ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Курский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики
УТВЕРЖДАЮ:
Первый проректор −
Проректор по учебной работе
_____________ Е.А.Кудряшов
«____»___________2010г.
Алгебра и аналитическая геометрия.
Математический анализ
Контрольные задания и методические указания
для студентов-заочников специальности 330100
«Безопасность жизнедеятельности в техносфере»
Курск 2010
УДК 519.24.001 .5
Составитель
И.Н.Бурилич
Рецензент
Кандидат технических наук, доцент Моргунова Н.А.
Алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ
[Текст]: контрольные задания и методические указания для студентов-заочников по алгебре, аналитической геометрии и математическому анализу / Курск.гос.техн.ун-т; сост. И.Н.Бурилич, Курск,
2010. 47с. Библиогр.: с.8.
В данной работе содержатся контрольные задания и методические указания, необходимые для выполнения работы.
Работа предназначена для студентов технических специальностей.
Текст печатается в авторской редакции
Подписано в печать ______ . Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 0,56. Уч.-изд. л. 0,52. Тираж 50 экз. Заказ ………...
Курский государственный технический университет.
305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
3
Содержание
Введение……………………………………………………………….4
1. Контрольные задания………………………………………………5
2. Указания к решению типового варианта…………………..…….30
2.1. Пример выполнения задания 1………………………………30
2.2. Пример выполнения задания 2………………………………33
2.3. Указания к заданию 3………………………………………...35
2.3.1. Основные теоретические положения………………...35
2.3.2. Пример выполнения задания 3………………………..37
2.4. Указания к заданию 4……..……………………….…………39
2.4.1. Основные теоретические положения…………...……39
2.4.2. Пример выполнения задания 4……………….………39
2.5. Указания к заданию 5………...………………………………41
2.5.1. Основные теоретические положения…………...……41
2.5.2. Пример выполнения задания 5………………….…….42
2.6. Пример выполнения задания 6………………………….…..44
2.7. Пример выполнения задания 7………………………….…..45
Список рекомендуемой литературы…………………………..…….46
4
Введение
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из
следующего: изучение материала по конспектам лекций и учебникам, самопроверка усвоения материала, решение задач, выполнение
контрольных работ.
В процессе изучения курсов алгебры и аналитической геометрии, математического анализа студент должен выполнить контрольную работу по каждому разделу, главная цель которых  оказать студенту помощь в его работе и подготовке к экзамену.
Каждая работа должна быть выполнена в отдельной тетради.
Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.
В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно
написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр),
название дисциплины. В конце работы следует поставить дату ее
выполнения и подпись студента.
В контрольную работу студента должны быть включены все
задания. Работа, содержащая не все задания, а также задания не
своего варианта, не рассматривается.
Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее
условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно,
объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Все исправления и дополнения, на которые указал рецензент, должны быть выполнены на чистых листах в той же
тетради, что и прорецензированная работа. Вносить исправления в
сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
Контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированной контрольной работы студент не допускается к сдаче экзамена.
5
1.Контрольные задания
Вариант 1
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  x 2  3x 3  7,

2x 1  3x 2  x 3  1,
3x  2x  x  6.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(3; 1; 4), А2(1; 6; 1), А3(1; 1; 6), А4(0; 4; 1).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 2  5x  6
x 2 x 2
 12 x  20
;
3x
б) lim
3x 3  5x 2  2
x  2 x 3
 5x 2  x
;
в) lim
2x 2  3x  5
x  7 x 3
x 1
 2x 2  1
1  cos8x
 2x  3 
 x 4
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.
 ;

x  x  8 
x   5 x  7 
x 0
3x 2
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  1,
x  4,

f ( x )  x 2  2,  1  x  1,
2x,
x  1.

5. Продифференцировать данные функции:
log 5 (3x  7)
a) y 
;
б) y  (x  3) 4  arccos5x 3 ;
3
ctg7 x
в) y  (sin 3x) arccosx ;
г) y  sin 3 2x.
x  (2t  3) cos t ,



6. Найти y x и y xx : 
 y  3t 3.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
2
2
 2u
y
2  u
2  u
x
 2xy
y
 0 данная функция u  .
xy
x
x 2
y 2
;
6
Вариант 2
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  x 2  2x 3  3,

x 1  x 2  2x 3  4,
4x  x  4x  3.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(3; 1; 2), А2(1; 0; 1), А3(1; 7; 3), А4(8; 5; 8).
Составить:
1) уравнение плоскости А1А2А3; 2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 3
6  х  x2
x 3  27
;
б) lim
x 
5x 4  3x 2  7
x 4  2x 3  1
5x
;
в) lim
x 5  2x  4
x  2x 4
 3x 2  1
;
3x
cos x  cos5x
 2x  5 
 x 1 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x   2 x  1 
x   2 x  1 
x 0
2x 2
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  0,
x  1,

f ( x )  ( x  1)2 , 0  x  2,
 x  4,
x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
ln( 7 x  2)
б) y  e cos x  arcsin 2x ;
a) y 
;
5 cos42 x
г) y  tg 4 2x.
x  6 cos3 t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  2 sin 3 t.
в) y  (arccos 5x) ln x ;
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению x
данная функция u  ln
x
 x 3  y3 .
y
u
u
y
 3( x 3  y3 )
x
y
7
Вариант 3
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
3x 1  x 2  x 3  12,

x 1  2x 2  4x 3  6,
5x  x  2x  3.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(3; 5; 4), А2(5; 8; 3), А3(1; 2; 2), А4(1; 0; 2).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
2x 2  7 x  4
4x 3  7 x
a ) lim 2
;
б) lim
;
x  2 x  5x  6
x  2 x 3  4 x 2  5
в) lim
7x 2  7x  4
;
x 5  2x  1
1 2 x
x4
tgx  sin x
 x  2
 5x  8 
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.

 ;
2
x   x  1 
x   x  2 
x 0
3x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  1,
x  2,

f ( x )  x 2  1,  1  x  1,
 x  3, x  1.

x 
5. Продифференцировать данные функции:
а) y 
cos(7 x  1)
;
x5
б) y  e x  tg 4x ; в) y  (ln 7x) ctg2x ; г) y  arcsin 3 2x.
x  e  2 t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  e 4 t .
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
функция u  ln( x 2  ( y  1)2 ).
 2u
x 2

 2u
y2
 0 данная
8
Вариант 4
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  x 2  3x 3  4,

x 1  3x 2  x 3  11,
x  2x  2x  7.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(2; 4; 3), А2(1; 1; 5), А3(4; 9; 3), А4(3; 6; 7).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 1 / 3
3x 2  2x  1
27 x 3  1
;
3x  2
б) lim
x 
7 x 3  2x 2  4x
2x 2  5
;
в) lim
2x 3  7 x  1
x  3x 4
 2x  5
;
4x
tg 2 x  sin 2 x
 2x  1 
 x 1 
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.
 ;

x   x  4 
x   x  1 
x 0
x2
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  0,
 x ,

f ( x )   ( x  1) 2 , 0  x  2,
x  3, x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
ecos 4 x
a) y 
;
б) y  ln( x  3)  arccos3x ;
2x  5
в) y  (cos 2x) arcsin 4x ;
г) y  ctg 4 (5x  1).
x  2 cos2 t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  3 sin 2 t.
 2u
u
 (1  y ln x )
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению y
xy
x
данная функция u  x y .
9
Вариант 5
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить
ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
3x 1  2x 2  4x 3  12,

3x 1  4x 2  2x 3  6,
2x  x  x  9.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(9; 5; 5), А2(3; 7; 1), А3(5; 7; 8), А4(6; 9; 2).
Составить:
1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
3x 2  2x  1
x 1  x 2
х2
;
б) lim
x 3  4x 2  28x
x  5x 3  3x 2
2 x 3
 x 1
;
в) lim
x 
3x 6  5x 2  2
2x  4x  5
3
;
x 2
 1
1 
 x 2
 x 3 
.
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim 


 ;
x  x  1 
x   2 x  4 
x 0 tgx sin x 
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
 2( x  1), x  1,

f ( x )  ( x  1)3 ,  1  x  0,
x ,
x  0.

5. Продифференцировать данные функции:
tg3x
a) y  x ;
б) y  (x  2) 4  arcsin 5x 4 ;
e
2x
в) y  (sin 4x ) e ;
г) y  ctg 5 (6x 2  x).
x  t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
y  5 t .
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению x
функция u 
xy
.
xy
u
u
y
 2u данная
x
y
10
Вариант 6
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
8x 1  3x 2  6x 3  4,

x 1  x 2  x 3  2,
4x  x  3x  5.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(0; 7; 1), А2(2; 1; 5), А3(1; 6; 3), А4(3; 9; 8).
Составить:
Вычислить:
1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 2
x3  8
x2  x  6
;
2x
б) lim
x 
3x 2  10 x  3
2 x 2  5x  3
;
в) lim
x 
7 x 2  5x  9
1  4x  x 3
;
x 3
sin 7 x  sin 3x
 3x  4 
 5x  3 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x  3x  2 
x   x  4 
x 0
x sin x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
 x, x  0,

f ( x )  x 2 , 0  x  2,
x  1, x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
earccos x
a) y  2
;
б) y  4 sin x  arctg3x ;
2x  3x
в) y  (cos(x  2)) ln x ;
г) y  ln 5 (3x 3  x).
x  4 t  2 t 2 ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  5t 3  3t 2 .
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению x
данная функция u  exy .
2
 2u
x 2
y
2
 2u
y2
 2u
11
Вариант 7
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
4x 1  x 2  3x 3  9,

x 1  x 2  x 3  2,
8x  3x  6x  12.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(5; 5; 4), А2(1; 1; 4), А3(3; 5; 1), А4(5; 8; 1).
Составить:
1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 4
x 2  16
x 2  x  20
б) lim
;
x 
 3x 4  x 2  x
x 4  3x  2
4x 2
;
в) lim
x 
3x 4  2x  5
2x 2  x  7
;
2x
cos2x  cos4x
 x 5 
x 7
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.
 ;

x   x  1 
x   3x  4 
x 0
3x 2
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x 2  1, x  1,

f ( x )  2x,
1  x  3,
x  2,
x  3.

5. Продифференцировать данные функции:
cos(7 x  1)
a) y 
;
б) y  (x  5) 3  arctg2x ;
log 3 ( x  2)
в) y  (arccos x )
cos x
;
г) y  ctg 4 2x.
x  e t cos t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  e t sin t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению a
функция u  sin 2 (x  ay).
2
 2u
x 2

 2u
y2
данная
12
Вариант 8
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее:
а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  3x 2  4x 3  33,

 24,
7 x 1  5x 2
4x
 11x 3  39.
 1
2. Даны точки: А1(6; 1; 1), А2(4; 6; 6), А3(4; 2; 0), А4(1; 2; 6).
Составить:
1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
3x 2  7 x  6
x 3 2 x 2
 7x  3
x
;
б) lim
x 
2x 2  7 x  3
5x 2  3x  4
в) lim
;
x 
3x 4  2x  5
2x 2  x  7
;
5x
tg3x  sin 3x
 x2 
 2  3x 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x  5  3x 
x   3x  1 
x 0
2x 2
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  3, x  0,

f ( x )  x  1, 0  x  4,
3  x, x  4.

5. Продифференцировать данные функции:
2x 3  x
a ) y   2 x ; б) y  tg3x  arctgx ; в) y  (cos 5x ) arctg
e
x  arctg t ,
 : 
6. Найти yx и yxx
 y  ln(1  t 2 ).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению x
функция u  y 
y
.
x
2
x
; г) y  ln 4 (3x 2  x).
 2u
x 2
y
2
 2u
y2
 0 данная
13
Вариант 9
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить
ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  3x 2  4x 3  12,

7 x 1  5x 2  x 3  33,
4 x
 x 3  7.
 1
2. Даны точки: А1(7; 5; 3), А2(9; 4; 4), А3(4; 5; 7), А4(7; 9; 6).
Составить:
1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 1
5x 2  4 x  1
3x 2  x  2
;
2x
б) lim
x 
 x 2  3x  1
3x 2  x  5
;
в) lim
3x  x 6
x 
x 2  2x  5
;
3x
1  cos 6x
 4x  1 
 x2 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x   4 x  1 
x  3x  10 
x 0 x  arctgx
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
 1  x , x  0,

f ( x )  0,
0  x  2,
x  2,
x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
arcsin 4x 5
б) y  cos x  arctg 2 x ;
a) y 
;
e 2 x
г) y  ctg 7 (4x 2  x).
x  5 cos2 t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  3 sin 2 t.
в) y  (ln( x  3)) sin
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
функция u  ln( x 2  y2 ).
 2u
x 2

 2u
y2
x
;
 0 данная
14
Вариант 10
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
x 1  4x 2  x 3  6,

5x 2  4x 3  20,

3x  2x  5x  22.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(6; 8; 2), А2(5; 4; 7), А3(2; 4; 7), А4(7; 3; 7).
Составить:
1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 1
7 x 2  4x  3
2x  3x  1
2
;
2x
б) lim
x 
x 3  3x 2  10
7 x  2x  1
3
;
в) lim
2x 3  7 x 2  4
x 
x  5x  1
4
;
2x
1  cos 6x
 4x  1 
 x3 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x   4 x  1 
x   3x  1 
x 0 x arctg 5x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
2x 2 , x  0,

f ( x )  x ,
0  x  1,
2  x, x  1.

5. Продифференцировать данные функции:
arccos5x
a) y 
;
б) y  e cos x  ctg8x 3 ;
3x
в) y  ( x  5) arcsin 3x ;
г) y  sin 5 (4x 3  x 2 ).
x  ln sin t,
 : 
6. Найти y x и yxx
y  cos t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению a
функция u  e cos(x ay) .
2
 2u
x 2

 2u
y2
данная
15
Вариант 11
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
3x 1  2х 2  4x 3  21,

3x 1  4x 2  2x 3  9,
2x  x  x  10.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(4; 2; 5), А2(0; 7; 1), А3(0; 2; 7), А4(1; 5; 0).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 2
2x 2  9x  10
x 2  3x  10
;
б) lim
x 
4 x 2  5x  7
2x 2  x  10
x 2
;
в) lim
2 x 2  5x  7
x  3x 4
 2x 2  x
4x
1  cos2 2 x
 2x  1 
 3x  7 
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.

 ;
x  2 x  1 
x   x  4 
x 0 x arcsin x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  0,
x  1,
 2
f ( x )  x  1, 0  x  1,
 x,
x  1.

5. Продифференцировать данные функции:
sin 5x
б) y  arccos5x  tgx 4 ;
a) y 
;
e 8x
2x
в) y  (log 5 (2x  5)) e ;
г) y  ctg 7 4x.
x  arcsin t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
y  ln t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
данная функция u  ( x  y)( y  z)(z  x ).
u u u


0
x y z
;
16
Вариант 12
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
3x 1  2x 2  5x 3  5,

2x 1  3x 2  4x 3  12,
x  2x  3x  1.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(4; 4; 10), А2(7; 10; 2), А3(2; 8; 4), А4(9; 6; 9).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 2
 5x 2  11x  2
3x 2  x  10
;
б) lim
x 
x
1  4x  x 4
x  3x 2  2x 4
;
в) lim
x 
3x 3  4x 2  7 x
2x 2  7 x  3
2x
xtg 2x
 x  3
 5x  7 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x   x  4 
x  x  6 
x 0 1  cos 3x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  0,
x  1,
 2
f ( x )  x ,
0  x  2,
2 x ,
x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
arcsin 3x
б) y  2 sin x  arccos x ;
a) y 
;
( x  7) 2
в) y  ( tg 4 x )
x 5
г) y  ln 6 (4x 2  x).
x  arcsin t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  1  t 2 .
;
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
данная функция u  x ln
y
.
x
x
u
u
y
u
x
y
;
17
Вариант 13
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
4x 1  x 2  4x 3  19,

2x 1  x 2  2x 3  11,
x  x  2x  8.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(4; 6; 5), А2(6; 9; 4), А3(2; 10; 10), А4(7; 5; 9).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
3x 2  6x  45
x 5 2x 2
 3x  35
;
б) lim
x 
x 1
7 x 3  4x
x  3x  2
3
;
в) lim
x 
5x 2  3x  1
1  2x  x
4
x
;
cos x  cos3 x
 4  2x 
 1  2x 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x  1  2 x 
x   3  x 
x 0
5x 2
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  0,
 x,

f ( x )  x 2  1, 0  x  2,
x  1,
x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
lg(11x  2)
б) y  e cos x  arctg2x ;
a) y 
;
cos 5x
в) y  (sin 7x) arccosx ;
г) y  cos4 (4x 4  5x).
x  ln 2 t ,



6. Найти y x и y xx : 
 y  t  ln t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
данная функция u  ln( x 2  y 2 ).
y
u
u
x
0
x
y
18
Вариант 14
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  x 2  2x 3  0,

4x 1  x 2  4x 3  6,
x  x  2x  4.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(3; 5; 4), А2(8; 7; 4), А3(5; 10; 4), А4(4; 7; 8).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 2  2x  35
x 5 2 x 2
 11x  5
;
x 2
б) lim
x 
3x 2  4x  2
6 x 2  5x  1
;
в) lim
x 
2x 3  3x 2  5
3x 2  4x  1
3x
1  cos 4x
 3x 
 3x  1 
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.

 ;
x  3x  2 
x   2 x  5 
x 0 x sin x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  3, x  0,

f ( x )  1,
0  x  2,
 2
x  2, x  2.
5. Продифференцировать данные функции:
2
ctg(2x  3)
б) y  cos x  5 x ;
a) y 
;
log 3 x
в) y  (ln( 7x  5)) arctg5x ;
г) y  tg 7 (4x  5).
x  sin 2t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  cos2 t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
y2
u
2 u
2
 arcsin( xy ).
x
 xy
 y  0 данная функция u 
3x
x
y
;
19
Вариант 15
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  x 2  2x 3  8,

x 1  x 2  2x 3  11,
4x  x  4x  22.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(10; 9; 6), А2(2; 8; 2), А3(9; 8; 9), А4(7; 10; 3).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 0
x 3  x 2  2x
x2  x
;
б) lim
x 
8x 4  4 x 2  3
2x 4  1
x 1
;
в) lim
x 
6 x 2  5x  2
4x 3  2x  1
2x
arcsin 5x
 3x  4 
 3 x 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x    3x  5 
x  9 x  4 
x 0 x 2  x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  1,
 x  1,
 2
f ( x )  x  1,  1  x  2,
2x,
x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
arccos x
б) y  e sin x  tg7x 6 ;
a) y 
;
2x
в) y  (log 4 2x) arcsin x ;
г) y  arcctg3 (3x  2).
x  arcsin( t 2  1),
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  arccos 2t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
данная функция u  ln( x 2  y 2  2x  1).
 2u
x
2

 2u
y
2
0
;
20
Вариант 16
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  x 2  3x 3  9,

x 1  5x 2  x 3  20,
3x  4x  2x  15.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(1; 8; 2), А2(5; 2; 6), А3(5; 7; 4), А4(4; 10; 9).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 1
2x 3  x 2  1
3x 2  x  2
б) lim
;
x 
3 2 x
8x 2  4 x 2  5
4x 2  3x  2
;
в) lim
11x 3  3x
x 
2x 2  2x  11
;
x
 1
1 
 x 
 2x  1 
.
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim 


 ;
x  x  1 
x  x  1 
x 0 sin 2 x
tg 2 x 
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  0,
1,

f ( x )  2 x ,
0  x  2,
x  3, x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
sin 5x
б) y  tg 2x  cos 7x 3 ;
a) y 
;
2 x
e
в) y  (arctg(x  7)) cos 2x ;
г) y  ln 6 (5x 4  2x).
t

x  sin ,

 : 
6. Найти y x и yxx
2
 y  cos t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
данная функция u 
2 x  3y
x y
2
2
.
x
u
u
y
u0
x
y
21
Вариант 17
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  x 2  3x 3  0,

3x 1  4x 2  2x 3  1,
x  5x  x  3.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(6; 6; 5), А2(4; 9; 5), А3(4; 6; 11), А4(6; 9; 3).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 3
12  x  x 2
x 3  27
;
б) lim
x 
x
3x 4  6x 2  2
x 4  4x  3
;
в) lim
x 
8x 2  3x  5
4x 3  2x  1
3x 1
;
1  cos 5x
 1  2x 
 2x  1 
г ) lim 
д) lim 
;
е) lim
.
 ;

2
x   3  2 x 
x  4 x  1 
x 0
2x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
 x  2, x  2,

f ( x )  x 3 ,
 2  x  1,
2,
x  1.

5. Продифференцировать данные функции:
arcsin(3x  8)
б) y  ln( x  10)  arccos 4x ;
a) y 
;
5x
x
в) y  (ctg5x ) e ;
г) y  sin 5 (3x 3  2).
x  e 2 t ,



6. Найти y x и y xx : 
 y  cos t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
y
данная функция u  arctg .
x
 2u
x 2

 2u
y 2
0
22
Вариант 18
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
 3x 1  5x 2  6x 3  8,

3x 1  x 2  x 3  4,
x  4x  2x  9.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(7; 2; 2), А2(5; 7; 7), А3(5; 3; 1), А4(2; 3; 7).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
a ) lim
x 2  4x  5
x 1 x 2
 2x  3
;
б) lim
x 
x
2x 3  7 x  2
3x  x  4
3
;
в) lim
x 
6 x 3  5x 2  3
2x  x  7
2
2 x 1
;
sin 2 3x  sin 2 x
 2x  1 
 x 1 
г ) lim 
;
д
)
lim
;
е
)
lim
.



2
x  2 x  4 
x  3x  1 
x 0
x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  1,
3x  4,

f ( x )  x 2  2,  1  x  2,
x ,
x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
tg5x
б) y  4 sin x  arctg3x ;
a) y 
;
ln( x  7)
в) y  ( tg 3x 4 )
x
;
г) y  cos7 (2x 3  x).
x  t 2  1,
 : 
6. Найти y x и yxx
2
 y  e t .
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
x
данная функция u  arctg .
y
x
u
u
y
0
x
y
23
Вариант 19
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
3x 1  x 2  x 3  4,

 3x 1  5x 2  6x 3  36,
x  4x  2x  19.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(8; 6; 4), А2(10; 5; 5), А3(5; 6; 8), А4(8; 10; 7).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
3x 2  11x  6
3x 2  5x  7
3x 2  4x  7
a ) lim
;
б) lim
;
в) lim
;
x 3 2x 2  5x  3
x  3x 2  x  1
x  x 4  2x 3  1
4x
5x
1  cos2 x
 2x 
 x 1 
г ) lim 
;
д
)
lim
;
е
)
lim
.



x  1  2 x 
x  2 x  1 
x 0
xtgx
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  1,
x ,

f ( x )  ( x  2) 2 , 1  x  3,
 x  6,
x  3.

5. Продифференцировать данные функции:
arctg3x
б) y  5 x  arcsin 3x 2 ;
a) y 
;
x 5
в) y  ( x  5 ) arccos3x ;
г) y  sin 4 (5x 2  x).
x  t  sin t,
 : 
6. Найти y x и y xx
y  1  cos t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
u  2 u u  2 u



 0 данная функция u  ln( x  e  y ).
x xy y x 2
24
Вариант 20
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
3x 1  x 2  x 3  11,

5x 1  x 2  2x 3  8,
x  2x  4x  16.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(1; 1; 3), А2(6; 5; 8), А3(3; 5; 8), А4(8; 4; 1).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
x2  x  2
3x 2  2x  9
8x 5  4 x 3  3
a ) lim
;
б) lim
;
в) lim
;
x 1 x 3  1
x  2 x 2  x  4
x  2x 3  x  7
3x
x 1
arcsin 5x
1 x 
 2x  1 
г ) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
 ;
x  2  x 
x   3x  1 
x0 sin 3x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  1, x  1,

f ( x )  x 2  2, 1  x  2,
 2x, x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
tg3x
б) y  e cos x  ctg8x 3 ;
a) y 
;
x
в) y  (ctg 7 x )
x 3
;
г) y  ln 7 (5x 3  3x).
x  2t 2  t ,
 : 
6. Найти y x и y xx
 y  ln t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
x 2  y2
.
данная функция u 
xy
u u x  y


x y x  y
25
Вариант 21
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
3x 1  x 2  x 3  9,

5x 1  x 2  2x 3  11,
x  2x  4x  19.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(1; 2; 7), А2(4; 2; 10), А3(2; 3; 5), А4(5; 3; 7).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
4x 2  11x  3
3x 4  2x  1
2x 2  7 x  1
a ) lim
;
б) lim
;
в) lim
;
x 3 x 2  2x  3
x  x 4  x 3  2 x
x  x 3  4x 2  3
3x 1
x
tg3x
 2x  1 
 2x  3 
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.

 ;
x  2 x  4 
x   7 x  4 
x0 2 sin x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x 3 ,
x  1,

f ( x )  x  1,
 1  x  3,
 x  5,
x  3.

5. Продифференцировать данные функции:
e  sin 2 x
a) y 
;
б) y  ctg4x 3  arccos5x ;
2x  3
в) y  (arctg2x) sin x ;
г) y  log 32 (5x  4).
x  3 cos t ,
 : 
6. Найти y x и y xx
 y  4 sin 2 t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
ная функция u  2xy  y 2 .
u u 2 y


x y u
дан-
26
Вариант 22
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
2x 1  3x 2  4x 3  3,

3x 1  3x 2  5x 3  2,
x  x  3x  4.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(4; 1; 4), А2(0; 6; 1), А3(0; 1; 6), А4(1; 4; 1).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
1  4x  x 4
x2 1
x 2  5x  1
;
; в) lim
а) lim
б) lim
x  1 x 2  5x  4
x  5  6 x 2  2
x  x  3x 2  2x 4
4x
x 1
cos 7 x  1
 2x 
 3x  8 
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.

 ;
x  1  2 x 
x   5 x  1 
x 0 x  sin 5x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  4, x  1;

f ( x )  x 2  2,  1  x  1;
 2x,
x  1.

5. Продифференцировать данные функции:
arccos x
б) y  e cos x  arcsin 2x ;
a) y 
;
2x
в) y  ( x  5 ) arccos3x ;
г) y  ctg 5 (6x 2  x).
x  e t cos t ,
 : 
6. Найти y x и y xx
 y  e t sin t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
данная функция u  y 
y
.
x
x
2
 2u
x 2
y
2
 2u
y2
0
27
Вариант 23
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
x 1  2 x 2  3x 3  6,

3x 1  3x 2  x 3  8,
2x  2x  3x  1.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(8;4; 5), А2(-4; 6; 1), А3(4; 6; 8), А4(5; 8; 2).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
x 2  x  12
x 1 x2
;
;
а) lim
б) lim
x 4 x 2  16
x  3  x  2 x 2
в) lim
x 
7 x 3  6x  1
x  x 1
3
2
2 x 1
2
;
3x
1  x 2 
lg(1  2x )
 1 x 

;
г) lim 
д) lim 
е) lim
.
 ;
x   2  x 
x  x 2 
x 0 sin 6 x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x  2;
 4,
 2
f ( x )  x ,  2  x  2;
x  2, x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
arcsin(3x  8)
б) y  cos x  arctg 2 x ;
a) y 
;
5x
в) y  ( x  5 ) arccos3x ;
г) y  ctg 5 (6x 2  x).
x  5 cos2 t ,
 : 
6. Найти y x и y xx
 y  3 sin 2 t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
y2
u
u
 arcsin( xy ).
x2
 xy
 y 2  0 данная функция u 
3x
x
y
28
Вариант 24
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности. решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
7 x 1  5x 2  34,

4 x 1  11x 2  36,
2 x  3x  4 x  20.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(4; 6; 2); А2(5; 4; 7); А3(2; 4; 5); А4(7; 3; 0).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
а ) lim
x 2
x 2  3x  10
x 4
2
;
5x 2
б) lim
x 
2x 3  7 x 2  2
6x  4x  3
3
в) lim
x 
6 x 2  5x  2
4x  2x  1
2x
3
;
arcsin 5x
 3x  1 
 3 x 
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.

 ;
x    3x  8 
x  9 x  4 
x 0 x 2  x
4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
x 2  1, x  1;

f ( x )   2,
 1  x  1;
3x  1, x  1.

5. Продифференцировать данные функции:
arccos x
б) y  e sin x  tg7x 6 ;
a) y 
;
2x
в) y  (cos 2x) arcsin 4x ;
г) y  arcctg3 (3x  2).
t

x  sin ,

 : 
6. Найти y x и yxx
2
 y  cos t.
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению
y2
u
u
 arcsin( xy ).
x2
 xy
 y 2  0 данная функция u 
3x
x
y
29
Вариант 25
1. Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы
x 1  3х 2  x 3  1,

x 1  2x 2  4x 3  19,
3x  x  3x  13.
2
3
 1
2. Даны точки: А1(6; 1; 1), А2(4; 6; 6), А3(4; 2; 0), А4(1; 2; 6).
Составить: 1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
Вычислить: 4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
3. Найти указанные пределы
а ) lim
x 3
x 2  7 x  30
9  x2
б) lim
;
x 
6 x 3
2x 3  7 x 2  2
6x 3  4x  3
в) lim
x 
6 x 2  5x  2
4x 3  2x  1
;
2x
arcsin 5x
 5x  2 
 3 x 
г ) lim 
;
д) lim 
е) lim
.

 ;
x  5 x  1 
x  9 x  4 
x 0 x 2  x
4. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики
4x  3, x  1;

f ( x )   x 2 , 1  x  2;
 5,
x  2.

5. Продифференцировать данные функции:
tg5x
б) y  cos x  arctg 2 x ;
a) y 
;
ln( x  7)
2x
в) y  (log 5 (2x  5)) e ;
г) y  ln 6 (5x 4  2x).
x  5 cos2 t ,
 : 
6. Найти y x и yxx
 y  3 sin 2 t.
 2u
u
 (1  y ln x )
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению y
xy
x
данная функция u  x y .
30
2. Указания к решению типового варианта
2.1. Пример выполнения задания 1
1. Дана система линейных уравнений
x 1  5x 2  x 3  3,

2x 1  4x 2  3x 3  2,
3x  x  3x  7.
 1
2
3
Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной
матрицы
Решение: Совместность данной системы проверим по теореме
Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований
найдем ранг матрицы данной системы
1 5  1
A  2 4  3


3  1  3
и ранг расширенной матрицы
1 5  1 3 
A  2 4  3 2  .
3  1  3  7
Для этого умножим первую строку матрицы А на (2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (3) и сложим с
третьей, поменяем местами второй и третий столбец. Получим
 1 3  1  1 5 3 
1 5  1 3  1 5
A  2 4  3 2  ~ 0  6  1  4  ~ 0  1  6  4  .
3  1  3  7 0  16 0  16 0 0  16  16
Следовательно, r (A)  r ( A )  3 , т.е. система совместна. Так
как r  n  3 (т.е. числу неизвестных), то система линейных уравнений имеет единственное решение.
а) по формулам Крамера решение системы имеет вид
31


1
x2  2 ;
;
x3  3 ,



где   главный определитель системы,
 j  вспомогательные определители ( j  1,2,3) , у которых j-й
столбец заменен столбцом свободных членов
Находим
1 5 1
x1 
  2 4  3  1  4  (3)  2  (1)  (1)  5  (3)  3 
3 1  3
 (1)  4  3  (1)  (3)  1  2  5  (3)  16;
3
5 1
1  2
4  3  64;
 7 1  3
1 3 1
 2  2 2  3  16;
3 7 3
1 5
3
3  2 4
2  32;
3 1  7
32
64
 16
 4; x 2 
 1; x 3 
 2.
Таким образом, x 1 
 16
 16
 16
б) Для нахождения решения системы матричным методом, запишем систему линейных уравнений в матричной форме.
Если обозначить
1 5  1
A  2 4  3  матрицу коэффициентов при неизвестных;


3  1  3
 3
B   2   столбец свободных членов;
 
 7
32
 x1 
X   x 2   столбец неизвестных,
 
 x 3 
то систему линейных уравнений можно записать в виде матричного
уравнения:
А  Х  В.
Решение системы в матричной форме имеет вид
X  A 1  B .
Найдем обратную матрицу по формуле
1
A 1 
 (A v ) T ,
det A
1 5 1
Она существует, так как det A  2 4  3  16  0.
3 1  3
Найдем алгебраические дополнения:
4 3
A11  (1) 2
 12  3  15 ;
1  3
A 12  (1) 3
2 3
 (6  9)  3 ;
3 3
A13  (1) 4
2 4
 2  12  14 ;
3 1
A 21  (1) 3
5 1
 (15  1)  16 ;
1  3
A 22  (1) 4
1 1
 3  3  0 ;
3 3
A 23  (1) 5
1 5
 (1  15)  16 ;
3 1
A 31  (1) 4
5 1
 15  4  11;
4 3
33
A 32  (1) 5
1 1
 (3  2)  1;
2 3
A 33  (1) 6
1 5
 4  10  6 ,
2 4
A 1
 15 16  11
1 

3 0
1 .

 16 
 14 16  6 
Решение системы:
 15 16  11  3 
 45  32  77
1 
1
 907  
X
3 0
1  2  
    16 

 16 
 14 16  6   7
 42  32  42
 64   4
1 

 16   1  .
  
 16 
 32   2
x 3  2.
Получили,
x 1  4;
x 2  1;
2.2. Пример выполнения задания 2
Даны точки: А1(4; 7; 8), А2(1; 13; 0), А3(2; 4; 9), А4(1; 8; 9).
Составить:
1) уравнение плоскости А1А2А3;
2) уравнение прямой А1А2;
3) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости A 1A 2 A 3 ;
Вычислить:
4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью A 1A 2 A 3 ;
5) площадь основания А1А2А3;
6) объем тетраэдра А1А2А3А4.
Решение:
1) уравнение плоскости А 1А 2 А 3 имеет вид
34
x  x1
x 2  x1
x 3  x1
y  y1
y 2  y1
y 3  y1
z  z1
z 2  z1  0 ,
z 3  z1
x 4 y 7 z 8
x 4 y7 z 8
 1  4 13  7 0  8  0,
5
6
 8  0.
24 47 98
2
3
1
Раскроем определитель третьего порядка
6  1  ( x  4)  (5)  (3)  (z  8)  ( y  7)  (8)  (2) 
 (z  8)  6  (2)  (3)  (8)  ( x  4)  ( y  7)  (5)  1  0,
Раскрыв скобки и упростив, получим уравнение плоскости
A1A 2 A 3
6x  7 y  9z  97  0,
где нормальный вектор плоскости имеет вид: n  (6;7;9) .
2) уравнение прямой A1A 2  это уравнение прямой, проходящей через две точки
x  x1
y  y1
z  z1


,
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
y7 z 8
x4


,
 1  4 13  7 0  8
x 4 y7 z 8


,
5
6
8
где направляющей вектор прямой A1A 2 имеет вид s  (5; 6;8) .
3) из условия перпендикулярности прямой A 4 M и плоскости
A 1 A 2 A 3 следует, что в качестве направляющего вектора прямой S
можно взять нормальный вектор n  (6;7;9) плоскости A1A 2 A 3 .
Тогда уравнение прямой A 4 M запишется в виде
x  x 4 y  y4 z  z4


,
m
n
p
x 1 y  8 z  9


.
6
7
9
4) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью A1A 2 A 3 есть
A1 A 4 :
угол
между
направляющим
вектором
прямой
35
S1  (1  4; 8  7; 9  8)  (3; 1; 1) и нормальным вектором плоскости A 1A 2 A 3 : n  (6;7;9)
| (n, S) |
| Am  Bn  Cp |
sin  


2
2
2
2
2
2
| n || S |
A B C  m n p

| (3)  6  1  (7)  3  (9) |

34
 0,8.
166  11
6 2  (7) 2  (9) 2  (3) 2  12  12
1
5) известно, что S A1A 2 A3  | [A1A 2 , A1 A 3 ] | . Находим
2
A1A 2  (1  4; 13  7; 0  8)  (5; 6;  8) ,
A1A 3  (2  4; 4  7; 9  8)  (2;  3; 1) ,
i
j
k
[A1A 2 , A1A 3 ]   5 6  8 
2 3 1
 6i  15k  16 j  12k  24i  5 j  18i  21j  27k.
Тогда имеем:
1
1
1
(18) 2  (21) 2  (27) 2 
324  441  729 
1494 .
2
2
2
1
6. Поскольку Vтэтр  | ([A1A 2 , A1A 3 ], А1А 4 ) | , то
6
A1A 2  (5; 6;8),
S A1A 2 A3 
A1A 3  (2;  3;1),
A1A 4  (3;1;1),
5 6 8
([A1A 2 , A1A 3 ], А1А 4 )   2  3 1 
3 1
1
 15  16  18  72  5  12  102,
1
Vпир   102  17 (куб.ед.)
6
36
2.3. Указания к заданию 3
2.3.1. Основные теоретические положения
При вычислении пределов необходимо помнить их свойства:
если существуют конечные lim f ( x )  A, lim g(x)  B , то
x a
x a
1. lim[f (x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x)  A  B,
x a
x a
x a
т.е. предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций.
Замечание: Если A  , B   , то это свойство не верно и
имеем неопределенность [  ] .
2. lim(f (x)  g(x))  lim f (x)  lim g(x)  A  B,
x a
x a
x a
т.е. предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.
Замечание: Если A  , B  0 , то это свойство не верно и
имеем неопределенность [  0] .
Если f (x)  C, где C  const , то lim[C  f ( x)]  C  lim f (x),
x a
x a
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.
f (x) A

(B  0),
x a g ( x )
B
т.е. предел частного двух функций есть частное пределов этих
функций.
Замечание: Если A  , B   или А=0, В=0, то это свойство

0
не верно и имеем неопределенность [ ] или [ ] .

0
3. lim
4. lim[f (x )]g ( x )  A B .
x a
Замечание: Если A  1, B   , или A  0, B  0 , или A  
B  0 , то это свойство не верно и имеем неопределенность [1 ] ,
или [0 0 ], или [ 0 ] .
37
Первый замечательный предел
sin x
0
 1, неопределенность [ ] .
x 0 x
0
lim
Следствия:
x
 1,
1. lim
x 0 sin x
x
 1,
3. lim
x 0 tgx
arctgx
 1,
5. lim
x 0
x
x
 1.
7. lim
x 0 arctgx
tgx
 1,
x 0 x
arcsin x
 1,
4. lim
x 0
x
x
1
6. lim
x 0 arcsin x
2. lim
Второй замечательный предел
n
 1
lim 1    e , неопределенность [1 ] , e  2,7 .
n 
n
Следствия:
x
 1
1. lim 1    e ,
2. lim (1  x )1/ x  e ,
x 
x 0
x
log a (1  x )
ln(1  x )
 log a e ,
 1,
3. lim
4. lim
x 0
x

0
x
x
x
x
a 1
e 1
 ln a ,
 1.
5. lim
6. lim
x 0
x 0
x
x
Некоторые типы пределов
P (x)
При вычислении предела вида lim n
можно выделить
x  P ( x )
m
три случая:
1 случай: степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя (n < m), то такой предел равен 0;
2 случай: степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя (n > m), то такой предел равен ;
38
3 случай: степени многочленов числителя и знаменателя равны (n=m), то такой предел равен отношению коэффициентов при
старших степенях.
2.3.2. Пример выполнения задания 3
а) lim
x 2  7 x  10
.
8x
Подставляя вместо переменной x  2 , получим неопределен0
ность вида   , которая легко раскрывается, если и численность и
0
знаменатель разложить на множители. Для разложения числителя
найдем корни уравнения
x 2  7x  10  0,
73
73
x1 
 5; x 2 
 2.
D  (7) 2  4  10  9 ,
2
2
Используя формулу ax 2  bx  c  a ( x  x1 )( x  x 2 ), получаем
x 2
3
x 2  7 x  10  ( x  5)( x  2). Выражение 8  x 3 раскладывается как
разность кубов, т.е. 8  x 3  (2  x )(4  2x  x 2 ) . Таким образом, получим
x 2  7 x  10  0 
( x  2)( x  5)
lim


lim
 0  x 2 (2  x )(4  2x  x 2 ) 
x 2
8  x3
( x  2)( x  5)
x 5
 lim


lim

x 2  ( x  2)( 4  2 x  x 2 )
x 2 4  2 x  x 2
25
3 1



 .
2
12
4
4  22  2
2x 3  x  5
б) lim 3
.
x  x  x 2  1
 
Имеем неопределенность вида   . Чтобы ее раскрыть,
 
вынесем и в числители и в знаменателе переменную в большей степени, т.е. x 3 , за скобку, получим
39
1
5 

x32  2  3 
2x  x  5   

x
x   2  0  0  2.
lim 3


lim
   x  3  1 1 
x  x  x 2  1
1 0  0
x 1   3 
 x x 
3
в)
 10 3 
x3 2  3 
10x  3
 
x
x   0  0  0  0.
lim


lim
   x  3 
x  2 x 3  4 x  3
4
3  200 2
x 2  2  3 

x
x 
 2x  1 
г) lim 

x  2 x  1 
3x 1
 2x  1 
 [1 ]  lim 1 
 1
x 
2x  1 

 2x  1  2x  1 
 lim 1 

x  
2x  1


2(3x 1)
e x  2 x 1
lim

6x 2
e x  2 x 1
lim
1 7 x
3 x 1

3x 1

2
2 x 1  2 x 1( 3 x 1)
 2 

2

 lim 1 

x  
2x  1 

2
x ( 6 )
x
lim
1
x 
x ( 2 )
x
e
1 7 x

6 0
e 2 0

6
e2


 e3 .
 4x  3 
 4
 lim  
 lim (2)17 x  2   0.
д) lim 

x  2 x  5 
x  2 
x 
cos x  cos 3 x  0 
cos x (1  cos 2 x )
    lim

е) lim
2
2
x 0
x

0
0
4x
 
4x
2
cos x  sin x
cos x cos x 1
 lim

lim

 .
x 0
x 0 4
4
4
4 x2

40
2.4. Указания к заданию 4
2.4.1. Основные теоретические положения
Для непрерывности функции f(x) в точке x 0 необходимо и достаточно выполнение условий:
1. функция f(x) должна быть определена в точке x 0 , т.е. можно
вычислить значение f ( x 0 ) ;
2. должны существовать и быть конечными односторонние пределы
A  lim0 f ( x ); B  lim 0 f ( x )
x x 0
x x 0
3. A  B  f ( x 0 ) .
Если все эти три условия выполнены, то x 0  точка непрерывности функции f(x).
Точки разрыва функции можно разделить на устранимый разрыв, точки разрыва первого и второго рода. У точек разрыва первого рода односторонние пределы должны существовать, быть конечными, но не равными друг другу. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то x 0 есть точки
разрыва второго рода.
2.4.2.Пример выполнения задания 4
Исследовать данную функцию на непрерывность и построить
ее график
x 2 ,
x0

f ( x )  ( x  1) 2 , 0  x  2,
5  x,
x  2.

Решение. Функция f(x) определена и непрерывна на интервалах (; 0); (0; 2)(2 ;) , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках x 1  0 и x 2  2.
41
Для точки x 1  0 имеем:
lim f ( x )  lim x 2  0,
x 0
x 0
lim f ( x )  lim ( x  1) 2  1,
x 0
x 0
f (0)  x x 0  0,
т.е. функция f(x) в точке x 1  0 имеет разрыв первого рода.
Для точки x 2  2 находим:
lim f ( x )  lim ( x  1) 2  1,
2
x 2
x 2
lim f ( x )  lim (5  x )  3,
x 2 
x 2
 1) 2 x 2  1,
f (0)  (x
т.е. функция f(x) в точке x 2  2 также имеет разрыв первого рода,
т.к. односторонние пределы конечны, но не равны.
Построим график
f(x)
4
3
2
1
3
2
1
0
1
2
3
4
5 x
42
2.5. Указания к заданию 5
2.5.1. Основные теоретические положения
Если f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке
f
так же дифференцируемы f  g, f  g, (g ( x )  0), причем
g
1) (f  g)  f   g;
2) (f  g)  f   g  f  g ;

 f  f   g  f  g
3) (c  f )  c  (f ), где c  cons t;
4)   
;
2
g
g
 
Производные элементарных
функций
c  0
( x n )  n  x n 1

1
1
   2
x
x
1
( x ) 
2 x
(a x )  a x  ln a
(e x )   e x
1
(log a x )   log a e
x
1
(ln x ) 
x
(sin x)  cos x
(cos x)   sin x
1
( tgx ) 
cos 2 x
1
(ctgx )   2
sin x
Производные сложных
функций
u  u(x)  функция
(u n )  n  u n 1  u 

u
1


 
u
u2
u
( u ) 
2 u
(a u )  a u  ln a  u 
(e u )   e u  u 
1
(log a u )   log a e  u 
u
u
(ln u ) 
u
(sin u)  cos u  u 
(cos u)   sin u  u 
u
( tgu ) 
cos 2 u
u
(ctgu )   2
sin u
43
(arcsin x ) 
1
1 x
1
(arccos x )  
1 x2
1
(arctgx ) 
1 x2
1
(arcctgx )  
1 x2
(shx)  chx
(chx)  shx
1
( thx )  2
ch x
1
(cthx )   2
sh x
2
(arcsin u ) 
1
 u
1 u
1
(arccos u )  
 u
2
1 u
1
(arctgu ) 
 u
2
1 u
1
(arcctgu )  
 u
2
1 u
(shu)  chu  u 
(chu)  shu  u 
1
( thu )  2  u 
ch u
1
(cthu )   2  u 
sh u
2
Производные функций, заданных параметрически
x  x ( t ),
Если y(x) задана параметрически уравнениями 
то
y

y
(
t
),

y
yx  t .
x t
 находим по формуле
Вторую производную yxx
( y )
  x t.
yxx
x t
Предполагаем, что все указанные функции определены в некоторой области, непрерывны и дифференцируемы.
2.5.2. Пример выполнения задания 5
Продифференцировать данные функции:
ln(3x  10)
а) y 
( x  5) 7
44

f 
f g  fg 
Воспользуемся формулой   
, получим
2
g
g
 


ln(3x  10)   ( x  5) 7  ln(3x  10)  ( x  5) 7
y 

7 2
( x  5)
1
 (3x  10)  ( x  5) 7  ln(3x  10)  7( x  5) 6  ( x  5)
 3x  10

( x  5)14
1
 ( x  5) 7  7 ln(3x  10)  ( x  5) 6
 3x  10

( x  5)14





( x  5) 6 (3( x  5)  7 ln(3x  10)  (3x  10))
(3x  10)  ( x  5)14
3x  15  7(3x  10) ln(3x  10)
(3x  10)( x  5) 8


.
б) y  tg( x  2)  arccos( 3x 2 ) .
Воспользуемся формулой [f  g]  f g  fg , получим

y  tg( x  2)  arccos( 3x 2 )  tg( x  2)  arccos( 3x 2 ) 
1
1
2
2



(
x

2
)

arccos(
3
x
)

tg
(
x

2
)


(
3
x
) 
2
2
2
cos ( x  2)
1  (3x )


arccos( 3x 2 )
cos 2 ( x  2)
 tg ( x  2) 
6x
1  9x
4

.
в) y  (sin 7 x ) arctg3x .
Прологарифмируем обе части выражения и найдем производную


ln y  ln (sin 7 x ) arctg3x
ln y  arctg3x  ln(sin 7x)
(ln y)  arctg3x  ln(sin 7 x )  arctg3x  ln(sin 7 x ) 
45
1
1
1

 y 

(
3
x
)
ln(sin
7
x
)

arctg
3
x

 (sin 7 x )
2
y
sin
7
x
1  (3x )
1
3
arctg 3x
 y 

ln(sin
7
x
)

 cos 7 x  (7 x )
2
y
sin
7
x
1  9x
1
3 ln(sin 7 x ) arctg 3x
 y 

 7 cos 7 x
y
sin 7 x
1  9x 2
 3 ln(sin 7 x )

y  y  

7
arctg
3
x

ctg
7
x

2
 1  9x

 3 ln(sin 7 x )

y  (sin 7 x ) arctg3x  

7
arctg
3
x

ctg
7
x
.
2
 1  9x

г) y  tg 6 (4x 3  5x )



Воспользуемся формулой (u ( x )) n  n  u ( x ) n 1  u ( x ) , тогда

y   6 tg 5 (4 x 3  5x )  tg (4 x 3  5x ) 
1
 6 tg 5 (4 x 3  5x ) 
 ( 4 x 3  5x )  
2
3
cos (4 x  5x )


6 tg 5 (4 x 3  5x )
cos 2 (4 x 3  5x )

 (12x 2  5).
2.6. Пример выполнения задания 6
x  3t 4  t 2 ,
 : 
Найти y x и y xx
 y  t 3  5.
Решение:
y
Так как yx  t , то
x t
yx 
( t 3  5)
(3t 4  t 2 )

3t 2
12t 3  2t

3t 2
t (12t 2  2)

3t
12t 2  2
.
46
( yx )t
, то
x t

 3t 
 2

(3t )  (12t 2  2)  3t  (12t 2  2)

12
t

2

 
yxx


4
2
2
2
3
(3t  t )
(12t  2)  (12t  2t )
 
yxx

3(12t 2  2)  3t  24t
(12t  2)  t (12t  2)
2
2
2

36t 2  6  72t 2
t (12t  2)
2
3

 36t 2  6
t (12t  2)
2
3
.
2.7. Пример выполнения задания 7
Проверить,
удовлетворяет
ли
указанному
уравнению
 2u
 2u  2u
4y 2
u
2
2
u

ln(
x

y
).
данная
функция

2
xy



2
2
2
2

x

y

x
x
y
x y
Решение: Находим частные производные первого и второго
порядка
u
1
2x
2
2 /
 2

(
x

y
)

;
x
x x  y 2
x 2  y2
u
1
2y
2
2 /
 2

(
x

y
)

;
y
y x  y 2
x 2  y2
 2u
x

2
(x  y )
2
2( y 2  x 2 )
(x 2  y 2 ) 2
 2u
y 2


(2x ) /x  ( x 2  y 2 )  2 x  ( x 2  y 2 ) /x

(x 2  y 2 ) 2
(x  y )
2 2

(x  y )
2
2 2

;
(2x ) /y  ( x 2  y 2 )  2 y  ( x 2  y 2 ) /y
2( x 2  y 2 )
2
2 2
2( x 2  y 2 )  2 x  2x
;

2( x 2  y 2 )  2 y  2 y
(x 2  y 2 ) 2

47
/
2
2
2
2 /
 2u
  u  (2 x ) y  ( x  y )  2x  ( x  y ) y

  

2
2 2
xy y  x 
(x  y )

0( x 2  y 2 )  2x  2 y

 4xy
.
(x  y )
(x  y )
Подставляем полученные значения производных в левую
часть исходного уравнения:
2( y 2  x 2 )
8x 2 y 2
2( x 2  y) 2
4y 2
2( y 2  x 2 )
;
 2
 2
 2
 2
2
2 2
2 2
2
2
2
(x  y )
(x  y )
(x  y ) x  y (x  y )
4y 2
2x
8x 2 y 2
8xy 2
8x 2 y 2
;
.
 2
 2
 2
2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
x y x y
(x  y )
(x  y )
(x  y )
Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция не удовлетворяет исходному уравнению.
2
2 2
2
2 2
Список рекомендуемой литературы
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. М.: Высш.шк., 1998.  320 с.
2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике
для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1986.- 544с
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.I : Учеб. пособие для втузов.
М.: Высш. шк., 1999. 304с.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука,
Гл.ред.физ-мат.лит., 1984. 294с.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Физико-математической литературы, 2003. 240с.
6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. 
М.: «Наука», Ч.1. 1971. 600с.
7. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под редакцией А.В. Ефимова,
Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1981.- 464с.
8. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М.: 1986, ч.I.