Теория неподвижных точек и методы их вычисления

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
И.о. проректора-начальник
управления по научной работе
_______________________ Г.Ф. Ромашкина
__________ _____________ 2011 г.
ТЕОРИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И МЕТОДЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для аспирантов специальности 05.13.18
«Математическое моделирование,
вычислительные методы и комплексы программ»
очная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор (ы) работы
________________________/ А.Г.Хохлов /
________________________/ А.П.Девятков /
________________________/ И.В.Гайдамак /
«______»___________2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры МАиТФ, 3.06.2011, протокол №10
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 13 стр.
Зав. кафедрой ______________________________/ А.Г.Хохлов /
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК (ИМЕНИТ, 28.06.2011, протокол №4)
Соответствует ФГТ к структуре основной профессиональной образовательной программы
послевузовского профессионального образования (аспирантура)
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК _________________________/ И.Н. Глухих /
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Нач. отдела аспирантуры
и докторантуры_____________/М.Р. Сорокина/
«______»_____________2011 г.
2011
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
И.о. проректора-начальник
управления по научной работе
_______________________ Г.Ф. Ромашкина
__________ _____________ 2011 г.
ТЕОРИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И МЕТОДЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для аспирантов специальности 05.13.18
«Математическое моделирование,
вычислительные методы и комплексы программ»
очная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор (ы) работы
________________________/ А.Г.Хохлов /
________________________/ А.П.Девятков /
________________________/ И.В.Гайдамак /
«______»___________2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры информационных систем, 03.06.2011, протокол №12
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 13 стр.
Зав. кафедрой ______________________________/А.Г.Ивашко/
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК (ИМЕНИТ, 28.06.2011, протокол №4)
Соответствует ФГТ к структуре основной профессиональной образовательной программы
послевузовского профессионального образования (аспирантура)
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК _________________________/ И.Н. Глухих /
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Нач. отдела аспирантуры
и докторантуры_____________/М.Р. Сорокина/
«______»_____________2011 г.
2011
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математического анализа и теории функций
ХОХЛОВ АЛЕКСЕЙ ГРИГОРЬЕВИЧ
ДЕВЯТКОВ АНТОН ПАВЛОВИЧ
ГАЙДАМАК ИННА ВЛАДИМИРОВНА
ТЕОРИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И МЕТОДЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для аспирантов специальности 05.13.18
«Математическое моделирование,
вычислительные методы и комплексы программ»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
А.Г. Хохлов, А.П.Девятков, И.В.Гайдамак. Теория неподвижных
точек и методы их вычисления. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для аспирантов специальности 05.13.18 «Математическое
моделирование, вычислительные методы и комплексы программ», очная
форма обучения. Тюмень, 2011, 13 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с ФГТ к структуре
основной профессиональной образовательной программы послевузовского
профессионального образования (аспирантура).
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Теория неподвижных точек и методы их вычисления [электронный ресурс] /
Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории
функций. Утверждено и.о. проректора-начальника управления по научной
работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
А.Г.Хохлов, к.ф.-м.н., доцент,
и.о. зав. кафедрой МАиТФ.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Хохлов А.Г., Девятков А.П., Гайдамак И.В., 2011.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целью изучения дисциплины «Теория неподвижных точек и методы их
вычисления» является ознакомление аспирантов с основными положениями
теории неподвижных точек и рядом алгоритмов, позволяющих указанные
точки вычислять.
Задачи дисциплины:
- дать определение сжимающих отображений и неподвижной точки;
- изложить теоремы и леммы, составляющие основы данной дисциплины;
- ознакомить с алгоритмами неподвижных точек;
- ознакомить с возможностями применения указанной теории в различных
областях математики, физики, экономики;
- сформировать у аспирантов способности к ведению исследовательской
работы и решению практических задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП.
Для успешного усвоения курса Теории неподвижных точек и методов их
вычисления аспирант обязан свободно владеть всеми методами
математического анализа, линейной алгебры, исследования операций,
методами функционального анализа и топологии.
1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
- умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научнотехническую информацию (ОК 9);
- способность понимать сущность и значение информации в развитии
современного информационного общества, сознавать опасности и
угрозы, возникающие в этом процессе; соблюдение основных
требований информационной безопасности, в том числе защиты
государственной тайны (ОК 11);
- владение основными методами, способами и средствами получения,
хранения, переработки информации, имеет навыки работы с
компьютером как средством управления информацией (ОК 12);
- способность к анализу и синтезу (ОК 14);
- способность к письменной и устной коммуникации на родном языке
(ОК 15);
- умение формулировать результат (ПК 3);
- умение строго доказать математическое утверждение (ПК 4);
- умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК 7);
- умение ориентироваться в постановках задач (ПК 8);
- знание корректных постановок классических задач (ПК 9);
- понимание корректности постановок задач (ПК 10);
- понимание того, что фундаментальное математическое знание является
основой компьютерных наук (ПК 12);
- выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК 16);
- знание содержания, основных этапов и тенденции развития
программирования, математического обеспечения и информационных
технологий (ПК 21);
- знание направления развития компьютеров с традиционной
(нетрадиционной) архитектурой; тенденции развития функций и
архитектур проблемно-ориентированных программных систем и
комплексов (ПК 25).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
- определения сжимающих и непрерывных отображений, неподвижной
точки.
- теорему Брауэра, ее приложения и обобщения;
- теорему Какутани и ее обобщения;
- алгоритмы Ивза, Меррилла;
- алгоритм типа гомотопии;
- основные положения, касающиеся триангуляций.
Уметь:
- доказывать основные теоремы и леммы теории неподвижных точек;
- применять полученные теоретические знания при решении практических
задач;
- использовать алгоритмы Ивза, Меррилла, алгоритмы типа гомотопии для
нахождения неподвижных точек;
- анализировать предметную область с целью обозначения возможностей
применения теории неподвижных точек.
Владеть:
- теоретическими и практическими навыками применения методов теории
неподвижных точек в научно-исследовательской и прикладной деятельности.
2. Трудоемкость дисциплины.
Семестр – 5. Форма промежуточной аттестации – зачет. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 1 зачетную единицу (36 часов: 10 ч. –
лекции, 26 ч. – самостоятельная работа), 2 контрольные работы и реферат.
3. Тематический план.
Таблица 1
1 Сжимающие
5
отображения.
Неподвижные точки
2 Теорема Брауэра и ее 8
обобщения
3 Теорема Какутани и ее 7
приложения
4 Алгоритмы нахождения 8,5
неподвижных точек
5 Триангуляции
7,5
Итого:
из
них
часов
в
интерактивной форме
36
из них в
интерактивной
форме
самостоятельная
работа
Тема
виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
лекции
№
Всего часов
Тематический план
1
4
1
3
5
1
2
5
1
2,5
6
1
1,5
6
1
10
26
5
5
Формы
контроля
Контрольная
работа
Контрольная
работа
Реферат, зачет
Таблица 2
Планирование самостоятельной работы аспирантов
№
1
2
3
4
5
Виды самостоятельной работы
обязательные
дополнительные
Сжимающие
Подготовка к
Изучение
отображения.
занятиям.
литературы и
Неподвижные точки Выполнение
ресурсов
Интернета.
Теорема Брауэра и ее заданий
практики.
Подготовка к
обобщения
контрольной
Теорема Какутани и
работе
ее приложения
Алгоритмы
Подготовка к
Подготовка к
нахождения
занятиям.
контрольной
неподвижных точек
Выполнение
работе
заданий
Триангуляции
практики.
Написание и
защита
реферата.
Темы
ИТОГО:
Объем
часов
4
5
5
6
6
26
4. Содержание дисциплины.
Тема 1. Сжимающие отображения. Неподвижные точки
Сжимающие отображения. Теорема Банаха (принцип сжимающих
отображений) и ее обращения. Лемма Шпернера. Непрерывные отображения.
Гомеоморфизмы. Свойства неподвижной точки.
Тема 2. Теорема Брауэра и ее обобщения
Доказательство теоремы Брауэра для отрезка. Теорема о промежуточных
значениях. Приложения. Теорема Брауэра для квадрата. Ретракция.
Неподвижные точки на плоскости. Непрерывные отображения окружности.
Гомотопия. Степень отображения. Непрерывные отображения сферы.
Обобщения теоремы Брауэра.
Тема 3. Теорема Какутани и ее приложения
Приложения теоремы Какутани и ее обобщений
Тема 4. Алгоритмы нахождения неподвижных точек
Алгоритмы Ивза и Меррилла. Алгоритмы типа гомотопии.
Тема 5. Триангуляции
Триангуляции с непрерывным уменьшением размера сетки. Пестрые
симплексы.
5. Планы семинарских занятий.
Тема 1. Сжимающие отображения. Неподвижные точки
Сжимающие отображения. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы.
Свойства неподвижной точки.
Тема 2. Теорема Брауэра и ее обобщения
Теорема о промежуточных значениях. Теорема Брауэра для квадрата.
Ретракция. Неподвижные точки на плоскости. Непрерывные отображения
окружности. Гомотопия. Степень отображения. Непрерывные отображения
сферы. Обобщения теоремы Брауэра.
Тема 3. Теорема Какутани и ее приложения
Приложения теоремы Какутани и ее обобщений
Тема 4. Алгоритмы нахождения неподвижных точек
Первый алгоритм Ивза. Алгоритм Меррилла. Алгоритмы типа гомотопии.
Тема 5. Триангуляции
Триангуляции с непрерывным уменьшением размера сетки. Алгоритм поиска
пестрых симплексов. Меры эффективности триангуляций.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
аспирантов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины.
Самостоятельная работа аспирантов включает подготовку к практическим
занятиям, изучение специальной литературы, выполнение заданий для
самостоятельной работы, решение тестов и др.
Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам лекционных
и практических занятий рекомендуется использовать литературу и другие
источники, примерный перечень которых имеется в разделе 8. Время,
систематичность, прилежность при подготовке к учебным занятиям и
контрольным мероприятиям различного характера напрямую влияют на
достижения и успехи аспиранта.
Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении
поставленных индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной
литературы; подготовка к контрольным работам, написание реферата и
подготовка к его защите.
6.1. Задачи для подготовки к контрольным работам.
1. Для каждого из следующих множеств укажите пример непрерывного
отображения этого множества в себя без неподвижных точек: а) числовая
прямая; б) полуинтервал (0,1]; в) пара отрезков [-2,-1] и [1,2].
2. Укажите пример разрывного (т.е. не непрерывного) отображения
отрезка [0,1] в себя, не имеющего неподвижных точек.
3. Если f – непрерывная функция, то функция f 2 определяется так:
f 2 ( x)  f [ f ( x)] , т.е. для получения f 2 ( x) надо применить функцию f к точке
f (x ) . Непрерывное отображение f отрезка [0,1] в себя называется
инволюцией, если f 2 оставляет неподвижной каждую точку отрезка. Иначе
говоря, это значит, что функция f обратна самой себе.
Проверьте, что следующие функции являются инволюциями:
f1 ( x)  x, f 2 ( x)  1  x, f 3 ( x) 
1 x
, f 4 ( x)  1  x 2 , f 5 ( x)  1  1  ( x  1) 2 .
1 x
Здесь
обозначает арифметическое значение корня.
Инволюция f ( x)  x называется тривиальной. Докажите, что каждая
нетривиальная инволюция имеет в точности одну неподвижную точку.
4. В лемме Шпернера ищутся грани триангуляции, отмеченные тремя
разными числами, например, 0, 1 и 2. Пусть имеется такая триангуляция
многоугольника, что а) каждая ее грань несет три разных отметки 0, 1 и 2.
Докажите, что тогда б) все грани триангуляции можно правильно раскрасить
в два цвета (например, белый и черный), т.е. так, что каждые две соседние
грани (имеющие общее ребро) окрашены различно. Докажите, что и обратно,
из утверждения б) следует а).
5. Имеется триангуляция треугольника, полученная следующим образом:
каждая сторона треугольника делится на m равных частей (m – любое
натуральное число) и через точки деления проводятся прямые, параллельные
его сторонам. Каждая вершина триангуляции окрашена в один из двух
цветов: красный и синий. Докажите, что число «пестрых» ребер
триангуляции четно.
Верно ли это утверждение для любых триангуляций треугольника. Если
нет, то для каких именно триангуляций оно верно?
6. Пусть f – непрерывная функция на отрезке [a, b] , отображающая
каждый конец отрезка в себя, т.е. f (a)  a, f (b)  b . Пусть g – любая
непрерывная функция, отображающая отрезок [a, b] в себя. Докажите, что
тогда на этом отрезке найдется такая точка x0, что f ( x0 )  g ( x0 ) . Сохранится
ли это утверждение в силе, если g – произвольная непрерывная функция на
[ a, b] ?
7. Докажите, что непрерывное отображение f отрезка A  [a1, a2 ] на (весь)
отрезок B  [b1, b2 ] , содержащий в себе отрезок А, имеет неподвижную точку.
Верно ли это, если образ f ( A) отрезка А не совпадает с В, а только лежит в
нем?
8. Пусть f – непрерывное отображение отрезка [a, b] на себя. Докажите, что
тогда отображение g  f 2 (композиция отображения f с самим собой) имеет
по крайней мере две неподвижных точки. Верно ли это, если f отображает
отрезок [a, b] в себя, но не на себя?
9. Докажите, что неубывающая (а также невозрастающая) функция,
отображающая отрезок в себя, имеет на нем неподвижную точку, даже если
она не обязательно непрерывна.
10. Докажите, что окружность не голоморфна прямой или какому-либо ее
подмножеству.
11. Докажите, что вокруг всякой замкнутой кривой, лежащей на плоскости,
можно описать квадрат.
12. Пусть f – сжимающее отображение числовой прямой в себя. Докажите,
что тогда имеется отрезок этой прямой, который переводится в себя
отображением f.
13. Обладают ли свойством неподвижной точки: а) круговое кольцо;
б) фигура «восьмерка», т.е. множество, состоящее из двух окружностей,
имеющих единственную общую точку?
14. Являются ли ретрактами квадрата (или круга) а) триод, т.е. фигура
буквы Т; б) n-од, т.е. фигура, состоящая из n отрезков, которые все выходят
из одной точки и больше не имеют попарно никаких других общих точек;
в) фигура «восьмерка».
15. Является ли отрезок ретрактом а) триода; б)
в) множества, состоящего из двух отрезков без общих точек?
окружности;
16. Является ли ретрактом отрезка множество, состоящее из двух
различных точек?
17. Является ли круговое кольцо ретрактом круга?
18. Будет ли ретракт компакта снова компактом?
19. Существует ли непрерывное отображение квадрата на всю его границу,
не обязательно тождественное на границе?
20. Докажите, что всякие два непрерывные отображения f0 и f1 отрезка (а
также окружности или квадрата) в числовую прямую гомотопны между
собой.
21. Отображение f окружности в себя называется нечетным, если оно
переводит каждую пару антиподов тоже в пару антиподов, т.е. если
f ( x* )  [ f ( x)]* для любой точки х на окружности. Докажите, что степень
нечетного отображения нечетна.
22. Для каждого целого n укажите пример отображения сферы в себя,
имеющего степень n.
23. Докажите, что любое отображение сферы в себя либо имеет
неподвижную точку, либо представляет некоторую пару точек. Верно ли это
для окружности?
24. Если f и g – отображения сферы в себя, то хотя бы одно из трех
отображений f, g и gf имеет неподвижную точку. В частности, такой точкой
обладает композиция f 2 любого отображения f с самим собой. Верно ли это
утверждение для окружности?
25. Покажите, как можно построить для любого С  R n , выпуклого, но не
компактного, непрерывную функцию f : С  C без неподвижных точек.
26. Для n  2 и   0 постройте покрытие Sn конечным множеством
замкнутых множеств диаметра, не больше  , так, чтобы никакая точка не
лежала больше чем в n+1 таком множестве. (Указание: представьте себе
кирпичи при n=2 и продолжайте по индукции)
27. Покажите, что не существует триангуляции S3 на тривиальные
тетраэдры числом больше одного. Найдите двугранный угол между
смежными гранями тетраэдра.
28. Выведите лемму Шпернера непосредственно из теоремы Брауэра.
29. Докажите, что теорема Брауэра о неподвижной точке влечет за собой
следующие два факта:
1) Сфера Sn не является ретрактом шара Bn+1.
2) Тождественное отображение id S : S n  S n не гомотопно постоянному
n
отображению сферы Sn в точку x  S n .
Покажите, что каждый из приведенных выше двух фактов, равно как и
теорема о том, что dim I n  n , влечет за собой теорему Брауэра о
неподвижной точке.
30*. Проблема (Ayres 1930г.). Каждый ли неразделяющий плоскость
связный компакт имеет неподвижную точку?
6.2. Темы рефератов
1. Неподвижные точки отображений метрических пространств.
2. Неподвижные точки многозначных отображений метрических
пространств.
3. Теория неподвижных точек на плоскости.
4. Ретракция и неподвижные точки.
5. Теорема Брауэра и лемма Шпернера.
6. Теорема Жордана как следствие теоремы Брауэра.
7. Теорема Борсука как следствие теоремы Брауэра.
8. Теорема Кукатаки и ее обобщения. Приложения в экономике.
9. Размерность топологических пространств.
10. Неподвижные точки и их приложения в экономике.
11 Метод неподвижной точки в анализе.
7. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы
с методами и формами активизации познавательной деятельности для
достижения запланированных результатов обучения и формирования
заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического
материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным
теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к
другим
разделам
математики,
а
также
экономике,
физике,
программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в
паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий
ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное
изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий,
определяющих приобретение навыков решения практических задач;
приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к
реальным практическим ситуациям.
8. Учебно-методическое
дисциплины.
и
информационное
обеспечение
8.1. Основная литература:
1. Тодд М.Дж. Вычисление неподвижных точек и приложения в
экономике/ Пер. с англ.. – М.: Наука, 1983.
2. Eaves B.C. Nonlinear Programming Via Kakutani Fixed Points. – Working
Paper №294, Center for Research in Management Science, University of
California, Berkeley, 1970.
3. Granas A., Dugundji J. Fixed Point Theory. - Springer-Verlag, Berlin, 2003.
4. Klee V., Wagon S. Old and new unsolved problems in Plane Geometry and
Number Theory - The Mathematical Association of America, 1991.
5. Pearl Elliott M. Open Problems in Topology. Atlas Conferences Inc. Toronto
On Canada, 2007.
8.2. Дополнительная литература:
6. Шашкин Ю.А. Неподвижные точки /Популярные лекции по математике
Выпуск 60. –М.: «Наука», Главная Редакция Физико-Математической
Литературы, 1989.
7. Border K.C. Fixed point theorems with applications to economics and game
theory. – Cambridge, 1985.
8.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
8. Книги по теории неподвижных точек:
http://www.drkhamsi.com/fpt/books.html
9. Вычисление и анализ неподвижных точек:
http://mathworld.wolfram.com/topics/FixedPoints.html
10. Неподвижные точки и лемма Шпернера:
www.eduhmao.ru/var/db/files/3321.shperner.doc
11. В.И.Данилов. Лекции о неподвижных точках:
http://window.edu.ru/window/library/pdf2txt?p_id=39616&p_page=3
9. Технические
средства
обеспечение дисциплины.
и
материально-техническое
Для изучения учебной дисциплины необходимо:
1. для проведения лекций и практических занятий – аудитория,
оборудованная мультимедийными средствами (персональный компьютер,
проектор, экран);
2. для самостоятельной работы аспирантов и подготовки занятий
преподавателям – персональные компьютеры с установленным пакетом
офисных программ и доступом в сеть Интернет.