Пошаговая инструкция к решению задач по теме плоскость»

Пошаговая инструкция к решению задач по теме
«Неравенства с двумя переменными. Координатная
плоскость»
УМК Мордкович, алгебра,9, учебник для углубленного изучения математики
Звавич Л.И. и др., Задачник по алгебре для учащихся 9 классов с углубленным изучением
математики (Мнемозина, 2008)
Справочные материалы
Графики уравнений:
1. ax  by  c - прямая. Соответственно, решением неравенства ax  by  c , является
полуплоскость, лежащая ниже или выше этой прямой.
k
2. xy  k - гипербола, т.к. отсюда y  . Эта гипербола делит плоскость на 3 (!!!) области,
x
поэтому знак неравенства надо проверять в каждой из них.
3. x  y 2 - «лежачая парабола», т.е. парабола, повернутая на 90  по часовой стрелке.
Делит плоскость на 2 части (внутри параболы и вне ее.)
4. x 2  y 2  R 2 - окружность с центром в начале координат, радиуса R (где R>0).
Решением неравенства x 2  y 2  R 2 является круг (т.е. вся область, лежащая внутри
окружности, вместе с границей), а неравенства x 2  y 2  R 2 - область вне круга.
5. x  y  a - при а > 0 – квадрат с вершинами в точках (а;0), (0; а), (-а; 0), (0; -а).
Соответственно, решением неравенства x  y  a является область внутри квадрата, а
неравенства x  y  a - область вне квадрата.
Преобразования графиков:
1. Чтобы построить график уравнения f(x-a; y-b)=0, надо сначала построить график
уравнения f(x; y)=0, а затем сместить его на а единиц по оси Ох, и на b единиц по оси Оy.
2. Чтобы построить график уравнения f  x , y   0 , надо выполнить симметрию графика
уравнения f(x; y)=0 относительно оси Оy (не забыв при этом стереть часть исходного
графика, лежащую левее оси Оy).
3. Чтобы построить график уравнения f x, y   0 , надо выполнить симметрию графика
уравнения f(x; y)=0 относительно оси Ох (не забыв при этом стереть часть исходного
графика, лежащую ниже оси Ох).
4. Соответственно, чтобы построить график уравнения f  x , y   0 , надо сначала
построить график уравнения f(x; y)=0 (т.е. убрать все модули) в первой четверти, а затем
выполнить симметрию этого графика относительно всех осей.
Неравенства с двумя переменными.
Чаще всего для решения используют «метод областей». То есть сначала в неравенстве
заменяют знак неравенства на знак «=» и изображают полученный график на
координатной плоскости. Затем «методом пробной точки» проверяют знак неравенства в
каждой из образовавшихся областей.
Кроме этого, отдельно можно рассмотреть неравенства вида y  f (x) и y  f (x) . Для их
решения сначала строят график функции y  f (x) . Тогда решением первого неравенства
будут точки, лежащие ниже этого графика, а решением второго, соответственно, точки,
лежащие выше.
f ( x, y )
Можно еще выделить неравенства вида
 0 . (Знак неравенства может быть и
g  x, y 
другим). Чтобы его решить, нужно сплошной линией изобразить график уравнения
f ( x)  0 и пунктирной линией - график уравнения g ( x )  0 и проверить знак неравенства
в каждой получившейся области(выбрав любую точку из каждой области).
Пример 1.
№ 9.20 (г) (Мордкович, алгебра,9, учебник для углубленного изучения математики)
x  3 a 1

 1 и определите все значения а, при
Изобразите решение неравенства
2
5
которых данное неравенство имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Данное неравенство равносильно следующему: 5 x  3  2 a  1  10 .
1. Построим график уравнения 5 x  3  2 a  1  10 .
Для этого сначала построим график уравнения 5 x  2 a  10 .
а) В свою очередь, для построения этого графика воспользуемся правилом 4
преобразования графиков. Здесь f(x; a) = 5x + 2a . Графиком этого уравнения является
прямая, пересекающая оси координат в точках (2, 0 ) и (0, 5). Т.к. мы рассматриваем
случай без модулей (т.е. x  0 и y  0 ), то возьмем только часть этой прямой,
лежащую в первой четверти.
a
5
О
2
x
б) чтобы построить график уравнения 5 x  2 a  10 , выполним симметрию
полученного отрезка относительно всех координатных осей и начала координат.
Получим ромб с «центром» в начале координат.
a
5
-2
x
О
2
-5
б) Теперь сместим этот график на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.
4
О 1
-1
3
5
x
-6
Получили график уравнения 5 x  3  2 a  1  10
2. Видим, что координатная плоскость оказалась разбита на 2 области, внутри ромба
и вне его. Видим, что, например, точка (3,-1) принадлежит внутренней области.
Подставим ее координаты в неравенство. Убеждаемся, что неравенство в данной
точке выполнено. Значит, все точки этой области удовлетворяют неравенству. Для
проверки подставим и точку из внешней области в неравенство. Например, это
точка (0, 8). При данных значениях переменных неравенство обращается в
неверное числовое неравенство, а, значит, никакая точка из внешней области не
удовлетворяет неравенству. Окончательно получаем, что решением неравенства
является «внутренность» ромба . Показываем это штриховкой.
4
О 1
-1
-6
а
3
5
x
3. Теперь надо ответить на второй вопрос задачи. Проводя горизонтальные прямые
при различных значениях а, видим, что данное неравенство имеет хотя бы одно
решение при a   6, 4.
а
4
О 1
-1
a=4
3
5
x
-6 < a < 4
a = -6
-6
Ответ: данное неравенство имеет решение при a   6, 4
Пример 2. Изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих
2
2

x  2   y  3  16
неравенству
 0.
2
x   y  1
Решение
1. Построим линии, ограничивающие график неравенства. Это будут линии, которые
являются изображением множеств тех точек, в которых числитель и знаменатель
обращаются в 0. Т.е. построим графики уравнений
x  22   y  32  16 (А)
и x   y  1 (Б)
А) Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (2, -3) и радиусом,
равным 4 – изображается сплошной линией, т.к. неравенство нестрогое.
Б) График этого уравнения – «лежачая парабола», опущенная на 1 единицу вниз –
изображается пунктирной линией в силу области определения неравенства.
y
2
O
x
2. Пусть f ( x, y )  x  2   y  3  16 , g ( x, y )  x   y  1 . Тогда наше неравенство
f ( x, y )
принимает вид
 0.
g  x, y 
Окружность и парабола разбивают координатную плоскость на 4 области.
2
2
2
Заметим, что область внутри окружности соответствует неравенству
x  22   y  32  16 , т.е. f ( x, y )  0 . Область вне окружности – неравенству
x  22   y  32  16 , т.е.
f ( x, y )  0 .
Аналогично, область «внутри», или правее параболы соответствует неравенству
2
2
x   y  1 или g ( x, y )  0 , а область «вне», или левее параболы – неравенству x   y  1
или g ( x, y )  0 .
y
O
II
IV
I
x
III
f ( x, y )
в каждой из областей.
g  x, y 
Точки, принадлежащие области I, лежат внутри параболы, но вне круга, значит, для этих
точек выполняется g ( x, y )  0 и f ( x, y )  0 . Значит, для всех этих точек выполняется
f ( x, y )
 0 , и область I является решением неравенства.
g  x, y 
f ( x, y )
В области II g ( x, y )  0 , но f ( x, y )  0 , значит,
 0 и неравенство здесь не
g  x, y 
выполняется.
f ( x, y )
В области III g ( x, y )  0 и f ( x, y )  0 , тогда
 0 . Значит, область III тоже входит в
g  x, y 
решение неравенства.
И, наконец, в области IV g ( x, y )  0 и f ( x, y )  0 , т.е. дробь неположительна и
неравенство не выполнено.
Таким образом, решением неравенства является объединение областей I и III.
3. Выясним, какой знак принимает дробь
y
O
II
IV
III
I
x