Мадорский статья Надежда

УДК 517.518.948
В.М. Мадорский
О ЧАСТИЧНО РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ С
НЕГЛАДКИМ ОПЕРАТОРОМ
В
работе
рассматриваются
нелокальные
частично
регуляризованные
сверхлинейные
n
итерационные процессы для решения уравнения f ( x)  0 в пространстве R . Ряд предлагаемых
к рассмотрению методов сходится к решению уравнения локально с кубической скоростью.
Процессы сходятся высокоточно к решению операторного уравнения с «плохого» начального
приближения.
Рассматривается нелинейное операторное уравнение

f ( x)  0 ; f  D  R n  R n

(1)
В работе [2] был исследован нерегуляризованный полулокальный итерационный
процесс с непрерывным оператором и доказана его локальная кубическая скорость
сходимости. Тем не менее, рассмотренный в [2] итерационный процесс, имея тот
недостаток, что в рассматриваемой области S  x0 , r  должен был быть равномерно
ограничен оператор, обратный оператору первой разделенной разности оператора
f  x  . В настоящей работе мы попытаемся избавиться от этого обременительного
условия.
f  CD ;
Относительно
оператора
полагаем,
что
и
f


f ( xn ) E  f  xn , z n 
2
2
n
1
 B , xn , z n  D .
Для решения уравнения (1) используем следующий итерационный процесс:

Шаг 1

f xn  E  f xn , z n  yn   f xn  ;
y n  xn  y n , z n  xn   n f  xn   0  1e  3,1e  1

2
2
n

f xn  E  f xn , z n  xn   n  f xn    n f  yn 
xn1  xn  xn
Шаг 3
Шаг 4 if f xn1     1 GO TO выход
Шаг 2
else
2
2
n
 n f  xn 
  n f  xn1 

 n1  min 1,

 f  xn 
2
,  n1  n
,  0  0

f  xn1 

(2)
(3)
(4)
(5)
и GO TO шаг 1.
Начнем доказательство с проверки релаксационности процесса (2)-(5), для чего
предварительно найдем некоторые оценки. Используя теорему о среднем для
непрерывных операторов f ( x)  f  y   f  y, z  x  y   k x  y x  z , имеем
f ( yn )  f  xn   f  xn , zn  yn  xn   k yn  xn y n  zn 



 f  xn   n2 f  xn  E  f  xn , zn   n2 f  xn  E  yn  xn  
2
2
 K yn  xn yn  zn  n2 f  xn  yn  K yn yn   n f  xn  
2
(6)


 n2 f  xn  B  KB f  xn  *  n2 f  xn  E  f  xn , zn 
3
2

1
f  xn    n f  xn  

 n2 f  xn  B  KB 2 f  xn  * E   n n2 f  xn  E 
3
2
2
 n2 f  xn  B  KB 2 f  xn  C   n f  xn  .
3
2
Здесь введены оценки
2


E   n n2 f xn  E  C ,
2
 n  n2 f xn   KB2C  n f xn   KB2C   .
С учетом оценки (6) и теоремы о среднем, имеем:
f xn 1   f xn   f xn , zn xn 1  xn   K xn 1  xn xn 1  zn 


 f xn   n f xn  E  F xn , zn   n f xn  E xn 1  xn  
2
2
2
2
 K xn xn 1  xn   n f  xn   n f  xn  xn 
2
2
(7)
 f  xn    n f  xn    n f  yn   K xn *
2

   f x   
* n f  xn  E  f  xn , zn 
2
2
1
n
n
2
n

f  yn    n f  xn  
 1   n  f  xn    n2 f  yn   K xn *


* B  n f  xn    n f  yn    n f  xn  n f  xn  E  f  xn , zn  
2
2
2
 1   n  f  xn    n2 f  y n   K xn  K xn  n f  xn  *


* B E   n n f  xn    n f  xn  E  f  xn , z n  
2
2
 1   n  f  xn    n2 n f  xn   K xn B n n f  xn   C  n f  xn 
2
Так как xn  B

f xn    n f  yn 
2
n
, окончательно имеем (8)
f  xn1   1   n  f  xn    n2 f  xn  
2

 

 KB 2  n f  xn    n2 f  xn   n f  xn   n  f  xn   C 
2
 1   n  f  xn    n2 f  xn  *
2



(8)
 
*   KB 2  n f  xn    n f  xn   n f  xn   C 
 1   n 1   n  f  xn   qn f  xn 
Здесь


 
 n   n f xn  D ;   KB2  n f xn   n f xn  n f xn   C  D .
Из (5) имеем, что
(9)
 n1 f xn1    n f xn  ; n  0,1.
Тогда из последнего соотношения следует, что  i   0 , где  0   0 f  x0  D .
Если  0  1 , а этого всегда можно добиться за счет выбора  0 , то все  i  1 и qi  1 .
f  x1  q 0 f  x0  , q0  1 , а из (9) при
Так как из (8) следует при n  0 , что
n  0  i f  x1    0 f  x0  , то  i   0 , тогда
q1  1  1 1   1   1   i 1   0   q0 .
Применяя метод математической индукции, получим, что последовательность
итерационных параметров qi , монотонно убывая, стремится к нулю.
Переходя к пределу в (8) при n   , имеем
n
lim f xn1   lim  qi f x0   0 .
n
n
(10)
i 0
Из (10) следует, что последовательность элементов x i , порождаемых процессом
*
(2)-(5), стремится к x – решению уравнения (1), если такое решение в D существует.
Аналогично тому, как это было сделано в работах [1,2], показываем, что
существует такой номер n0 , что для i  n0 все  i становятся равными единице.
i
Пусть
становятся
равными
единице,
тогда
операторы
n2 f xn  E  f xn , z n  вблизи решения становятся близкими к операторам
2
первой разделенной разности f  x n , z n  и, как показано в работе [2], процесс шаг 1 –
шаг 4 переходит в процесс с кубической скоростью сходимости.
Исходя из вышеизложенного может быть сформулирована
Теорема.
*
Пусть в интересующей нас области D x – решение уравнения (1) с
непрерывным оператором f существует. Тогда, если начальное приближение x0 и
начальная шаговая длина
 0 таковы, что  0   0 f x0  D  1, итерационный процесс
*
(2)-(5) со сверхлинейной (локально с кубической скоростью) сходится к x .
Вполне аналогично тому, как это было сделано в работах [1,2] показывается, что
все элементы xi , yi , zi , участвующие в итерационном процессе (2)-(5) не выходят за
пределы сферы S  x0 , r  .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Мадорский, В.М. Квазиньютоновские процессы для решения нелинейных
уравнений / В.М. Мадорский – Брест:БрГУ, 2005 – 186с.
2.
Мадорский, В.М. Нелокальные нерегуляризованные итерационные
процессы, локально сходящиеся с кубической скоростью/ В.М. Мадорский // Веснiк
Брэсцкага унiверсiтэта. Серыя 4: Фiзiка, Матэматыка – 2012. - №2. – С. 89-95с.
V.M. Madorski Nonlocal in part regulariside iterative processes locally converse
with cubic speed
Unlocal superlinear in part reguliside iterative processes for the solution of f ( x)  0
equation in space R n are considered in the article. A number of suggested methods meet
locally with cubic speed. The processes converge to exact solution of the operator equation
from the «bad» initial approximation.