Методическое пособие с примерами и заданиями этой работы

Министерство образования и науки
ФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет
Математический факультет
Кафедра высшей математики
В.Ю. Бодряков
Индивидуальные домашние задания
по дисциплине «Математика»
Екатеринбург – 2012
Составители: В.Ю. Бодряков
Индивидуальные домашние задания по дисциплине «Математика». Екатеринбург:
УрГПУ, 2012, с.
Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математика»
предназначены для студентов очной и заочной форм обучения нематематических
факультетов УрГПУ, изучающих курс математики в соответствии с требованиями
Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) по соответствующим
направлениям подготовки. Работа содержит 12 индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)
по 30 вариантов в каждом, содержащих различные задания по дисциплине «Математика».
Целью настоящего комплекта ИДЗ является ознакомление студентов с основами
линейной алгебры и началами математического анализа. При решении заданий по
линейной алгебре учащиеся отработают навыки действий с определителями и матрицами,
а также решения систем неоднородных и однородных линейных алгебраических
уравнений. При решении заданий по математическому анализу студенты освоят технику
вычисления пределов функции, получат навыки исследования функций одной переменной
с применением аппарата дифференциального исчисления. Структурно комплект ИДЗ
может быть разбит на три блока: ИДЗ-1-4 – алгебраический блок; ИДЗ-5-8 – основы
теории пределов и дифференциального анализа; ИДЗ-9-12 – прикладные аспекты
применения дифференциального анализа для исследования функции одной переменной. В
зависимости от степени подготовки студентов и объема учебных часов, выделенных на
изучение дисциплины, преподаватель может варьировать объем выполняемых ИДЗ.
В целом, самостоятельное решение индивидуальных заданий позволяет углубить
теоретические знания, отработать практические навыки решения задач по дисциплине. Во
введении к работе приведены примеры решения типовых заданий по теме с
необходимыми методическими указаниями.
Рецензент:
© Уральский государственный педагогический университет, 2012
ИДЗ-1. Действия с определителями.
ИДЗ-2. Действия с матрицами.
ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
ИДЗ-4. Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.
ИДЗ-5. Вычисление пределов с использованием теорем о пределах.
ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов.
ИДЗ-7. Исследование функции на непрерывность.
ИДЗ-8. Дифференцирование функций.
ИДЗ-9. Вычисление производных.
ИДЗ-10. Правило Лопиталя.
ИДЗ-11. Полное исследование функции и построение ее графика.
ИДЗ-12. Решение задачи оптимизации.
2
Решение «нулевого варианта ИДЗ по Математике
ИДЗ-1. Действия с определителями
Для данного определителя :
−3 2
1 0
2 −2 1 4
=|
|.
4
0 −1 2
3
1 −1 4
а) найти алгебраические дополнения элементов 1-ой строки и 1-го столбца; б) вычислить
определитель , приведя его к треугольному виду, или получив предварительно нули в к.л. строке или столбце; в) проверить расчет, применяя разложение определителя по
элементам 1-ой строки или 1-го столбца и используя алгебраические дополнения
соответствующих элементов из задания а).
Решение: а) Как известно, алгебраическим дополнением Aij элемента aij данного
определителя  называется определитель порядка на единицу меньшего, полученный из
исходного путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца; при этом знак
алгебраического дополнения определяется как (–1)i+j. В данной задаче,
1+1
A11 = (–1)
−2 1 4
−2 1
| 0 −1 2| = | 0 −1
1 −1 4
1 −1
2
A12 = (–1)1+2|4
3
1+3
A13 = (–1)
2
|4
3
4
−2 1 4
−2 6
| = –(–28 – (–1)6) = 10;
2| = |−2 0 6| = –|
−1 8
4
−1 0 8
1 4
2 1 4
2
−1 2| = –|4 −1 2| = –|6
−1 4
3 −1 4
5
−2 4
2 −2 4
8
0 2| = |4 0 2| = |4
1 4
3 1 4
3
0 12
8
0 2 | = –|
4
1 4
2
A14 = (–1)1+4|4
3
–4;
−2 1
2
|
=
–|
0 −1
4
1 −1
3
2
A21 = (–1)2+1|0
1
1 0
2 1 0
2
−1 2| = –|0 −1 2| = –|2
−1 4
1 −1 4
3
3+1
A31 = (–1)
1 4
6 6
| = 68 – 56 = 18;
0 6| = |
5 8
0 8
12
| = –(82 – 412) = 32;
2
−2 1
2 −2 1
6 −2
6 2
|
=
–|
|=|
| = 6 – 10 =
0 −1
6 −2 0| = –|
5 −1
5 1
1 −1
5 −1 0
2
1 0
2
1
|−2 1 4| = |−2 1
1 −1 4
1 −1
2
1 0
2
1
A41 = (–1)4+1|−2 1 4| = –|−2 1
0 −1 2
0 −1
–16.
1 0
2 2
| = 24 – 32 = 2;
0 2| = |
3 4
0 4
0
3
0 4
3 4
| = 38 + 14 = 28;
4| = |−1 0 8| = |
−1 8
4
1 −1 4
0
2 1 0
2 4
| = –2(22 + 14) =
4| = –|0 2 4| = –2|
−1 2
2
0 −1 2
б) Вычислить определитель , приведя его к треугольному виду, или получив
предварительно нули в к.-л. строке или столбце:
3
−3 2
1 0
−3
2 −2 1 4
5
=|
|=|
4
0 −1 2
1
3
1 −1 4
0
2
−4
2
3
1
0
0
0
0
5 −4 4
5 −4 8
4
| = 1|1 2 2| = |1 2 0| =
2
0 3 4
0 3 1
4
5 −14 8
−14 8
7
= |1
| = 2|
0
0| = (–1)|
3
1
3
0
3
1
−4
| = 2(71 + 34) = 38.
1
в) проверим расчет, применяя разложение определителя по элементам 1-ой строки
и (или) 1-го столбца и используя алгебраические дополнения соответствующих элементов
из задания а).
Разложение по первой строке:
 = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14 = (–3)10 + 218 + 132 + 0(–4) = –30 + 36 + 32 = 38.
Разложение по первому столбцу:
 = a11A11 + a21A21 + a31A31 + a41A41 = (–3)10 + 22 + 428 + 3(–16) = –30 + 4 + 112 – 48 = 38.
Ответ: а) Алгебраические дополнения: A11 = 10; A12 = 18; A13 = 28; A14 = –4; A21 = 2;
A31 = 28; A41 = –16; б), в) величина определителя  = 38.
ИДЗ-2. Действия с матрицами
Даны две матрицы A и B:
−4 0
A = ( 2 −1
3
2
1
1 2 −3
3); B = ( 2 0 1 ).
2
−2 1 3
Найти: а) AB; б) BA; в) A–1; г) AA–1; д) A–1A.
−4 0 1
1 2 −3
Решение: а) AB = ( 2 −1 3)( 2 0 1 ) =
3
2 2 −2 1 3
−4 + 0 − 2 −8 + 0 + 1
=( 2−2−6
4+0+3
3+4−4
6+0+2
12 + 0 + 3
−6 −7 15
−6 − 1 + 9) = (−6 7
2 ).
−9 + 2 + 6
3
8 −1
1 2 −3 −4 0 1
б) BA = ( 2 0 1 )( 2 −1 3) =
−2 1 3
3
2 2
−4 + 4 − 9 0 − 2 − 6 1 + 6 − 6
−9 −8 1
= (−8 + 0 + 3 0 + 0 + 2 2 + 0 + 2 ) = (−5 2 4).
8 + 2 + 9 0 − 1 + 6 −2 + 3 + 6
19 5 7
Можно заметить, что AB  BA, т.е. в общем случае операция умножения матриц
неперестановочна.
в) Вычислим обратную матрицу A–1. Как известно, обратная матрица к данной
матрице A может быть найдена по формуле:
4
𝐴11
A = ∆(𝐴12
𝐴13
–1
𝐴21
𝐴22
𝐴23
1
𝐴31
𝐴32 ),
𝐴33
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝐴11 𝐴21 𝐴31
где  = |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | – определитель матрицы A; A* = (𝐴12 𝐴22 𝐴32 ) –
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝐴13 𝐴23 𝐴33
транспонированная матрица алгебраических дополнений к элементам aij исходной
матрицы A (присоединенная матрица). Обратная матрица A–1 существует при   0.
Определитель данной матрицы A равен:
−4 0 1
0
 = | 2 −1 3| = |14
3
2 2
11
0 1
14
−1 3| = 1|
11
2 2
−1
| = 142 – 11(–1) = 39  0.
2
Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы A:
A11 = (–1)1+1|
−1 3
| = (–1)2 – 23 = –8;
2 2
A12 = (–1)1+2|
2 3
| = –(22 – 33) = 5;
3 2
A13 = (–1)1+3|
2 −1
| = 22 – 3(–1) = 7;
3 2
A21 = (–1)2+1|
0 1
| = –(02 – 12) = 2;
2 2
A22 = (–1)2+2|
−4 1
| = (–4)2 – 31 = –11;
3 2
A23 = (–1)2+3|
−4 0
| = –((–4)2 – 30) = 8;
3 2
A31 = (–1)3+1|
0 1
| = 03 – (–1)1 = 1;
−1 3
A32 = (–1)3+2|
−4 1
| = –((–4)3 – 21) = 14;
2 3
A33 = (–1)3+3|
−4 0
| = (–4)(–1) – 20 = 4;
2 −1
−8
5
7
Таким образом, матрица алгебраических дополнений матрицы A есть ( 2 −11 8);
1
14 4
−8
2
1
транспонированная к ней матрица (присоединенная матрица) A* = ( 5 −11 14).
7
8
4
Наконец, обратная матрица матрицы A равна:
−8
2
1
A–1 = 39( 5 −11
7
8
5
1
14).
4
г) Удостоверимся в правильности расчетов, вычислив произведение AA–1:
−4 0 1
−8
2
1
−4 0 1 −8
2
1
1
1
AA–1 = ( 2 −1 3)39( 5 −11 14) = 39( 2 −1 3)( 5 −11 14) =
3
2 2
7
8
4
3
2 2
7
8
4
32 + 0 + 7
= 39( −16 − 5 + 21
−24 + 10 + 14
1
−8 + 0 + 8
4 + 11 + 24
6 − 22 + 16
−4 + 0 + 4
39
1
2 − 14 + 12) = 39( 0
3 + 28 + 8
0
0
39
0
0
1 0 0
0 ) = (0 1 0).
39
0 0 1
д) Удостоверимся в правильности расчетов, вычислив произведение A–1A:
−8
2
A A = 39( 5 −11
7
8
–1
1
1
−4 0
14)( 2 −1
4
3
2
32 + 4 + 3
1
= 39(−20 − 22 + 42
−28 + 16 + 12
1
3) =
2
0−2+2
0 + 11 + 28
0−8+8
−8 + 6 + 2
39
1
5 − 33 + 28) = 39( 0
7 + 24 + 8
0
0
39
0
0
1 0 0
0 ) = (0 1 0).
39
0 0 1
Как видно, AA–1 = A–1A = E, где E – единичная матрица. Это значит, что матрица A–1
вычислена правильно.
−9 −8 1
−6 −7 15
Ответ: а) AB = (−6 7
);
б)
BA
=
(
−5 2 4);
2
19 5 7
3
8 −1
−8
2
1
1
в) A–1 = 39( 5 −11 14); г), д) AA–1 = A–1A = E.
7
8
4
ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а)
по правилам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом
Гаусса:
𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 = 3,
{ 2𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 2,
3𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = −7.
Решение: Совместность данной системы линейных неоднородных алгебраических
уравнений проверим по теореме Кронекера – Капелли, утверждающей, что система
совместна тогда и только тогда, когда ранги основной (rA) и расширенной (rB) матриц
системы равны: rA = rB = r. При этом, если r = n, где n – порядок системы, система имеет
единственное решение.
Рангом матрицы называется наиболее
составленного из ее элементов, отличный от нуля.
высокий
порядок
определителя,
В данном случае, определитель основной матрицы A системы уравнений:
1 5 −1
1 5
0
1 5
 = |2 4 −3| = |2 4 −1| = –(–1)|
| = 1(–1) – 35 = –16  0,
3 −1
3 −1 −3
3 −1 0
6
т.е. rA = 3 = n. Установим значения определителей, составленных из элементов
расширенной матрицы, заменяя последовательно столбцом свободных членов 1-ый, 2-ой и
3-ий столбцы основной матрицы системы:
3
5 −1
3
5 −1
3
5
detB1 = | 2
4 −3| = | 2
4 −3| = |−7 −11
−7 −1 −3
−9 −5 0
−9 −5
−1
−7 −11
|=
0 | = (–1) |
−9 −5
0
= –(35–99) = 64  0;
1
detB2 = |2
3
3 −1
1
2 −3| = |2
−7 −3
1
3 −1
1
3 −1
−1 −7
| = –(9 + 7) =
2 −3| = |−1 −7 0 | = (–1)|
1 −9
−9 0
1 −9 0
= –16  0;
1
detB3 = |2
3
1
5 −1
4
2 | = |2
3
−1 −7
2 3
1 1
2 2 | = |2 0
6 −7
3 3
2
1
0 | = (–2)|
3
−10
2
| = –2(–10 – 6) =
−10
= 32  0.
т.е. rB = 3 = rA. Т.о., ранги основной и расширенной матриц системы совпадают и равны
числу переменных n = 3, т.е. система однозначно разрешима.
а) Для нахождения решения системы применим правила Крамера, используя
значения вычисленных выше определителей:
1
1
∆
16
1
1
1
1
x1 = detB1 = –
64 = –4;
x2 = ∆detB2 = – 16(–16) = 1;
x3 = ∆detB3 = – 1632 = –2.
𝑥1
−4
Окончательно, решение системы есть (𝑥2 ) = ( 1 ).
𝑥3
−2
б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем
систему уравнений в матричной форме:
𝑥1
𝑏1
𝑥
A( 2 ) = (𝑏2 ),
𝑥3
𝑏3
𝑥1
𝑏1
3
1 5 −1
где A = (2 4 −3) – матрица системы; (𝑥2 ) и (𝑏2 ) = ( 2 ) – столбец переменных и
𝑥3
𝑏3
−7
3 −1 −3
свободных членов, соответственно. Тогда решение системы в матричном виде есть:
7
𝑥1
𝑏1
–1
(𝑥2 ) = A (𝑏2 ).
𝑥3
𝑏3
Остается найти обратную матрицу A–1 системы. Для этого вычислим матрицу дополнений
и транспонируем ее, т.е. вычислим присоединенную матрицу A* к матрице A.
A11 = (–1)1+1|
4 −3
| = 4(–3) – 13 = –15;
−1 −3
A12 = (–1)1+2|
2 −3
| = –(2(–3) + 33) = –3;
3 −3
A13 = (–1)1+3|
2 4
| = 2(–1) – 34 = –14;
3 −1
A21 = (–1)2+1|
5 −1
| = –(5(–3) – 11) = 16;
−1 −3
A22 = (–1)2+2|
1 −1
| = –(1(–3) – 3(–1)) = 0;
3 −3
A23 = (–1)2+3|
1 5
| = –(1(–1) – 35) = 16;
3 −1
A31 = (–1)3+1|
5 −1
| = 5(–3) – 4(–1) = –11;
4 −3
A32 = (–1)3+2|
1 −1
| = –(1(–3) – 2(–1)) = 1;
2 −3
A33 = (–1)3+3|
1 5
| = 14 – 25 = –6.
2 4
−15 16
Теперь присоединенной матрицей будет матрица A* =( −3
0
−14 16
−15 16 −11
1
матрицей – матрица A–1 = −16( −3
0
1 ).
−14 16 −6
−11
1 ), а обратной
−6
Решением системы будет
𝑥1
3
−15
1
–1
𝑥
( 2 ) = A ( 2 ) = −16( −3
𝑥3
−7
−14
– 153 + 162 + 117
3
16 −11
1
) =
0
1 )( 2 ) = – 16 (
– 33 + 0 − 7
−7
16 −6
−143 + 162 + 67
64
−4
1
= – 16(– 16) = ( 1 ).
−2
32
в) Решим данную систему методом Гаусса (методом исключения):
𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 = 3,
{ 2𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 2,
3𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = −7.
8
Исключим x1 из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2
и вычтем из второго уравнения; первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего
уравнения. Получим
𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 = 3,
{ −6𝑥2 − 𝑥3 = −4,
−16𝑥2 = −16.
Последовательно находим x2 = 1; x3 = 4 – 61 = –2; x1 = 3 – 51 –2 = –4.
𝑥1
−4
Ответ: Решение системы: (𝑥2 ) = ( 1 ).
𝑥3
−2
ИДЗ-4. Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:
3𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 0,
б) {𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 = 0,
4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 0.
2𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 = 0,
а) { 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0.
Решение: а) Вычислим определитель системы:
4 0 −1
4
2 −4 5
 = |1 2 −3| = |1 2 −3| = |7
3 −1 2
3
3 −1 2
0 −1
4 −1
| = 4 + 7 = 11  0.
0
1 | = –(–1)|
7 1
−1 2
Т.к. определитель  однородной системы линейных уравнений отличен от нуля, то
система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение x1 = x2 = x3 = 0.
б) Вычислим определитель системы:
3 4 −1
4 1 4
0
 = |1 −3 5 | = |1 −3 5| = |1
4 1
4
4 1 4
4
0 0
−3 5| = 0.
1 4
Т.к. определитель  однородной системы линейных уравнений равен нулю, то система
имеет бесчисленное множество решений. Нетрудно убедиться, что ранг матрицы данной
системы уравнений размерности n = 3 равен rA = 2. Иными словами, в данной системе
уравнений независимыми являются только два уравнения из трех; используем, например,
первое и второе уравнения:
{
3𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 0,
𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 = 0.
3 4
Так как определитель 2 = |
| = –9 – 4 = –13 из коэффициентов при неизвестных x1 и
1 −3
x2 не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных можно взять x1 и x2. С учетом
сказанного, систему можно переписать в виде:
{
3𝑥1 + 4𝑥2 = 𝑥3 ,
𝑥1 − 3𝑥2 = −5𝑥3 .
9
Решение этой системы получим с помощью формул Крамера:
𝑥
1
x1 = ∆ | 3
−5𝑥
2
3
1 3
x2 = ∆ |
2 1
4
−3𝑥3 −(−5𝑥3 )∙4
17
|=
= – 13 x3;
−13
−3
𝑥3
−15𝑥3 −𝑥3
16
| = −13
= 13 x3.
−5𝑥3
Таким образом, нетривиальным решением системы является тройка действительных чисел
17
16
x1 = – 13 x3, x2 = 13 x3, x3  R.
17
16
Ответ: а) x1 = x2 = x3 = 0; б) x1 = – 13 x3, x2 = 13 x3, x3  R.
ИДЗ-5. Вычисление пределов с использованием теорем о пределах
Вычислить пределы, применяя теоремы о пределах:
а) lim
𝑥→−2
5𝑥 2 +13𝑥+6
б) lim
;
3𝑥 2 +2𝑥−8
7𝑛4 +2𝑛3 +5
𝑛→∞ 6𝑛4 +3𝑛2 −7𝑛
√𝑥+21−5
.
𝑥→4 𝑥 3 −64
в) lim
;
Решение: а) При x  –2 числитель и знаменатель, как нетрудно убедиться,
обращаются в нуль, давая под пределом неопределенность вида {0/0}. Поэтому в данном
случае непосредственное применение теоремы о пределе отношения невозможно.
Предварительно преобразуем дробь для избавления от неопределенности:
3x2 + 2x – 8 = (3x – 4)(x + 2).
5x2 + 13x + 6 = (5x + 3)(x + 2);
После простых преобразований возможно применение теорем о пределах:
lim
𝑥→−2
5𝑥 2 +13𝑥+6
3𝑥 2 +2𝑥−8
= lim
𝑥→−2
(5𝑥+3)(𝑥+2)
5𝑥+3
= lim
(3𝑥−4)(𝑥+2)
𝑥→−2
5∙(–2)+3
−7
7
=
=
= .
3𝑥−4 3∙(–2)−4 −10 10
б) При n   числитель и знаменатель обращаются в бесконечность, давая под
пределом неопределенность вида {/}. Поэтому и здесь непосредственное применение
теоремы о пределе отношения невозможно. Как и выше, необходимо предварительное
преобразование дроби для избавления от неопределенности, для чего разделим и
числитель и знаменатель на старшую степень выражения, в данном случае n4:
lim
𝑛→∞
2
7𝑛4 +2𝑛3 +5
= lim
6𝑛4 +3𝑛2 −7𝑛
5
7+ + 4
𝑛 𝑛
3
7
𝑛→∞ 6+ 2 − 3
𝑛
𝑛
7+0+0
7
= 6+0−0 = 6.
в) При x  4 числитель и знаменатель обращаются в нуль, давая под пределом
неопределенность вида {0/0}. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе
отношения невозможно. Необходимо предварительное преобразование дроби для
избавления от неопределенности. Для этого числитель и знаменатель домножим на
сопряженную сумму и разложим разность кубов в знаменателе на множители:
√𝑥+21−5
𝑥 3 −64
=
√𝑥+21−5 √𝑥+21+5

𝑥 3 −64 √𝑥+21+5
(√𝑥+21)2 −52
𝑥+21−25
= (𝑥 3 −64)∙(√𝑥+21+5) = (𝑥 3 −64)∙(√𝑥+21+5) =
𝑥−4
1
= (𝑥−4)(𝑥 2 +4𝑥+16)∙(√𝑥+21+5) = (𝑥 2 +4𝑥+16)∙(√𝑥+21+5).
10
Полученное выражение уже не имеет особенности при x  4 и после простых
преобразований возможно применение теорем о пределах:
1
√𝑥+21−5
lim
𝑥→4 𝑥 3 −64
1
1
𝑥→4
5𝑥 2 +13𝑥+6
Ответ: а) lim
1
= lim (𝑥 2 +4𝑥+16)(√𝑥+21+5) = (42 +4∙4+16)(√4+21+5) = 48∙10 = 480.
7𝑛4 +2𝑛3 +5
7
= 10; б) lim
𝑥→−2 3𝑥 2 +2𝑥−8
7
√𝑥+21−5
𝑥→4 𝑥 3 −64
= 6; в) lim
𝑛→∞ 6𝑛4 +3𝑛2 −7𝑛
1
= 480.
ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов
Вычислить пределы, применяя I и II замечательные пределы:
𝑥
2−5𝑥
2𝑥
а) lim (2𝑥−3)
1−sin
б) lim 𝜋2−𝑥 22.
;
𝑥→∞
𝑥→
Решение: Выражения для I и II замечательного пределов есть, соответственно:
lim
sin𝑥
= 1;
𝑥→0 𝑥
1 𝑥
lim (1 + ) = e.
𝑥
𝑥→∞
а) Путем несложных преобразований приведем данный предел к стандартному
виду II замечательного предела:
lim (
2𝑥
)
2−5𝑥
𝑥→∞ 2𝑥−3
= lim (
2𝑥−3+3 2−5𝑥
2𝑥−3
𝑥→∞
)
= lim (1 +
𝑥→∞
3
2−5𝑥
)
2𝑥−3
2−5𝑥
= lim (1 +
𝑥→∞
1
)
2
𝑥−1
3
.
2
Для удобства выполним замену переменной под знаком предела. Обозначим 3x – 1 = t.
3
3
Тогда при x   и новая переменная t  . Кроме того, x = 2(t + 1) и 2 – 5x = 2 – 52(t + 1)
=2–
15
2
–
15
11
2
2
t=–
–
15
2
t. Продолжим выкладки:
2−5𝑥
lim (1 +
𝑥→∞
1
)
11 15
= lim (1 +
2
𝑥−1
3
𝑡→∞
1 −2−2𝑡
)
𝑡
=
11
= lim (1 +
𝑡→∞
1 −2
)  lim (1
𝑡
𝑡→∞
1−sin
15
15
+
1 −2𝑡
)
𝑡
−
2
1 𝑡
= 1 lim [(1 + 𝑡 ) ]
𝑡→∞
15
= 𝑒− 2 .
𝑥
б) Приведем данный предел lim 𝜋2 −𝑥 22 к стандартному виду I замечательного
𝑥→
предела. Выполним замену переменной под знаком предела. Обозначим  – x = t. Тогда
при x   новая переменная t  0. Кроме того,
2 – x2 = 2 – ( – t)2 = t(2 – t)
и
𝑥
1 – sin2 = 1 – sin
𝜋−𝑡
2
𝜋
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
= 1 – sin( 2 − 2) = 1 – cos2 = 1 – (1 – 2sin24) = 2sin24.
11
Теперь
lim
𝑥→
𝑥
2
𝜋 2 −𝑥 2
1−sin
2𝑥
𝑡 2
4
2(sin )
1
= lim 𝑡(2𝜋−𝑡) = 2  lim
2−5𝑥
𝑥→∞
𝑡
4
𝑡→0 𝑡/4
𝑡→0
Ответ: а) lim (2𝑥−3)
𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛
𝑡
1
4
 lim 2𝜋−𝑡
= 210 = 0.
𝑡→0
𝑥
15
1−sin
= 𝑒 − 2 ; б) lim 𝜋2−𝑥 22 = 0.
𝑥→
ИДЗ-7. Исследование функции на непрерывность
Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график:
𝑥2,
– ∞ < 𝑥 ≤ 0,
{(𝑥 − 1)2 ,
0 < 𝑥 ≤ 2,
5 − 𝑥,
2 < 𝑥 < +∞.
Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на трех интервалах (–; 0), (0; 2) и
(2; +), где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв
функции возможен лишь в точках x1 = 0 и x2 = 2. Исследуем f(x) на непрерывность в них.
Точка x1 = 0. Для этой точки f(x1 = 0) = 02 = 0. Предел слева: A1 = lim 𝑓(𝑥) =
𝑥→0−0
lim 𝑥 = 0. Предел справа: A2 = lim 𝑓(𝑥) = lim (𝑥 − 1) = 1  A1. Таким образом,
2
2
𝑥→0−0
𝑥→0+0
𝑥→0+0
функция f(x) в точке x1 = 0 имеет (неустранимый) разрыв I рода. Точка x2 = 2. Для этой
точки f(x2 = 2) = (x – 1)2 = 1. Предел слева: A1 = lim 𝑓(𝑥) = lim ( 𝑥 − 1)2 = 1. Предел
𝑥→2−0
𝑥→2−0
справа: A2 = lim 𝑓(𝑥) = lim (5 − 𝑥) = 3  A1. Таким образом, функция f(x) в точке x2 =
𝑥→2+0
𝑥→2+0
2 также имеет (неустранимый) разрыв I рода. График f(x) дан на рис. 1.
y6
4
2
0
-4
-2
0
2
-2
4
x
6
Рис. 1.
Ответ: Функция f(x) (рис. 1) претерпевает разрывы I рода в точках x1 = 0 и x2 = 2.
ИДЗ-8. Дифференцирование функций.
12
Продифференцировать данные функции:
4
3
а) y = 9x5 – 𝑥 3 + √𝑥 7 – 3x + 4;
б) y = tg5(x+2)arccos3x2;
в) y =
√3𝑥 2 −7𝑥+5
𝑒 −𝑥
.
4
Решение: Выполним задание, используя теоремы о производных и таблицу
производных.
4
3
а) y = (9x5 – 𝑥 3 + √𝑥 7 – 3x + 4) = (9x5) – (4x–3) + (x7/3) – (3x) + (4) =
7
12
73
= 95x4 – 4(–3)x–4 + 3 x4/3 – 3 + 0 = 45x4 + 𝑥 4 + 3 √𝑥 4 – 3.
б) Заметим, что y = (uv) = uv + uv, где u = tg5(x+2) и v = arccos3x2. Вычислим
производные для функций u(x) и v(x):
(𝑥+2)
1
u = (tg5(x+2)) = 5tg4(x+2)(tg(x+2)) = 5tg4(x+2)cos2(𝑥+2) = 5tg4(x+2)cos2(𝑥+2);
(3𝑥 2 )
v = (arccos3x2) = –
6𝑥
√1−(3𝑥 2 )2
= – √1−9𝑥 4;
Остается «собрать» окончательное выражение:
1
6𝑥
y = uv + uv = 5tg4(x+2)cos2 (𝑥+2)arccos3x2 – tg5(x+2) √1−9𝑥 4.
в) Как и в предыдущем примере, запишем y = (uv) = uv + uv, где u =
4
√3𝑥 2 − 7𝑥 + 5 и v = 𝑒 𝑥 . Вычислим производные для функций u(x) и v(x):
u = (√3𝑥 2 − 7𝑥 + 5) =
4
(3𝑥 2 −7𝑥+5)
2√3𝑥 2 −7𝑥+5
4
=
6𝑥−7
;
2√3𝑥 2 −7𝑥+5
4
v = (𝑒 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 (x4) = 4x3𝑒 𝑥 ;
Остается «собрать» окончательное выражение:
6𝑥−7
y = uv + uv =
Ответ: а) y = 45x4 +
6𝑥
tg5(x+2) √1−9𝑥4; в) y =
6𝑥−7
4
4
𝑒 𝑥 – √3𝑥 2 − 7𝑥 + 54x3𝑒 𝑥 .
2√3𝑥 2 −7𝑥+5
12
𝑥4
+
73
3
1
√𝑥 4 – 3; б) y = 5tg4(x+2)cos2 (𝑥+2)arccos3x2 –
4
4
𝑒 𝑥 – √3𝑥 2 − 7𝑥 + 54x3𝑒 𝑥 .
2√3𝑥 2 −7𝑥+5
ИДЗ-9. Вычисление производных.
а) Найти y и y; б) для данной функции y(x) и точки x0 вычислить y(x0):
а) x3y – y2 = 6x;
б) y = ⅛ – ¼ cos2x, x0 = /4.
Решение: а) Продифференцируем по x обе части равенства:
(x3y) – (y2) = (6x);
13
3x2y + x3y – 2yy = 6,
откуда
y =
6−3𝑥 2 𝑦
𝑥 3 −2𝑦
.
Продифференцируем по x обе части равенства 3x2y + x3y – 2yy = 6 еще раз:
(3x2y) + (x3y) – (2yy) = (6);
6xy + 3x2y + 3x2y + x3y – 2y2 – 2yy = 0,
откуда
y(x3 – 2y) = 2y2 – 6x2y – 6xy.
Подставляя теперь вместо y полученное выше выражение, имеем окончательно:
(6−3𝑥 2 𝑦)2
6−3𝑥 2 𝑦
6𝑥𝑦
y = 2 (𝑥 3 −2𝑦)3 – 6x2(𝑥 3 −2𝑦)2 – 𝑥 3 −2𝑦.
б) Продифференцируем последовательно данную функцию y(x):
y = (⅛ – ¼ cos2x) = –¼2cos x(–sin x) = ¼sin 2x;
y = (¼sin 2x) = ¼2cos 2x = ½cos 2x;
y = (½cos 2x) = –½2sin 2x = –sin 2x.
Теперь легко получаем: y(x0 = /4) = –sin(2/4) = –sin(/2) = –1.
Ответ: y = –sin 2x; y(x0 = /4) = –1.
ИДЗ-10. Правило Лопиталя.
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:
а) lim
ln(𝑥 2 + 1)
√3𝑥−1
𝑥→∞
б) lim𝜋
;
5
𝑥→
1 − sin 𝑥
tg2 2𝑥
𝑥
в) lim √cos √𝑥.
;
𝑥→0
2
Решение: а) При x   числитель и знаменатель дроби под знаком предела
стремятся к бесконечности, так что имеем неопределенность вида {/}, которую
раскроем с помощью правила Лопиталя:
lim
ln(𝑥 2
𝑥→∞
+ 1)
5
√3𝑥−1
2𝑥
𝑥2 +1
∞
= { } = lim
4
𝑥→∞ 1∙3∙(3𝑥−1)−5
∞
=
10
 lim
3 𝑥→∞
4
𝑥∙(3𝑥−1)5
𝑥 2 +1
=
10
 lim
𝑥
3 𝑥→∞
5
=
б) При x 
𝜋
2
4
4
1
1+
5 ∙(3− )5
𝑥
1
𝑥 2 (1+ 2 )
𝑥
10
1
 lim  lim
3 𝑥→∞ 5√𝑥 𝑥→∞
=
1
𝑥
1
1+ 2
𝑥
4
(3− )5
=
10
3
5
0√34 = 0.
числитель и знаменатель дроби под пределом стремятся к нулю, так
что имеем неопределенность вида {0/0}, которую раскроем с помощью правила Лопиталя:
lim𝜋
𝑥→
2
1 − sin 𝑥
tg2 2𝑥
0
= {0} = lim𝜋
𝑥→
2
−cos 𝑥
1
2∙ tg2𝑥∙ 2 ∙2
cos 2𝑥
1
= – 4lim𝜋
𝑥→
cos 𝑥∙cos3 2𝑥
sin2𝑥
2
14
cos3 2𝑥
1
= – 4lim𝜋 2 sin 𝑥 =
𝑥→
2
1 cos3 𝜋
= – 8
𝜋
2
sin
1
= 8.
1
в) При x  0 выражение (cos√𝑥)𝑥 под знаком предела стремится к
неопределености вида 1, для раскрытия которой не может быть непосредственно
применено правило Лопиталя, и выражение следует предварительно преобразовать.
𝑥
Предположим, что предел существует и равен A = lim √cos √𝑥. Тогда
𝑥→0
1
𝑥
lnA = lim ln((cos √𝑥) ) = lim
𝑥→0
𝑥→0
ln(cos √𝑥)
𝑥
0
= {0} = lim
1
1
∙(−1)∙sin √𝑥∙
cos √𝑥
2√𝑥
𝑥→0
1
1
= – 2lim cos
𝑥→0
Следовательно, A = e–1/2 =
Ответ: а) lim
𝑥→∞
1
√𝑒
√3𝑥−1
lim
√𝑥 𝑥→0
sin √𝑥
√𝑥
1
1
= – 211 = – 2.
.
ln(𝑥 2 + 1)
5
=
1
= 0; б) lim𝜋
𝑥→
1 − sin 𝑥
tg2 2𝑥
1
= 8; в) lim √cos √𝑥 =
𝑥
𝑥→0
2
1
√𝑒
.
ИДЗ-11. Полное исследование функции и построение ее графика.
Провести полное исследование указанных функций и построить их графики:
3
а) y = √(𝑥 + 3)𝑥 2 ;
б) y =
ln 𝑥
𝑥
𝑥
– 2.
Решение: Полное исследование функций и построение их графиков проведем,
придерживаясь следующей примерной схемы:
1) Указать область D определения функции f(x);
2) Найти (если они существуют) точки разрыва функции, точки пересечения ее графика
с осями координат и вертикальные асимптоты;
3) Установить наличие или отсутствие четности/нечетности, периодичности f(x);
4) Исследовать функцию на монотонность и экстремум;
5) Определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
6) Найти наклонные (горизонтальные) асимптоты графика функции;
7) Произвести необходимые дополнительные вычисления, уточняющие ход f(x);
8) Построить график y = f(x) в масштабе, правильно отражающем установленные
особенности поведения функции.
3
а) Проведем полное исследование функции y = f(x) = √(𝑥 + 3)𝑥 2 , придерживаясь
рекомендуемой схемы.
1. Функция f(x) определена для всех действительных x  R, т.е. D = R.
15
2. Функция не имеет точек разрыва, т.е. является непрерывной всюду на области D
своего определения. Функция пересекает ось Ox в точках x01 = –3 и x02 = 0, т.е. нулями
функции y = f(x) = 0 являются точки x01 = –3 и x02 = 0. Функция пересекает ось Oy (здесь x
= 0) в точке y = 0. Отсутствие точек разрыва функции указывает также на отсутствие
вертикальных асимптот у графика y(x).
3. Функция f(x) не является четной или нечетной, не является периодической, т.е.
является функцией общего вида.
4. Для исследования функции на монотонность и экстремум вычислим ее первую
производную:
1 𝑥 2 +(𝑥+3)∙2𝑥
y = ( √(𝑥 + 3)𝑥 2 ) = 3 3
3
√(х + 3)2 𝑥4
1
= 3 3
3𝑥 + 6
√(х + 3)2 𝑥
=3
𝑥+2
√(х + 3)2 𝑥
.
Точками, подозрительными на экстремум (там, где производная y(x) равна нулю или не
существует) являются точки x1 = –3; x2 = –2; x3 = 0. Эти три особые точки разбивают
область определения функции D на четыре (непересекающихся) интервала: D1 = (–; –3),
D2 = (–3; –2), D3 = (–2; 0), D4 = (0; +). Изучим каждый из них.
Интервал D1 = (–; –3). Здесь y > 0 и функция y = f(x) возрастает.
Интервал D2 = (–3; –2). Здесь y > 0; функция y = f(x) возрастает.
Интервал D3 = (–2; 0). Здесь y < 0 и функция y = f(x) убывает.
Интервал D4 = (0; +). Здесь y > 0; функция y = f(x) возрастает.
Знак первой производной y(x) изменяется c «+» на «–» в точке x2 = –2; в этой точке
3
функция y = f(x) достигает (локального) максимума, равного ymax = f(–2) = √(−2 + 3)(−2)2
= √4  1,587. В самой точке x2 производная y(x2 = –2) = 0.
3
Знак первой производной y(x) изменяется c «–» на «+» в точке x3 = 0; в этой точке
функция y = f(x) достигает (локального) минимума, равного ymin = 0. В самой точке x2
производная y(x2 = 0)  , т.е. касательная к графику функции y(x) в точке x3 = 0
вертикальна.
В точке x1 = –3 изменения знака первой производной не происходит, т.е. функция
f(x) не имеет максимума или минимума. В самой точке x1 производная y(x1 = –3)  , т.е.
касательная к графику функции y(x) в точке x3 = 0 вертикальна.
5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба
вычислим вторую производную функции, как производную отношения:
1 2(𝑥+3)𝑥+ (𝑥+3)2
3
3
√(𝑥+3)4 𝑥2
3
3
√(𝑥+3)2 𝑥 − (𝑥+2)∙ ∙
y = ( 3
𝑥+2
√(х + 3)2 𝑥
) =
3
√(х + 3)4 𝑥 2
√(𝑥+3)2 𝑥 −
=
(𝑥+2)(𝑥+1)
3
√(𝑥+3)𝑥2
3
√(х + 3)4 𝑥2
3
=
√(𝑥+3)3 𝑥 3 − (𝑥+2)(𝑥+1)
3
√(х + 3)5 𝑥 4
=
=
(𝑥+3)𝑥 − (𝑥+2)(𝑥+1)
3
√(х + 3)5 𝑥 4
=–3
2
√(х + 3)5 𝑥 4
.
Точками, подозрительными на перегиб (там, где вторая производная y(x) равна нулю или
не существует) являются точки x1 = –3; x3 = 0. В данном случае точки, в которых y(x) = 0,
отсутствуют.
16
В области – < x < –3 вторая производная y > 0 и функция y = f(x) выпукла вниз
(вогнута). В области –3 < x < 0 вторая производная y < 0 и функция y = f(x) выпукла вверх
(выпукла). В области 0 < x < + вторая производная y < 0 и функция y = f(x) также
выпукла вверх. Так как в точке x1 = –3 вторая производная y меняет знак с «+» на «–», то
точка x1 является точкой перегиба.
6. Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты графика функции; как указано
выше, вертикальных асимптот график функции y(x) не имеет. Как известно, наклонная
асимптота имеет вид y = kx + b, коэффициенты k и b которой могут быть найдены как
пределы:
k = lim
𝑓(𝑥)
𝑥→∞ 𝑥
; b = lim [𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥].
𝑥→∞
В данном случае,
3
3
√(𝑥 + 3)𝑥 2
k = lim
𝑥
𝑥→∞
= lim
𝑥→∞
𝑥 √1 +
𝑥
3
𝑥
3
3
= lim √1 + 𝑥 = 1;
𝑥→∞
3
3
b = lim ( √(𝑥 +
𝑥→∞
3)𝑥 2
3
3
− 𝑥) = { – } = lim 𝑥 (√1 + 𝑥 − 1) = lim
𝑥→∞
𝑥→∞
3
𝑥
√1 + − 1
1
𝑥
∞
= {∞}.
1
Для вычисления последнего предела удобно сделать замену переменной t = 𝑥. При x  
новая переменная t  0. Теперь, используя правило Лопиталя, имеем окончательно
3
b=
√1 + 3𝑡 − 1
lim
𝑡
𝑡→0
0
= {0} = lim
𝑡→0
2
1
−
∙(1+3𝑡) 3 ∙3
3
1
= lim 3
1
𝑡→0 √(1+3𝑡)2
= 1.
Таким образом, график y(x) исследуемой функции имеет единственную наклонную
асимптоту y = x + 1.
7. Необходимости в дополнительных вычислениях для уточнения поведения
графика функции y(x) нет. Можно, однако, заметить дополнительно, что y(x) < 0 при x < –
3; при x > –3, напротив, y(x) > 0.
8. Объединяя результаты проведенных выше исследований, строим график
функции y = f(x) (рис. 2).
17
6
y
4
2
0
-6
-4
-2
-2
0
2
4
x
6
-4
-6
Рис. 2
б) Проведем полное исследование функции y = f(x) =
ln 𝑥
– x, как и прежде
𝑥
придерживаясь рекомендуемой схемы.
1. Функция f(x) определена для всех действительных x > 0, т.е. D = (0; +).
2. Функция не имеет точек разрыва, т.е. является непрерывной всюду на области D
своего определения, однако, при x  0 + 0 f(x)  – . Линия x = 0, т.е. ось Oy, является
вертикальной асимптотой графика y(x). Для нахождения нулей функции y = f(x) следует
решить уравнение
ln 𝑥
𝑥
– x = 0,
или
ln x = x2.
Это уравнение не имеет действительных корней. Для того, чтобы убедиться в этом,
достаточно сопоставить два графика элементарных функций y = ln x и y = x2.
3. Функция f(x) не является четной или нечетной, не является периодической, т.е.
является функцией общего вида.
4. Для исследования функции на монотонность и экстремум вычислим ее первую
производную:
y = (
ln 𝑥
𝑥
– x) =
1
∙𝑥
𝑥
− ln 𝑥
𝑥2
–1=
1 − ln 𝑥
𝑥2
–1=
1− ln 𝑥 − 𝑥 2
𝑥2
.
Особыми точками являются: точка x0 = 0 (при x  0 производная функции y(x)  +) и
точка x1 = 1 (здесь y(x) = 0). В первом случае, очевидно, имеем вертикальную асимптоту x
= 0 для графика функции y(x). Во втором случае, как нетрудно видеть, сравнив графики
элементарных функций y = ln x и y = 1 – x2, уравнение
ln x = 1 – x2
18
имеет единственным корнем именно x1 = 1. Заметим, что при x < 1 ln x < 1 – x2, а при x > 1
ln x > 1 – x2.
Особые точки делят область определения функции D на два (непересекающихся)
интервала: D1 = (0; 1) и D2 = (1; +). Изучим каждый из них.
Интервал D1 = (0; 1). Здесь y > 0 и функция y = f(x) возрастает.
Интервал D2 = (1; +). Здесь y < 0 и функция y = f(x) убывает.
Знак первой производной y(x) изменяется c «+» на «–» в точке x1 = 1; в этой точке
функция y = f(x) достигает (локального) максимума, равного ymax = f(1) = –1.
5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба
вычислим вторую производную функции, как производную отношения:
y = (
1 − ln 𝑥
𝑥2
– 1) =
1
𝑥
− ∙𝑥 2 − (1−ln 𝑥)∙2𝑥
𝑥4
=
2 ln 𝑥 −3
.
𝑥3
Точками, подозрительными на перегиб (там, где вторая производная y(x) равна нулю или
не существует) являются точки x0 = 0 и x2 = e3/2  4,482.
В области 0 < x < x2 вторая производная y < 0 и функция y = f(x) выпукла вверх
(выпукла). В области x2 < x < + вторая производная y > 0 и функция y = f(x) выпукла
вниз (вогнута). Так как в точке x2 = e3/2  4,482 вторая производная y меняет знак с «–» на
«+», то точка x2 является точкой перегиба.
6. Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты y = kx + b графика функции. В
данном случае, применяя правило Лопиталя, находим
k = lim
действительно, lim
ln 𝑥
−𝑥
𝑥
𝑥→∞
ln 𝑥
∞
𝑥→∞ 𝑥 2
𝑥
= {∞} = lim
b = lim (
𝑥→∞
ln 𝑥
= lim ( 𝑥 2 − 1) = – 1 + lim
𝑥
𝑥→∞ 𝑥 2
𝑥→∞
1/ 𝑥
𝑥→∞ 2𝑥
ln 𝑥
ln 𝑥
= –1,
= 0.
− 𝑥 + 𝑥) = lim
ln 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
∞
= {∞} = lim
1/ 𝑥
𝑥→∞ 1
= 0.
Таким образом, график y(x) исследуемой функции имеет единственную наклонную
асимптоту y = –x.
7. Необходимости в дополнительных вычислениях для уточнения поведения
графика функции y(x) нет. Можно, однако, заметить дополнительно, что разность между
значениями исследуемой функции y(x) =
ln 𝑥
𝑥
– x и соответствующими асимптотическими
значениями y = –x всегда положительна: y(x) =
ln 𝑥
𝑥
– x – (–x) =
ln 𝑥
𝑥
> 0 при x > 0. Поэтому
функция y = f(x) приближается к своей асимптоте сверху.
8. Объединяя результаты проведенных выше исследований, строим график
функции y = f(x) (рис. 3).
19
y 2
0
-2
0
2
4
6
x
-2
8
-4
-6
-8
Рис. 3
ИДЗ-12. Решение задачи оптимизации.
Построить математическую модель и решить задачу оптимизации.
Среди всех равнобедренных треугольников с заданным периметром p найти
треугольник наибольшей площади. Чему она равна?
Решение: Выполним чертеж к этой геометрической задаче (рис. 4). Введем
необходимые обозначения в рассматриваемом
A
треугольнике ABC: AB = AC = x; BC = y; AD =
xcos; A = 2. Заданный периметр p = 2x + y.
Из геометрических соображений имеем:
y = 2x sin , так что периметр ABC может быть


теперь выражен как
p = 2x + 2x sin  = 2x (1 + sin ),
откуда
B
D
𝑝
1
x = 21+sin 𝛼.
C
Целевая
(оптимизируемая)
функция
задачи – площадь треугольника S = SABC равна:
Рис. 4
1
1
1
S = 2BCAD = 22x sin x cos = 2x2 sin 2 =
𝑝2

sin 2𝛼
8 (1+sin 𝛼)2
.
𝜋
Ясно, что 0    2 . Остается найти максимальное значение целевой функции:
sin 2𝛼
f() = (1+sin 𝛼)2 .
Для этого вычислим производную функции f() и приравняем ее нулю:
sin 2𝛼
f() = 0 = ((1+ sin 𝛼)2 ) =
2 cos 2𝛼(1+sin 𝛼)2 −sin 2𝛼∙2(1+sin 𝛼)∙cos 𝛼
(1 + sin 𝛼)4
cos 2𝛼 + cos 2𝛼∙sin 𝛼 −2 sin 𝛼∙cos2 𝛼
= 2
(1 + sin 𝛼)3
= 2
20
= 2
cos 2𝛼(1+sin 𝛼)−sin 2𝛼∙cos 𝛼
(1+ sin 𝛼)3
cos 2𝛼 + sin 𝛼∙(2 cos2 𝛼− 1 − 2 cos2 𝛼)
(1 + sin 𝛼)3
=
cos 2𝛼 −sin 𝛼
= 2
(1 + sin 𝛼)3
.
При допустимых значениях угла  выражение 1 + sin  > 0, так что f() = 0 при
cos 2 – sin  = 0;
1 – 2sin2  – sin  = 0;
2sin2  + sin  – 1 = 0;
D = 12 – 42(–1) = 9;
−1
−1 ± 3
sin  = 4 = { 1 ;
2
𝜋
𝜋
Допустимым значениям угла  отвечает лишь решение sin  = ½, откуда 0 = 6 и A = 3 .
1
Тогда y = 2x2 = x, т.е. ABC равносторонний.
Нетрудно (СРС) вычислить вторую производную целевой функции f():
f() = (2
cos 2𝛼 −sin 𝛼
(1 + sin 𝛼)3
𝜋
𝛼∙ (cos 2𝛼 + 3)
) = –2sin 2𝛼 +(1cos+ sin
.
𝛼)4
𝜋
При найденном значении m = 6 вторая производная f(0) < 0, т.е. в точке m = 6 площадь
S() достигает именно максимума, равного
𝜋
Sm = S( 6 ) =
𝜋
Ответ: m = 6 ; Sm =
𝑝2
𝜋
3
𝜋
(1 + sin )2
6

8
𝑠𝑖𝑛
𝑝2 √3
36
.
21
=
𝑝2

8
√3
2
1
(1 + )2
2
=
𝑝2 √3
36
.
Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ) по Математике
ИДЗ-1. Действия с определителями
Для данного определителя : а) найти алгебраические дополнения элементов 1-ой
строки и 1-го столбца; б) вычислить определитель , приведя его к треугольному виду,
или получив предварительно нули в к.-л. строке или столбце; в) проверить расчет,
применяя разложение определителя по элементам 1-ой строки или 1-го столбца и
используя алгебраические дополнения соответствующих элементов из задания а).
1
3
1. |
1
2
1
6
0
3
−2 0
−2 5
|.
6
4
5 −1
2
3
2. |
0
4
0
6
2
2
−1
−9
−1
0
2
1
3. |
3
0
7 2
1
1 −1 0
|.
4 0
2
5 −1 −3
2
0
|.
1
4
3
4
6. |
1
0
2 0 −5
3 −5 0
|.
0 −2 3
1 −3 4
−2
3
|.
0
−3
0
−4
9. |
0
1
4 −5 −1 −5
−3 2
8 −2
4. |
|.
5
3
1
3
−2 4 −6 8
3 5
2 4
5. |
1 −2
5 1
2 −1 2 0
3 4 1 2
7. |
|.
2 −1 0 1
1 2 3 −2
3
2 0
1 −1 2
8. |
4
5 1
−1 2 3
0 −2 1
7
4 −8 2 −3
10. |
|.
10 1 −5 4
−8 3
2 −1
5 −3
3 2
11. |
2 1
3 −2
7 −1
0 2
|.
4 −6
9 4
4 −1 1
5
0 2 −2 3
12. |
|.
3 4
1
2
4 1
1 −2
1 8 2 −3
3 −2 0 4
13. |
|.
5 −3 7 −1
3 2 0 2
2 −3
4 −2
14. |
3 0
3 −1
4
3
2
4
1
2
|.
1
3
3 1 2 3
4 −1 2 4
15. |
|.
1 −1 1 1
4 −1 2 5
3
5
16. |
−2
−1
1 −1
3 2
17. |
1 2
4 0
0
3
1 −1
|.
−1 3
1
2
5 0 4 2
1 −1 2 1
18. |
|.
4 1 2 0
1 1 1 1
1 2 0
0 −6 1
|.
2 1 3
3 2 1
3
1
2
−2
3
0
|.
3
6
4
2
1
3
1 1
1 3
|.
2 −2
4 −3
6
2 −10 4
−5 −7 −4
1
19. |
|.
2
4
−2 −6
3
0
−5
4
−1 −2 4
1
2
3
0
6
20. |
|.
2 −2 1
4
3
1 −2 −1
1
2
3
−2 1 −4
21. |
3 −4 −1
4
3 −2
−1
1
22. |
−2
2
1 −2 3
2 2 3
|.
3 1 0
3 −2 0
−1 2 0
2 −3 1
23. |
3 −1 2
2
0 1
4
1 2 0
−1 2 1 −1
24. |
|.
3 −1 2 1
5
0 4 2
4
−2
25. |
0
5
3 −2 −1
1 −4 3
|.
4 1 −2
0 1 −1
3 −5
0 1
26. |
3 1
1 2
4
1
|.
4
3
1
2
−1 −2
|.
−3 0
−1 2
22
4
3
|.
2
1
2 −2 0
3
3 2
1 −1
27. |
|.
1 1 −2 1
3 4 −4 0
6 0 −1 1
2 −2 0 1
28. |
|.
1 1 −3 3
4 1 −1 2
−1 −2 3
2
0 1
29. |
3 −3 1
4
2 1
4
−1
|.
0
−2
−4 1
2
2 −1 2
30. |
−3 0
1
2
1 −2
ИДЗ-2. Действия с матрицами
Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) A–1; г) AA–1; д) A–1A.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
2 −1 −3
A = ( 8 −7 −6);
−3 4
2
3 5 −6
A = ( 2 4 3 );
−3 1 1
2 1 −1
A = (2 −1 1 );
1 0
1
−6 1 11
A = ( 9 2 5 );
0 3 7
3 1 2
A = (−1 0 2);
1 2 1
2 3 2
A = (1 3 −1);
4 1 3
6 7 3
A = (3 1 0);
2 2 1
−2 3
4
A = ( 3 −1 −4);
−1 2
2
1 7 3
A = (−4 9 4);
0 3 2
2 6 1
A = (1 3 2);
0 1 1
6
9 4
A = (−1 −1 1);
10 1 7
1 0 3
A = (3 1 7);
2 1 8
5 1 −2
A = (1 3 −1);
8 4 −1
2 −1 −2
B = (3 −5 4 ).
1 2
1
2
8 −5
B = (−3 −1 0 ).
4
5 −3
3 6
0
B = (2 4 −6).
1 −2 3
3 0 1
B = (0 2 7).
1 −3 2
0 −1 2
B = (2 1 1).
3 7 1
0 −1 2
B = (2 1 1).
3 7 1
2 0
5
B = (4 −1 −2).
4 3
7
3 3 1
B = (0 6 2).
1 9 2
6 5 2
B = (1 9 2).
4 5 2
4 −3 2
B = (−4 0
5 ).
3
2 −3
1 1 1
B = (3 4 3).
0 5 2
3 5 4
B = (−3 0 1 ).
5 6 −4
3 5 5
B = (7 1 2).
1 6 0
23
0
3
|.
1
3
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
2 2 5
A = (3 3 6);
4 3 4
1 −2 5
A = (3 0 6);
4 3 4
5 4 2
A = (1 2 4);
3 0 5
3 1 0
A = (4 3 2 );
2 2 −7
8 −1 −1
A = ( 5 −5 −1);
10 3
2
3 −7 2
A = (1 −8 3);
4 −2 3
3 −1 0
A = (3 5 1);
4 −7 5
2 −1 −4
A = (4 −9 3 );
2 −7 −1
8 5 −1
A = (1 5 3 );
1 1 0
1 1 −1
A = (2 −4 1 );
4 −3 1
5 −8 −4
A = (7 0 −5);
4 1
0
1 2 1
A = (1 −2 4);
3 −5 3
−3 4 2
A = ( 1 −5 3);
0
1 2
−3 4 0
A = ( 4 5 1);
−2 3 3
−3 4 −3
A = ( 1 2 3 );
5 0 −1
−1 0 2
A = ( 2 3 2);
3 7 1
1 −1 1
B = (2 3
3 ).
1 −2 −1
−1 1
1
B=( 2
3
3 ).
1 −2 −1
5 4 −5
B = (3 −7 1 ).
1 2
2
2 7 0
B = (5 3 1).
1 −6 1
3 2 5
B = (3 2 1).
1 0 2
0 5 −3
B = (2 4 1 ).
2 1 −5
−1 0 2
B = ( 1 −8 5).
3
0 2
0 0 −4
B = (5 −6 4 ).
7 −4 1
4 −7 −6
B = (3 2 −1).
0 1
2
1 0 −4
B = (2 5 −3).
4 −3 2
1 5
5
B = (1 2
1 ).
2 −1 −3
7 5 1
B = (5 3 −1).
1 2 3
1 4 4
B = ( 1 3 2).
−4 1 2
1 7 −1
B = (0 2
6 ).
2 −1 1
2 −2 0
B = (5 4 1).
1 −1 2
3 0 1
B = (−3 1 7).
1 3 2
24
4 1 −4
30. A = (2 −4 6 );
1 2 −1
0
B = (2
1
−1 1
5 0).
−1 2
ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а)
по правилам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом
Гаусса.
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 7,
1. {2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 1,
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 6.
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 3,
2. { 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = −4,
4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = −3.
3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 12,
3. {𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 6,
5𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 3.
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = −4,
4. { 𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 11,
𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = −7.
3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 12,
5. { 3𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 6,
2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −9.
6. {
4𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 9,
7. { 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −2,
8𝑥1 + 3𝑥2 − 6𝑥3 = 12.
2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 33,
8. { 7𝑥1 − 5𝑥2 = 24,
4𝑥1 + 11𝑥3 = 39.
2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 12,
9. {7𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3 = −33,
4𝑥1 + 𝑥3 = −7.
𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 6,
10. { 5𝑥2 + 4𝑥3 = −20,
3𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = −22.
3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 21,
11. { 3𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 9,
2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 10.
3𝑥1 − 2𝑥2 − 5𝑥3 = 5,
12. {2𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = 12,
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = −1.
4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 19,
13. {2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 11,
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 8.
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
14. {4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 6,
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 4.
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 8,
15. { 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 11,
4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 22.
2𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = −9,
16. { 𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = 20,
3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 15.
2𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
17. {3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 1,
𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = −3.
−3𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = −8,
18. { 3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −4,
3𝑥1 − 4𝑥2 − 2𝑥3 = −9.
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −4,
19. {−3𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 36,
𝑥1 − 4𝑥2 − 2𝑥3 = −19.
3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = −11,
20. { 5𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 8,
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 16.
3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 9,
5𝑥
21. { 1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 11,
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 19.
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 4,
22. {2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1.
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 12,
23. {2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 16,
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 8.
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 14,
2𝑥
24. { 1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = −16,
3𝑥1 − 2𝑥2 − 5𝑥3 = −8.
25
8𝑥1 + 3𝑥2 − 6𝑥3 = −4,
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2,
4𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = −5.
3𝑥1 − 4𝑥2 − 2𝑥3 = 11,
25. { 2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 4,
3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 11.
𝑥1 + 5𝑥2 − 6𝑥3 = −15,
26. { 3𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 13,
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 9.
4𝑥1 − 𝑥2 = −6,
27. {3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = −14,
𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = −19.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = −16,
𝑥1 + 3𝑥3 = −6,
28. {
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 9.
𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = −9,
29. {4𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = −2,
3𝑥2 − 7𝑥3 = −6.
7𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 13,
30. { 3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 3,
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = −10.
ИДЗ-4. Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0,
1. { 2𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = 0,
4𝑥1 − 11𝑥2 + 10𝑥3 = 0.
3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
2. { 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0,
𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 = −3.
𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
3. { 2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
3𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 = 0.
4𝑥1 − 𝑥2 + 10𝑥3 = 0,
4. { 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 0,
2𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = 0.
2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = 0,
5. {4𝑥1 + 6𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = 0.
3𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
6. {2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 0,
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 0.
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
7. {2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
3𝑥1 + 2𝑥3 = 0.
2𝑥1 − 𝑥2 − 5𝑥3 = 0,
8. {𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
5𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 0.
5𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 = 0,
9. { 3𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
𝑥1 + 7𝑥2 − 𝑥3 = 0.
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 0,
2𝑥
10. { 1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 = 0,
𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = 0.
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
11. {3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 0.
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 = 0,
12. {2𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 0,
3𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 0.
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0,
13. {3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 0,
𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3 = 0.
4𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
14. { 8𝑥1 − 𝑥2 + 7𝑥3 = 0,
2𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 = 0.
𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
15. {2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = 0,
𝑥1 − 7𝑥2 + 2𝑥3 = 0.
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0,
16. { 3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
2𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 = 0.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
17. { 2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 0,
3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 0.
3𝑥1 + 2𝑥2 = 0,
18. { 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
4𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 0.
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
19. {𝑥1 + 2𝑥2 − 5𝑥3 = 0,
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0.
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 0,
20. { 2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
4𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 0.
𝑥1 − 3𝑥2 − 4𝑥3 = 0,
21. {5𝑥1 − 8𝑥2 − 2𝑥3 = 0,
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0.
3𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 = 0,
22. {2𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 0.
26
3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0,
23. {2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
4𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 = 0.
7𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
24. {3𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0.
𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = 0,
25. {2𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 0.
7𝑥1 − 6𝑥2 + 𝑥3 = 0,
26. { 4𝑥1 + 5𝑥2 = 0,
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0.
5𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
27. { 3𝑥2 − 2𝑥3 = 0,
4𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 0.
6𝑥1 + 5𝑥2 − 4𝑥3 = 0,
28. { 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0,
3𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 = 0.
8𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
29. { 𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = 0,
4𝑥1 − 7𝑥2 + 2𝑥3 = 0.
𝑥1 + 7𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
30. { 3𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3 = 0,
3𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 0.
ИДЗ-5. Вычисление пределов с использованием теорем о пределах
Вычислить пределы, применяя теоремы о пределах.
𝑥 2 −5𝑥+6
1. lim 𝑥 2 −12𝑥+20;
lim
𝑥→2
2. lim
𝑥 3 −𝑥 2 +2𝑥
𝑥 2 +𝑥
𝑥→0
3. lim
6+𝑥−𝑥 2
𝑥 3 −27
𝑥→3
𝑛→∞
lim
;
lim
;
lim
𝑥→1
6. lim
8.
9.
lim
;
𝑥 2 −5𝑥+6
𝑥 3 −27
𝑥→3
7.
𝑛→∞
2𝑥 2 −7𝑥+6
12−𝑥−𝑥 2
lim
;
𝑛→∞
𝑥→1/3 27𝑥 3 −1
𝑥→−1
𝑥→−1
lim
lim
;
𝑥 3 −8
lim
𝑥→2
𝑥→−1
𝑛→∞
𝑥 2 −𝑥−2
𝑥 3 +1
lim
;
𝑥 2 −16
lim
4𝑥 2 +11𝑥−3
𝑥→−3 𝑥 2 +2𝑥−3
3𝑥 2 −7𝑥−6
15. lim 2𝑥 2 −7𝑥+3;
𝑥→3
−3𝑛4 +𝑛2 +𝑛
;
2𝑛2 +7𝑛+3
√2−𝑥−√𝑥+6
.
𝑥→−2 𝑥 2 −𝑥−6
;
;
𝑛3 −3𝑛2 +10
;
2𝑛2 −𝑛+10
3𝑛4 +2𝑛+1
;
lim
3𝑛2 +2𝑛+9
;
3𝑛2 +5𝑛−7
𝑛→∞ 3𝑛2 +𝑛+1
lim
;
;
2𝑛3 +7𝑛−2
𝑛→∞ 3𝑛3 −𝑛−4
27
;
𝑥 2 −3𝑥+2
lim
.
𝑥→2 √5−𝑥−√𝑥+1
3𝑥 2 +4𝑥+1
lim
𝑥→−1 √𝑥+3−√5+3𝑥
2𝑥 2 −9𝑥+4
.
.
𝑥→4 √5−𝑥−√𝑥−3
−𝑛2 +3𝑛+1
4𝑛2 +5𝑛−7
√3+2𝑥−√𝑥+4
.
𝑥→1 3𝑥 2 −4𝑥+1
lim
lim
;
5𝑛2 −3𝑛+4
𝑛→∞ 2𝑛2 −𝑛+4
𝑥→4
;
2𝑛2 +5𝑛−3
𝑛→∞ 𝑛4 −𝑛3 +2𝑛
13. lim 𝑥 2 +𝑥−20;
14. lim
3𝑛2 +10𝑛+3
√𝑥+12−√4−𝑥
.
𝑥 2 +2𝑥−8
lim
;
𝑛3 −4𝑛2 +28𝑛
𝑛→∞ 7𝑛3 +2𝑛+1
11. lim 𝑥 2 +𝑥−6;
12. lim
2𝑛3 +5
.
√𝑥+10−√4−𝑥
lim
.
𝑥→−3 2𝑥 2 −𝑥−21
;
7𝑛3 −2𝑛2 +4𝑛
𝑛→∞ 3𝑛2 +𝑛−5
3𝑥 2 −11𝑥+6
𝑥→3
5𝑛4 −3𝑛2 +7
𝑛→∞ 𝑛4 +3𝑛−2
𝑛→∞
;
−𝑥 2 +𝑥+2
2𝑥 2 −5𝑥−3
lim
lim
;
𝑥 2 −2𝑥−3
3𝑥 2 +2𝑥−1
lim
10. lim
;
𝑥 2 −4𝑥−5
lim
lim
𝑥→−4
𝑛→∞ 5𝑛3 +3𝑛2 +𝑛−1
3𝑥 2 +2𝑥−1
lim
𝑥→3 √𝑥−2−√4−𝑥
;
𝑛→∞ 𝑛4 +2𝑛3 +1
2𝑥 2 −𝑥−1
𝑥→2
4𝑛3 +7𝑛
𝑥 2 +𝑥−12
lim
;
2𝑛3 +5𝑛2 −𝑛
𝑛→∞ 2𝑛3 −4𝑛2 +5
4. lim 3𝑥 2 −𝑥−2;
5. lim
3𝑛3 −5𝑛2 +2
;
√2𝑥+1−√𝑥+6
.
𝑥→5 2𝑥 2 −7𝑥−15
lim
lim
𝑥→−5
lim
√3𝑥+17−√2𝑥+12
.
𝑥 2 +8𝑥+15
√𝑥 2 +2−√2
𝑥→0 √𝑥 2 +1−1
lim
.
√7−𝑥−√7+𝑥
√7𝑥
𝑥→0
3𝑥
lim
𝑥→0 √1+𝑥−√1−𝑥
lim
√2𝑥+1−3
.
𝑥→4 √𝑥−2−√2
lim
√5+𝑥−2
.
𝑥→−1 √8−𝑥−3
.
.
4𝑥 2 +7𝑥−2
16. lim
𝑥→−2
𝑥→−1
𝑥→−1
𝑥→−1
21. lim
2𝑥 2 −9𝑥+10
3𝑥 2 −𝑥−10
;
𝑥 2 −5𝑥−14
24. lim 2𝑥 2 −9𝑥−35;
3𝑥 2 −6𝑥−45
25. lim 2𝑥 2 −3𝑥−35;
𝑥→−3
27. lim
𝑥→−5
28. lim
𝑥→−8
29. lim
𝑛→∞
𝑥 2 +8𝑥+15
;
2𝑥 2 +11𝑥+5
2𝑥 2 +15𝑥−8
3𝑥 2 +25𝑥+8
;
3𝑥 2 −2𝑥−40
𝑥→4
30. lim
𝑥→−3
𝑥 2 −3𝑥−4
𝑛→∞ 𝑛5 +6𝑛+8
𝑛→∞
;
3𝑥 2 +10𝑥+3
lim
;
;
2+2𝑛−𝑛3
4𝑛3 −2𝑛+1
𝑛→∞
2𝑥 2 +5𝑥−3
;
5𝑛3 −7𝑛2 +3
lim
lim
;
4−5𝑛2 −3𝑛5
lim
;
2𝑛3 +3𝑛2 +2
5𝑛2 −3𝑛+1
𝑛→∞ 3𝑛2 +𝑛−5
.
3𝑥 2
lim
2−√𝑥 2 +4
.
𝑥→0
3𝑥 2
lim
√2𝑥+7−5
.
3−√𝑥
𝑥→9
.
+16−4
2−√𝑥
.
𝑥→4 √6𝑥+1−5
;
2+3𝑛2 +𝑛4
𝑛→∞ 3𝑛4 +3𝑛+5
𝑥 2 −2𝑥−35
2−√𝑥 2 +4
lim
;
3𝑛4 −2𝑛2 −7
lim
;
𝑥 2 −6𝑥−27
;
𝑛−2𝑛2 +5𝑛4
lim
𝑥→5
26. lim
3𝑛+14𝑛2
𝑛→∞ 1+2𝑛+7𝑛2
𝑥→7
4;
𝑛→∞ 6𝑛3 −4𝑛+3
lim
√3+2𝑥−√𝑥+4
𝑥→1 3𝑥 2 −4𝑥+1
lim
𝑥→0
2𝑛3 +7𝑛2 −2
lim
√4𝑥−3−3
.
𝑥 2 −9
√𝑥 2 +4−2
𝑛→∞ 𝑛+3𝑛2 +2𝑛
−5𝑥 2 +11𝑥−2
lim
.
lim √𝑥 2
;
1+4𝑛−𝑛4
lim
;
√𝑥−3−2
𝑥→0
𝑛→∞ 𝑛3 −3𝑛+2
4𝑥 2 +𝑥−5
𝑥→2
7𝑛3 +4𝑛
lim
;
𝑥 2 +3𝑥−10
lim
lim
;
𝑛→∞ 6𝑛2 +5𝑛+1
𝑥→1 𝑥 2 −2𝑥+1
23. lim
3𝑛2 −4𝑛+2
lim
;
𝑥 2 −𝑥−12
𝑥→2
22. lim
𝑛→∞
;
2𝑛4 +1
.
𝑥→7 √𝑥+2−3
𝑥→3
8𝑛4 −4𝑛2 +3
lim
;
2𝑥 2 +3𝑥+1
3𝑥 2 −𝑥−64
𝑥→4
;
𝑛→∞ 4𝑛2 −3𝑛+2
7𝑥 2 +4𝑥−3
19. lim
8𝑛2 +4𝑛−5
lim
;
√𝑥+4−3
𝑥→5 √𝑥−1−2
;
𝑛→∞ 𝑛4 +4𝑛−3
3𝑥 2 +𝑥−2
lim
;
3𝑛4 −6𝑛2 +2
lim
;
3𝑥 2 +𝑥−2
𝑥 2 −4𝑥−5
18. lim
20. lim
𝑛→∞ 8−3𝑛−9𝑛2
5𝑥 2 +4𝑥−1
17. lim
18𝑛2 +5𝑛
lim
;
3𝑥 2 +8𝑥+4
;
lim
𝑥 3 −27
𝑥→3 √3𝑥−𝑥
lim
.
√1+3𝑥 2 −1
𝑥→0
𝑥 3 +𝑥 2
.
√𝑥+20−4
.
𝑥→−4 𝑥 3 +64
lim
lim
3𝑥 2 −3
.
𝑥→1 √8+𝑥−3
√9+𝑥−3
.
𝑥→0 𝑥 2 +𝑥
lim
√4𝑥+1−3
.
𝑥→2 𝑥 3 −8
lim
ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов
Вычислить пределы, применяя I и II замечательные пределы.
𝑥+4 −3𝑥
1. lim (𝑥+8)
𝑥→∞
𝑥
2. lim (
2𝑥
3. lim (1+2𝑥)
;
−4𝑥
;
𝑥→∞
𝑥−1 2−3𝑥
𝑥
𝑥→∞
)
2𝑥+5 5𝑥
5. lim (2𝑥+1) ;
𝑥→∞
𝑥+3 −5𝑥
6. lim (
𝑥→∞
𝑥
𝑥→0
2𝑥−3
)
𝑥→∞ 𝑥+1
4. lim (
lim
;
)
;
;
lim
𝑥→0
lim
𝑥→0
1−cos8𝑥
3𝑥 2
.
sin3𝑥−sin𝑥
5𝑥
cos𝑥−cos5𝑥
2𝑥 2
tg3𝑥
lim 2sin𝑥.
𝑥→0
lim
𝑥→0
lim
.
tg𝑥−sin𝑥
3𝑥 2
arcsin5𝑥
𝑥→0 sin3𝑥
.
.
28
.
𝑥+2 1+2𝑥
7. lim (𝑥+1)
𝑥→∞
𝑥+3 𝑥−4
8. lim (𝑥−1)
𝑥→∞
lim
;
lim
𝑥→∞
𝑥−7 2𝑥+1
𝑥
𝑥→∞
)
𝑥−1 3𝑥+2
11. lim (𝑥+4)
𝑥→∞
2𝑥+1 𝑥+2
12. lim (2𝑥−1)
𝑥→∞
𝑥−2 2𝑥−3
13. lim (𝑥+1)
𝑥→∞
𝑥
14. lim (𝑥−3)
lim
;
lim
lim
)
𝑥+5 3𝑥+4
18. lim (
𝑥
𝑥→∞
)
𝑥−7 4𝑥−2
19. lim (𝑥+1)
𝑥→∞
𝑥+2 3−2𝑥
20. lim (
𝑥→∞
𝑥
)
lim
;
;
;
;
21. lim (5−3𝑥) ;
1−𝑥 3𝑥
4𝑥−1 2𝑥
;
;
1+2𝑥 −𝑥
1−sin2𝑥
.
.
cos4𝑥−cos3 4𝑥
3𝑥 2
𝑥→0
1
.
1
lim (sin2𝑥 − tg2𝑥).
𝑥→0
cos2 𝑥−cos2 2𝑥
𝑥2
arcsin5𝑥
𝑥 2 −𝑥
.
.
lim
1−cos4𝑥
𝑥→0 𝑥∙sin𝑥
lim
.
cos5𝑥−cos𝑥
4𝑥 2
sin5𝑥+sin𝑥
𝑥→0
lim
arcsin𝑥
𝑥−2
;
.
.
1−sin𝑥
𝑥→𝜋/2 (𝜋/2−𝑥)2
𝑥→∞
𝑥→∞
lim
𝑥→0
27. lim (3+2𝑥) ;
3𝑥
lim
𝑥→𝜋/4 𝜋−4𝑥
lim
𝑥→∞
28. lim (3𝑥+2)
2𝑥 2
𝑥→0
2𝑥−1 −𝑥
𝑥→∞
.
tg3𝑥−sin3𝑥
𝑥→0
.
1−cos2 2𝑥
25. lim (2𝑥+4) ;
3𝑥+4 𝑥+1
.
3𝑥 2
𝑥→0 tg3𝑥
lim
.
cos2𝑥−cos4𝑥
arctg2𝑥
.
lim 𝑥∙arcsin𝑥 .
𝑥→∞
26. lim (3𝑥+5)
2𝑥 2
𝑥→0
23. lim (4𝑥+1) ;
𝑥→∞
lim
lim
𝑥→∞
)
1−cos5𝑥
𝑥→0
22. lim (2−𝑥) ;
3𝑥
;
lim
𝑥→∞
24. lim (
𝑥∙sin𝑥
𝑥→0
2−3𝑥 𝑥
3𝑥+4 −2𝑥
sin7𝑥+sin3𝑥
𝑥→0
𝑥→∞
2𝑥
𝑥2
𝑥→0
3𝑥−4 2𝑥
𝑥→∞
sin2 3𝑥−sin2 𝑥
𝑥→0
lim
𝑥→∞
1
𝑥→0
;
2𝑥−1 3𝑥−1
.
1
;
16. lim (2𝑥+4)
.
lim (tg𝑥 − sin𝑥).
;
;
2𝑥−4 −3𝑥
𝑥∙tg𝑥
𝑥→0
15. lim (3𝑥+2) ;
17. lim (
𝑥2
1−cos2 𝑥
.
.
tg2𝑥−sin2𝑥
𝑥→0
𝑥−5
𝑥→∞
1−sin𝑥
𝑥→𝜋/2 𝜋−2𝑥
9. lim (2𝑥−3) ;
10. lim (
2
𝑥→1
3𝑥
2𝑥
𝜋𝑥
lim(1 − 𝑥) tg
;
.
lim𝜋(𝜋/2 − 𝑥) tg𝑥.
𝑥→
2
29
𝑥
3−2𝑥
29. lim (𝑥−1)
𝑥→∞
4−2𝑥 𝑥+1
30. lim (1−2𝑥)
𝑥→∞
;
;
7𝑥
lim sin𝑥+sin7𝑥.
𝑥→0
lim
𝑥→0
cos𝑥−cos3 𝑥
5𝑥 2
.
ИДЗ-7. Исследование функции на непрерывность
Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.
𝑥 + 4, 𝑥 < 1,
1. {𝑥 + 2, – 1 ≤ 𝑥 < 1,
2𝑥, 𝑥 ≥ 1.
𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 0,
2. {(𝑥 + 1)2 , 0 < 𝑥 ≤ 2,
−𝑥 + 4, 𝑥 > 2.
𝑥 + 2, 𝑥 ≤ −1,
3. {𝑥 + 1, – 1 < 𝑥 ≤ 1,
3 − 𝑥, 𝑥 > 1.
−𝑥, 𝑥 ≤ 0,
4. {−(𝑥 − 1)2 , 0 < 𝑥 < 2,
𝑥 − 3, 𝑥 ≥ 2.
– 2(𝑥 + 1), 𝑥 ≤ −1,
5. {(𝑥 + 1)3 , – 1 < 𝑥 < 0,
𝑥, 𝑥 ≥ 0.
−𝑥, 𝑥 ≤ 0,
6. {𝑥 2 , 0 < 𝑥 ≤ 2,
𝑥 + 1, 𝑥 > 2.
𝑥 2 + 1, 𝑥 ≤ 1,
7. {2𝑥, 1 < 𝑥 ≤ 3,
𝑥 + 2, 𝑥 > 3.
𝑥 − 3, 𝑥 < 0,
8. {𝑥 + 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4,
3 + 𝑥, 𝑥 > 4.
√1 − 𝑥, 𝑥 ≤ 0,
9. { 0, 0 < 𝑥 ≤ 2,
𝑥 − 2, 𝑥 > 2.
2𝑥 2 , 𝑥 ≤ 0,
10. {𝑥, 0 < 𝑥 ≤ 1,
2 + 𝑥, 𝑥 > 1.
sin 𝑥 , 𝑥 < 0,
11. {𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,
0, 𝑥 > 2.
cos 𝑥 , 𝑥 ≤ 𝜋/2,
𝜋
12. { 0, 2 < 𝑥 < 𝜋,
2, 𝑥 ≥ 𝜋.
𝑥 − 1, 𝑥 ≤ 0,
13. {𝑥 2 , 0 < 𝑥 < 2,
2𝑥, 𝑥 ≥ 2.
𝑥 + 1, 𝑥 < 0,
14. {𝑥 − 1, 0 ≤ 𝑥 < 1,
−𝑥, 𝑥 ≥ 1.
−𝑥, 𝑥 < 0,
15. {𝑥 + 1, 0 ≤ 𝑥 < 2,
𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 2.
𝑥 + 3, 𝑥 ≤ 0,
16. { 1, 0 < 𝑥 ≤ 2,
𝑥 2 − 2, 𝑥 ≥ 1.
𝑥 − 1, 𝑥 < 0,
17. {sin 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < 𝜋,
3, 𝑥 ≥ 𝜋.
−𝑥 + 1, 𝑥 < −1,
18. {𝑥 + 1, − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2,
2𝑥, 𝑥 > 2.
1, 𝑥 ≤ 0,
19. {2 , 0 < 𝑥 ≤ 2,
𝑥 + 3, 𝑥 > 2.
−𝑥 + 2, 𝑥 ≤ −2,
20. {𝑥 3 , − 2 < 𝑥 ≤ 1,
2, 𝑥 > 1.
3𝑥 + 4, 𝑥 ≤ −1,
21. {𝑥 − 2, − 1 < 𝑥 < 2,
𝑥, 𝑥 ≥ 2.
𝑥, 𝑥 ≤ 1,
22. {(𝑥 − 2)2 , −1 < 𝑥 < 3,
−𝑥 + 6, 𝑥 ≥ 3.
𝑥 − 1, 𝑥 < 1,
23. {𝑥 + 2, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2,
−2𝑥, 𝑥 < 2.
𝑥 3 , 𝑥 < −1,
24. {𝑥 − 1, − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3,
−𝑥 + 5, 𝑥 > 3.
2
2
2
2
2
𝑥
2
2
30
𝑥, 𝑥 <– 2,
25. {−𝑥 + 1, −2 ≤ 𝑥 ≤ 1,
𝑥 2 − 1, 𝑥 > 1.
𝑥 + 3, 𝑥 ≤ 0,
26. {−𝑥 2 + 4, 0 < 𝑥 < 2,
𝑥 − 2, 𝑥 ≥ 2.
0, 𝑥 ≤– 1,
27. {𝑥 − 1, −1 < 𝑥 ≤ 2,
2𝑥, 𝑥 > 1.
−1, 𝑥 < 0,
28. {cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋,
1 − 𝑥, 𝑥 > 𝜋.
2, 𝑥 < −1,
29. {1 − 𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1,
ln 𝑥 , 𝑥 > 1.
−𝑥, 𝑥 ≤ 0,
30. {𝑥 3 , 0 < 𝑥 ≤ 2,
𝑥 + 4, 𝑥 > 2.
2
ИДЗ-8. Дифференцирование функций.
Продифференцировать данные функции:
4
1
1. y = 2x5 – 𝑥 3 + 𝑥 + 3√𝑥;
𝑒 arccos 3𝑥
y = sin32xcos8x5;
y=
y = cos53xtg(4x+1)3;
y=
y = tg4xarcsin4x5;
y = √𝑥 2
4. y = 7√𝑥 – 𝑥 5 – 3x3 + 𝑥;
4
y = arcsin32xctg7x4;
y = 3𝑥 2 −4𝑥+2.
5
6
y = ctg3xarccos3x2;
y=
y = arccos24xln(x–3);
y = √3𝑥 2
10
y = ln5xarctg7x4;
y = (𝑥−5)7 .
4
y = arctg34x3sinx;
y=
y = 2cosxarcctg5x3;
y=
y = 4–xln5(x+2);
y = (𝑥+4)3 .
11. y = 2 √𝑥 3 – 𝑥 + 3x2 – 𝑥 5 ;
y = 3tgxarcsin7x4;
y=
3
y = 5𝑥 arccos2x5;
y = √3𝑥 2
y = sin43xarctg2x3;
y = (𝑥+5)4 .
y = cos34xarcctg√𝑥;
y = √𝑥 2
y = tg32xarcsinx5;
y=
y = ctg7xarccos2x3;
y = 4𝑥 2 −3𝑥+5.
3
5
2. y = + √𝑥 2 – 4x3 +
𝑥
2
3
2
𝑥
4;
4
3. y = 3x4 + √𝑥 5 – 𝑥 – 𝑥 2 ;
2
7
5. y = 7x + 𝑥 2 – √𝑥 4 + 𝑥;
4
3
5
6. y = 5x2 – √𝑥 4 + 𝑥 3 – 𝑥;
3
2
7. y = 3x5 – 𝑥 + √𝑥 3 + 𝑥 5 ;
3
3
4
2
9. y = 8x2 + √𝑥 4 – 𝑥 – 𝑥 3 ;
5
7
3
10. y = 4x6 + 𝑥 – √𝑥 7 – 𝑥 4 ;
7
2
2
6
5
12. y = 4x3 – 𝑥 – √𝑥 2 + 𝑥 2 ;
8
1
13. y = 5x3 – 𝑥 2 + 4√𝑥 + 𝑥;
9
2
3
14. y = 𝑥 3 + √𝑥 4 – 𝑥 + 5x4;
4
9
5
15. y = 𝑥 5 – 𝑥 + √𝑥 2 – 7x3;
8
3
2
(𝑥−4)2
𝑒 arcctg 𝑥
𝑒 −𝑥
.
.
3
.
+5𝑥−1
𝑒 –ctg 5𝑥
√7𝑥 3 −5𝑥+2
.
𝑒 cos 𝑥
𝑒 tg 3𝑥
.
−𝑥+4
𝑒 sin 𝑥
3
8. y = √𝑥 7 + 𝑥 – 4x6 + 𝑥 2 ;
3
√𝑥+5
16. y = 𝑥 3 + 𝑥 – 4 √𝑥 3 + 2x7;
2
31
√2𝑥 2 −3𝑥+1
.
𝑒 −𝑥
√𝑥 3 +4𝑥−5
𝑒𝑥
.
3
𝑒 ctg 5𝑥
√3+2𝑥−𝑥 2
𝑒𝑥
.
𝑒 3𝑥
.
−4𝑥−7
𝑒 −sin 2𝑥
𝑒 cos 5𝑥
.
−5𝑥−2
(2𝑥+5)3
𝑒 tg 𝑥
.
𝑒 −tg 3𝑥
4
2
3
𝑒 −sin 4𝑥
y = e–sinxtg7x6;
y = (2𝑥−5)6 .
y = ecosxctg8x3;
y=
y = cos5xarccos4x;
y = (2𝑥 2 −𝑥+4)2 .
y = sin37xarcctg5x2;
y = (3𝑥+5)3 .
y = sin23xarcctg3x5;
y = (3𝑥−5)4 .
y = cos √𝑥arctgx4;
y=
y = tg62xcos7x2;
y=
24. y = 8x3 – 𝑥 – 𝑥 4 + √𝑥 2 ;
y = ctg34xarcsin√𝑥;
y=
5
y = ctg(1/x)arccosx4;
y=
y = tg√𝑥arcctg3x5;
y = (2𝑥−5)7 .
17. y = 5x2 + 𝑥 – √𝑥 7 – 𝑥 6 ;
4
2
5
18. y = 10x2 + 3 √𝑥 5 – 𝑥 – 𝑥 4 ;
3
2
4
19. y = √𝑥 5 – 𝑥 + 𝑥 3 – 3x3;
5
7
3
20. y = 9x3 + 𝑥 – 𝑥 4 + √𝑥 7 ;
4
7
3
21. y = 3√𝑥 + 𝑥 5 + √𝑥 2 – 𝑥;
2
2
4
22. y = √𝑥 3 + 𝑥 – 𝑥 5 – 5x3;
3
8
5
23. y = 7x2 + 𝑥 – √𝑥 4 + 𝑥 3 ;
4
7
7
1
5
25. y = 8x – 𝑥 4 + 𝑥 – √𝑥 4 ;
5
4
4
26. y = √𝑥 3 – 𝑥 + 𝑥 5 + 3x;
𝑒− 𝑥
𝑒 4𝑥
𝑒 ctg 5𝑥
(2𝑥−3)7
𝑒 −2𝑥
(3𝑥+1)4
𝑒 4𝑥
.
.
5𝑥 2 +4𝑥−20
.
𝑒 −𝑥
√5𝑥 2 −𝑥+1
𝑒 3𝑥
𝑒 −𝑥
.
2
𝑒 cos 3𝑥
2
y = tg32xarccos2x3;
y = (2𝑥+4)5 .
5
2
2
y = 2tgxarctg53x;
y = (3𝑥−2)2 .
y = sin53xarctg√𝑥;
y=
y = cos43xarcsin3x2;
y = 4𝑥 2 +7𝑥−5.
5
29. y = 𝑥 + 𝑥 3 – √𝑥 3 – 2x6;
6
.
4
3
28. y = 4x5 – 𝑥 – √𝑥 3 + 𝑥 3 ;
4
𝑒 −𝑥
3
27. y = 4x3 + 𝑥 – √𝑥 5 – 𝑥 4 ;
7
5
3𝑥 2 −5𝑥+10
3
2
30. y = 𝑥 4 – 𝑥 + 3x3 – √𝑥 7 ;
𝑒 sin 5𝑥
√𝑥 2 −3𝑥−7
𝑒 −𝑥
3
.
𝑒 −tg 𝑥
ИДЗ-9. Вычисление производных.
а) Найти y и y; б) для данной функции y(x) и точки x0 вычислить y(x0).
1. а) y2 = 8x;
б) y = sin2x, x0 = /2.
2. а) x2/5 + y2/7 = 1;
б) y = arctg x, x0 = 1.
3. а) y = x + arctg x;
б) y = ln(2 + x2), x0 = 0.
4. а) x2/5 + y2/3 = 1;
б) y = ex cos x, x0 = 0.
5. а) y2 = 25x – 4;
б) y = ex sin 2x, x0 = 0.
6. а) arctg y = 4x + 5y;
б) y = e–x cos x, x0 = 0.
7. а) y2 – x = cos y;
б) y = sin 2x, x0 = .
8. а) 3x + sin y = 5y;
б) y = (2x + 1)5, x0 = 1.
9. а) tg y = 3x + 5y;
б) y = ln(1 + x), x0 = 2.
10. а) xy = ctg y;
б) y = ½ x2 ex, x0 = 0.
11. а) y = ey + 4x;
б) y = arcsin x, x0 = 0.
12. а) ln y – y/x = 7;
б) y = (5x – 4)5, x0 = 2.
32
13. а) y2 + x2 = sin y;
б) y = x sin x, x0 = /2.
14. а) ey = 4x – 7y;
б) y = x2 ln x, x0 = 1/3.
15. а) 4sin2(x + y) = x;
б) y = x sin 2x, x0 = –/4.
16. а) sin y = 7x + 3y;
б) y = x cos 2x, x0 = /12.
17. а) tg y = 4y – 5x;
б) y = x4 ln x, x0 = 1.
18. а) y = 7x – ctg y;
б) y = x + arctg x, x0 = 1.
19. а) xy – 6 = cos y;
б) y = cos2x, x0 = /4.
20. а) 3y = 7 + xy3;
б) y = ln(x2 – 4), x0 = 3.
21. а) y2 = x + ln(y/x);
б) y = x2 cos x, x0 = /2.
22. а) xy2 – y3 = 4x – 5;
б) y = x arccos x, x0 = √3/2.
23. а) x2y2 + x = 5y;
б) y = (1 + x)ln(1 + x), x0 = –1/2.
24. а) x4 + x2y2 + y = 4;
б) y = ln3 x, x0 = 1.
25. а) sin y = xy2 + 5;
б) y = 2𝑥 , x0 = 1.
26. а) x3 + y3 = 5x;
б) y = (4x – 3)5, x0 = 1.
27. а) √𝑥 + √𝑦 = √7;
б) y = x arcctg x, x0 = 2.
28. а) y2 = (x – y)/(x + y);
б) y = (7x – 4)6, x0 = 1.
29. а) sin2(3x + y2) = 5;
б) y = x sin 2x, x0 = /4.
30. а) ctg2(x + y) = 5x;
б) y = sin(x3 + ), x0 = √𝜋.
2
3
ИДЗ-10. Правило Лопиталя.
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:
1. lim
ln(𝑥+5)
4
𝑥→∞ √𝑥+3
2. lim
𝑥→0
𝑎ln 𝑥 −𝑥
𝑥−1
lim
;
tg 𝑥 −𝑥
𝑥→0
𝑥→1
tg2 2𝑥
1
𝑥→∞
lim 𝑥 4 sin 𝑥 ;
𝑥→0
lim ln 𝑥 ∙ ln(𝑥 − 1);
lim (cos 𝑥)ctg 𝑥 .
;
lim (ln 𝑥)𝑥 .
𝑒 tg 𝑥 −1
1
5
lim (𝑥−3 − 𝑥 2 −𝑥−6);
𝑥→3
lim (
1/2
5. lim tg 𝑥 − 𝑥;
𝑥→1 1−√𝑥
6. lim (𝜋 − 2arctg 𝑥) ln 𝑥;
lim
𝑥→1
𝑥→∞
7. lim (𝑎1/𝑥 − 1) ∙ 𝑥 ;
𝑥→∞
𝑥
8. lim (ln 𝑥 − ln 𝑥);
𝑥→1
1−cos 𝑥 2
9. lim 𝑥 2 −sin 𝑥 2 ;
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→1
𝜋𝑥
1−4sin2 ( )
6
1−𝑥 2
1
lim (1– sin 2𝑥)ctg 𝑥 .
;
𝑎
;
3. lim 𝑥−sin 𝑥;
4. lim
1−cos 8𝑥
𝑥→0
−
1/3
3
1− √𝑥
𝜋𝑥
)
2
ln(1−𝑥)+tg(
ctg𝜋𝑥
𝑥→1
𝑥
);
;
𝜋
lim𝜋 (ctg 𝑥 − 2 cos 𝑥);
𝑥→
2
𝑥
lim (𝜋 − 𝑥) ∙ tg 2;
𝑥→𝜋
lim
𝑥→0
𝑥−arctg 𝑥
𝑥3
33
;
2
𝑥→0
lim 𝑥 𝑥 .
𝑥→0
lim (ln 2𝑥)1/ ln 𝑥 .
𝑥→∞
2
lim (1 + sin2 𝑥)1/tg 𝑥 .
𝑥→0
lim (1 − 𝑥)ln 𝑥 .
𝑥→1
lim (ln(𝑥 + 𝑒))1/𝑥 .
𝑥→0
lim (sin 𝑥)tg 𝑥 .
𝑥→0
tg 𝑥 − 𝑥
10. lim 2 sin 𝑥 + 𝑥;
𝑥→
𝑒
1/𝑥2
−1
𝑥→∞ 2 arctg 𝑥 2 − 𝜋
;
𝑥 3 −2𝑥 2 −𝑥+2
;
𝑥 3 −7𝑥+6
𝑥→1
13. lim
(2𝑎𝑥−𝜋)2
𝑥
lim √𝑥.
;
𝑥→∞
2𝑎
11. lim
12. lim
1 − sin 𝑎𝑥
lim𝜋
𝑥→0
𝑥 cos 𝑥 −sin 𝑥
𝑥3
𝑥→0
𝑒𝑥
14. lim
𝑥→∞
𝑥5
;
lim𝜋
𝑥→
cos 3𝑥
lim 𝑥 sin 𝑥 .
;
𝑥→0
6
lim𝜋
𝑥→
1 − 2 sin 𝑥
1 − 2 sin 𝑥
cos 3𝑥
lim 𝑥 sin 𝑥 .
;
𝑥→0
6
𝑎𝑥 −1
lim (1 + 𝑥 2 )1/𝑥 .
lim 𝑏𝑥 −1;
𝑥→0
𝑥→0
ln 𝑥
lim 𝑥1/(𝑥−1) .
lim 1−𝑥 3;
;
𝑥→1
𝑥→1
𝜋𝑥
1−𝑥
15. lim
𝜋𝑥
𝑥→1 1−sin 2
ln 𝑥
lim
;
𝑥→0 ctg 𝑥
𝜋𝑥 tg 2
lim (tg 4 )
𝑥→1
;
.
𝜋𝑥
ln 𝑥
16. lim
3
𝑥→∞ √𝑥
lim
;
𝑥→0 1−cos 𝑏𝑥
ch 𝑥 −1
𝜋𝑥
𝑥→0 ctg 2
19. lim𝜋
𝑥→
1
−2 tg 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
1+cos 4𝑥
;
ln(sin 𝑚𝑥)
lim(𝑥 ln 𝑥);
lim(1 − 𝑒 2𝑥 ) ∙ ctg 𝑥;
23. lim(1 − 𝑥)tg
π𝑥
;
2
𝑥→1
3
24. lim 𝑥sin 𝑥;
𝑎𝑥 −𝑏𝑥
lim
𝑥→0 𝑥√1−𝑥 2
𝑥 cos 𝑥−sin 𝑥
𝑥3
1− 𝑥
𝜋𝑥
𝑥→1 1−sin 2
tg 𝑥 − sin 𝑥
tg 3𝑥
𝑥→
2
𝑚
ln(1+𝑥 2 )
𝑥→0
𝑒𝑥
𝑥→∞ 𝑥 5
lim
𝑥→∞
𝑥→∞
lim cos 3𝑥− 𝑒 −𝑥 ;
lim
lim (𝑥 − 1)ln(2(𝑥−1)) .
lim (cos 𝑥 )𝑥 .
;
lim (ctg 2𝑥)1/ ln 𝑥 .
𝑥→0
lim1 ln 2𝑥 ∙ ln(2𝑥 − 1).
;
𝑥→
2
ln(𝑥+7)
7
𝑥→+∞ √𝑥−3
;
1
;
𝑒 𝑎√𝑥 − 1
lim
;
𝑥→0 4𝑥−sin 𝑥
;
𝑥→∞
sin2 2𝑥
𝑥→0
3
√1+2𝑥 + 1
;
𝑥→−1 √2+𝑥 + 𝑥
lim 𝑥 6/(1+2 ln 𝑥) .
𝑥→∞
lim (1 − 𝑒 𝑥 )1/𝑥 .
;
𝑒 𝑥 − 1 − 𝑥3
𝑥→0 √sin 𝑏𝑥
25. lim
lim (ln 𝑥)1/𝑥 .
𝑥→∞
3
lim
lim
𝑥→∞
29. lim𝜋 tg 5𝑥;
1
𝑥→0
𝑥→0
28. lim
𝑥→0
𝑥→0
22. lim(1 − cos 𝑥)ctg 𝑥;
27. lim
lim (ctg 𝑥)sin 𝑥 .
𝑥→0
1
2
.
𝑥→∞
lim (𝑥 sin 𝑥 − 𝑥 2 );
;
tg 𝑥
𝑥→0
lim (𝑥 + 3)
𝑥→𝑎
.
.
𝑥 − 4 3𝑥
𝑒 𝑥 −1
21. lim𝜋 tg 5𝑥;
26. lim
𝑥→0
lim sin 2𝑥;
;
𝑥→0 ln(sin 𝑥)
𝑥→
1 tg 𝑥
lim (𝑥)
𝑥→𝑎
4
20. lim
;
lim 𝑥 𝑛−𝑎𝑛 ;
𝑥→0
𝜋/𝑥
𝜋𝑥 tg 2
lim (ctg 4 )
𝑥→1
𝑥−𝑎
17. lim 1−cos 𝑥;
18. lim
1−cos 𝑎𝑥
𝜋/𝑥
;
;
5𝑥
𝑥→0 ctg 2
𝑎
lim 𝑥 2 sin 𝑥 .
𝑥→∞
lim (
1/2
𝑥→1 1−√𝑥
−
1/4
4
1− √𝑥
𝜋𝑥
lim (1 − cos 2𝑥) ∙ ctg 4𝑥;
𝑥→∞
34
lim (1 − 𝑥)cos 2 .
𝑥→1
).
30. lim𝜋
𝑥→
1
− 2 tg 𝑥
sin2 𝑥
1+ cos 4𝑥
;
4
𝑏
lim (𝑥 2  sin 𝑥 );
𝑥→∞
lim (ctg 𝑥)sin 𝑥 .
𝑥→0
Прим. Во всех случаях подразумевается, что значения параметров таковы, что
выражения под знаком предела имеют смысл.
ИДЗ-11. Полное исследование функции и построение ее графика.
Провести полное исследование указанных функций и построить их графики:
1. y =
𝑥 2 − 2𝑥 + 2
;
𝑥−1
𝑥+1
2
y = 𝑒 2𝑥−𝑥 .
2. y = (𝑥 − 1)2;
y = x + ln(x2 – 4).
3. y = 𝑒 1/(5+𝑥) ;
y=
𝑥
4𝑥 − 𝑥 2 − 4
;
𝑥
𝑥2
ln 𝑥
√𝑥
2
y=
4𝑒 𝑥 − 1
𝑒𝑥
.
2
1 2
y = x 𝑒 1/𝑥 .
;
8. y = x +
.
y = x2 𝑒 −2𝑥 .
6. y = 4𝑥 2 −1;
7. y =
𝑥−2
y = xln2x.
4. y = 9 − 𝑥;
5. y =
2(𝑥+1)2
ln 𝑥
𝑥
𝑥+2
;
y = (𝑥 + 1)2 .
9. y = x – ln(1 + x2);
𝑥3
(1−𝑥)3
y = (𝑥 − 2)2 .
10. y = 𝑥 2 − 𝑥 +1;
y = x ex.
11. y = x2 – 2ln x;
y = x2 𝑒 1/𝑥 .
𝑥2
1 2
12. y = x3 𝑒 −2𝑥 ;
13. y =
14. y =
y = (𝑥 + 2)2 .
𝑥2 − 𝑥 − 1
𝑥 2 − 2𝑥
(𝑥 − 2)2
𝑥+1
y = (x + 2)𝑒 1−𝑥 .
;
;
y=
ln 𝑥
𝑥
.
𝑥−2 2
1+𝑥
15. y = – ln 1−𝑥;
y = (𝑥 + 1) .
16. y = ln(x2 + 1);
y = 9 − 𝑥2.
17. y =
𝑥2+ 6
𝑥 2 +1
𝑥3
y = (x + 1)𝑒 2𝑥 .
;
4𝑥
18. y = xln x;
y = 4 + 𝑥2.
19. y = (x – 1)𝑒 3𝑥+1 ;
y = 𝑥 3 − 1.
20. y =
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
𝑥+1
2𝑥 − 1
21. y = (𝑥 − 1)2;
;
𝑥4
y = ln(x2 – 2x + 6).
y = ln(1 – 1/x2).
35
𝑥5
y = x3 𝑒 𝑥+1 .
22. y = 𝑥 4 +1;
23. y =
𝑥3 + 4
𝑥2
;
y = x + 2arctg x.
1 3
24. y = 3 √𝑥 2 (x – 5);
𝑥3
y = (x – 1)𝑒 4𝑥+2 .
25. y = 𝑥 4 − 1;
26. y =
𝑒 2𝑥 + 1
27. y = x2 +
28. y =
29. y =
30. y =
;
𝑒𝑥
1
𝑥2
5𝑥 4 + 3
;
𝑥
4 − 2𝑥
1− 𝑥2
4 − 2𝑥
1− 𝑥2
y = 1 – ln3x.
y=
;
2𝑥 2 + 4𝑥 + 2
.
2− 𝑥
y = –xln2x.
1−𝑥 2
y = arcsin 1−𝑥 2 .
;
y = 𝑒 1/(2−𝑥) .
;
y = 𝑒 1/(2−𝑥) .
ИДЗ-12. Решение задачи оптимизации.
Построить математическую модель и решить задачу оптимизации:
1. Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого конуса. Каково должно быть
отношение высоты конуса к радиусу его основания, чтобы на шатер пошло наименьшее
количество полотна?
2. В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании  вписать
параллелограмм наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на основании,
а другая – на боковой стороне треугольника. Найти длины сторон параллелограмма.
3. Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при
данном объеме V наименьшую полную поверхность.
4. Требуется сделать коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какой должна
быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
5. Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каково должно быть его
основание, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его
основания был наибольшим?
6. Найти высоту H конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар
радиуса R.
7. Проволокой, длина которой составляет l м, необходимо огородить клумбу,
имеющую форму кругового сектора. Каким должен быть радиус круга R, чтобы площадь
клумбы была наибольшей?
8. Определить наибольшую площадь S прямоугольника, вписанного в полукруг
радиуса a.
9. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований
которого равны 2 м и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным
сечением и соосную с бревном так, чтобы ее объем был наибольшим. Каковы должны
быть размеры балки?
10. С корабля, который стоит на якоре в 9 км от берега, нужно послать гонца в лагерь,
расположенный на берегу в 15 км от ближайшей к кораблю точки берега. Скорость
36
посыльного при движении пешком составляет 5 км/ч, а на лодке – 4 км/ч. В каком месте
он должен пристать к берегу, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
11. Прямоугольная полоса жести шириной a = 0,5 м должна быть согнута в виде
открытого кругового цилиндрического желоба так, чтобы его сечение имело форму
сегмента. Каким должен быть центральный угол , опирающийся на дугу этого сегмента,
чтобы поперечное сечение желоба было наибольшим?
12. Из круглого цилиндрического бревна диаметром d надо вырезать балку
прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина b и высота h этого сечения, чтобы
балка, будучи горизонтально расположенной и равномерно нагруженной, имела
наименьший прогиб? Известно, что величина прогиба обратно пропорциональна
произведению ширины b поперечного сечения и куба его высоты h.
13. Рудное месторождение расположено на расстоянии 70 км от прямолинейной
железной дороги. Расстояние по прямой от месторождения до перерабатывающего
комбината равно 250 км. В каком месте надо начать строительство шоссе от железной
дороги в направлении месторождения, чтобы обеспечить наименее затратную перевозку
руды от месторождения к комбинату? Стоимость (в руб./кгкм) железнодорожной
перевозки составляет 30 ед., по шоссе – 50 ед.
14. Туристу нужно добраться из пункта A, находящегося на одном берегу реки
шириной h = 2 км, в пункт B, расположенный на другом берегу (расстояние между
пунктами A и B (вдоль берега) равно a = 8 км). Скорость передвижения по берегу в k = 5
раз больше скорости передвижения по воде. Под каким углом туристу следует пересечь
реку, чтобы добраться из A в B за минимальное время?
15. На прямолинейном отрезке AB длиной a, соединяющем два источника света A
(силой p) и B (силой q) найти точку M, освещаемую слабее всего. Освещенность обратно
пропорциональна квадрату расстояния от источника света.
16. Лампа висит над центром круглого стола радиусом r. При какой высоте лампы над
столом освещенность предмета, лежащего не его крае, будет наилучшей? Освещенность
прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна
квадрату расстояния от источника света.
17. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тот, у которого боковая
поверхность наибольшая. Высота конуса H, радиус основания R.
18. Из бумажного круга вырезан сектор, а из оставшейся его части склеена коническая
воронка. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки был
наибольшим?
19. Из всех прямых конусов с данной боковой поверхностью S найти тот, у которого
объем наибольший.
20. Сечение шлюзового канала имеет форму прямоугольника, заканчивающегося
полукругом. Периметр сечения равен 45 м. При какой ширине канала его пропускная
способность максимальна?
21. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть
железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/час, а по лесу – 3
км/час. За какое минимальное время пешеход сможет добраться от базы до станции?
22. Найти высоту h и радиус r основания прямого кругового конуса наименьшего
объема, описанного около шара радиусом R.
37
23. При каком наклоне боковых сторон равнобедренной трапеции площадь ее будет
наибольшей, если боковые стороны равны b, а меньшее основание равно a.
24. Из фигуры, ограниченной кривой y = 3√𝑥 и прямыми x = 4, y = 0, вырезать
прямоугольник наибольшей площади.
25. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается
вокруг прямой, которая происходит через его вершину, параллельно основанию. Какой
должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его
вращения, имело наибольший объем?
26. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак вместимостью V. Стоимость 1
2
м материала из которого изготавливается дно бака, составляет P1 = 300 руб., а стоимость
1 м2, идущего на стенки бака, – P2 = 200 руб. При каком отношении радиуса R дна к
высоте H бака затраты на материал будут минимальными?
27. Сосуд с вертикальными стенками высотой H = 60 см, наполненный невязкой
жидкостью, стоит на горизонтальной плоскости. Определить местоположение отверстия,
при котором дальность струи будет наибольшей, если скорость вытекающей жидкости по
закону Торричелли равна v = √2𝑔ℎ, где h – высота столба жидкости над отверстием, g –
ускорение свободного падения.
28. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна
равен 15 м. При каком радиуса полукруга R окно будет пропускать наибольшее
количества света?
29. На странице книги печатный текст занимает площадь S = 300 см2; ширина верхнего
и нижнего полей равна a = 20 мм, а правого и левого полей b = 15 мм. При каком
отношении ширины к высоте текста площадь всей страницы будет наименьшей? Каковы
при этом ее размеры?
30. Из круглого бревна, диаметр которого d, требуется вырезать балку прямоугольного
сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала
наибольшее сопротивление на изгиб? Сопротивление балки на изгиб Q пропорционально
произведению ширины x ее поперечного сечения и квадрата его высоты y, т.е. Q = kxy2, k =
Const.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие для
вузов. СПб.: Лань, 2000. 448с.
Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике, М., Айрис Пресс, 2007, ч. 1, 2.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс. Ч.1:
Тридцать шесть лекций. 2006, 288 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс. Ч.2:
Тридцать пять лекций. 2006, 256 с.
Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные задания по
высшей математике: учеб. пособие. Ч.1. Минск: Выш. шк., 2009. 304 с.
38
6.
7.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2 ч. СПб.: Лань. Ч.1. 2005. 448
с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2 ч. СПб.: Лань. Ч.2. 2005. 464
с.
39