Федеральное агентство связи Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Инфор- матики

Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Контрольная работа №3
По дисциплине:
Физика
Выполнил: Чижик Илья
Группа: ПБТ-22
Вариант: 4
Проверил:
Новосибирск, 2013
Задача 504.
Материальная точка совершает простые гармонические колебания, так,
что в начальный момент времени смещение Хо=4 см, а скорость u0=10
см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу φ0 колебаний, если их
период Т=2 c.
Дано:
Хо=4 см;
V0=10 см/с;
Т=2 c
Найти: А-?; φ0-?
Решение
Если система совершает колебания под действием сил, развивающихся в самой
колебательной системе без внешних воздействий и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями.
Дифференциальное уравнение, соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон
Ньютона ma = F.
Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени
а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых
смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как
получим
или
Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая
производная от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой
или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное
уравнение к виду:
Величина
обозначим ее
получим
Решением дифференциального уравнения такого вида являются уравнения:
или
Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить
смещение х пружинного маятника в любой момент времени.
2
Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.
Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет
т.е
Уравнение гармонических колебаний
где: х- смещение колеблющейся величины, А – амплитуда колебаний, ω0t + a1 – фаза колебаний, ω
– циклическая частота, a- начальная фаза определяет положение маятника в
начальный момент времени (t = 0).
Скорость колебаний маятника есть первая производная по времени от смещения:
V= = = A*ω*cos(ω*t+a0)
В начальный момент t=0 имеем х0= Аsin(a0) и V0 = Aω*cos(a0)
Поделим начальное смещение на скорость и получим
=
= .
Циклическая частота равна по определению ω = , где Т – это период.
Поэтому
Начальная фаза равна а0 = arctg () подставляем числа
а0= arctg () = 51.50
Теперь найдем амплитуду. Умножим х0= на ω возведем все в квадрат и сложим с V0= , возведем в квадрат. Получим следующее + = (
Так как + = 1, то + =
Откуда амплитуда равна:
А= = Подставляем числа:
А= 5.11 см
514. Гармонические колебания в электрическом контуре начались (t= 0)
при максимальном напряжении на конденсаторе Um=15 B и токе, равном
нулю на частоте ν =0,5 МГц. Электроемкость конденсатора С =10 нФ. Записать уравнение колебаний тока в контуре.
Дано:
U m  15B
I 0
  0,5МГц
С  10нФ
t0
Решение:
Уравнение колебаний тока в контуре из конспекта лекций выглядит
I  I m sin( 0t   )
где,
3
I m  0Qm - амплитуда силы тока
Q  U mC - заряд конденсатора
0  2
(0t   ) – фаза колебаний – величина, определяющая заряд конденсатора в
любой момент времени t;
 – начальная фаза определяет заряд конденсатора в начальный момент времени. В нашем случае (t = 0)   0
Уравнение колебаний тока в контуре примет вид:
I  I m sin( 0t   )  0Qm sin( 2t   ) 
 2U mC sin( 2t   )
Подставим значения из условия задачи в начальный момент времени
I  2U mC sin( 2t ) 
 2  3,14  0,5  106  150 10 9 sin( 2 0,5  106  0) 
0
В начальный момент времени (t = 0), колебания еще не начались поэтому
I 0
Ответ: Уравнение колебаний тока в колебательном контуре
I  2U mC sin( 2t   )
Задача 524.
Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых
уравнениями
где A1=1 cм, А2=1 см ω1=0,5 с-1,
ω2=1 с-1.Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.
Дано:
x1= A1sinω1t и x2 = A2cosω2t
A1=1 cм, А2=1; ω1=0,5 с-1, ω2=1 с-1
Траектория-?
Решение
x1= 1sin0.5t
x2 = 1cos1t
sinω1t = ; cosω2t =
В силу основного тригонометрического тождества:
4
sin2ωt+ cos2ωt = 1,
то есть + = 1 – это эллипс.
Из этого уравнения видно что радиус эллипса вдоль х равен 1 см и вдоль y = 1
см.
Найдем направления движения, последим за тем, как изменяется ее положение
с течением времени:
В момент t = 0 получаем:
х(t=0) = 0 см, а y(t=0) = 1см, т.е точка находится на оси Y.
В момент t = �/2 получаем: х(t= �/2) = 1 см, а y(t= �/2) = 0см.
Т.е точка находится на оси Х. Из этого делаем вывод, что точка движется от
оси Y к оси Х. т.е по часовой стрелке.
Задача 534.
Колебательный контур содержит конденсатор емкостью 1,2 нФ, катушку
индуктивности 6 мкГн и активное сопротивление 5 Ом. Определить: 1)
коэффициент затухания колебаний в контуре, 2) логарифмический декремент и добротность контура.
Дано:
С =1,2 нФ 1,2*10-9 Ф
L = 6 мкГн 6*10-6Гн
R= 5 Ом;
Q-?
Решение
Коэффициент затухания в контуре можем определить как:
= = = 0.42*106 с-1
Логарифмический декремент затухания λ найдем как:
λ = *Т, где Т – период затухающих колебаний
Т= = =
= 5.33*10-7 с-1
Тогда λ = 5.33*10-7*0.42*106 = 0.224 ;
Добротность контура Q, по определению :
Q = = = 14
Ответ: = 0.42*106 с-1; λ= 0.224 ; Q =14.
5
Задача 544.
Уравнение незатухающих колебаний дано в виде: Y=cos0,5πt мм. Найти
смещение и скорость колеблющейся точки, отстоящей от источника на
расстоянии 250 м, в момент времени t=1,5 с. Длина волны равна 1000 м.
Дано :
Y=cos0,5πt мм;
d = 250 м,
λ = 1000 м,
t=1,5 с
y(t)-?
V(t)-?
Решение
Имея уравнение незатухающих колебаний y = cos0,5πt мм, можем записать
уравнение распространение волны, как y (х,t) = cos(0,5πt-kх);(1)
Где к – волновое число;
К=
- длина волны.
Таким образом (1) примет вид:
y (х,t) = cos(0,5πt -)
Для точки d в момент t0:
y (d,t0) = cos(0,5πt0 -) =
= cos(0,5π1,5 -) = 0.71мм = 0.71*10-3м;
Закон изменения скорости точки можем найти, как:
V (х,t) = = - 0,5πsin(0,5πt -):
V (d,t0) = - 0,5πsin(0,5π1,5 -) = -1,1м/c
Ответ: y (d,t0)= 0.71*10-3м; V (d,t0) = -1,1м/c.
Задача 604
На стеклянную пластину положена выпуклой стороной плосковыпуклая
линза. Сверху линза освещена монохроматическим светом длиной волны
λ = 500 нм. Найти радиус R линзы, если радиус четвертого, темного кольца Ньютона в отраженном свете г4 = 2 мм.
Дано:
λ=500 нм;r4 = 2мм
R-?
Решение
6
Найдем оптическую разность хода ∆. Так как при отражении от границы воздух-стекло фаза меняется на �(потеря полуволны), а при отражении от границы стекло-воздух фаза не меняется, то оптическая разность хода ∆ равна:
∆ = 2*n*m +, где n – показатель преломления воздуха(n=1), m- расстояние
между линзой и плоскостью для m-го кольца. Для того чтобы кольцо было
темным необходимо, чтобы
∆= , то есть при толщине m = = . Радиус rm m-го кольца определяется из треугольника А’O’C’;
= R2 – (R - m)^2 ≈ 2*R*m = 2*R* . Откуда R =
R= = 2м
Ответ: R = 2м
Задача 614.
. На дифракционную решетку, содержащую n = 600 штрихов на миллиметр длины, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помещенной, вблизи решеткилинзой на экран. Определить длину l спектра
первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана L=l,2 м.
Границы видимого спектра λ кр=400нм, λф=400 нм.
Дано:
N = 600; i=1мм; L = l,2 м; λ кр=400нм, λф=400 нм.
∆х-?
Решение
Условие главных максимумов при дифракции света на дифракционной решетки d*sin = , где d – период решетки. Нам известно, что к=1(первый порядок),
поэтому d*sin = .
7
Число штрихов N на длине 1 равно N = , откуда d =, и ,
Из рисунка видно, что длина спектра равна ∆х = (tg - tg)*L , где - максимум
первого порядка для красного света, - максимум первого порядка для фиолетового света.
Для фиолетового края спектра = = = 0.24, откуда = 13.90.
Для красного спектра = = = 0.24, откуда = 13.90.
Тогда ∆х = (tg13.90 - tg13.90)*1.2 м = 0см
Задача 624.
При прохождении света через трубку длиной l1 = 20 см, содержащую раствор сахара концентрацией С1 = 10%, плоскость поляризации света повернулась на угол φ1= 13,3°. В другом растворе сахара, налитом в трубку
длиной l2=15 см, плоскость поляризации повернулась на угол φ2 = 5,2°.
Определить концентрацию С2 второго раствора.
Дано:
φ1= 13,3°. l1 = 20 см, С1 = 10%, φ2 = 5,2°; l2=15 см.
С2 -?
Решение
В случае раствора угол поворота плоскости колебаний света, проходящего через слой толщиной L, вещества концентрацией C равен:
φ = а *С*L. Откуда φ1 = а *С1*L1, поэтому а = .
С другой стороны φ2 = а *С2*L2, откуда концентрация равна :
С2 = . = . *C1,
Подставляем числа:
С2 = * 10% = 5.2%
Ответ: С2 = 5.2%.
8