Рациональные и дробно-рациональные неравенства

ХКЗФМШ – 2011/12
МАТЕМАТИКА, 11 класс
Мендель Виктор Васильевич, ДВГГУ
Рациональные и дробно-рациональные неравенства
П.1 Предварительные сведения о многочленах и их корнях
В этом пункте мы вспомним основные понятия, относящиеся к
многочленам и их свойства.
Определение 1.1 Если an , an 1,..., a1, a0 - действительные числа, an  0 , а x некоторая
действительная
p( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
переменная,
называется
то
многочленом
выражение
степени
вида
n
от
переменной x .
Пример 1.
p( x)  3x 3  4.5 x 2  3 x  
- многочлен третьей степени, где
a3  3, a2  4.5, a1  3, a0   - его коэффициенты.
Определение 1.2 Корнем многочлена p (x ) называется такое число x0 , что при
подстановке его вместо переменной x многочлен обращается в ноль.
Пример 2. Для многочлена p( x)  x3  3x 2  3x  1 число x0  1 является корнем:
p(1)  13  3  12  3  1  1  0 .
Для многочленов и их корней справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если x0 - корень многочлена
p( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 , то
многочлен можно представить в виде произведения p( x)  q( x)( x  x0 ) , где q(x) многочлен степени (n  1) .
Замечание. Если x0 является также корнем многочлена q(x) то его
называют кратным корнем многочлена p (x ) . Причем p( x)  q( x)( x  x0 )2 .
Хабаровск - 2011
Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства
Определение 3. Многочлен с действительными коэффициентами, не имеющий
действительных
корней,
называется
неприводимым
над
множеством
действительных чисел.
Примерами
трехчлены
неприводимых
p( x)  ax 2  bx  c ,
у
многочленов
которых
служат
все
дискриминант
квадратные
отрицателен:
D  b 2  ac  0 .
Стандартные примеры 3. p( x)  x2  x  1 , p( x)  x 2  x  1 .
Замечание. Можно показать, что любой многочлен нечетной степени
имеет хотя бы один корень.
Далее мы сформулируем очень важную лемму.
Лемма 1. Если многочлен
p( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
неприводим над
множеством действительных чисел и старший коэффициент an  0 (an  0) , то
при любых значениях переменной x многочлен принимает положительные
(отрицательные) значения.
Сформулируем теперь основную теорему данного пункта – теорему о
разложении на неприводимые множители. Нам удобна следующая ее редакция.
Теорема 2. Любой многочлен p( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 с действительными
коэффициентами может быть представлен в виде:
p( x)  an ( x 2  b1 x  c1 ) k1 ...( x 2  bs x  cs ) k s ( x  x1 ) n1 ...( x  xl ) nl ,
где все квадратные трехчлены ( x 2  bi x  ci ) - неприводимы.
Замечание. Неприводимые трехчлены ( x 2  bi x  ci ) положительны при
всех значениях x .
Пример 4. Многочлен
В.В. Мендель
ХКЗФМШ – 2011/12
раскладывается на неприводимые множители следующим образом:
.
П.2 Некоторые приемы разложения многочлена на неприводимые
множители
Если многочлен является квадратным трехчленом p( x)  ax 2  bx  c , то он
раскладывается в произведение p( x)  a( x  x1 )( x  x2 ) , где корни многочлена x1 и
x2 находятся обычным образом с помощью дискриминанта.
Для многочленов третьего и четвертого порядка также существуют
универсальные методы вычисления корней, однако они громоздки и не
изучаются в школьном курсе.
Основными приемами разложения многочленов степени больше четырех
являются: подбор корней, метод неопределенных коэффициентов и разложение
на множители.
Подбор корней удобно производить для многочленов, все коэффициенты
которых рациональные (целые) числа. При этом помогает следующая теорема,
лежащая в основе схемы Горнера.
Теорема 3. Если все коэффициенты многочлена p( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 целые числа, то возможные рациональные корни этого уравнения лежат среди
рациональных дробей вида
p
, где p и q - целые числа, являющиеся делителями
q
коэффициентов a0 и an .
Пример 1. Возможные рациональные корни многочлена p( x)  9 x3  4 x 2  3x  4
1
3
1
9
2
3
2
9
4
3
это дроби:  ,  ,  ,  ,  , 
4
и целые числа  1,  2,  4 .
9
Рассмотрим пример разложения многочлена в произведение.
Пример 2. Разложить на множители многочлен
.
Хабаровск - 2011
Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства
Решение. Будем искать возможные корни среди делителей свободного члена.
Это
могут
быть
следующие
числа:
 1,  2,  3,  6 .
Непосредственная
подстановка показывает, что корнями являются -1, 2 и 3. Таким образом,
данный многочлен раскладывается на множители следующим образом:
.
Пример 3. Разложить на множители многочлен
.
Решение. Снова заметим, что целыми корнями могут быть только делители
числа 17, это 1, -1, 17, -17. Непосредственно находим, что подходит только
число 1. Таким образом, p( x)  q( x)( x  1) , где q(x) - квадратный трехчлен. Его
можно найти, разделив «уголком» p (x ) на ( x  1) . Мы же для примера
используем другой прием – группировку. Представим многочлен p (x ) в виде:
p( x)  ( x3  x 2 )  (5x 2  5x)  (17 x  17)  x 2 ( x  1)  5x( x  1)  17( x  1)  ( x  1)( x 2  5x  17) .
Вычислив дискриминант квадратного трехчлена – второго множителя
разложения, убеждаемся, что он отрицателен. Таким образом, мы разложили
многочлен на неприводимые множители.
Пример 4. Разложить на множители многочлен:
.
Решение. Сначала попробуем найти целые корни уравнения, это могут быть
некоторые из следующих чисел: 1, -1, 13, -13. Нетрудно проверить, что ни одно
из них не подходит. Тогда попробуем применить метод неопределенных
коэффициентов. Суть его в следующем: мы попробуем представить многочлен
в виде произведения двух квадратных трехчленов. Естественно предположить,
что коэффициенты при квадратах у обоих трехчленов равны единице, а вот
говорить о других коэффициентах трудно. Поэтому мы считаем их
неопределенными и обозначаем буквами a, b, c, d . Таким образом, мы ищем
представление многочлена в виде:
f ( x)  ( x 2  ax  b)( x 2  cx  d ) .
Перемножим выражения в скобках и приведем подобные, получим:
В.В. Мендель
ХКЗФМШ – 2011/12
f ( x)  x 4  (a  c) x3  (b  d  ac) x 2  (ad  bc) x  bd .
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях у многочлена f (x)
и его разложения, получим следующую алгебраическую систему уравнений:
 a  c  4
b  d  ac  17


 ad  bc  16
 bd  13.
Очевидно, что числа b и d – целые и одного знака, то есть это 1 и 13 или -1 и
 13 . Если предположить, что b  1, d  13 , то первое и второе уравнения
системы сводятся к следующему виду:
a  c  4


ac  17  1  13  3.
Поэтому либо a  1, c  3 , либо a  3, c  1 . С учетом третьего уравнения
получаем, что подходит вариант a  1, c  3 .
Таким образом, искомое разложение имеет вид:
f ( x)  ( x 2  x  1)( x 2  3x  13) .
Замечание. Если бы ни одно, ни другое решение для a и c не подошли в
третье уравнение, пришлось бы рассмотреть случай, когда b и d равны
-1 и  13 .
П.3. Распределение знака многочлена на числовой оси. Решение
рациональных неравенств методом «интервалов»
Исследуем многочлен p( x)  an ( x 2  b1 x  c1 ) k ...( x 2  bs x  cs ) k ( x  x1 ) n ...( x  xl ) n
1
s
1
l
на знак его значения в разных точках числовой прямой. Для начала отметим,
что все стоящие в начале разложения неприводимые квадратные трехчлены
принимают положительные значения при любом значении x. Поэтому, если мы
сократим рассматриваемое выражение на положительные выражения, знак
нового многочлена
p1 ( x)  an ( x  x1 ) n1 ...( x  xl ) nl
будет совпадать со знаком
Хабаровск - 2011
Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства
многочлена p (x ) . Далее будем считать, что числа x1, ... , xl упорядочены в
порядке возрастания.
Если x  xl , то все одночлены ( x  xi ) положительны. Далее, если x  x1 , то
все одночлены ( x  xi ) - отрицательны. Отметим еще один существенный
момент: если xi  x  xi 1 , то множители, лежащие правее одночлена ( x  xi 1 ) отрицательны, а множители, начиная с ( x  xi ) и левее – положительны. Таким
образом, если перемещать x справа на лево, то при переходе через очередной
корень xi ровно один одночлен меняет знак с плюса на минус.
Пример 1. Решить неравенство p( x)  ( x  1)( x  3)( x  7)  0 .
Решение. Отложим на числовой оси корни уравнения -1, 3 и 7.
При x  7 все сомножители положительны и p ( x)  0 .
Если 3  x  7 , то первые два сомножителя положительны, а третий –
отрицателен, следовательно, p ( x)  0 .
Если  1  x  3 , то первый множитель все еще положителен, а два других –
отрицательны. Следовательно, p ( x)  0 .
Наконец, если x  1 , то все три множителя отрицательны и p ( x)  0 .
Таким образом, неравенство верно, если  1  x  3 или x  7 .
Проиллюстрируем сказанное рисунком:
Таким образом, корни многочлена разбивают числовую ось на лучи и
интервалы так, что на соседних участках многочлен имеет противоположные
знаки. Именно по этому данный прием решения неравенств получил название
«метод интервалов».
Усложним задачу. Пусть теперь одночлены в разложение многочлена
входят в некоторых степенях.
Пример 2. Решить неравенство
p( x)  ( x  1)3 ( x  3)2 ( x  7)5  0 .
В.В. Мендель
ХКЗФМШ – 2011/12
При x  7 все сомножители положительные так как сами одночлены
положительны, и их степени также положительны. Следовательно p ( x)  0 .
Если 3  x  7 , то первые два сомножителя положительны, а третий –
отрицателен, так как одночлен ( x  7) отрицателен и его третья степень – также
отрицательна, следовательно, p ( x)  0 .
Если  1  x  3 , то первый множитель все еще положителен, третий –
отрицателен, а вот на второй нужно посмотреть повнимательнее. С одной
стороны, одночлен ( x  3) стал отрицательным, но он возведен в четную степень
– следовательно множитель ( x  3)2 при x  3 обратился в ноль, а затем вновь
стал
положительным.
Таким
образом,
первый
и
второй
множители
положительны а третий – отрицателен. Таким образом, многочлен не изменил
знак: p ( x)  0 .
Наконец, если x  1 , то первый множитель становится отрицательным
(так как ( x  1) стал отрицательным и его нечетная третья степень – тоже
отрицательна), второй множитель – положителен, а третий – отрицателен,
значит p ( x)  0 . Изобразим результат на координатной прямой:
Таким образом, неравенство p ( x)  0 верно, если x  1 или x  7 .
Рассмотренные
примеры
позволяют
нам
сформулировать
общий
алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов.
1. Многочлен раскладываем на неприводимые множители (приводим к
виду: p( x)  an ( x 2  b1 x  c1 ) k ...( x 2  bs x  cs ) k ( x  x1 ) n ...( x  xl ) n ),
1
s
1
l
2. Сокращаем неприводимые множители второго порядка – квадратные
трехчлены,
3. Откладываем на числовой оси корни многочлена,
4. В зависимости от знака коэффициента ап определяем знаки многочлена
на получившихся интервалах по правилу:
Хабаровск - 2011
Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства
a. На крайнем правом полуинтервале (когда x>xl) знак многочлена
совпадает со знаком коэффициента ап ,
b. Будем перемещаться по числовой оси влево. При прохождении
очередного корня xi знак многочлена меняем на противоположный,
если множитель ( x  xi ) n имеет нечетную степень ni (в том числе –
i
единицу), и оставляем прежний знак, если эта степень – четная.
c. В зависимости от того, какой знак у рассматриваемого неравенства,
выбираем для ответа «положительные» или «отрицательные»
интервалы,
d. В случае если неравенство нестрогое, в ответ включаем все корни
многочлена.
Поясним последний пункт на примере. Если бы мы решали нестрогое
неравенство: p( x)  ( x  1)3 ( x  3)2 ( x  7)5  0 ,
то ответ выглядел бы так: x  1 , или x  7 , или x  3 . То есть неравенства в
ответе стали нестрогими и к ним добавился корень x  3 .
Замечание. Довольно часто школьники забывают, что нужно
учитывать знак коэффициента ап . Поэтому рекомендуем сделать
простое преобразование неравенства: разделите его на ап , при этом,
если ап положителен – получим эквивалентное неравенство, а если
отрицателен – то необходимо изменить знак неравенства на
противоположный.
Пример к замечанию: Решим неравенство  4( x  4)3 ( x  2)7  0 .
В.В. Мендель
ХКЗФМШ – 2011/12
Оно эквивалентно неравенству ( x  4)3 ( x  2)7  0 . Кратные корни -4 и 2 имеют
нечетную кратность, поэтому решением неравенства является интервал:
4  x  2.
П. 4 Дробно-рациональные неравенства
p( x)
 0 , где
g ( x)
Определение. Дробно-рациональным называют неравенство вида
p (x ) и g (x ) - многочлены.
В отличие от рациональных неравенств, дробно-рациональные могут
быть определены не для всех значений переменной. А именно, необходимо
исключить из рассмотрения такие значения x , при которых многочлен g (x )
обращается в ноль (так как на ноль делить нельзя!).
С другой стороны очевидно, что на всех допустимых значениях дробнорациональное выражение
p( x)
и многочлен – произведение p( x)  g ( x) имеют
g ( x)
одинаковый знак.
Опираясь на сказанное выше мы можем сформулировать метод
интервалов
для
дробно-рациональных
неравенств,
который
является
модификацией одноименного метода для рациональных неравенств:
1. Дробно-рациональное выражение
p( x)
g ( x)
преобразуем в многочлен –
произведение p( x)  p( x)  g ( x) ,
2. Многочлен
раскладываем
на
неприводимые
множители:
p( x)  an ( x 2  b1 x  c1 ) k1 ...( x 2  bs x  cs ) k s ( x  x1 ) n1 ...( x  xl ) nl ),
3. Сокращаем неприводимые множители второго порядка – квадратные
трехчлены,
Хабаровск - 2011
Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства
4. Откладываем на числовой оси корни многочлена,
5. В зависимости от знака коэффициента ап определяем знаки многочлена
p(x ) на получившихся интервалах по правилу:
e. На крайнем правом полуинтервале (когда x>xl) знак многочлена
совпадает со знаком коэффициента ап ,
f. Перемещаемся
по
числовой
оси
влево.
При
прохождении
очередного корня xi знак многочлена меняем на противоположный,
если множитель ( x  xi ) n имеет нечетную степень ni (в том числе –
i
единицу), и сохраняем знак, если эта степень – четная,
g. В зависимости от того, как распределился знак у рассматриваемого
неравенства,
выбираем
в
ответ
«положительные»
или
«отрицательные» интервалы,
h. В случае если неравенство нестрогое, в ответ включаем все корни
многочлена p (x ) ,
i. Обязательно исключаем из ответа все корни многочлена g (x ) .
Рассмотрим примеры решения дробно-рациональных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство
( x 2  5 x  4)
 0.
( x  7)( x  2)
Решение. 1. Сначала найдем область допустимых значений неравенства (далее
сокращенно будем писать - ОДЗ). Очевидно, что x  7, x  2 .
2. Преобразуем дробно-рациональное неравенство в рациональное:
( x 2  5x  4)( x  7)( x  2)  0 .
3. Разложим на множители левую часть полученного неравенства:
В.В. Мендель
ХКЗФМШ – 2011/12
( x  4)( x  1)( x  7)( x  2)  0 .
4. Заметим, что корни многочлена – числа -2, 1, 4 и 7, имеют кратность
«единица», отложим их на числовой оси и расставим на полученных
интервалах знаки неравенств:
5. Выписываем окончательный ответ, включая в него корни многочлена,
стоявшего в числителе и исключая корни знаменателя.
Ответ: x  1, 2  x  4, x  7 .
Внимание! Для записи ответа можно использовать как неравенства,
так и промежутки. Например, данный ответ можно записать также
в виде: x  (,1]  (2,4]  (7,) .
В следующем примере мы рассмотрим неравенства с кратными корнями.
Пример 2. Решить неравенство:
( x 2  4 x  4)( x  9)
 0.
x2  4x  4
Решение. Заметим сначала, что первое выражение в числителе и выражение в
знаменателе являются полными квадратами. Далее: знаменатель обращается в
ноль при x  2 , поэтому ОДЗ: x  2 .
Перейдем к рациональному неравенству, получаем: ( x  2)2 ( x  2)2 ( x  9)  0 .
Отложим на числовой оси корни многочлена из левой части полученного
неравенства и определим знаки этого многочлена на полученных интервалах. С
учетом кратности корней -2 и 2 получим:
Хабаровск - 2011
Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства
Обратите внимание на то, что знак меняется только в 9, а в 2 и -2 он
сохраняется, так как это корни четной кратности.
«Соберем» теперь ответ: к основному интервалу – лучу x  9 добавляем
корни числителя 2 и 9, а корень знаменателя -2 исключаем. Ответ: {2}  [9,) .
Рассмотрим еще один важный пример, так как именно в таких заданиях
абитуриенты делают много ошибок.
Пример 3. Решить неравенство
1
2

.
x2 x5
Решение. Это неравенство не похоже на каноническое дробно-рациональное,
но оно сводится к таковому. Главное – сделать это правильно. Для этого
перенесем дробь из правой части неравенства в левую и приведем полученную
разность двух дробей к общему знаменателю:
1
2
1  ( x  5)
2  ( x  2)
 1  ( x  1)

0

0
 0.
x2 x5
( x  2)( x  5) ( x  2)( x  5)
( x  2)( x  5)
Сократим числитель на -1, при этом знак неравенства изменится на
противоположный:
x 1
 0 . Теперь перед нами каноническое дробно( x  2)( x  5)
рациональное неравенство, эквивалентное исходному. Решим его методом
интервалов. Ответ: x  (,1)  (2, 5) .
Замечание. Часто такие задачи решают неправильно, а именно:
просто умножают числитель левой части на знаменатель правой и
наоборот. В результате получается совершенно другое неравенство:
( x  5)  2( x  2) , которое сводится к линейному неравенству x  1 0
В.В. Мендель
ХКЗФМШ – 2011/12
ответ для которого:
x  (,1)
только частично совпадает с
правильным.
Задачи для самостоятельного решения
Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся
11 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и
информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе:
1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,11 кл.,
математический)
2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон
(домашний или мобильный)
3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин)
4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики
Петрова М.И.)
Разложите на неприводимые множители следующие многочлены (5 баллов за
каждый пример)
11.1.1.
,
11.1.2.
,
11.1.3.
,
11.1.4.
.
Решите рациональные неравенства (5 баллов за каждый пример)
11.1.5.
,
11.1.6.
11.1.7.
,
,
11.1.8.
.
Решите дробно-рациональные неравенства (5 баллов за каждый пример)
11.1.9.
11.1.10.
11.1.11.
,
,
11.1.12.
,
.
Хабаровск - 2011