной кривой относительно
начала координат (рис. 3).
Рис.3
Учитель: Воспользовавшись периодичностью, достроим график до конца (рис.
4).
Учитель: На каком интервале возрастает функция y = 𝑡𝑔х ?
Ответ учеников: Функция возрастает на интервале ( −
возьмём 2 точки x1 =
π
4
, x2 =
π
3
π
2
π
, ) т. к. например:
2
. Значение функции y = tgх в данных точках
π
соответственно равно 𝑦(х1 ) = tg = = 1 и 𝑦(х2 ) = tg =
4
𝑡𝑔(х2 ) → что функции y = 𝑡𝑔х возрастает.
π
3
= √3 , 𝑡𝑔(х1 ) <
Учитель: Функция y = 𝑡𝑔х не ограничена ни сверху, ни снизу?
Ответ учеников: Да, функция y = 𝑡𝑔х не ограничена ни сверху, ни снизу.
Учитель: У Функция y = 𝑡𝑔х нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Почему?
Ответ учеников: Т.к. функция y = 𝑡𝑔х не ограничена ни сверху, ни снизу.
𝜋
𝜋
Учитель: Функция y = tgх непрерывна на интервале ( − , ). Почему?
2 2
Ответ учеников: Так как Функция y = 𝑡𝑔х не имеет точек разрыва.
Учитель: В более общем виде — функция непрерывна на любом интервале вида
𝛑
𝛑
(− + 𝛑𝐧, + 𝛑𝐧)
𝟐
𝟐
Учитель: : Решите уравнение графически:
𝑎) 𝑡𝑔𝑥 = √3.
Ответ ученика: Построим в одной системе координат графики функций 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 и
𝑦 = √3.
х

3
2


у

2
32
Решение: затем , находим точки пересечения этих двух графиков ,опускаем
перпендикуляр на ось абсцисс и находим решение данного уравнения.
𝜋
Ответ: решением данного уравнения является: 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
3
𝜋
Учитель: Построить график функции 𝑦 = −𝑡𝑔(𝑥 + )
2
Ответ учеников: Для начала разберемся с главной ветвью тангенсоиды.
1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке
(−
π
2
, 0) (прямая x −
π
2
)
проведена на рис. 3 пунктиром).
2) "Привяжем" функцию y = tgx к новой системе координат — это будет график
π
функции y = −tg(x + ) а точнее, главная ветвь искомого графика (рис.3 —
2
сплошная кривая)
3
2
π
3) Чтобы получить график функции y = −tg(x + ) достаточно построенную
2
ветвь отобразить симметрично относительно оси х (рис.5)
Рис.5
4) Зная одну ветвь, можно построить весь график (рис. 6).
(Рис. 6).
Учитель: На самом деле, на рис. 6 построен график функции. y = ctgx.
Почему? Потому, что имеет место тождество (формула приведения) 𝑐𝑡𝑔𝑥 =
𝜋
−𝑡𝑔(𝑥 + ). График функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 , как и график функции 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥, называют
2
тангенсоидой. Главной ветвью графика функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 обычно называют
ветвь, заключенную в полосе от 0 до 𝜋
Учитель: Вот мы и построили график функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 , теперь разберём все
свойства функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥, так же как мы делали с функцией 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥
Учитель: Какова область определения функции y = ctgx?
Ответ учеников: Область определения функции котангенс:
, Z – множество целых чисел.
Учитель: Каково множество значений данной функции?
Ответ учеников: Область значений функции котангенс:
, где
.
Учитель: Какой является данная функция, чётной или нет?
Ответ учеников: Функция нечетная, так как 𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔 (−𝑥) = −𝑐𝑡𝑔 𝑥 ,
.
Учитель: Функция y = ctgx является периодической?
Ответ учеников: Да. Функция y = ctgx является периодической с периодом 𝜋, это
следует из соотношения 𝑐𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑐𝑡𝑔𝑥.
Учитель: На каком промежутке убывает функция y=ctg x.
Ответ учеников: Функция y = ctgx убывает при
Учитель: Функция y = c𝑡𝑔х не ограничена ни сверху, ни снизу?
.
Ответ учеников: Да, функция y = ctgх не ограничена ни сверху, ни снизу.
Учитель: Функция y = ctgх нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Почему?
Ответ учеников: Т.к. функция y = ctgх не ограничена ни сверху, ни снизу.
Учитель: Функция y = ctgх непрерывна на интервале ( 0 , π). Почему?
Ответ учеников: Так как Функция y = ctgх не имеет точек разрыва.
Учитель: В более общем виде — функция непрерывна на любом интервале вида
( πn, π + πn)
Учитель: Решите графически уравнения.
б) 𝑐𝑡𝑔𝑥 = −
√3
3
Ответ ученика
Решение: Сначала строим график функции 𝑦 = с𝑡𝑔𝑥 , затем строим прямую 𝑦 =
−
√3
3
, находим точки пересечения этих двух графиков ,опускаем перпендикуляр
на ось абсцисс и находим решение данного уравнения.
𝜋
Ответ: решением данного уравнения является: 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
3
III.
Рефлексивно – оценочный этап.
Учитель: Какая была цель нашего урока?
Ответ учеников: Изучить функции y = 𝑡𝑔х и y = c𝑡𝑔𝑥 , а именно выявить из
свойства и вид графика.
Учитель: Как мы достигли поставленной цели на уроке?
Ответ учеников: Мы рассмотрели основные свойства функций и на их основе
построили график данных функций.
Учитель: Молодцы. Теперь запишем домашнее задание.
IV.
Домашнее задание.
1. Построить график функции 𝑦 = 𝑡𝑔2𝑥 + √3 и написать её свойства
Решение:
Свойства функции
𝜋
𝜋𝑛
1. Область определения 𝑥 ∈ ( − +
;
4
𝜋
2
4
+
𝜋𝑛
2
)
2. Множество значений 𝑥 ∈ ℝ
3. 𝑦(−𝑥) = 𝑡𝑔 (−2𝑥) + √3 = −𝑡𝑔 2𝑥 + √3 −
функция являтся общего вида
4. Функция периодическая , с наименьшим положительным периодом
𝜋𝑛
Т=
2
𝜋
𝜋𝑛
4
2
5. Монотонность: 𝑥 ↑ ( − +
;
𝜋
4
+
2
𝑥
𝜋
3
2
2. Построить график функции 𝑦 = 𝑡𝑔 +
Решение:
𝜋𝑛
)
и написать её свойства
Свойства функции
1. Область определение 𝑥 ∈ (−
3𝜋
2
+ 3𝜋𝑛,
3𝜋
2
+ 3𝜋𝑛 )
2. Множество значений 𝑥 ∈ ℝ
3. 𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔 ( −
𝑥
3
+
𝜋
𝑥
𝜋
) = −𝑐𝑡𝑔 ( 3 − 2 ) − данная функция общего вида
2
4. Функция является периодической с наименьшим положительным периодом
Т = 3𝜋
5. Монотонность: 𝑥 ↓ (−
3𝜋
2
+ 3𝜋𝑛,
3𝜋
2
+ 3𝜋𝑛 )