КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА
Кафедра радиоэлектроники и информационно-измерительной техники
Радиотехнические цепи и сигналы
Е.Ф. Базлов, В.А. Козлов,
ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Методические указания к практическому занятию
Казань – 2014
Краткие сведения из теории и методика решения задач
При анализе дискретных сигналов применяют z – преобразование:

S(z)   s(nT ) z  n
0
Функция S(z)является аналитической функцией комплексного переменного
z.
В качестве примеров рассмотрим z - преобразования некоторых простейших
сигналов. При этом будем полагать, что сигнал s(nT) тождественно равен нулю
при n<0.
1. Единичный импульс
1, n  0
s(nT )  (nT )  
0, n  0
S( z )  1
2. Дискретизированный единичный скачек
s( nT )  1 (nT), n0

S( z)   z  n 
0
z
z 1
При решении задач удобно использовать некоторые свойства z - преобразования. Основные из них:
1. Теорема линейности.
Если s(nT )  as1(nT )  bs2 (nT )     ,
то S(z)  aS1 (z)  bS2 (z)     .
2. Теорема запаздывания.
Если y(nT )  x (nT  T), то Y(z)  z 1 X(z)
3. Теорема о свертке.
z - преобразование свертки двух дискретных сигналов x(nT) и y(nT)
n
f (nT )   x (nT  kT) y(kT)
k 0
S(z)  X(z)Y(z)
Отклик цифрового фильтра n-го порядка y(nT) связан с воздействием x(nT)
разностным уравнением
y(nT)= a0x(nT)+a1x(nT-T)+a2x(nT-2T)+….+aMx(nT-MT)b1y(nT-T)-b2y(nT-2T)-….-y(nT-NT)
Основные характеристики цифровых фильтров:
1. Системная функция
H (z) 
Y (z)
,
X (z)
где X(z) и Y(Z) - z - преобразования входного и выходного сигналов.
Применив к разностному уравнению z - преобразование, получим для H(z)
следующее выражение
2
1
M
a  a z  ....  a z
H(z) 
1  b z  b z  ....  b
0
1
1
M
2
1
2
N
z N
2 Импульсная характеристика g(nT) – отклик на единичный импульс.

H(z)   g(nT )z  k
k 0
Соответственно системная функция H(z) является Z-преобразованием импульсной
характеристики g(nT).
Выходной сигнал цифрового фильтра может быть найден как дискретная свертка
входного сигнала и импульсной характеристики:


k 0
k 0
y(nT )   x (kT)g(nT  kT)   x (nT  kT)g(nT )
3.Частотная характеристика цифрового фильтра

 ()   g (kT)  jkT
K
e
k 0
Между частотной характеристикой фильтра и его системной функцией существует простая связь:
 ()  H(e jT) ,
K
поэтому
 jT  .... 
a M e jMT
 ()  a 0  a1e
.
K
1  b1e jT  .... b N e jNT
Частотная характеристика цифрового фильтра имеет некоторые специфические свойства. Главное из них – это периодичность. K () является периодической
функцией с периодом 2π/T=ωд, где ωд – частота дискретизации. Центральная часть
частотной характеристики при –π/T<ω<π/T повторяет частотную характеристику
фильтра – прототипа, аналогичного данному цифровому фильтру.
Задачи.
1. Системная функция фильтра
H( z) 
1
1  0.5z 1
Запишите алгоритм работы этого фильтра (разностное уравнение) и нарисуйте эквивалентную схему этого алгоритма. Выведите формулу частотной характеристики K () , рассчитайте и постройте график функции K () .
Решение.
H(z) 
3
1
1  0.5z
1

Y(z)
, поэтому: Y(z)  0.5Y(z) z 1  X(z) или
X(z)
y(nT )  x (nT )  0.5y(nT  T)
Этому алгоритму соответствует эквивалентная схема
x(nT)
Σ
y(nT)
z-1
0.5
1
Частотная характеристика фильтра
 () 
K
1
1


j

T
1  0.5(cos T  jsin T)
1  0.5 e
Амплитудно – частотная характеристика фильтра
 () 
K
1
(1  0.5 cos T) 2  (0.5 sin T)2
Как следует из графика АЧХ фильтра, анализируемый фильтр является
фильтром нижних частот.
 ( T )
K
ωT
2. Найдите z – преобразование последовательности отсчетов из прямоугольного импульса s(n)=U0, n=0, 1, 2,….N-1, N=9.
Указания.
Можно рассмотреть прямоугольный импульс как разность двух скачков.
Ответ. S(z)  U0
z
z
9
 U0
. Первое слагаемое в правой части полученz
z 1
z 1
ного выражения есть z – преобразование отсчетов из сигнала s(t)=U0, t0, а второе
– z – преобразование отсчетов из того же сигнала, задержанного на N шагов дискретизации.
4
3. Найдите отсчеты s(n) сигнала, z – преобразование которого
S(z)=2-z-2+3z-5.
Ответ. S(n)=21(n)-1(n-2)+31(n-5).
3
2
1
0
n
5
-2
4. Алгоритм работы цифрового фильтра описывается разностным уравнением y(nT)=x(nT)-x(nT-T). Нарисуйте схему фильтра и найдите его импульсную характеристику g(nT).
Ответ. Импульсная характеристика фильтра g(nT)=δ(nT)-δ(nT-T), т.е.
g(0)=1, g(T)=-1, g(nT)=0 при n2
Схема фильтра имеет вид
Σ
z-1
-1
5. Определите системную функцию фильтра
Σ
-b1
Ответ: H(z) 
5
1
.
1  b1 z 1
z-1