avtoreferat Документ Microsoft Word 871 Кб
advertisement
На правах рукописи БИРЮЛИНА Татьяна Владимировна ОПИСАНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА РАСПЛАВ-КРИСТАЛЛ В СИСТЕМЕ ТВЕРДЫХ СФЕР МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 01.04.07 – Физика конденсированного состояния АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Улан-Удэ – 2010 Диссертационная работа выполнена на физическом ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет» факультете Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Аграфонов Юрий Васильевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Сандитов Дамба Сангадиевич кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Тихонов Дмитрий Анатольевич Ведущая организация: Воронежский государственный технический университет Защита диссертации состоится «23» _июня_ 2010 года в ___ часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.022.09 при ГОУ ВПО «Бурятский государственный университет (БГУ)» по адресу: 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина 24а, Главный корпус С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Бурятского государственного университета Отзывы на автореферат, заверенные печатью учреждения, просим направлять по адресу: 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, ученому секретарю диссертационного совета Автореферат разослан « ___ » _________________ 2010 года. Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук 2 В.М. Халтанова ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертации Одной из наиболее важных задач, стоящих в настоящее время перед современной физикой конденсированного состояния, является создание материалов с наперед заданными свойствами, точного предсказания их поведения в определенных условиях, описание фазовых превращений и т. д. Теоретическое рассмотрение структурных характеристик одного из классов таких веществ – молекулярных жидкостей – можно осуществлять методами статистической механики. Это означает, что по известному потенциалу межмолекулярного взаимодействия, температуре и плотности системы частиц, необходимо уметь определять сингонию и параметры кристаллической решетки, в которую кристаллизуется расплав, структуру и термодинамические свойства получаемого вещества. Поскольку важную роль в свойствах получаемых веществ играют примеси, возникает необходимость описания многокомпонентных систем в широком диапазоне концентраций растворительрастворенное вещество, в частности с предельно малой концентрацией примесей. В настоящее время накоплен обширный объем эмпирических и полуэмпирических данных (при помощи метода численного эксперимента), а также теоретических разработок, относящихся как к чистым веществам, так и к смесям [1-4]. Разработаны различные феноменологические и микроскопические подходы к описанию фазовых равновесий. Тем не менее, расчет параметров фазовых переходов расплав-кристалл на основе строгих статистикомеханических представлений, до сих пор остается одной из проблем физики конденсированного состояния вещества [5]. Для расчета микроструктуры и термодинамических характеристик молекулярных жидкостей наиболее перспективным представляется подход, основанный на решении обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике (ОЦ) для одно- G1 (r1 ) и двухчастичной G12 (r1, r2 ) функций распределения, поскольку он базируется на концепции структурных изменений при приближении к линиям фазового равновесия [6]. На современном этапе уравнение ОЦ наиболее эффективно используется для расчета структурных и термодинамических характеристик однокомпонентных жидкостей и газов. Однако описание условий кристаллизации многокомпонентных молекулярных систем на основе данного метода является существенно более сложной задачей. Таким образом, в настоящее время является актуальным статистическое описание фазового перехода расплав-кристалл в многокомпонентной системе. Решение уравнение ОЦ для таких систем в принципе позволяет рассчитать структурные и термодинамические характеристики на линии равновесия, в частности для практически важного случая малой концентрации одной из компонент. В настоящей работе такое решение удалось осуществить для модельной двухкомпонентной предельно разбавленной системы твердых сфер при условии, что размер частиц примеси либо в два раза больше, либо в два раза меньше размера частиц растворителя. 3 Цели и задачи работы Целью работы являлось изучение фазового перехода расплав-кристалл предельно разбавленной двухкомпонентной смеси методом частичных функций распределения. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: получение уравнений и численное их решение для двухкомпонентного расплава в случае предельного разбавления на линии кристаллизации; получение уравнений и численное их решение для двухкомпонентного кристалла в случае предельного разбавления на линии плавления; получение уравнений для однокомпонентного высокотемпературного кристалла вдали от линии кристаллизации; вычисление термодинамических функций рассматриваемой системы (структурный фактор, фактор сжимаемости). Цели и задачи формулировались по приоритетным направлениям, отмеченным в решениях ряда научных конференций: Всерос. науч. конференция по математическому моделированию (Улан-Удэ, 1999), Байкальская школа по фундаментальной физике (Иркутск, 1999, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007), Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам (Москва, 2009). Методы исследований Поставленные задачи решались методами, разработанными в классической физике жидкостей. Исследование локальной структуры молекулярной системы проводилось на основе обобщенной системы уравнений Орнштейна-Цернике (ОЦ) для одно- и двух- частичных функций распределения. Численное решение проводилось для молекулярной системы с потенциалом взаимодействия типа твердых сфер. Объектом исследований являются двухкомпонентные предельно разбавленные молекулярные системы высокой плотности. Исследования выполнены в рамках ведомственных программ и грантов РФФИ: Проект Министерства образования РФ по теме К0403 ФЦП «Интеграция» в 1998- 2001 гг. Грант РФФИ 01-02-17141-а по теме «Теоретическое и экспериментальное исследование записи голографических структур в объемных фазовых средах с эффектом самопроявления» в 2001 – 2002 гг. Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)» (проект РНП 2.2.1.1/3297) Научная новизна работы В диссертационной работе впервые Решение уравнения ОЦ, описывающее фазовый переход расплавкристалл для однокомпонентной системы, обобщено на двухкомпонентную смесь в случае предельно разбавленного раствора. Получено численное решение уравнений для частичных функций 4 распределения двухкомпонентного предельно разбавленного расплава на линии кристаллизации в рамках модели твердых сфер при соотношениях размеров частиц примеси и частиц растворителя m=σα/σβ=1/2 и m=2. Проведен численный расчет структурных характеристик двухкомпонентного кристалла на линии плавления для случая m=1/2. На основе полученных данных вычислен структурный фактор и фактор сжимаемости жидкости вблизи линии кристаллизации. Сформулирована система уравнений для однокомпонентного высокотемпературного кристалла вдали от линии плавления и разработаны алгоритмы их численного решения. Научная и практическая значимость работы Исследование процесса кристаллизации смесей с предельно малой концентрацией одной из компонент представляет значительный интерес для создания новых функциональных материалов с заданными свойствами. Теоретическое изучение процесса кристаллизации методом функций распределения позволит установить закономерности в феноменологических теориях, описывающих различные состояния вещества и, следовательно, построить последовательное статистическое описание всех агрегатных состояний вещества в рамках единого подхода. Основные научные положения, выносимые на защиту: 1. Фазовый переход расплав-кристалл предельно разбавленной двухкомпонентной смеси описывается при помощи обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике разложением входящих в него функций по малому параметру ε, связанному со скачком плотности в точке кристаллизации. Уравнение для чистого растворителя сводится к уравнению для однокомпонентной системы. Уравнение, описывающее взаимодействие частиц растворителя и растворенного вещества и уравнение для растворенного вещества выражается с помощью решения уравнения для чистого растворителя. В нулевом приближении уравнения описывают жидкость в точке кристаллизации, следующие порядки разложения – кристаллическое состояние. 2. Для предельно разбавленного бинарного раствора на линии кристаллизации решение параметрически зависит от соотношения диаметров частиц m. Вычисленные структурные характеристики свидетельствуют об уменьшении плотности кристаллизации для соотношения диаметров m=2. В физической области расстояний все функции качественно подобны и имеют осциллирующий и затухающий вид, аналогично функции распределения однокомпонентной системы. 3. Численное решение для кристалла на линии плавления для случая, когда частицы растворенного вещества в два раза меньше частиц растворителя (при m=1/2), качественно подобно решению на линии кристаллизации, за исключением глубокого минимума функции распределения в точке r=1,4. 4. Описание высокотемпературного кристалла вдали от линии плавления отличается как от стандартного динамического метода, основанного на модели идеального низкотемпературного кристалла, так и от метода, примененного к 5 описанию кристалла на линии плавления при кристаллизации. Для высокотемпературного кристалла в непосредственной близости от линии плавления возможно численное решение для ненулевых компонент волнового вектора. Нулевая фурье-компонента описывает сферически-симметричную систему, не учитывающую анизотропию кристалла, и, следовательно, не дает вклада в искомые функции. Для более низких температур получается зацепляющаяся система уравнений, которая в приближении хаотических фаз может быть решена численно. Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Межреспубликанский заочный научнотехнический семинар «Применение лазеров в науке и технике» (Иркутск, 1997); IV Всероссийская школа-семинар «Люминесценция и сопутствующие явления» (Иркутск, 1998); Байкальская молодежная школа по фундаментальной физике (Иркутск 1999, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009); Всероссийская конференция «Проблемы Земной цивилизации» (Иркутск 2007); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2009» (Москва 2009). Личный вклад автора. Постановка проблемы, разработка корректных приближений и обсуждение результатов проводилось совместно с научным руководителем. Разработка алгоритмов численного счета принадлежит автору. В работах, опубликованных в соавторстве, автору принадлежат результаты, сформулированные в защищаемых положениях и выводах. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Объем диссертации составляет 130 страниц машинописного текста, включая 27 рисунков, 11 таблиц и библиографию из 167 наименований. Публикации. По теме диссертации опубликовано 21 работа, из них 4 статьи в рецензируемых журналах, 3 тезиса докладов и 6 статей в сборниках трудов конференций международного уровня. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность работы, ее практическая значимость, показана научная новизна и сформулированы основные защищаемые положения. Первая глава посвящена литературному обзору. Описан метод частичных функций распределения и применение его к описанию фазового перехода расплав-кристалл. Микроструктура вещества описывается l-частичными функциями распределения, уравнения для которых записываются в виде бесконечной цепочки ББГКИ, которая является практически неразрешимой для систем большой плотности. Без потери общности из цепочки ББГКИ можно исключить все старшие функции распределения за исключением одно- G1 (r1 ) и двухчастичной G12 (r1, r2 ) : ω1=n∫G2S12d(2)+lna, (1) h12=C12+n∫G3C13h23d(3), (2) 6 где lna=(1/V)∫ω1G1d(1)-(n/V)∫G1G2S12d(1)d(2) – (3) коэффициент активности. Стоящие в правой части прямые корреляционные функции Sij и Cij являются заданными функциональными рядами от функций hij: (4) Sij hij ij 12 hij (ij 16 M ij(1) ) , (5) Cij hij ij M ij( 2) , где Mij( k ) n2 G3G4 hi 3hi 4 h34 h j 3h j 4 d (3)d (4) ... , (k=1,2) – (6) так называемые бридж- функционалы, представляющие собой бесконечные ряды многосвязных диаграмм; Gij=GiGj(1+hij), hij =-1+exp(-Фij/θ+ Ωij) — парная корреляционная функция, описывающая ближний порядок. Формально подстановка этих рядов в систему (1) – (2) делает ее замкнутой. Однако эти ряды не могут быть ни просуммированы аналитически, ни вычислены приближенно с приемлемой точностью, поэтому их приходится аппроксимировать каким-то простым аналитическим выражением, называемым уравнением замыкания [1,7]. Поскольку между жидкостью и кристаллом существуют структурные отличия: элементы симметрии жидкости несовместимы с кристаллическими, то при изменении структуры вещества от жидкой к кристаллической, должен быть скачкообразный переход. Поэтому существуют многочисленные попытки предсказания фазового перехода жидкость-кристалл с точки зрения однофазного подхода, исходя из концепции структурных изменений при приближении к линиям фазового равновесия [6], основанной на решении обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике (ОЦ) (1) – (2). Так, обобщенное уравнение ОЦ (1) – (2) вместе с уравнением для бридж-функционала, связывающего функции h12 и C12 , является точным эквивалентом распределения Гиббса. Как известно, последнее строго справедливо в термодинамическом пределе (N → ∞, V → ∞, ρ=const), и согласно теореме Ван-Хова, пределом однофазных состояний пространственно-однородной системы является линия фазового равновесия. Это означает, что точное уравнение Орнштейна-Цернике вместе с точным уравнением замыкания имеет физические решения только для термодинамически устойчивых однофазных состояний, на линии же фазового равновесия (при переходе вещества из одной фазы в другую) решения перестают существовать. В частности, при переходе вещества из жидкого состояния в кристаллическое, решение для жидкой фазы должно исчезать при достижении системой определенной плотности – плотности кристаллизации n0. Следует также учитывать, что некоторый разброс результатов может возникать как вследствие аппроксимирующего уравнения замыкания, так и из-за погрешностей численного счета. Для описания фазового перехода расплав-кристалл наиболее подходящим замыканием является аппроксимация Мартынова-Саркисова (MaS) [10, 11]: 2 M 12(1) 13 M 12( 2 ) 16 12 , (7) для которой уравнение (2) имеет вид: 1 2 1 2 12 12 n (h13 13 13 )h23d (3) . 2 2 7 (8) Действительное решение уравнения ОЦ (1) – (2) с этим замыканием перестает существовать при плотности ρ= n0 1.01 и значении =-1, что позволяет отождествить его с моментом кристаллизации жидкости [8, 9]. Кроме того, оно является наиболее подходящей для описания плотных жидкостей и кристаллов, т.к. ошибка приближения МаS уменьшается с ростом температуры. Это замыкание термодинамически согласовано для системы твердых сфер, в том числе для смесей твердых сфер [12]. При описании кристаллизации с помощью уравнения ОЦ для расплава, следует рассматривать одно уравнение (2) (уравнение (1) сводится к определению логарифма коэффициента активности). Применение системы (1) – (2) для кристаллов вызывает большие трудности: в частности, следует решать полную систему уравнений (1) – (2). Для кристалла, находящегося в равновесии со своим расплавом, в простейшем случае короткодействующего сферическисимметричного потенциала взаимодействия [13, 14], за исходное приближение нами была взята жидкость, находящаяся при той же температуре, что и кристалл, так как в этом случае жидкость и кристалл имеют близкие физические свойства и структуру [15]. Решение для такой жидкости можно получить с помощью уже хорошо разработанных методов [10]. Тогда система уравнений ОЦ преобразовывается в системы линейных интегральных уравнений с известной правой частью. Решая их последовательно, можно определить все параметры кристалла: его симметрию, период решетки и т. д., а также найти скачок плотности при кристаллизации жидкости [13]. В главах 2 и 3 мы обобщаем это решение на двухкомпонентный случай. Во второй главе приведено обобщение уравнения ОЦ на двухкомпонентный расплав, состоящий из частиц двух сортов и , с плотностями соответственно n и n (полная плотность системы n = n + n), причем концентрация растворенного вещества n 0. Структура вещества задается набором одночастичных функций распределения G1 ( r1 ) , G1 ( r1 ) , относящимся к отдельным частицам того или иного сорта, и набором двухчастичных функций распределения G1 ( r1 , r2 ) , G1 ( r1 , r2 ) , G1 ( r1 , r2 ) , относящимся к произвольной паре частиц того и другого сорта. Уравнение ОЦ для случая предельно разбавленного раствора преобразуется в систему трех уравнений: h12 C12 n C13 h23 d (3 ) , (12) h12 C12 n C13 h23 d (3 ) , (13) h12 C12 n C13 h23 d (3 ) . (14) В (12) – (14) первое уравнение совпадает с уравнением для однокомпонентной системы и решается независимо от двух других. Способы его численного расчета в настоящее время достаточно хорошо разработаны [16], поэтому исходные функции можно считать известными. Подставляя получившиеся результаты во второе уравнение можно найти входящие в него 8 неизвестные функции. Также и решение третьего уравнения находится последовательно через два предыдущих. Было получено численное решение уравнений (12) – (14) в случае, когда частицы растворенного вещества в два раза меньше (m=1/2) и в два раза больше (m=2) частиц растворителя . Решение системы уравнений (12) – (14) параметрически зависит от соотношения диаметров частиц m=/ сорта и . В случае m=1/2 молекулы предельно разбавленной примеси сорта имеют возможность перемещаться между молекулами растворителя сорта . Графики функций и в сравнении с графиком функции однокомпонентной системы приведены на рис. 1. Минимально допустимые расстояния между центрами частиц разных сортов равны rmin 0,75 , rmin 0,5 (для растворителя rmin 1 ), что отражает факт непроницаемости твердых сфер. 12.00 8.00 4.00 0.00 -4.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 r Рис. 1. Термический потенциал при m=1/2 В нефизической области расстояний (0<r<0,75) функция 12( ) вначале очень медленно возрастает, достигая максимального значения max=4,63 при r=0,25, а затем быстро убывает до значения 12( ) =1,61 в точке r=0,75. В физической области расстояний (r>0,75) затухание функции 12( ) имеет осциллирующий характер подобно функции 12( ) и функция практически равна нулю при r=6. Положение локальных максимумов примерно соответствует координационным сферам, с расстоянием между ними примерно равным единице. Функция частиц для примеси большого диаметра 12( ) на всем интервале расстояний ведет себя подобно функции 12( ) . В физической области расстояний все три функции качественно подобны. Отличие от функции чистого растворителя остальных функций проявляется в том, что меняется масштаб расстояний по осям x и y, в частности, выполняется неравенство 12( ) (1) > 12( ) (0,75) > 12( ) (0,5). Это свидетельствует о том, что при плотностях, соответствующих кристаллизации растворителя, эффективное притяжение между молекулами растворитель–растворитель больше, чем между молекулами примесь–растворитель и, тем более, между молекулами примесь – примесь. Таким образом, молекулы растворителя, образующие упаковку, близкую к плотной, затрудняют сближение друг с другом молекул примеси. Случай m>1 требует более аккуратного рассмотрения, так как 9 одновременно с уменьшением числа частиц примеси N происходит увеличение их диаметра . В результате частицы примеси не имеют возможности свободно перемещаться в растворе. При фиксированном значении объема это означает, что в системе уменьшается число частиц растворителя N. Тем самым уменьшается суммарная плотность жидкости nl. Поэтому в уравнении (13) функция h12( ) описывает однокомпонентный раствор при плотности кристаллизации n0. В то же время 12( ) является искомой функцией, параметром которой является плотность nl<n0. Аналогично происходит и для функции 12( ) . На рис. 2 приведены графики функций 12( ) , 12( ) в сравнении с графиком функции 12( ) для m=2. Максимальное значение плотности nl, при которой еще существуют действительные решения уравнений (13 – 14) равно ( ) nlmax 0,88 (для 12 ) и nlmax 0,75 (для 12( ) ). 16.00 12.00 8.00 4.00 0.00 -4.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 r Рис. 2. Термический потенциал при m=2 Минимально допустимые расстояния между центрами частиц разных сортов в этом случае равны rmin 1,5 , rmin 2 . В физической области решений функции имеют вид, аналогичный предыдущему случаю m=1/2. Максимальное значение функций равно =1,9012, =1,7737, =1,7913. На рис. 3 приведена двухчастичная функция распределения Gij для двух вышеописанных случаев. 6.00 6.00 4.00 4.00 G G 2.00 0.00 0.00 2.00 1.00 2.00 3.00 4.00 r 0.00 0.00 1.00 2.00 r 3.00 а) б) Рис. 3. Двухчастичная функция распределения: а) >; б) < (обозначения такие же, как и на рис. 1 и 2 соответственно) 10 4.00 На понимание природы фазовых переходов позволяет пролить свет также знание корреляционных функций на больших расстояниях (r ). Известно, что при фазовом переходе в "старой" фазе нет каких-либо признаков зарождения "новой", тем не менее при достижении системой определенной температуры и плотности, она спонтанно теряет устойчивость и переходит в новую фазу, обладающую иной структурой и иной плотностью. Это свойство описывается асимптотикой корреляционных функций на больших расстояниях, т.к. с приближением к критической точке радиус корреляции растет до бесконечности, что позволяет частицам "чувствовать" друг друга одновременно во всех точках системы. Таким образом, все фазовые переходы связаны с поведением двухчастичной функции распределения Gij(r) на больших расстояниях. Обобщая на двухкомпонентную предельно разбавленную смесь известное из литературы решение для однокомпонентной системы [24], получаем: A G12 ( r12 ) exp e r12 sin( r12 0 ) , r12 B G12 ( r12 ) exp e r12 sin( r12 0 ) , r12 (15) (16) C (17) G12 ( r12 ) exp e r12 sin( r12 0 ) , r12 где А, В, С – константы, 0 – произвольная фаза, а константы и для каждого сорта частиц определяются соотношением: 4n C13 (t ) sh( t ) cos( t )tdt, (18) 0 4n C13 (t )ch( t ) sin( t )tdt. (19) 0 Поскольку, исходя из уравнений (15) – (17), поведение корреляционных функций на больших расстояниях определяется по преимуществу наименьшим значением α, мы нашли для этого случая пары коэффициентов α и β: Коэффициент Таблица 1. Корни уравнений (18) и (19) с наименьшим значением α α β m=1/2 m=2 Чистый Растворитель- Растворенное- Растворитель- Растворенноерастворитель растворенное растворенное растворенное растворенное (частицы ββ) (частицы αβ) (частицы αα) (частицы αβ) (частицы αα) 0,41 7,17 1,14 8,65 0,51 11,7 0,86 12,84 1,19 17,06 0,16 9,69 Из полученных выражений (15) – (17) видно, что поведение этих функций 11 на больших расстояниях, не зависят явным образом от вида потенциала Ф12(r), а значит и от индивидуальных свойств конкретных веществ. Поэтому асимптотическое решение является таким же общим, как и вириальное разложение, но при этом справедливое для более широкого класса веществ (в частности, для жидкостей). Так, еще в 1873 г. Ван-дер-Ваальс сформулировал закон подобия, согласно которому уравнение состояния, записанное в соответствующих координатах, должно иметь один и тот же вид для всех жидкостей и растворов. В дальнейшем его гипотеза подтвердилась экспериментально, но лишь для фазовой диаграммы в окрестности критической точки. Также в [17] на основе анализа уравнения Орнштейна-Цернике было показано, что в критической области уравнения для давления, сжимаемости, химического потенциала и теплоемкости, записанные в безразмерном виде, становятся универсальными как для чистых жидкостей, так и для многокомпонентных растворов. В третьей главе продолжено описание фазового перехода жидкость – кристалл в двухкомпонентной системе и рассматривается двухкомпонентный кристалл в случае предельного разбавления, находящийся в состоянии термодинамического равновесия со своим расплавом. Обобщение системы уравнений (1) – (2) для двухкомпонентного кристалла проводится аналогично (9) – (11), усложняясь лишь наличием уравнения (1). В случае предельного разбавления уравнения принимают вид: (20) 1 n G2 S12 d (2 ) lna ( ) , h12 C12 n G3 C13 h23 d (3 ), (21) h12 C12 n G3 C13 h23 d (3 ), (22) 1 n G2 S12 d (2 ) lna ( ) , (23) h12 C12 n G3 C13 h23 d (3 ). (24) Первые два уравнения описывают однокомпонентную систему (чистый растворитель), решение для которой известны [13, 14]. Уравнение (22) определяет парциальную корреляционную функцию растворенное – растворитель 12 . Наконец, система (23) и (24), описывает корреляционные функции растворенного вещества 1 и 12 . Для нахождения решения системы (20) – (24) используем известный из литературы подход [13], обобщая его для двухкомпонентного случая. Разложим все функции в ряды по степеням малого параметра ε, связанного со скачком плотности: n n0 , n n0 n n0 (1 ) , (25) где n – плотность кристалла, n0 – плотность жидкости в точке её кристаллизации. Тогда нулевое разложение по ε описывает предельно разбавленную жидкость с плотностью n0 в точке кристаллизации, решения для которой были 12 получены в главе 2. Для описания кристаллического состояния рассматриваемой системы необходимо учесть следующие порядки разложения. Для уравнений первого порядка приравняем соответствующие члены в разложении по ε уравнений (22) – (24). Так как кристалл имеет периодическую структуру, то ищутся периодические решения полученных уравнений в виде: 1 exp( i k r ) exp( i k r (26) k 1 m m m 1) , 1 2 3 m1m2m3 k ( r ) exp( ik r ) 12 1 k 12 k ( r ) exp( i k r1 ) , m1m2m3 12 m1m2m3 (27) где r1 xix yiy ziz , k m1k x ix m2 k y iy m3k z iz , а k x ,k y ,k z – основные периоды обратной решетки, m1, m2, m3 – любые целые положительные или отрицательные числа. Рассмотрим первый случай, когда m1=m2=m3=0. Тогда, для удобства ~ ,1) ) , имеем полагая функцию Ω000 для всех сортов частиц 000 000 (1 (000 ~ ( ,1) ( ,1) ~ ,1) выражения для последовательного определения 000 , 000 и (000 , описывающие кристалл на линии плавления. Эти уравнения могут быть найдены численно, т. к. функции однокомпонентной системы считаются известными. Для второго случая приравняем члены при одинаковых комбинациях m1,m2,m3 и получим выражение для определения (k ,1) , в котором функция (kr ,1) ~ ~ и (kr ,1) может быть найдена с помощью замены k k( ,1) k . Функция k ищется в виде рядов по полиномам Лежандра: 0 0 0 0 0 0 ~ ~ ~ k m1m2m3 (r12 ) (2l 1) (ml1)m2m3 (r12 ) Pl (k ( 0 ) r12( 0 ) ) , (28) l 0 где Pl (cos ) – полином Лежандра порядка l, cos k ( 0) r12( 0) , k ( 0) , r12( 0) – единичные вектора, направленные вдоль k и r12 . Рассматривая полученные уравнения в трех простейших случаях 1 1, m2 m3 0, m k m k i , 1 x 0 x 1 m3 0, m2 1, m k m k i , 2 y 0 y 1 m2 0, m3 1, m k m k i . 3 z 0 z (29) и учитывая, что модуль k m12k x2 m22k y2 m32k z2 равен одному из значений 0 0 0 ~ m1k x0 , m2 k y 0 , m3 k z 0 , получим, что уравнения для функции (m11,lm) 2 m3 распадаются на систему трех одинаковых уравнений. Поскольку Pl(1)=1, то в соответствии с ~ разложением (28) имеем три одинаковые функции (m1)m m . Таким образом, мы получили выражения, описывающие кристаллическое состояние двухкомпонентного вещества вблизи линии плавления. Их можно решить последовательно друг за другом численными методами решения. Это позволит определить функции 1( ,1) , 1( ,1) , 12( ,1) , 12( ,1) , 12( ,1) которых достаточно, чтобы описать все параметры двухкомпонентного кристалла. ~ 1) Полученные уравнения решались численно. График функций (000 для первого приближения по ε в случае k=0 приведен на рис. 4. 1 13 2 3 . 20 ~ 1) (ββ) (000 ~ (1) 000 (αβ) ~ 1) (αα) (000 0 20 40 0 1 2 3 4 r Рис. 4. Термический потенциал (первое приближение по ε, k=0, m=1/2) ~ 1) Из графика видно, что полученные значения для (000 качественно подобны результатам нулевого приближения по скачку плотности за ~ 1) исключением глубокого первого минимума функции (000 для частиц растворителя ββ при r=1,4. Компоненты вектора k k x k y k z k0 =7,056 мы нашли из уравнения для однокомпонентной системы. Поскольку они связаны с периодами решетки кристалла l x , l y , l z соотношениями lx 2 / k x , l y 2 / k y , lz 2 / k z , то равенство lx l y lz l0 означает, что в данном случае решетки кристалла имеют кубическую симметрию, что, в свою очередь, обусловлено сферической симметрией рассматриваемого нами потенциала Ф(r). Для значения k=7,056 суммируем члены с l=0,1,2 в разложении по ~ ~ полиномам Лежандра однокомпонентной системы и получим (1) . График (1) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k с точностью до соответствующий функции первого порядка в разложении . 4 по , для однокомпонентной системы приведен на рис. 5. 2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 r r Рис. 5. Термический потенциал однокомпонентной системы (k=7,056) 14 ~ Здесь мы также наблюдаем глубокий минимум функции (1) при r=1,4. . Рассмотрим также первое приближение двухчастичной функции 15 распределения G (в случае k=0) для кристаллического состояния. Результаты для m=1/2 приведены ниже на рис. 6. k G(r) 10 Gββ(r) Gαβ(r) Gαα(r) 5 G 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 r r Рис. 6. Двухчастичная функция распределения (k=0, m=1/2) Из рис. 6 видно, что функции G для частиц каждого сорта имеют уширение второго пика. Хотя такое уширение может указывать также и на признаки метастабильного состояния [7], для более точных выводов надо рассматривать следующие члены разложения по скачку плотности . В четвертой главе продолжается описание кристаллического состояния вещества. Для этого рассматривается кристалл, находящийся за линией кристаллизации. В этом случае его температура Т ниже, чем температура кристаллизации ТК, но выше, чем температура идеального кристалла Т0. Для такого описания высокотемпературного кристалла стандартный динамический метод, основанный на модели идеального низкотемпературного кристалла с Т > Т0 [18, 19], становится неприменим. Также неприменим здесь и вышеописанный подход, при котором в качестве начального приближения выбираются термодинамические функции расплава, поскольку в данном случае мы имеем иную структуру, принципиально отличную от структуры жидкости. Однако, общий подход, основанный на решении обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для одно- G1 (r1 ) и двухчастичной G12 (r1, r2 ) функций распределения, задающих дальний и ближний порядок в кристалле (1) – (2) остается справедливым и для температур T < Тк. В этом случае, учитывая периодическую структуру кристалла, решение системы (1) – (2) ищется в классе периодических функций от радиуса-вектора частиц. Для этого решение представляется в следующем виде: i k exp( ik ri ) , (29) k ( r ) exp( ik r ) . ij i k ij (30) k Подставляя данные ряды в выражения для функций распределения и 15 разлагая их по степеням i и ij с точностью до квадратичных членов, затем подставляя их в уравнения (1) – (2), получим систему нелинейных уравнений относительно k . Для линейного приближения рассмотрим сначала уравнения для нулевых ~ компонент ( k 0 ). Переходя к новой функции 0 (1 0 )0 получим систему ~ уравнений, в которой функцию 0 можно представить в виде разложения, где один из интегралов представляет собой значение Ωij для жидкости твердых сфер, которое можно взять в качестве нулевого приближения. Таким образом, ~ можно получить последовательно аналитическое выражение функции 0 . Но численные расчеты полученных уравнений приводят к расходящимся ~ решениям для 0 . Это обусловлено тем, что случай k 0 описывает сферически-симметричную систему (например, жидкость). Тем самым не учитывается анизотропия кристалла, и, следовательно, решение для k 0 является очень грубым. Поэтому следует рассматривать случай k 0 линейного приближения в разложении по k . Для рассмотрения ненулевых компонент ( k 0 ) линейного приближения ~ разложения по k также перейдем к новой функции k k k и получим следующую систему уравнений: ~ ikr n , (31) d ( 2 ) f ( r ) 1 n d ( 2 ) f e 12 k 12 12 2 12 ~ ~ ~ k (r12 ) n d (3) f13 f 23k (r13 ) 23k (r23 )eikr12 f 23eikr13 . (32) Данная система представляет собой линейные интегральные уравнения, зависящие от вектора обратной решетки k . Для нахождения ее решения ~ разложим функцию k в ряд по полиномам Лежандра и получим уравнения, которые могут быть решены численно. Полученное решение линейного приближения разложения по степеням k справедливо в непосредственной близости к линии плавления кристалла. Если мы хотим получить решение при более низких температурах, то, в разложении необходимо учитывать следующие члены ряда по степеням k . В частности, для уравнений второго порядка получается зацепляющаяся система уравнений, которая содержит фурье-компоненты, относящиеся к разным волновым векторам. Пренебрегая связью между этими фурье-компонентами (приближение хаотических фаз), получаем систему линейных независимых уравнений с заданным значением волнового вектора. Для нулевых фурье-компонент получаются следующие уравнения: 20n f 12 d (2 ) 0 1 n f 12 d (2 ) n d (2 ) f 12 0 (r12 ) n f 12 d (2 ) 21 n d (2 ) f 12 0 (r12 ) 61 n d (2 ) f 12 20 (r12 ) lna 0, 0 (r12 )1 0 (r12 ) n1 0 (1 0 ) f 13 f 23 d (3) n d (3) f 23 f 13 13 0 (r13 ) 0 (r13 ) 2 0 1 2n d (3) f 13 23 0 (r13 ) 0 (r23 ). 16 (33) (34) В случае ненулевых фурье-компонент ( k 0 ) уравнения второго порядка принимают вид: ~ 1 ikr n n d (2) f (r )e (35) d ( 2 ) f ( r ) ( r ) 1 1 n ( 1 ) f , 12 k 12 3 0 12 0 0 12 0 12 2 2 k 12 ~ k (r12 )1 0 (r12 ) n(1 0 ) f13 f 23d (3)e n d (3) f13 230 (r23 ) f 230 (r13 ) eikr13 ~ n d (3) f13 23k (r23 )0 (r13 ) 0 (r23 ) 0 1eikr12 ~ n d (3) f13k (r13 ) f 230 (r13 ) 230 (r23 ) f 23 0 2 f 23 , ik r12 (36) Оценим искомую функцию k . Для этого рассмотрим численное решение линейного приближения разложения по k для k 0 (уравнение (32)). Благодаря кубической симметрии кристалла мы имеем три одинаковые уравнения для определения компонент k x k y k z k 0 . Вычисляя нулевую и первую итерации нулевого члена разложения по полиномам Лежандра получим . ~ ~ при k0=7,06 для плотности n0=1,012 функции (k0,0) (r12 ) и (k0,1) (r12 ) . Ниже на рис. 7 приводятся графики этих функций. 0 0 0 0.2 Ω ~ (k0,0) (r12 ) ~ (k0,1) (r12 ) 0.1 0 1 2 3 4 r r Рис. 7. Нулевое и первое приближение термического потенциала (k0 =7,06) В пятой главе вычисляются значения структурного фактора и фактора сжимаемости для определения параметров рассмотренного в главе 2 двухкомпонентного предельно разбавленного раствора при высоких плотностях. Структурный фактор S(k) позволяет определить распределение плотности и структуру вещества. Зная из главы 2 численное значение функций G12 (r1 , r2 ) , G12 (r1 , r2 ) и G12 (r1 , r2 ) , можно вычислить структурный фактор для рассматриваемой двухкомпонентной смеси твердых сфер при высоких плотностях для случая предельно разбавленного раствора [7]: S (k ) 1 4 h(r ) sin kr 2 r dr kr (37) Для максимальной плотности n0=1,012, при которой еще существует решение уравнения ОЦ, графики полученных значений S(k) для обоих рассматриваемых в данной работе случаев с m=1/2 и m=2 приведены на рис. 8 и 9 соответственно. 0 17 5 . 4 3 2 S(k) S Sββ(k) Sαβ(k) Sαα(k) 1 0 1 0 5 10 k 15 k 20 25 30 j i READ "C:\Work\Data\2004\Str_fact\liquid\Saas.dat" РисSaa 8. . Структурный фактор S(k) жидкости на линии кристаллизации (m=1/2) 4 3 Sββ(k) Sαβ(k) Sαα(k) S S(k) 2 1 0 1 0 5 10 k 15 k 20 25 30 Рис 9. Структурный фактор S(k) жидкости на линии кристаллизации (m=2) Поведение функции Sββ(k) для однокомпонентной системы имеет осциллирующий и затухающий вид. Структурный фактор достигает максимума Smax(k)=3,431 при k=7,056 (n0=1,012). Максимального значения, равного S(k)=2,85 (при котором, согласно критерию Хансена-Верле [20], наступает кристаллизация) структурный фактор в нашем случае достигает при меньшей плотности, равной n0=0,932. Полученные результаты качественно согласуются с результатами для подобных систем, известными из литературы [7, 21]. Фактор сжимаемости для системы твердых сфер можно выразить следующим образом [22]: Z 1 4 r 6 0 3 d(r ) 2 G(r )dr 1 G( ) , dr 3 (38) где G(σ) – контактное значение радиальной функции распределения Gij. В случае рассматриваемой нами однокомпонентной системы с n0=1,012 получаем Z=15,191. Полученные значения фактора сжимаемости для однокомпонентной системы согласуются с данными, известными из 18 литературы и вычисленными другими способами. Погрешность с данными численного эксперимента составляет 5,7%. Более сложным является рассмотрение систем, состоящих из нескольких компонент. До настоящего времени различные аппроксимирующие теории, эмпирические предположения и компьютерные эксперименты не дали достаточно точного уравнения для фактора сжимаемости и контактного значения радиальной функции распределения для смесей, за исключением некоторых простейших случаев [23]. Для рассматриваемой нами двухкомпонентной предельно разбавленной смеси твердых сфер значения фактора сжимаемости приведены в табл. 2. Параметр Таблица 2. Фактор сжимаемости двухкомпонентной предельно разбавленной смеси твердых сфер на линии кристаллизации n0 Z m=1/2 m=2 Чистый Растворитель- Растворенное- Растворитель- Растворенноерастворитель растворенное растворенное растворенное растворенное (частицы ββ) (частицы αβ) (частицы αα) (частицы αβ) (частицы αα) 1,012 1,012 0,88 0,75 15,191 11,573 10,238 17,291 19,841 В заключении приводятся основные выводы работы: 1. Описание фазового перехода расплав-кристалл методом частичных функций распределения для однокомпонентной системы обобщено на двухкомпонентную систему в случае предельного разбавления. Для жидкости на линии кристаллизации уравнение ОЦ преобразуется в систему трех уравнений. Уравнение для чистого растворителя совпадает с уравнением для однокомпонентной системы и может быть решено независимо от двух других. Уравнение, описывающее взаимодействие частиц растворителя и растворенного вещества выражается с помощью решения уравнения для растворителя. Уравнение для растворенного вещества может быть выражено через решения двух первых. 2. Найдено численное решение полученных уравнений. Оно параметрически зависит от соотношения диаметров частиц m= σα/σβ. В частности, для случая m=1/2 положение локальных максимумов функций Ω αβ и Ωαα расплава смещено относительно Ωββ вправо, а для случая m=2 – влево. В последнем случае (когда частицы примеси больше частиц растворителя) также уменьшается плотность кристаллизации из-за увеличения диаметра частиц примеси. В нефизической области расстояний (вблизи нуля), соответствующих движению частиц внутри друг друга, функция Ωαβ для обоих случаев незначительно возрастает, что соответствует ее аналитическому разложению вблизи нуля. В физической области расстояний все функции качественно подобны и имеют стандартный осциллирующий и затухающий вид функции однокомпонентной системы. 19 3. Обобщено решение для однокомпонентного кристалла на линии плавления на двухкомпонентную предельно разбавленную систему, которое состоит из системы пяти интегральных уравнений для одно- и двухчастичной функций распределения. Два из них описывают однокомпонентную систему (чистый растворитель). Одно уравнение определяет парциальную корреляционную функцию распределения растворенное – растворитель. Последние два позволяют найти корреляционные функции растворенного вещества. В результате первоначальная система сводится к системе линейных интегральных уравнений с известной правой частью, которые могут быть решены последовательно. Приведено приблизительное решение для кристалла на линии плавления для случая, когда частицы растворенного вещества в два раза меньше частиц растворителя (при m=1/2). Полученные значения качественно подобны результатам для жидкости на линии кристаллизации, за исключением глубокого минимума термического потенциала Ωij при r=1,4 для частиц чистого растворителя. 4. Система уравнений ОЦ применена к описанию высокотемпературного кристалла. Для полученной системы нелинейных интегральных уравнений в первом приближении, описывающем кристалл в непосредственной близости от линии плавления, найдено предварительное численное решение для ненулевых компонент волнового вектора. Нулевые компоненты волнового вектора первого приближения не дают вклада в искомые функции, т.к. описывают сферическисимметричную систему и не учитывают анизотропию кристалла. Для нахождения решения при более низких температурах необходимо рассматривать следующие члены разложения. Так, во втором порядке получается зацепляющаяся система уравнений, которая в приближении хаотических фаз может быть решена численно. 5. Получены значения структурного фактора жидкости вблизи линии кристаллизации для предельно разбавленного двухкомпонентного расплава. Для максимальной плотности, при которой еще может существовать решение уравнения ОЦ, n0=1,012 структурный фактор достигает максимума Smax(k)=3,431 при k=7,056. Полученные результаты для S(k) качественно совпадают с результатами для сходных систем, известными из литературы. 6. Найдено значение фактора сжимаемости вблизи линии кристаллизации для предельно разбавленного двухкомпонентного расплава. Для однокомпонентной системы с η=0,53 получено значение фактора сжимаемости, равное Zββ=15,191. Для случая m=1/2 Zαβ=11,573 и Zαα=10,238. Для случая m=2 Zαβ=17,291 (η=0,691) и Zαα=13,714 (η=0,785). Полученные значения фактора сжимаемости для однокомпонентной системы согласуются с данными, известными из литературы. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1978. Т. 1. 406 с. 2. Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. М.: Мир, 1965. 20 307 с. 3. Мартынов Г.А. Функции распределения бинарных растворов (точное аналитическое решение) // ТМФ. 2000. Т. 123, № 3. С. 500-515. 4. Martynov G.A. The Ornstein-Zernike equation and critical phenomena in fluids. // J. Chem. Phys., 2008, № 129, p. 244509. 5. Мартынов Г.А. Проблема фазовых переходов в статистической механике // УФН, 1999. Т. 169, № 6. С. 595-624. 6. Martynov G.A., Sarkisov G.N. Stability and first-order phase transitions. // Phys. Rev. B, 1990, V. 42 № 4, p. 2504-2513. 7. Саркисов Г. Н. Молекулярные функции распределения стабильных, метастабильных и аморфных классических моделей // УФН. 2002. Т. 172, № 6. С. 647 – 669. 8. Мартынов Г. А., Саркисов Г. Н. К теории фазовых переходов первого рода. // ДАН. 1981. Т. 261, № 1. С. 79-82. 9. Мартынов Г. А., Саркисов Г. Н. Статистическая теория фазовых переходов первого рода. I. Постановка задачи // Кристаллография. 1989. T. 34, № 3. C. 541-544. 10. Martynov G. A. Fundamental theory of liquids: Method of distribution functions – Bristol – N. Y.: Adam Hilger, 1992. 11. Martynov G. A., Sarkisov G.N., Vompe A.G. New closure for the OrnsteinZernike equation. // J. Chem. Phys., 1999, V. 110 N8, pp. 3961-3969. 12. Ballone P., Pastore G., Galli G., Gazzillo D. Additive and non-additive hard sphere mixtures. Monte Carlo simulation and integral equation results. // Mol. Phys., 1986, V. 59, pp. 275-290. 13. Аграфонов Ю. В., Мартынов Г. А. Статистическая теория кристаллического состояния // ТМФ. 1992. Т. 90, № 1. С. 113-127. 14. Аграфонов Ю. В. Физика конденсированного состояния вещества. Метод функций распределения: учеб. пособие. Иркутск: ИГУ, 1994. 166 с. 15. Фишер И. З. Статистическая теория жидкостей. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. 280 с. 16. Labik S., Malijevsky A., Vonka P. A rapidly convergent method of solving the OZ equation. // Mol. Phys., 1985, V. 56 № 3, p. 709-715. 17. Martynov G. A. Statistical theory of critical phenomena in fluids. // Phys. Rew. E, 2009, V. 79, p. 031119. 18. Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. 19. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с. 20. Hansen J.-P., Verlet L. Phase transition of the Lennard-Jones system. // Phys. Rew., 1969, V. 184, № 1, pp. 151-161. 21. Yuste S. B., Santos A., M. Lorez de Haro. Structure of multi-component hardsphere mixtures. // J. Chem. Phys., 1998, V. 108 № 9, p. 3683 – 3693. 22. Саркисов Г.Н. Метастабильные состояния в системе твердых сфер // ЖФХ. 2006. Т. 80, № 3. С. 396-399. 23. Santos A., Yuste S.B., de Haro M.L. Contact values of the radial distribution functions of additive hard-sphere mixtures in d dimensions: A new proposal. // J. Chem. Phys., 2002, V. 117, № 12, pp. 5785-5793. 24. Мартынов Г.А., Одваркова И., Малиевский А. Асимптотическое замыкание для уравнения Орнштейна-Цернике и проблема фазовых переходов // ЖФХ. 2004. Т. 78, № 8. С. 1375-1383. 21 СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК 1. Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Фазовый переход расплав-кристалл в двухкомпонентной системе // Известия ВУЗов. 2000. № 2. – С. 54-61. 2. Аграфонов Ю.В., Балахчи А.Г., Бирюлина Т.В., Выговский Ю.Н., Дорогобид Я.С., Кручинин Л.Е., Малов А.Н., Ушаков Ф.Е., Черный В.В. Граничные структуры жидкости и голографические регистрирующие среды // Компьютерная оптика, 1999, Вып. 19. – С. 118 - 124. 3. Yu.V. Agrafonov, A.G. Balakhсhi, T.V. Birulina, Yu.N. Vigovsky, Ya.S. Dorogobid, L.E. Kruchinin, A.N. Malov, F.E. Ushakov, V.V. Cherny. The boundary structures of a liquid and holographic recording media // Optical Memory and Neural Network. 2000. V.9. N 2. – C. 123-131. 4. Аграфонов Ю.В., Балахчи А.Г., Бирюлина Т.В., Ваганова Т.Г., Просекин М.Ю. Квантовое обобщение уравнения Орнштейна-Цернике // Изв. РАН. Серия физическая. 2004. Т. 68. № 11. – С. 1668-1669. Публикации в других изданиях 5. Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Фазовый переход расплав-кристалл в двухкомпонентной системе // Применение лазеров в науке и технике : материалы IX Межреспубликанского заочного науч.-технич. семинара. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1997. – С. 134. 6. Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Изучение растворимости в двухкомпонентных системах на основе метода функций распределения // Люминесценция и сопутствующие явления : Тезисы докладов IV Всерос. школы-семинара. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1999. – С. 70. 7. Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Фазовый переход расплав-кристалл в двухкомпонентной системе // Люминесценция и сопутствующие явления : Труды IV Всерос. школы-семинара. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1999. – С. 71-73. 8. Аграфонов Ю.В., Балахчи А.Г., Бирюлина Т.В., Ушаков Ф.Е., Цыдыпов Ш.Б. Ближний порядок в метастабильных жидкостях и аморфных телах // Люминесценция и сопутствующие явления : Труды IV Всерос. школысеминара – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1999. – С. 73-75. 9. Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Описание высокотемпературного кристалла на основе метода функций распределения // Сб. материалов Всерос. науч. конференции по математическому моделированию. – Улан-Удэ: Изд-во Бурятского гос. ун-та, 1999. – С. 71. 10.Аграфонов Ю.В., Балахчи А.Г., Бирюлина Т.В., Ушаков Ф.Е., Цыдыпов Ш.Б. Описание ближнего порядка метастабильных жидкостей с помощью радиальной функции распределения // Сб. материалов Всерос. науч. конференции по математическому моделированию. – Улан-Удэ: Изд-во Бурятского гос. ун-та, 1999. – С. 79-85. 11.Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Описание кристаллического состояния вещества на основе метода функций распределения // 22 Взаимодействие излучений и полей с веществом. Материалы II Байкальской школы по фундаментальной физике. Т. 2. – Иркутск: СиЛаП, 1999. – С. 334-340. (http://bsfp.iszf.irk.ru/bsfp1999/bsff2/bb05an6.php) 12.Аграфонов Ю.В., Балахчи А.Г., Бирюлина Т.В. и др. Взаимодействие излучения с веществом: Фундаментальные проблемы физики и технологии // Взаимодействие излучений и полей с веществом. Материалы II Байкальской школы по фундаментальной физике. Т. 1. – Иркутск: СиЛаП, 1999. – С. 17-40. (http://bsfp.media-security.ru/science/1.htm) 13.Ю.В. Аграфонов, Т. В. Бирюлина. Применение метода функций распределения к описанию кристаллизации двухкомпонентного раствора твердых сфер // Сб. Трудов III Байкальской молодежной научной школы по фундаментальной физике. Иркутск: ОКИС ЦНИТ ИГУ, 2000. – С. 99-109. (http://bsfp.iszf.irk.ru/bsfp2000/texts/99_109.php) 14.Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В., Иншаков Д.В. Решение системы уравнений Орнштейна-Цернике для кристалла с потенциалом твердых сфер вблизи линии плавления // Волновые процессы в проблеме космической погоды. Труды VI сессии молодых ученых Байкальской школы по фундаментальной физике – Иркутск: ИСЗФ СО РАН, РПЦ "Радиан", 2003. – С. 194-196. (http://bsfp.iszf.irk.ru/bsfp2003/texts/Birjulina) 15.Бирюлина Т.В. Вычисление структурного фактора двухкомпонентной жидкости с помощью метода функций распределения // Вестник ИрГТУ, 2005. Т. 1. № 3, С. 154-155. 16. Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Фазовый переход расплав-кристалл в двухкомпонентной системе твердых сфер // Астрофизика и физика околоземного космического пространства. Труды VIII конференции молодых ученых Международной Байкальской Школы по Фундаментальной Физике. – Иркутск: ИСЗФ СО РАН, ЦОП БИБММ ИГУ, 2005. – С. 185-188. 17. Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Решение системы уравнений Орнштейна-Цернике для высокотемпературного кристалла твердых сфер. Линейное приближение // Астрофизика и физика околоземного космического пространства. Труды VIII конференции молодых ученых Международной Байкальской Школы по Фундаментальной Физике. – Иркутск, 2005. – С. 189191. 18. Бирюлина Т.В. Проблема описания фазового перехода жидкостькристалл в физике жидкостей // Проблемы Земной цивилизации : Сборник материалов Всерос. конференции – Иркутск: ООО "Фрактал", 2007. Вып. № 17, Ч. 2, 2007г. – С. 238-245. 19.Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В., Ушаков Ф.Е. Кристаллизация предельно разбавленной двухкомпонентной системы твердых сфер // Современные проблемы в астрофизике и физике космической плазмы. Труды X конф. молодых ученых Международной Байкальской Молодежной Научной Школы по Фундаментальной Физике. – Иркутск: ИСЗФ СО РАН, ЦОП БИБММ ИГУ, 2007. – С. 277-281. (http://bsfp.iszf.irk.ru/bsfp2009/trudy/Biryulina-277281.pdf) 23 20. Бирюлина Т.В. Описание кристаллизации системы твердых сфер при помощи уравнения Орнштейна-Цернике // Ломоносов-2009. Секция "Физика". Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам – М.: Физич. ф-т МГУ, 2009. – С. 270-271. 21. Аграфонов Ю.В., Бирюлина Т.В. Термодинамические функции предельноразбавленной бинарной смеси при высоких плотностях // Гелио- и геофизические исследования. Труды XI конференции молодых ученых Международной Байкальской Молодежной Научной Школы по Фундаментальной Физике. – Иркутск: ИСЗФ СО РАН, ЦОП БИБММ ИГУ, 2009. – С. 322-324. Подписано в печать ______________ 2010. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 150 экз. Зак. № _____. Издательство Иркутского государственного технического университета 664084, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 73 24
