ЕГЭ - 2015. Тренировочная работа 3 вариант МА2611001

ЕГЭ - 2015. МАТЕМАТИКА
Тренировочная работа 3
вариант МА2611001
профильный уровень
Часть 1
1. Футболка стоила 360 рублей. После повышения цены она стала стоить 378 рублей.
На сколько процентов была повышена цена на футболку?
2. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых
торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются
числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности
жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую
цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).
3. Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения «цена-качество» микроволновых печей. Рейтинг вычисляется на основе средней цены P и оценок функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается экспертами по 5-балльной шкале целыми числами от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется
по формуле
R = 8(F + Q) + 4D − 0,01P.
В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей печей. Определите, какая модель имеет наивысший рейтинг. В ответе запишите значение этого рейтинга.
4. Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3
больше меньшей стороны.
5. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух
по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При
подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что
случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
6. Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
запишите меньший из корней.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90°,
,
. Найдите AB.
8. f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите промежутки возрастания функцииf(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
9. Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой поверхности
равна 2. Найдите высоту цилиндра.
Часть 2
10. Найдите значение выражения
.
11. К источнику с ЭДС
В и внутренним сопротивлением
Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое
в вольтах, даeтся формулой
. При каком наименьшем значении сопротивления
нагрузки напряжение на ней будет не менее 60 В? Ответ выразите в Омах.
12. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен
сумме их объемов.
13. В 2008 году в городском квартале проживало
человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в 2010 году на
по
сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
14. Найдите наибольшее значение функции
15. Дано уравнение
на отрезке
.
.
а) Решите данное уравнение.
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку
.
прямоугольном
параллелепипеде
известны
рёбра
Точка
принадлежит ребру
и делит его в отношении
считая от вершины
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки
и
16.
В
17. Решите систему неравенств:
18. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой
окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей
равны 4 и 1.
19. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 6409000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%),
затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой
должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг двумя равными
ежегодными платежами?
20. При каждом значении а решите систему
21. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку —
целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили
различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее
арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая
оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
ЕГЭ - 2015. МАТЕМАТИКА
Тренировочная работа 3
вариант МА2611002
профильный уровень
Часть 1
1. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от
цены покупки. Упаковка пельменей стоит в магазине 75 рублей. Пенсионер заплатил
за упаковку пельменей 72 рубля. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?
2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По
горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в
градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей
температурами воздуха 16 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия.
3. Строительной фирме нужно приобрести 80 кубометров пенобетона у одного из трех
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?
Поставщик
Стоимость пенобетона
(руб. за за 1 м3)
Стоимость доставки
A
2950
4900 руб.
Дополнительные условия
Б
3200
5900 руб.
При заказе на сумму больше
150000 руб.
доставка бесплатно
В
2980
3900 руб.
При заказе более 85 м3
доставка бесплатно
4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади
квадрата, вписанного в эту окружность?
5. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он
подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
6. Найдите корень уравнения
.
7. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.
8. На рисунке изображён график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции
в точке .
9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15 , а диаметр основания равен 5.
Найдите высоту цилиндра.
Часть 2
10. Найдите значение выражения
.
11. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью
м/с,
начал торможение с постоянным ускорением
м/с . За t секунд после начала торможения он прошел путь
(м). Определите время, прошедшее от момента
начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112 метров.
Ответ выразите в секундах.
12. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной
поверхности, деленную на π.
13. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде,
если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
14. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
15. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
16. В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания
равны 8, а боковые рёбра 16. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится
точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LM = 4. Найдите площадь
сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
17. Решите систему неравенств
18. Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите , если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
19. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 4382 000 рублей в кредит под 16% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 16%),
затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой
должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными
ежегодными платежами?
20.
ние
Найдите
все
значения a ,
при
каждом
из
которых
уравне-
имеет единственный корень.
21. На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте
отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до
9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло
ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги
одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число
не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком
наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос,
такое возможно?
ЕГЭ - 2015. МАТЕМАТИКА
Тренировочная работа 3
вариант МА2611003
профильный уровень
Часть 1
1. По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 18 руб. Если на счету осталось меньше 18 руб., то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было
800 руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном,
не пополняя счёт?
2. На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком
РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на
рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода
цена золота была меньше 980 рублей за грамм.
3. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 125 кВт ч электроэнергии в
месяц, а в ночное время — 155 кВт ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был
установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу
2,5 руб. за кВт ч. Год назад А. установил двухтарифный счeтчик, при этом дневной
расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,5 руб. за кВт ч, а ночной расход
оплачивается по тарифу 0,7 руб. за кВт ч. В течение 12 месяцев режим потребления и
тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за
этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.
4. Вектор
точки
с началом в точке
имеет координаты
. Найдите ординату
5. В сборнике билетов по химии всего 40 билетов, в 20 из них встречается вопрос о
солях. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику достанется вопрос о солях.
6. Найдите корень уравнения:
.
7. B 7 № 27277. В треугольнике
Найдите
.
угол
равен 90°,
– высота,
,
.
8. B 8 № 7069. На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
9. Высота конуса равна 15, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.
Часть 2
10. Найдите значение выражения
, если
,а
.
11. Очень легкий заряженный металлический шарик зарядом
Кл скатывается
по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет
м/с, на
него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции которого
лежит в той же плоскости и составляет угол с направлением движения шарика. Значение индукции поля
Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная
(Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком
наименьшем значении угла
шарик оторвется от поверхности, если для
этого нужно, чтобы сила была не менее чем
Н? Ответ дайте в градусах.
12. В правильной шестиугольной призме
дите расстояние между точками и ..
все ребра равны 1. Най-
13. От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход,
а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился
второй. Расстояние между пристанями равно 110 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
14. Найдите точку минимума функции
.
15. Решите уравнение
.
16. Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания
пирамиды равна , высота равна
. Найдите расстояние от середины бокового
ребра BD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и AВ соответственно.
17. Решите систему неравенств
18. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На
продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что BAC + AKC=90°.
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC,
если
,а
19. 31 декабря 2013 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%),
затем Андрей переводит в банк 587250 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке,
если он выплатил долг двумя равными ежегодными платежами?
20. При каких значениях параметра
ма
хотя бы при одном значении параметра с систе-
имеет решения для любых значений параметра ?
21. В ряд выписаны числа:
Между ними произвольным образом
расставляют знаки « » и « » и находят получившуюся сумму.
Может ли такая сумма равняться:
а) 12, если
?
б) 0, если
?
в) 0, если
?
г) 5, если
?
ЕГЭ - 2015. МАТЕМАТИКА
Тренировочная работа 3
вариант МА2611004
профильный уровень
Часть 1
1. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%.
Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту
книгу?
2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 20°. На оси абсцисс откладывается время в минутах,
прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах
Цельсия. Водитель может начинать движение, когда температура двигателя достигнет
60°. Какое наименьшее количество минут потребуется, чтобы водитель мог начать
движение?
3. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.
Тарифный план Абонентская плата
Плата за 1 минуту разговора
Повременный
Нет
0,4 руб.
Комбинированный
160 руб. за 400 мин. в
месяц
0,3 руб. за 1 мин. сверх 400 мин. в
месяц.
Безлимитный
285 руб. в месяц
Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что
общая длительность телефонных разговоров составляет 600 минут в месяц. Какую
сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 600 минут? Ответ дайте в рублях.
4. Периметры двух подобных многоугольников относятся как
. Площадь меньшего
многоугольника равна 8. Найдите площадь большего многоугольника.
5. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.
6. Найдите корень уравнения:
.
7. В треугольнике
0,1. Найдите
.
угол
равен 90°, синус внешнего угла при вершине
8. Прямая
параллельна касательной к графику функции
Найдите абсциссу точки касания.
равен
.
9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы
прямые).
Часть 2
10. Найдите
, если
, при
.
11. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного
элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением
, где – время в мину-
тах,
К,
К/мин ,
К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
Ответ выразите в минутах.
12. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и
высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
13. Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму
покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в
сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
14. Найдите точку минимума функции
.
15. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
16. В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На
ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно,
что AD = 2 и BE = ML = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
17. Решите систему неравенств
18. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На
продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что BAC + AKC=90°.
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC,
если
,а
19. 31 декабря 2013 года Ваня взял в банке 5005 000 рублей в кредит под 20% годовых.
Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем
Ваня переводит в банк платеж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На
сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных
платежа?
20. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно два решения.
21. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
ЕГЭ - 2015. МАТЕМАТИКА
Тренировочная работа 3
вариант МА2611005
профильный уровень
Часть 1
1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов.
Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?
2. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Сочи
каждый день с 5 по 28 апреля 1998 года. На оси абсцисс отмечены дни, на оси ординат
— температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наибольшую среднесуточную температуру воздуха в Сочи
в период с 7 по 24 апреля.
3. Из пункта A в пункт D ведут три дороги. Через пункт B едет грузовик со средней
скоростью 56 км/ч, через пункт C едет автобус со средней скоростью 38 км/ч. Третья
дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со
средней скоростью 60 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между
пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из A. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.
4. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7),
(8;2), (8;4), (1;9).
5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 этих стекол, вторая – 65 . Первая фабрика выпускает 3 бракованных стекол, а вторая – 5 . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
6. Решите уравнение
.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
7. Периметр правильного шестиугольника равен 222. Найдите диаметр описанной
окружности.
8. На рисунке изображен график функции
и отмечены точки −2, −1, 1, 3. В
какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы
прямые).
Часть 2
10. Найдите
, если
.
11. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну.
Давление (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по
формуле
, где
кг — общая масса навеса и колонны, — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения
м/с , а
, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору,
не должно быть больше 200 000 Па. Ответ выразите в метрах.
12. В прямоугольном параллелепипеде
известны длины рёбер:
,
,
. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины , и .
13. Рабочие прокладывают тоннель длиной 39 метров, ежедневно увеличивая норму
прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 4 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.
14. Найдите наименьшее значение функции
15. а) Решите уравнение
на отрезке
.
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
16. В
правильной
треугольной
пирамиде
с
основанием
известны
ребра
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,
проходящей через середины ребер
и
17. Решите систему неравенств
18. Высоты
и
остроугольного треугольника
а) Докажите, что
б) Найдите
если
и
пересекаются в точке
19. 31 декабря 2013 года Ваня взял в банке 7378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%),
затем Ваня переводит в банк платеж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа.
На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2
равных платежа?
20. Найдите все значения параметра
при которых уравнение
имеет ровно два решения.
21. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
ЕГЭ - 2015. МАТЕМАТИКА
Тренировочная работа 3
вариант МА2611006
профильный уровень
Часть 1
1. Каждый день во время конференции расходуется 90 пакетиков чая. Конференция
длится 3 дня. Чай продаётся в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек чая нужно купить на все дни конференции?
2. На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком
РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на
рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период цена золота была ровно 1010 рублей за грамм.
3. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги новостных сайтов на
основе показателей информативности , оперативности
и объективности публикаций. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле
В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите
его в ответ, округлив до целого числа.
Сайт
Информативность Оперативность Объективность
VoKak.ru
2
−1
0
NashiNovosti.com
−2
1
−1
Bezvrak.ru
2
2
0
Zhizni.net
−1
−1
−2
4. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке P(8; 6), чтобы она касалась оси абсцисс?
5. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.
6. Найдите корень уравнения
.
7. Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
8. На рисунке изображен график функции
и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В
какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Часть 2
10. Найдите
, если
при
.
11. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над
землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле
где
— радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 160
километров? Ответ выразите в километрах.
12. B 12 № 27176. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание –
прямоугольник со сторонами 3 и 4.
13. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 19100 рублей, через два
года был продан за 15471 рубль.
14. Найдите точку минимума функции
.
15. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
16. В правильной треугольной призме
ребра равны 3, точка — середина ребра
и
стороны основания равны 2, боковые
Найдите угол между плоскостями
17. Решите систему неравенств
18. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки Mи N ,
причём M — середина AD, а BN : NC =1:3.
а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 48.
19. Оля хочет взять кредит в банке. Погашение кредита происходит раз в год
равными суммами (кроме, может быть последней) после начисления процентов.
Ставка процента 10%. На какое минимальное количество лет может Оля взять
кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?
20. Найдите все значения
имеет на промежутке
при которых уравнение
единственный корень.
21. Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг
кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел
равно
Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — это
различные целые числа.
а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для
одного кинофильма?
ЕГЭ - 2015. МАТЕМАТИКА
Тренировочная работа 3
вариант МА2611007
профильный уровень
Часть 1
1. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции.
Ответ дайте в километрах в час.
2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10
по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько было
дней в данный период, когда суточное количество посетителей не превосходило
600 000 человек.
3. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км.
В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую
сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?
Расход топлива
Автомобиль Топливо
Арендная плата (руб. за 1 сутки)
(л на 100 км)
А
Дизельное
7
3700
Б
Бензин
10
3200
В
Газ
14
3200
Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рублей за литр, газа —
14 рублей за литр.
4. Точки O(0; 0), A(6; 8), B(6; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите
ординату точки C.
5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 этих стекол, вторая – 65 . Первая фабрика выпускает 3 бракованных стекол, а вторая – 5 . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
6. Найдите корень уравнения:
7. Угол ACB равен
точек D и E, равна
. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей
. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
8. На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. В какой точке отрезка
принимает наименьшее значение?
9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 9 , а диаметр основания равен 3.
Найдите высоту цилиндра.
Часть 2
10. Найдите значение выражения
при
.
11. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие
глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:
, где
— постоянная, r — радиус аппарата в метрах,
— плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте
Н/кг). Каков
может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 511 014 Н? Ответ выразите в метрах.
12. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания.
Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в
градусах.
13. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же
количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано
за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
14. Найдите наибольшее значение функции
15. а) Решите уравнение
на отрезке
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
16. В
правильной
треугольной
пирамиде
с
основанием
известны
ребра
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,
проходящей через середины ребер
и
17. Решите систему
18. В равнобедренном треугольнике
с углом
при вершине проведена биссектриса
В треугольник
вписан прямоугольник
так, что сторона
лежит на отрезке
а вершина — на отрезке
а) Докажите, что
б) Найдите площадь прямоугольника
если
19. 31 декабря 2013 года Игорь взял в банке 100000 рублей. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов),
затем Игорь переводит в банк очередной транш. Игорь выплатил кредит за два
транша, переведя в первый раз 50000 рублей, во второй раз 66000 рублей. Под какой
процент банк выдал кредит Игорю?
20. Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции
на множестве
не менее 6.
21. На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а
среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответы заданий 1 – 14
(профильный уровень)
задание
вариант
МА2611001
МА2611002
МА2611003
МА2611004
МА2611005
МА2611006
МА2611007
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
4
44
190
10
6
36
39
7
9
3
11
2
4
18
240900
3348
220
2,75
75
4180
6
2
0
162
14
6
6
0,04
0,4
0,5
0,05
0,043
0,3
0,043
6
-6
-1,25
13
4
-6
-5
20
9
17,5
0,1
74
45
44
-19
-0,25
4
0,5
-2
4
-7
2
3
17
47
34
58
3
2
36
6
1
2
0
4
1,6
7
30
2
0,3
2
2,3
12
144
2
8
572
24
60
47088
16
11
4
9
10
22
3
263
1
8
9
5
12