Нелинейная динамика в экономике

Практическое задание №2
Логистическая функция – совокупность логистических операций, направленная на
достижение целей, поставленных перед логистической системой или ее элементами
(звеньями): снабжение, производство, сбыт.
В основе логистического анализа лежит применение логистической функции. С
помощью этой функции описываются законы роста присущие сфере материального
производства, процессам насыщения потребительского спроса, а также многим формам и
уровням жизни. (спрос на мобильные телефоны)
График логистической функции имеет вид S образной кривой, положенная набок.
Эта кривая имеет две точки перегиба и характеризуется переходом от ускоряющегося
роста к равномерному, и от равномерного роста к замедляющемуся. Логистической
закономерности присуще свойство отражать изменения возрастающего ускорения
процесса на замедляющееся или, наоборот, при обратной форме кривой. Эта важная
особенность дает возможность определить статистическим путем различные критические,
оптимальные и другие практически ценные точки. В основе логистической функции
лежит закономерность, выраженная уравнением Ферхюльста:
a
y
c
1  10 a bx
если b – положительное, то график убывающий, а если – отрицательное, то
возрастающий.
у – значение функции
х – время
а – расстояние между верхней и нижней асимптотой.
с– нижняя асимптота (предел, с которого начинается рост функции)
a и b это параметры определяющие наклон, изгиб и точки перегиба графика
логистической функции.
Логистическая функция или логистическая кривая - самая общая сигмоидальная (Sобразная) кривая. Она моделирует кривую роста вероятности некоего события, по мере
изменения управляющих параметров (факторов риска).
Вероятность P можно также трактовать как заселенность. Начальная стадия роста
логистической кривой приблизительно соответствует экспоненте (показательная
функция). Затем, по мере насыщения, рост замедляется, проходит линейную фазу и,
наконец, и в зрелом периоде практически останавливается. Простейшая логистическая
функция может быть описана формулой:
где переменную P можно рассматривать как численность населения, а переменную t – как
время. Хотя область допустимых значений t совпадает со множеством всех
действительных чисел от минус до плюс бесконечности, практически, из-за природы
показательной функции exp(−t), достаточно вычислить значения в сравнительно узком
интервале [− 6, + 6].
Логистическая функция находит применение в обширном диапазоне областей знания,
включая искусственные нейронные сети, биологию, биоматематику, экономику, химию,
математическую психологию, вероятность и статистику.
Модель Калдора. Рассмотрим вопрос об устойчивости решения обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ) на примере модели Калдора, пытающейся объяснить
циклические колебания экономической активности факторами формирования сбережений
S(y) и инвестиций I(y), где y  доход. В этой модели объем сбережений
и
инвестиций
являются
не
линейными,
а
логистическими
(S-образными) функциями. Пример таких функций приведен в следующем документе
MathCAD (Д. 9.3):
Ìîäåëü Êàëäîðà
s  2.2
ó-äîõîä, S(y)-ïîòðåáëåíèå, I(y)-èíâåñòèöèè
a  .9
3
3
S( y )  s  ( y  a)  a  2 I( y )  3.  y  2.5  S( y ) f ( y )  I( y )  S( y )
5
i  0  18
h  0.1
y  i  h
i
Îïðåäåëåíèå òî÷åê ðàâíîâåñèÿ
4
S y i
3
I y i
y  0 y1  root ( f ( y ) y )
y1  0.034
S( y1)  1.301
y  1 y2  root ( f ( y ) y )
y2  0.987
S( y2)  2.73
2
y  2 y3  root ( f ( y ) y )
y3  1.679
S( y3)  3.768
1
0
0.5
1
1.5
2
yi
Îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè:
df ( y ) 
d
( f ( y) )
dy
óñòîé÷
df ( y1)  6.894
óñòîé÷
íå
df ( y2)  2.9
óñòîé÷
df ( y3)  5.006
Д. 9.3
Равновесие достигается при такой величине дохода у, когда S(y) = I(y). Таких точек
три, однако устойчивых точек только две: у1 и у3, так как именно в них производная
функции f(y) = I(y) – S(y) отрицательна. Изменение дохода в такой системе можно
представить в виде дифференциального уравнения
dy
 f ( y)
dt
(9.8)
с начальным условием y(0) = y0. Если величина дохода соответствует одному из
равновесных состояний, то он может сохраняться неограниченно долго. Однако любые
изменения в экономической ситуации приведут при неустойчивом равновесии (в точке у2)
к переходу в одну из устойчивых точек у1 или у3 – в зависимости от ухода влево или право
от положения равновесия. Для устойчивых точек при малых отклонениях от положения
равновесия произойдет возврат к тому же состоянию.
Точки A, B, C представляют различные варианты статического равновесия на
определенный момент времени. Причем равновесие в точке B неустойчиво, а в точках A
и C устойчиво.
В точке B равновесие неустойчиво, так как при yA < y < yB сбережения превышают
инвестиции и на рынке благ образуется избыток, который ведет к сокращению
производства. Когда yB < y < yC, тогда объем инвестиций превышает объем сбережений и
на рынке благ возникает дефицит, который стимулирует расширение производства.
Из аналогичных рассуждений следует, что в точках A и C равновесие устойчиво.
Отклонение от A или C вправо приводит к избытку благ и сокращению их производства, а
отклонение влево - к дефициту и расширению производства.
Однако это справедливо только при постоянных функциях инвестиций и сбережений,
периодические изменения деловой активности приведут к деформации этих функций, что
и объясняет циклический характер развития экономики. Приведенный документ MathCAD
(Д. 9.4)иллюстрирует эти случаи.
Динамика несвязанных секторов экономики
0,1 0 0
α  0,1 0,2 0.
 0 0,1 0
Такая матрица означает, что капиталовложения в первый сектор составляют 10 % от
его дохода, во второй сектор – 10 % от дохода первого сектора и 20 % от дохода второго
сектора, в третий сектор – 10 % от дохода второго сектора экономики. Задавая
конкретный вид производственных функций, доли выбытия капитала и начальные
условия, получим развитие экономики, представленное в следующем документе MathCAD
(Д. 9.13):
Äèíàìèêà ñâÿçàííûõ ñåêòîðîâ ýêîíîìèêè
n  200 i  0  n
h  1
 1.002 
 0.5382 


a0  .98 a1   .6 




 1 
 .5 
 0.4518 
 .1 0 0 
 .05 
1
 0  






a2 
4
A  .1 .2 0   .2 K  1






 
 5 
 0 .1 0 
 0.05 
1


a1 a2
Y( K  L)   a0 K  L 
 
1
L   1 
 
1
B  diag   

 i 1
 i
 i
 i
K
 K  h  A  Y K  L  B K

j  n
5
 4.459 
 j 
K  3.021 
 K i  0
4
 K i  1


 3.797 
3
 K i  2
 2.24 
 j
Y K  L   1.903 
2
1

0
100
200



 1.949 
 j
 YK  L  6.092
Äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êàïèòàëà
i h ïî ñåêòîðàì
Вопросы к заданию №2
1. Логистические функции.
2. Модель Калдора.
3. Метод Эйлера интегрирования начальной задачи для ОДУ.
4. Нахождение корней уравнения f(x)=0
5. Точки равновесия.
6. Устойчивость точки покоя.
7. Модель связанных секторов экономики.
âåëè÷èíà êàïèòàëà â
êîíöå ïåðèîäà ïî
ñêòîðàì
âåëè÷èíà äîõîäà â
êîíöå ïåðèîäà ïî
ñåêòîðàì
ñóììàðíûé äîõîä