Федеральное агентство по образованию РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет УТВЕРЖДАЮ Декан АВТФ _____________С.А. Гайворонский «___»_________________2010г. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Методические указания к выполнению лабораторной работы № 3 «Моделирование оптимального распределения ресурсов между отраслями» по дисциплине «Экономико-математическое моделирование» для студентов специальности 061800 «Математические методы в экономике» Томск 2010 УДК 004.94:658.01 ББК 65.050.03 Экономико-математическое моделирование. выполнению лабораторной работы № Методические указания к 3. «Моделирование оптимального распределения ресурсов между отраслями» по дисциплине «Экономикоматематическое моделирование» для студентов специальности 061800 «Математические методы в экономике». – Томск: Изд. ТПУ, 2010. - 7с. Составитель – доц. канд. техн. наук Ю. В. Бабушкин А.Г.Новикова Резензент – профессор, д.ф.м.н. Коваль Т.В. Методические методическим указания рассмотрены семинаром кафедры и рекомендованы прикладной «___»_________2010г. Зав. кафедрой Проф. д-р физ. -мат. наук _________________Григорьев В.П. к изучению математики Лабораторная работа № 3 Тема. Моделирование оптимального распределения ресурсов между отраслями Цель работы. Исследование влияния коэффициентов модели на принятие решений при распределении ресурсов между отраслями. 1. Общие теоретические положения Планируется деятельность двух отраслей производства на n лет. Начальные ресурсы, предназначенные для инвестиций, составляют величину S0. Средства x, вложенные в первую отрасль в начале года, дают в конце года прибыль f1(x) и возвращаются в размере q1(x)<x; аналогично для второй отрасли функция прибыли равна f2(y), а возврата – q2(y)<y. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между 1 и 2 отраслями. Предполагается, что новые средства и полученная прибыль в производство не вкладываются. Требуется распределить имеющиеся средства S0 между двумя отраслями производства на n лет так, чтобы суммарная прибыль от обеих отраслей за n лет оказалась максимальной. 2. Математическая модель системы Прибыль, получаемая в конце года от отрасли 1 f1 ( x ) k f x . (1) Прибыль, получаемая в конце года от отрасли 2 f2 ( y) k f y . (2) Средства, возвращаемые для распределения в начале следующего года от отраслей q1 ( x) kq x , ( q1 ( x) x ) q2 ( y ) k q y , ( q2 ( y) y ). (3) Начальные ресурсы к распределению - S 0 . Прибыль, получаемая от двух отраслей f ( x, y ) f 1 ( x ) f 2 ( y ) k f x k f y . (4) Общие средства, возвращаемые к распределению S ( x, y ) q1 ( x) q2 ( y ) k q x k q y . (5) Требуется построить управление распределением ресурсов таким образом, чтобы прибыль, получаемая за n лет, была максимальной. 1 2 1 2 1 1 2 2 3. Построение модели динамического программирования Процесс распределения средств между двумя отраслями разворачивается во времени. Решение принимается в начале каждого года, следовательно, осуществляется деление на шаги: номер шага – номер года. Управляемая система- две отрасли производства, а управление состоит в выделении средств каждой отрасли в очередном году. В качестве переменой состояния модели выберем количество средств, подлежащих распределению к началу k-го года - S k 1 (k=1,2, …, n). Количество переменных управления на каждом шаге две: xk – количество средств, выделенных первой отрасли и yk – 2-ой отрасли. Уравнение состояний (7) S k q1 ( xk ) q2 ( yk ) выражает сумму средств, возвращенных в конце k-го года. Показатель эффективности k-ого шага – прибыль, получаемая в конце k-ого года от обеих отраслей (8) Z k f1 ( xk ) f 2 ( y k ) . Суммарный показатель эффективности – целевая функция задачи – прибыль за n лет n n k 1 k 1 Z Z k ( f1 ( xk ) f 2 ( yk )) (9) должна быть максимальной. 4. Построение вычислительной схемы Пусть Z k ( S k 1 ) - условная оптимальная прибыль за (n-k+1) лет, начиная с kого года до n-ого года включительно, при условии, что имеющиеся на начало k-го года средства S k 1 в дальнейшем распределены оптимально. Тогда, оптимальная прибыль за n лет - Z max Z1* ( S 0 ) . Уравнения динамического программирования (уравнения Беллмана) имеют вид (10) Z n ( S n1 ) max f1 ( xn ) f 2 ( yn ) , xn , yn k Z ( S n1 ) max f1 ( xn ) f 2 ( yn ) Z k1 ( S k ) , xk , yk (11) (k=n-1, n-2, …, 1). 5. Тестовый пример Исходные данные: S0=10 тыс. ед., n=4 года, k f 0,6 , k q 0,7 , k f 0,5 , k q 0,8 . Решение. Уравнения состояний имеет вид S k k q1 xk k q2 y k , k 1, n , где yk S k 1 xk , т.к. все средства Sk-1 распределяются между отраслями. В нашем случае 1 2 S k 0.7 x k 0.8(S k 1 x k ) 0.8S k 1 0.1x k Целевая функция k-го шага 1 2 Z k k f1 xk k f 2 yk k f1 xk k f 2 ( S k 1 xk ) 0.6 xk 0.5 * ( S k 1 xk ) 0.1xk 0.5S k 1. Целевая функция задачи 4 Z 0.5S k 1 0.1xk . k 1 Функциональные уравнения Z 4* ( S3 ) max 0.5S3 0.1x4 , 0 x4 S3 и Z k* ( S k 1 ) max 0.1xk 0.5S k 1 Z k*1 ( S k ). 0 xk S k 1 Решаем пошаговую задачу 4 шаг. Z4 – линейная, возрастающая, т.к. угловой коэффициент 0.1 больше нуля. Поэтому максимум достигается на конце интервала [0; S3] (рис. 1). Следовательно, Z 4* ( s3 ) 0.6S 3 при x 4* ( S 3 ) S 3 . 3 шаг. Уравнение Z3* ( s2 ) max 0.1x3 0.5S2 0.6S3 . Рис. 1. 0 x3 S2 Найдем S3 из уравнений состояний (1): S3 0.8S 2 0.1x3 и, подставив его выражение в правую часть уравнения, получим Z 3* ( S 2 ) max 0.1x3 0.5S 2 0.6(0.8S 2 0.1x3 ) , 0 x3 S 2 Z 3* ( S 2 ) max 0.04 x3 0.98S 2 . 0 x3 S 2 Как и в предыдущем случае, максимум достигается при x3=S2; т.е. Z 3* ( S 2 ) 1.02S 2 при x3* ( S 2 ) S 2 . 2 шаг. Из уравнения состояния: S2 = 0.8 S1 – 0.1 x2. Поэтому уравнение (3) при k=2 примет вид Z 2* ( S1 ) max 1.316S1 0.002 x2 . 0 x2 S1 Линейная относительно x2 функция Z ( S1 ) max 1.316S1 0.002 x2 убывает на отрезке [0; S1], и * 2 0 x S Рис.2. поэтому ее максимум достигается при x2=0 (рис. 2) * Z 2* (S1 ) 1,316S1 при x 2 ( S1 ) 0 . 1 шаг. S1 = 0.8 S0 – 0.1 x1. Уравнение (3) при k=1 имеет вид: Z1* ( S0 ) max {1,5528S0 0, 0316 x1} . 2 1 0 x1 S0 Как и в предыдущем случае, максимум достигается в начале отрезка, т.е. Z1* ( S 0 ) 1,5528S 0 при x1* ( S 0 ) 0 . На этом условная оптимизация заканчивается. В нашем случае S0=10 000, следовательно Z max Z1* (10000) . Таким образом, Z max 15528 . На основе приведенных расчетов получим x1* 0, y1* S0 10000 - все средства выделяются второй отрасли. Возвращенные средства после первого года S1* 0.8*10000 0.1* 0 8000 ед. x2* 0; y2* S1 8000 - все средства выделяются второй отрасли. Возвращенные средства после второго года S 2* 0.8 * 8000 0.1* 0 6400 ед. x3* 6400, y3* 0 - все средства выделяются 1 отрасли. Возвращенные средства после третьего года S 3* 0.8 * 6400 0.1 * 6400 4480 ед. x4* 4480; y4* 0 - все средства выделяются первой отрасли. Таким образом, оптимальная прибыль за 4 года, полученная от двух отраслей производства при начальных средствах 10 000 ед., равна 15 528 ед. при условии, что 1 отрасль получит по годам (0; 0; 6400; 4480), а вторая отрасль соответственно получит (10 000; 8 000; 0; 0) ед. 6. Варианты заданий Варианты заданий представлены таблице. Таблица № варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S0 11000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 50000 60000 70000 k f1 0,6 0,7 0,5 0,4 0,6 0,7 0,5 0,6 0,7 0,8 k f2 0,7 0,6 0,3 0,5 0,8 0,8 0,4 0,8 0,4 0,2 k q1 0,5 0,4 0,7 0,8 0,4 0,6 0,3 0,7 0,8 0,7 kq2 0,8 0,7 0,6 0,7 0,6 0,7 0,4 0,6 0,7 0,8 7. Задание на лабораторную работу 7.1. Составить модель динамического программирования для решения поставленной задачи согласно заданному варианту. 7.2. Разработать вычислительную схему. 7.3. Решить задачу для заданного варианта вручную. 7.4. В пакете программ “Компьютерное моделирование экономических систем” (Лабораторная работа N5) провести: - исследование влияния коэффициентов модели и начальных ресурсов на принятие решений при распределении ресурсов между отраслями на 4 года; - исследование влияния коэффициента дисконтирования на получаемую прибыль для заданных исходных данных. 7.5. Подготовить отчет и защитить у преподавателя. 8. Контрольные вопросы 8.1. Влияют ли начальные ресурсы S0 на принятие решений при распределении средств между отраслями? Если влияют, то как? 8.2. Изменится ли алгоритм решения задачи при увеличении (уменьшении) количества лет? 8.3. Можно ли использовать данный алгоритм, если средства требуются распределить между тремя, четырьмя и т. д. отраслями? 9. Требования к отчету Отчет должен содержать цель работы, постановку задачи, алгоритм решения задачи, исходные данные, результаты исследований и ответы на контрольные вопросы. Литература 1. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для Вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, Н.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407 с. 2. Бабушкин Ю.В., Новикова А.Г. Разработка программноалгоритмического обеспечения рабочего места математика-экономиста. Молодежь и современные информационные технологии. Труды конференции. Томск, изд. ТПУ, 2004 г. С. 139. Моделирование оптимального распределения ресурсов между отраслями Методические указания по выполнению лабораторной работы Составители: Бабушкин Юрий Владимирович Новикова Анастасия Геннадьевна Подписано к печати Формат 60 84/16. Бумага офсетная. Плоская печать. Усл. печ. л. Тираж 150 экз. Заказ . Уч.-изд.л. . Цена свободная. ИПФ ТПУ. Лицензия ЛТ № 1 от 18.07.94. Типография ТПУ. 634034, Томск, пр. Ленина, 30. .