содержание - Томский политехнический университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«Утверждаю»
____________
“__”________2008 г.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ПО МАТЕМАТИКЕ
для слушателей ЗФТШ «Перспектива»
Методические указания к выполнению индивидуальных заданий и
контрольных работ по школьной математике
Томск 2008
УДК 378.146:51:6813 Методические указания к выполнению
индивидуальных заданий и контрольных работ по школьной
математике для слушателей ЗФТШ «Перспектива»
// Составители: Филипенко Л.А., Филипенко Н.М.; Том. политех,
ун-т. – Томск, 2008. - 50 с.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию
методическим
семинаром
кафедры
высшей
математики
и
математической физики (протокол №111 от 29 августа 2008г.)
Зав. кафедрой, профессор, д.ф.-м.н.____________А.Ю. Трифонов
Аннотация
Пособие содержит примеры решения задач или рекомендации к их
выполнению.
Рассмотрены
задачи,
включенные
в
блоки
индивидуальных заданий, для самостоятельной проверки знаний
слушателями ЗФТШ «Перспектива».
 Томский политехнический университет
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение ……………………………………………………………
Глава 1. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ
БЛОКОВ 1,2 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
§1. Вычисления без калькулятора, алгебраические
преобразования ………………………………………….
§2. Линейные уравнения и неравенства, содержащие
переменную под знаком модуля ………………………...
§3. Системы линейных уравнений …………………………
§4. Системы линейных уравнений, содержащие параметр
§5. Задачи, связанные с квадратным выражением ………..
§6. Решение рациональных неравенств ……………………
§7. Построение графиков квадратных функций,
содержащих модуль ……………………………………
§8 Квадратные уравнения, содержащие параметр ……………
Глава 2. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ
БЛОКОВ 3,4 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
§1. Решение рациональных уравнений
со степенью n 2 ………………………………………….
§2. Решение нелинейных систем уравнений…..…………...
§3. Решение иррациональных уравнений и
неравенств……………………….…………….…………
§4. Прогрессии……………………………………………….
§5. Текстовые задачи………………………………………..
§6. Тригонометрические задачи………………….. ………..
Глава 3. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ
БЛОКОВ 5,6 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №3
§1. Производная функции, и ее
приложения……………………………………………….
§2. Первообразная функции. Определенный
интеграл…………………………………..…..…………...
5
Глава 4. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ
БЛОКОВ 7,8,9 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №4
§1. Показательные уравнения……………………………………….
§2. Показательные неравенства……………….. …………………...
§3. Решение системы показательных уравнений…………………..
§4. Логарифм числа…………………………………………………..
§5. Решение логарифмических уравнений…………………………..
§6. Решение логарифмических неравенств……..……………………
§7. Область определения функции. Графики функции……………..
§8. Задачи с параметрами………………………….…………………
Блоки 1,2,3,4,5,6,7,8,9……….……………………………………………..
Введение
Методическое пособие для слушателей ЗФТШ «Перспектива»
содержит необходимые теоретические основы для решения задач,
примеры их решения (или рекомендации к решению). Тематика задач
соответствует всем разделам школьного курса математики, за
исключением геометрии. Рекомендуемые задачи разбиты на девять
блоков в порядке их изучения в 9-11 классах школы и определяются
требованиями ЕГЭ последних лет. Уровень сложности задач можно
оценить как средний и выше. В конце пособия приведены блоки
указанных задач.
Глава 1. Рекомендации к выполнению задач блоков 1,2 и
контрольной работы №1.
В блоках 1,2 содержаться задачи, связанные с темами: вычисление без
калькулятора; алгебраические преобразования; линейные уравнения и
неравенства со знаком модуля; системы линейных уравнений; задачи
различной направленности, содержащие квадратное выражение;
рациональные неравенства.
§1. Вычисления без калькулятора, алгебраические преобразования.
Для решения задач на обозначенные темы необходимо знать
следующее:
I. Любое натуральное число представляется в виде суммы a - единиц,
b - десятков, c - сотен и так далее.
Пример. Доказать, что любое трехзначное число из
последовательных цифр после вычитания 12 равно первой
цифре, умноженной на 111. (задача 3 блока 1)
Решение: Условие: «трехзначное число состоит из последовательных
цифр» означает, что его можно записать в виде
100a  10(a  1)  a  2  111a  12 . Вычитая 12, получим 111a , то есть число,
равное первой цифре a, умноженное на 111.
Аналогично решаются другие задачи на натуральные числа.
II. Для выполнения расчетов без калькулятора необходимо уметь
переводить периодические дроби в обыкновенные. Удобнее всего это
делать по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии S 
a1
, где a1 - первый член прогрессии; q - знаменатель
1 q
прогрессии.
Рассмотрим такое задание на нескольких примерах:
Пример (а): (задача 5 блока 1)
0,2(1)  0,2111.....  0,2 
1
1
1
1
1
1


 .
,
,
, - члены
100 1000 10000
100 1000 10000
бесконечно убывающей прогрессии, где a1 
S
1
1
, q  . Тогда
100
10
1
1
1 10
1
1
2
1 19
: (1  ) 
  ; 0,2(1)  0,2 



.
100
10
100 9 90
90 10 90 90
Пример (д): (задача 5 блока 1)
23
23
23
1

 . a1 
; q
. Тогда
1000 10000
1000
100
3,1(23)  3,1232323.....  3,1 
S
23
1
23 100
23
23
1
23
122
61
: (1 
)


; 3,1(23)  3,1 
 3 
3
3
1000
100
1000 99 990
990
10 990
990
445
5
8
Пример. (( +2,708333…):2,5):((1,3+0,7(6)+0,(36)) 
110
1
) ;
2
401
(задача 8 блока 1)
Необходимо правильно и рационально выполнить цикл вычислений.
Прежде всего переведем периодические дроби в обыкновенные.
1)
2,708333.....  2,708 
2
708
3
6375
17 65
.

2
2

1000 9000
9000
24 24
2)
0,7(6)  0,7 
3)
0, (36) 
 5
 8
4)   
3
3
3 10
 5    2,708  4  
4
10 10
10 9
6 10
6
7
6
69 23
  0,7 




.
100 9
90 10 90 90 30
36 100 4

 .
100 99 11
65  2    13 23 4  110  1  80 2   401 110  1 4 2 1
    :
 

   :  
   :   1.
24  5    10 30 11  401  2  24 5   165 401  2 3 3 2
III. Для выполнения задач 9-13 блока 1 необходимо понимать, что
 a, a  0
a2  a  
. Тогда в задаче 9:
 a , a  0
( 2  3) 2 
2  3  ( 2  3 )  3  2 , так как
2  3  0.
Для формирования квадрата суммы или разности под знаком корня
необходимо представлять, что (a  b)2  a 2  2ab  b2 .
Пример. 5  2 6 (задача 10 блока 1)
5  2 6  (a  b) 2 , где a 2  b 2  5, 2 6  2ab . Необходимо подобрать a и b
так, чтобы сумма их квадратов равнялась 5.
 3  2  a 2  b2  5
6
.
2
2
1

6

a

b

7

Значит a  3; b  2 . Тогда 5  2 6  ( 3  2 ) 2 . Можно проверить,
возводя в квадрат, что это действительно так
В результате, 5  2 6  ( 3  2 )  3  2  3  2 , так как 3  2  0 .
Пример (задача 12 блока 1)
9  4 2  (1  2 2 )2  1  2 2  1  2 2 , так как a 2  b 2  9, 2ab  4 2 , то
1  2 2  a 2  b 2  1  8  9
ab  2 2  
.
2
2
2

2

a

b

4

2

6

IV. Для выполнения алгебраических преобразований необходимо знать
свойства степенных выражений и модификации формул сокращенного
умножения.
1
.
xn
a  1  ( a  1)( a  1) , используем a 2  b2  (a  b)(a  b) и условие
1) x  n 
2)
( a ) 2  a, ( b ) 2  b .
3) a a  a3 / 2  (a1 / 2 )3 , тогда
3
3
1
1
a a  b b  a 2  b 2  (a1 / 2 )3  (b1 / 2 )3  (a 2  b 2 )( a 2  ab  b 2 ) .
Пример. (
а 0 ,5  1
а 0 ,5  1
0 ,5
+ а 0 ,5  1 а
4 3
) (задача 15 блока 1)
1 а 1
.
Учтем, что a 0.5  a , a  1  ( a )2  12  ( a  1)( a  1) ;
3
Тогда
3
 a 1
a 1
4   ( a  1) 2  ( a  1) 2  4 

 
 


 a 1
 

a

1
a

1
a

1

 

3
 a  2 a  1  a  2 a  1  4   2(a  1) 3
 
 
  a  1   8 .
a

1


Пример. ( х х +1)( х 
3
1
х
)( х
3
 1 -1
) (з адача 16 блока 1).
х
3
Учтем, что x x  x 2 , а ( x 2 )2  1  x3  1. Тогда
1
1  x 3  1 
( x x  1)( x x  1)  x ( x 3  1)  x



( x x  1) x 


 1.

x  x 
x ( x3  1)
x ( x 3  1)

§2. Линейные уравнения и неравенства, содержащие переменную под
знаком модуля.
Для решения уравнений и неравенств со знаком модуля необходимо
использовать следующую схему решения.
1. Определить нулевые точки, приравняв нулю выражения, находящиеся
под знаком модуля.
2. Разделить числовую ось на интервалы полученными нулевыми
точками и решить уравнение или неравенство для каждого интервала,
убирая знак модуля в соответствии с правилом (п.III).
3. Полученное решение должно принадлежать рассматриваемому
интервалу, если решается уравнение. При решении неравенства
находится общий промежуток для полученного решения и интервала.
Пример. х+12-х-1=3х-8 ( задача 17 блока 1).
Нулевыми точками являются значения x  12 и x  1 . Рассматриваем
последовательно интервалы: (;12); [12;1); [1; ) . Нулевые точки
включаем в интервал, находящийся справа от нулевой точки.
В интервале (;12) : x  12  ( x  12) , так как при любом
x x  12  0; x  1  ( x  1) по той же причине. Тогда получается
4
5
уравнение:  ( x  12)  ( x  1)  3x  8  x   . Решение не принадлежит
промежутку (;12) .
В интервале [12;1) : x  12  x  12, x  1  ( x  1) . Уравнение
x  12  x  1  3x  8 имеет решение x  19 , не принадлежащее промежутку
[12;1) .
В интервале [1; ) : x  12  x  12; x  1  x  1. Уравнение
x  12  x  1  3x  8 имеет решение x  7 , и оно является решением
уравнения.
Пример. х-1+ х  5-2х-5 ( задача 19 блока 1).
5
2
Нулевыми точками являются значения x  1 и x  . Рассматриваем
5
5
2
2
x  1  ( x  1); 2 x  5  (2 x  5) . Решаем неравенство
решение для интервалов: (;1); [1; ); [ ; ) .
В интервале (;1) :
 x  1  x  5  2x  5 
x
 x  (0,5; )
1
. Общим решением 
находим
2
 x  (,1)
x  (0,5;1) .
5
2
x  1  x  5  2 x  5   1  0 , что означает x  R . Тогда решением системы
 x  R
5
 x  [1; 5 ) является x  [1; ) .
2

2
5
В интервале [ ; ) : x  1  x  1; 2 x  5  2 x  5 . Решаем неравенство
2
11

 x  (; 4 )
11
x  1  x  5  2x  5 и получаем решение x  . Для системы 
5
4
 x  [ ; )
2

5 9
решением является x  [ ; ) .
2 4
В интервале [1; ) : x  1  x  1; 2 x  5  (2 x  5) . Решаем неравенство
Собирая вместе полученные решения, которые имеют общие точки
x 1 и x 
5
, объединяем полученные промежутки в один x  (0,5;2,75) .
2
§3. Системы линейных уравнений
Для решения системы трех линейных уравнений будем
использовать метод исключения неизвестных.
2 x  3 y  z  4
Пример.  6 x  y  z  12 ( задача 1 блока 2).
4 x  2 y  2 z  0

1) Исключим неизвестное z из первого и второго уравнения:
2 x  3 y  z  4
. Для этого достаточно сложить эти уравнения

 6 x  y  z  12
(левые и правые части). Уравнение 8 x  2 y  8 или 4 x  y  4 будет
содержать только два неизвестных.
2) Аналогично исключим z из второго и третьего уравнений:
 6 x  y  z  12
. Первое уравнение умножим на 2 (обе части) для

4 x  2 y  2 z  0
того, чтобы коэффициенты при z были равны и
12 x  2 y  2 z  24
противоположны по знаку 
.
 4x  2 y  2z  0
3
Складывая эти уравнения, получим 16x  24 или x  .
2
3) Тогда из уравнения 4 x  y  4  y  2 . Зная x и y из любого
уравнения системы можно найти значение z  1 .
2 x  3 y  z  4

Пример.  6 x  y  z  12 ( задача 2 блока 2).
4 x  2 y  2 z  0

Исключаем y из уравнений один и два:
 x  y  z  3
. Для этого умножим уравнение один на (-2):

3x  2 y  3z  1
 2 x  2 y  z  6
. Суммируем уравнения и получаем x  5z  7 .

 3x  2 y  3z  1
Исключаем y из второго и третьего уравнений:
 3x  2 y  3z  1
. Суммируем их и получаем  2x  11z  7 .

 5 x  2 y  8 z  6
 x  5z  7
, умножая первое
 2 x  11z  7
Решаем систему из уравнений 
 2 x  10 z  14
получим
 2 x  11z  7
уравнение на 2 и суммируя: 
21z  21; z  1 . Подставляем z и находим x  2 (2 x  10  14) . Из
любого уравнения системы находим y  4 , подставляя
x  2 и z  1 (первое уравнение: 2  y  1  3 ).
§4. Системы линейных уравнений, содержащие параметр.
Для решения подобных задач необходимо знать, что линейная
 a1 x  b1 y  c1
a
b
(1) имеет единственное решение, при 1  1 ;
a2 b2
a2 x  b2 y  c2
a
b
c
имеет множество решений, если 1  1  1 и не имеет решений, если
a2 b2 c2
a1 b1 c1

 .
a2 b2 c2
система вида 
Во избежание ошибок при использовании метода подстановок,
которым чаще всего и решается система (1), можно освоить несложный
метод Крамера, использующий понятие определителя системы,
обозначение и вычисление которого следующее:  
a1
b1
a2 b2
 a1b2  a2b1 -
определитель системы. Тогда неизвестные x и y находятся в виде
x
с1
b1
c2
b2

;
y
a1
c1
a2
c2

, то есть в  последовательно заменяется первый
столбец (коэффициенты при x ) или второй столбец (коэффициенты при
y ) на столбец свободных членов системы (правая часть системы).
Вычисления определителей выполняют по тому же правилу, что и для  :
с1
b1
с2 b2
 с1b2  с2b1;
a1
c1
a2
c2
 a1c2  a2c1 .
3x  2 y  5
.
7 x  4 y  1
Решим методом Крамера систему без параметров: 

3 2
 3  4  7  (2)  26,
7 4
5 2
x
4
26

20  2 22 11

 ,
26
26 13
y
7 1
26

3  35  32  16
.


26
26
13
11
 16  33  32
 2  
 5 (верно)
13
13
 13 
11
 16  77  64
7   4  
 1 (верно).
13
13
 13 
Проверка: 1) 3 
2)
1
3 5
3x  (a  1) y  a  1
(задача 4 блока 2)
 (a  1) x  y  3
Пример. 
3
a 1

или
a 1
1
(a )( a  1)  3 . В результате a 2  1  3 или a 2  4 , то есть a  2 .
Единственное решение система имеет при условии
В помощь к выполнению подобных задач в контрольной работе решим
следующую задачу.
2 y  a  7 x
. Найти значение параметра a удовлетворяющее
5 y  2 x  3
Пример. 
условию x  2 y  2 .
Решение: Чтобы правильно найти  , необходимо всегда систему
7 x  2 y   a
.
 2 x  5 y  3
записывать в стандартном виде (1), то есть: 
a 2

7 2
3
5
 5a  6

;
 35  4  31 ; x 
2 5
31
31
y
7
a
2
3
31

21  2a
.
31
Условие x  2 y  2 ведет к решению неравенства
 5a  6 2(21  2a)

2
31
31
 5a  6  42  4a
14
 2   9a  48  62  a   .
31
9
14
9
Ответ: a  (; ) .
§5. Задачи, связанные с квадратным выражением.
Квадратное выражение ax 2  bx  c используется в различного вида
задачах: квадратных уравнениях, неравенствах, геометрическом
представлении функции y  ax 2  bx  c в виде параболы. Для правильного
решения задач необходимо знать:
b
a
c
 0.
a
Тогда при D  0 ( D - дискриминант уравнения) корни уравнения x1 и x2
c
b
определяются условием: x1 x2  и x1  x2   . Данные условия
a
a
1) Уравнение ax 2  bx  c  0 всегда можно привести к виду x 2  x 
используют для нахождения корней по теореме Виета.
Пример. Найти корни квадратного уравнения по теореме Виета:
х 2 -10х+9=0 (задача 8а блока 2). 3x 2  3x  36  0  x 2  x  12  0 ( D  0);
 3  4

x1 x2  12   4  3 . Выбираем сомножители, удовлетворяющие условию
 и т.д.
x1  x2  1 , то есть x1  4; x2  3 .
2) Разложение на сомножители: ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) возможно
только при D  0 .
3) Выделение полного квадрата означает приведение ax 2  bx  c к
виду a( x  k )2  d и выполняется по схеме:
2
2

b
c
b 
b2
c 
b  b 2  4ac

, где
x  )  a  x 



a
x



 
2


a
a
2
a
4
a
a
2
a
4
a





2
b
b  4ac
 k, 
 d . Практически, необходимо из выражения
2a
4a 2
ax 2  bx  c вынести множитель a , поделив на него все слагаемые,
затем разделить коэффициент перед x пополам и выделить квадрат
суммы или разности в зависимости от знака перед x , затем вычесть
a( x 2 
квадрат числа, закрытого в скобке и выполнить действия между
числами, после этого умножить на вынесенный множитель
полученные скобки () 2 и числовое значение вне скобок.
Пример.
2

3
1
3
9 1

2 x  3x  1  2( x  x  )  2  x      

2
2
4  16 2 

2
2
3
1
3
1
9 1
1
 2( x  ) 2  2   2( x  ) 2  ; Пояснение:     .
Если
4
16
4
8
16 2
16
перед x 2 множитель 1 , то выделение полного квадрата упрощается:
3
9
3
25
9
25
x 2  3x  4  ( x  ) 2   4  ( x  ) 2  ; (  4   ) .
2
4
2
4
4
4
4) Выделение полного квадрата помогает очень просто решить
геометрическую задачу по построению параболы, которая является
геометрическим образом квадратной функции y  ax 2  bx  c . Вершина
параболы находится в точке ( x0 , y0 ) , если уравнение параболы
привести к каноническому виду: y  y0  a( x  x0 ) 2 . Выделение полного
квадрата практически решает данную задачу:
y  a( x  k ) 2  d  y  d  a( x  k ) 2 .
Пример.
3
25
25
3
3
25
y  x 2  3x  4  y  ( x  ) 2 
 y
 ( x  ) 2 ; x0   ; y0   .
2
4
4
2
2
4
Кроме этого, можно использовать и известные формулы для
значений: x0 
b
и y0  y ( x0 ) . Для полного построения параболы
2a
необходимо также найти точки пересечения с осями координат:
OX : x1 и x2 - корни уравнения ax 2  bx  c  0 ; с OY  y (0)  c .
с
Направление ветвей определяется знаком множителя a перед x 2 .
Ветви расположены вверх при a  0 и вниз при a  0 .
5) Решение квадратного неравенства проще выполнять с помощью
схематического построения параболы, учитывая только направление
ветвей и существование корней уравнения ax 2  bx  c  0 , то есть
значений x1 и x2 .
Пример. Решить квадратное неравенство: 16х 2 -х-2-9х-3;
(задача 12(б) блока 2)
2
16 x  x  2  9 x  3  16 x 2  8 x  1  0 . Решаем уравнение 16 x 2  8 x  1  0
x1, 2 
 8  64  4  1  16  8
1

  . Можно было заметить, что
32
32
4
1
16 x 2  8 x  1  (4 x  1)2 . Неравенство (4 x  1) 2  0 имеет решение x   ,
4
так как парабола расположена ветвями вверх и только касается оси
1
OX в одной точке x   .
4
6) Решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих модуль
необходимо выполнять, убирая модуль по известным правилам,
изложенным в §2.
Пример. x 2  5 x  6 (задача 14 блока 2).
x 2  5 x  x( x  5) . Нулевые точки x  0 и x  5 . В интервалах
(;0); (0;5); (5; ) выражение x 2  5 x имеет соответственно знаки
( ) ( ) (  ) . Тогда для интервалов (;0) и (5; ) решаем уравнение
x 2  5x  6  x 2  5x  6  0 и x1  6; x2  1 принадлежат данным
интервалам и являются решениями. В интервале
(0;5) x 2  5 x  ( x 2  5 x) и решаем уравнение  x 2  5 x  6 или
x 2  5 x  6  0 . Решениями являются значения x1  2; x2  3 ,
принадлежащие указанному интервалу. Полный ответ:  1; 2; 3; 6 .
Пример. x 2  3  1(задача 16 блока 2)
Выражение x 2  3  ( x  3 )( x  3 ) имеет нулевые точки  3 и в
интервалах (; 3 );[ 3; 3 );[ 3; ) имеет соответственно знаки
( ) ( ) (  ) . Для интервалов (; 3 ) и [ 3; ) x 2  3  x 2  3 , а неравенство
имеет вид x 2  3  1 или x 2  4  0 и имеет решение x  (2;2) . С учетом
рассматриваемых интервалов решением являются промежутки
(2; 3 )  [ 3;2) . В интервале [ 3; 3 ) x 2  3  ( x 3  3) и решаем
неравенство  x 2  3  1 или  x 2  2  0 . Решениями будут промежутки

x  [ 3; 3 )
(; 2 )  [ 2 ; ) . Общим решением системы 
 x  (; 2 )  ( 2 ; )
является решение [ 3; 2 )  [ 2 ; 3 ) . Объединяем полученные решения
(2; 3 )  [ 3;2) и [ 3; 2 )  [ 2 ; 3 ) , и окончательный ответ:
(2; 2 )  [ 2 ;2) .
§6. Решение рациональных неравенств.
Решение рациональных неравенств выполняется по схеме: все
слагаемые переносятся в левую часть (сравнение возможно только с
нулевой правой частью). Затем левая часть приводится к общему
знаменателю.
Находятся нулевые точки числителя и знаменателя, а числовая ось
делится ими на интервалы. Если все линейные множители записаны в
виде ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) , то самый правый интервал имеет знак () , а
затем знаки в интервалах чередуются. Решение неравенства совпадает с
интервалами того же знака, что и знак неравенства. Необходимо учесть,
что множители в четных степенях не влияют на знак неравенства и могут
быть полностью исключены из рассмотрения, если знак неравенства
строгий; значение, соответствующее нулю, также является решением,
если знак неравенства нестрогий.
( x  1) 2 ( x  3)( x  4)
 0 . Исключаем из рассмотрения
x2
( x  3)( x  4)
( x  1) 2 :
 0 . Интервалы (;4), (4;2), (2;3), (3; ) имеют
x2
знаки ()( ) () () . Значит, решением являются промежутки
Пример.
(4;2)  (3; ) .
Пример.
( x  1) 2 ( x  3)( x  4)
 0 . Решением является x  [4;2)  [3; ) и
x2
x  1 .
Пример.
х 2  5х  6
 х  1 (задача 20 блока 2)
х
х  5х  6
x  5x  6 x  1
x( x 2  5 x  6)  ( x  1)( x 2  5 x  6)


0
x2  5x  6
x
x( x 2  5 x  6)
2
2
x3  5 x 2  6 x  x3  5 x 2  6 x  x 2  5 x  6
 11x 2  5 x  6

0

 0.
x( x 2  5 x  6)
x( x 2  5 x  6)
Умножим на (1) 
11x 2  5 x  6
 0 . Выражение 11x 2  5 x  6  0 при
2
x( x  5 x  6)
любых x , так как D  25  66  4  0 , а коэффициент при x 2 положителен
(парабола находится выше оси OX ). Значит, решаем неравенство
1
 0 . Выражение x 2  5 x  6 необходимо представить в виде
x( x  5 x  6)
2
( x  2)( x  3) , то есть разложить на сомножители, если это возможно.
Нулевые точки x  3, x  2, x  0 . Интервалы (;3), (3;2), (2;0), (0; )
имеют знаки ()( ) () () . Решением неравенства являются промежутки
(;3)  (2;0) .
§7. Построение графиков квадратных функций,
содержащих модуль.
Рассмотрим построение функции y  x 2  5 x , которая является
частью задачи 14 блока 2. При решении уравнения было определено, что
x 2  5 x  x 2  5 x в интервалах (;0) и (5;8) , x 2  5 x  ( x 2  5 x) в интервале
(0;5) . Поэтому необходимо построить функции y1 ( x)  x 2  5 x и
y2 ( x)   x 2  5 x и взять части графиков для соответствующих интервалов.
Для построения параболы y1 ( x)  x 2  5x найдем координаты вершины и
точки пересечения с осями координат:
5
25
x 2  5x  ( x  )2 

2
4
5
25
25
5
5
25
y  ( x  )2 
 y
 ( x  ) 2 , то есть x0  ; y0   . Точки
2
4
4
2
2
4
пересечения с OX : y  0 и x  0, x  5 , с OY : x  0; y  0 .
Для построения параболы y2 ( x)   x 2  5x выполним аналогичные
действия:
2

5
25 
5
25

 x  5 x  ( x  5 x)    x      ( x  ) 2  ;

2
4 
2
4

5
25
25
5
y  ( x  ) 2 
 y
 ( x  ) 2 .
2
4
4
2
5
25
Координаты вершины параболы x0  ; y0  . Ветви параболы
2
4
2
2
направлены вниз. Точки пересечения с осями координат те же, что и для
y1 ( x) .
На рисунке показан график функции y  x 2  5 x .
§8. Квадратные уравнения, содержащие параметр.
При решении подобных уравнений обычно используются
определенные знания о дискриминанте уравнения и его связи с корнями
данного уравнения.
Пример. При каких значениях m уравнение x 2 
2x 1
  0 имеет одно
m m
решение?
Одно решение квадратное уравнение имеет при D  0 ( x1  x2 ) . Найдем
4
4
4
4
4
41

 . Решим уравнение 2   0    1  0 . m  0 и
 0.
2
m
m
m
m
m
mm 
1
1  0  m  1.
Поэтому
m
Пример. При каких значениях с уравнение (с  2) x 2  2(c  2) x  2  0 не
D
имеет действительных корней?
Квадратное уравнение не имеет решения в области вещественных
значений при D  0 . Найдем
D  4(c  2)2  8(c  2)  4c 2  16c  16  8c  16  4c 2  24c  32 . Решим
неравенство 4c 2  24c  32  0  c 2  6c  8  0 c1  4; c2  2 . Интервалы
(;2), (2;4), (4; ) имеют знаки ( ) ( ) (  ) . Поэтому решением является
промежуток (2;4) .
Необходимо также знать, что при D  0 квадратное уравнение имеет два
решения x1  x2 .
Глава 2. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ
БЛОКОВ 3,4 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
§1. Решение рациональных уравнений
со степенью n 2
При решении рациональных уравнений со степенью n 2 необходимо
понимать, что в зависимости от вида уравнения можно:
1) преобразовать его левую часть (правая часть равна нулю) в
произведение сомножителей со степенью не выше двух, и затем
приравнять каждый из них нулю, решив полученные уравнения
известным способом.
Пример. ( x  1)( x2  x  7)  5( x  1).
Выполняем преобразование: ( x  1)( x2  x  7  5)  0. Действие сокращения
на ( x  1) невозможно, так как множитель содержит неизвестное x , и
теряется корень уравнения. Далее, приравниваем нулю:
а) x  1  0; x1  1; б ) x 2  x  12  0; x2  4; x3  3.
2) при n=4 узнать вид биквадратного уравнения, и решить его
известным способом.
Пример. x 4  x 2  2  0 (задача 1 блока 3).
Делаем замену переменной x 2  t и решаем квадратное уравнение
t 2  t  2  0; t1  2; t2  1; x 2  t1 и x 2  t2 : а) x 2  2; б ) x 2  1; x1,2  1.
3) некоторые виды уравнений можно свести к квадратному заменой
переменной.
Пример.
6
8

 1 (задача 3 блока 3).
( x  1)( x  2) ( x  1)( x  4)
Преобразование: ( x  1)( x  2)  x2  3x  2; ( x  1)( x  4)  x2  3x  4.
Заметим общую часть x 2  3x  t . Тогда уравнение примет вид
6
8

 1;
t2 t4
Приводим к общему знаменателю и решаем квадратное уравнение
t 2  16t  0; t1  0; t2  16. Приравниваем: x 2  3x  0 и x 2  3x  16 .
Решаем уравнения и получаем корни x1  0; x2  3; x3,4 
 3  73
.
2
4) подобрать корень x  x1 , если он целый, учитывая, что целыми
корнями рационального уравнения с целыми коэффициентами могут
быть только делители свободного члена. Затем преобразовать уравнение
к виду ( x  x1)(... * ...)  0 , где выражение (... * ...) получено делением
многочлена, стоящего в левой части уравнения(правая часть равна
нулю), на многочлен ( x  x1) . Деление выполняется столбиком. Корни
получают, приравнивая нулю сомножителей левой части уравнения.
Пример. x3  6 x 2  11x  6  0 (задача 4 блока 3).
Данное уравнение не решается ни одним из способов, описанных в
пп.1,2,3, поэтому попробуем подобрать корень из делителей числа
6:  1;2;3;6. Подходит x  x1  1. Поделим левую часть уравнения
x3  6 x 2  11x  6 на ( x  1) :
_ x3  6 x 2  11x  6  x  1
x2  5x  6
x3  x 2
_ 5 x 2  11x  6
5x2  5x
_ 6x  6
6x  6
0
В результате, записываем уравнение в виде ( x  1)( x 2  5x  6)  0 и
получаем корни x2  2; x3  3 , решая квадратное равнение x 2  5 x  6  0 .
5) знать специальный вид уравнения со степенью n=4:
( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  kx2 , для которого выполняется одно из условий
ab  cd или ac  bd или ad  bc .
Тогда (пусть ac  bd ) в уравнении выполняются преобразования:
( x  a)( x  с)( x  b)( x  d )  kx2  ( x 2  x(a  c)  ac)( x 2  x(b  d )  bd )  kx2 
ac
bd
x( x  (a  c)  ) x( x  (b  d )  )  kx2  x  0 не является корнем
x
x
уравнения, поэтому сократим обе части уравнения на x 2 и, так как
ac  bd , заменим x 
ac
 t. Получим (t  (a  c))(t  (b  d ))  k . Это
x
уравнение квадратное, решаем его и находим корни. Затем
приравниваем x 
ac
 t1
x
x
ac
 t2 . Окончательно, находим корни
x
исходного уравнения.
Пример. (6  х)( х  2)( х  3)( х  9)  24 х 2 ( задача 6 блока 3).
Выполним преобразования так, чтобы уравнение имело стандартный
вид, указанный в п.5:
( x  6)( х  2)( х  3)( х  9)  24 х 2 . Определим, что 6(-3)=2(-9) и запишем
уравнение в виде ( x  6)( х  3)( х  2)( х  9)  24 х 2 . Далее решаем
уравнение по описанной схеме.
( x 2  3x  18)( x 2  7 x  18)  24 x 2  x( x 
18
18
 3) x( x   7)  24 x 2 
x
x
18
 t  (t  3)(t  7)  24  t 2  4t  3  0  t1  3 t2  1 
x
18
18
а) x   3
б) x   1
x
x
x
x 2  3x  18  0
x 2  x  18  0
x1  3 x2  6
x3 ,4 
 1  73
2
§2. Решение нелинейных систем уравнений
Рекомендуется знать следующие методы решения:
1) Метод подстановки (подробно не рассматриваем из-за его
простоты и известности)
2) Метод вспомогательного неизвестного, когда одно из уравнений
системы содержит слагаемые одного, но видоизмененного типа.
Например,
x
y
и
y
x
. Тогда, можно  t , a
x
y
y 1
 и решить
x t
уравнение с одним неизвестным t, а затем результат этого решения
использовать, продолжая решать систему.
 x y 13
 
Пример.  y x 6 , (задача 8 блока 3).
x  y  5

x
y 1
 ; Тогда первое уравнение системы
Сделаем замену  t , a
y
x t
1 13
13
примет вид t   . Решаем квадратное уравнение t 2  t  1  0 и
t
6
6
3
2
t2  , то есть
получаем t1 
2
3
x 3
3
а)  , x  y и второе уравнение системы будет иметь вид
y 2
2
3
y  y  5  y  2, x  3.
2
x 2
2
б)  , x  y . Второе уравнение системы определит y  3, x  2.
y 3
3
3) Алгебраические преобразования системы (наиболее сложный
метод), основанные на формулах сокращенного умножения, и
алгебраических действиях над левыми и правыми частями
уравнений системы.

Пример. 
х  у 3
 х  у  ху  3
(задача 9 блока 3 )
Учтем, что ( x )2  ( y )2  2 xy  3 xy  3  ( x  y )2  3 xy  3 .

Тогда 
х у 3
( x  y ) 2  3 ху  3
Используя равенство x  y  3 , получим второе уравнение системы в
2
виде 9  3 xy  3  xy  2  x 
. Получена зависимость между x и y ,
y
и ее можно использовать для дальнейшего решения первого уравнения
системы:
2
 y  3  y  3 y  2  0. Заменим
y
y  t  y  t 2 и решим
квадратное уравнение t 2  3t  2  0  t1  1 t2  2. Далее,
а) y  1  y  1  x  4.
б) y  2  y  4  x  1.
2
 2
Пример.  х 3 ху 3 у  7 ( задача 10 блока 3 )
 х  у  35
Заметим, что ( x3  y3  ( x  y)( x 2  xy  y 2 ) . Значит, можно использовать
первое уравнение для второго, которое, в этом случае, будет иметь вид
7( x  y )  35  x  y  5. Получена зависимость между x и y , которую
можно использовать для решения первого уравнения, как уравнения с
одним неизвестным.
2
 2
Пример.  х у  ху  6 (задача 11 блока 3)
 ху  х  у  5
6

 хy( x  у )  6  x  y 
Преобразуем первое уравнение: 
xy

xy  х  у  5

6
Второе уравнение примет вид xy   5 . Если xy  t , то
xy
6
t   5  t 2  5t  6  0  t1  2 t2  3. Получены зависимости между
t
2
3
б) xy  3  x  . Случай (б) не приводит к
x и y : а) xy  2  x 
y
y
решению квадратного уравнения и не определяет решения системы.
§3. Решение иррациональных уравнений и неравенств
При решении иррациональных уравнений необходимо: полученное
решение проверить подстановкой в исходное уравнение, так как при
решении равносильность уравнений часто нарушается.
Способ решения уравнения зависит от его вида, и можно
рекомендовать следующие действия:
1) Если уравнение содержит только одно выражение с неизвестным
под знаком радикала (корня), то его уединяют в определенной
части уравнения и возводят обе части уравнения в степень корня,
избавляясь от иррациональности.
Таким способом решается задача 13 блока 3.
2) Если один и тот же радикал встречается в разных частях
уравнения, то рациональному решению помогает правильная
компоновка уравнения.
6
(задача 14 блока 3)
9 х
6
Преобразования: ( 3х  1)2  (
 9  x )2 .
9 х
Пример.
3х  1  9  х 
3) При повторении некоторой части выражения, стоящего под
знаком корня и без него, можно сделать замену переменной.
Пример. х 2  3х  18  4 х 2  3х  6  0 (задача 17 блока 3 )
Замена: х 2  3х  6  t  х 2  3х  t 2  6
Уравнение преобразуется к виду: t 2  4t  12  0.
Получив значения t1,2 , приравниваем этим значениям выражение x 2  3x
и получаем решения; проверяем их подстановкой в исходное уравнение.
4) При решении уравнения вида
n f ( x)  m g ( x)  a , где f (x ) и g (x ) линейные функции вида ax  b
можно ввести новые переменные и решить систему нелинейных
уравнений. Рассмотрим описанные действия на примере.
Пример. 3 5 x  7  3 5 x  12  1 .
Замена: 3 5x  7  u  5x  7  u3 (1) 3 5x  12  v  5x  12  v3 (2)
(1)-(2)  u 3  v3  19. Если коэффициенты при x в (1) и (2) неодинаковы,
то, прежде, чем складывать или вычитать (1) и (2), нужно уравнять эти
коэффициенты домножением на соответствующие множители (1) и (2).
С учетом исходного уравнения, нелинейная система будет иметь вид
 u v 1
 3 3
u  v  19
Используя метод подстановки u  1  v , решим второе уравнение
системы: (u  v)(u 2  uv  v2 )  19  (1  v)2  (1  v)v  v2  19 
3v 2  3v  18  0 
v 2  v  6  0  v1  3 v2  2 5 x  12  v3  a)5x  12  27  x  3
б )5 x  12  8  x  4
Рекомендуем таким способом решить задачу 16 блока 3. При решении
задачи 15 блока 3 необходимо учесть, что x2  26 x  169  ( x  13)2 ,
9  6 x  x 2  (3  x)2 и уравнение из иррационального превращается в
уравнение, содержащее модули: x  13  3  x  2.
При решении иррациональных неравенств очень внимательно
нужно отнестись к тем, которые содержат радикалы четной степени.
Неравенство нельзя возводить в четную степень, если хотя бы одна
из его частей отрицательна.
Существуют два основных вида неравенств, к которым сводятся
многие другие:
 A( x)  B 2 ( x)

1) 2n A( x)  B( x), (пусть n=1)   A( x)  0
 B( x)  0

2) 2n A( x)  B( x), (пусть n=1).Неравенство распадается на две системы
неравенств:
2

а)  A( x)  B ( x)

B( x)  0
 A( x)  0
 B( x)  0
б) 
При решении иррациональных неравенств используются те же
методы решения, что и для рациональных неравенств.
Пример.
3 х
15  х
1 (задача 19 блока 3 )
а) Находим область определения: 15  x 0; x 15.
б) Переносим все слагаемые в левую часть, и приводим ее к общему
знаменателю:
3  x  15  x
0
15  x
в) Для решения неравенства методом интервалов получим нулевые
точки: 3  x  15  x  0  (3  x)2  15  x  x2  5x  6  0  x1  6 x2  1.
На интервале (-1;15) выражение 3  x  15  x меньше нуля, поэтому
решением неравенства является интервал
(-1;15).
§4. Прогрессии
При решении задач, связанных с арифметической ( a1, a2 , a3,..., an ) и
геометрической ( b1, b2 , b3..., bn ) прогрессиями, где n  1,2,3, необходимо
знать формулы:
1) an  a1  d (n  1) , где d - разность арифметической прогрессии;
a1  an
n,
2
где Sn - сумма n - членов арифметической прогрессии;
2) Sn 
3) bn  b1  q n 1 , где q - знаменатель геометрической прогрессии;
4) Sn 
b1(1  q n )
,
1 q
где Sn - сумма n - членов геометрической прогрессии;
5) S 
b1
- сумма бесконечного числа членов убывающей
1 q
геометрической прогрессии, для которой q 1 и n.
Решение задач сводится к составлению системы уравнений,
сложность которой зависит от условий задачи, и дальнейшему ее
решению.
Пример. Три числа образуют убывающую арифметическую
прогрессию, сумма которой равна 3. Известно, что сумма
квадратов этих чисел равна 11. Найти разность прогрессии.
(задача 1 блока 4)
Представим условия задачи:
а) a1, a2 , a3 - 3 члена арифметической прогрессии;
б) a1  a2  a3  3 (по условию задачи: сумма членов прогрессии равна 3);
в) a12  a22  a32  11 (по условию задачи: сумма квадратов членов
прогрессии равна 11);
Получена нелинейная система уравнений: a1  a2  a3  3
a12  a2 2  a32  11 .
Используем формулу n - члена арифметической прогрессии и
определим: a2  a1  d a3  a1  2d . Тогда, система преобразуется к виду
3a1  3d  3
a12  (a1  d )2  (a1  2d )2  11 или
a1  d  1
3a12  6a1d  5d 2  11
Сделаем подстановку a1  1  d , во второе уравнение системы, которое
приобретет вид 3(1  d )2  6(1  d )d  5d 2  11  d 2  4  d  2
Так как, по условию задачи, прогрессия убывающая, то нужно взять
значение d  2 .
Пример. Сумма первых двух членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии равна 6, а отношение второго члена к
пятому равно 8. Определить сумму прогрессии.
(задача 1 блока 4)
Представим условия задачи:
а) b1, b2 , b3 - 3 члена геометрической прогрессии;
б) b1  b2  b3  56 (по условию задачи: сумма 3-х членов геометрической
прогрессии равна 56);
в) с1  b1  1, c2  b1  7, c3  b2  21 - три члена арифметической
прогрессии, то есть c2  c1  d и c3  c2  d , тогда c2  c1  c3  c2.
Перейдем к записи условий (б) и (в), используя формулы:
b2  b1q b3  b1q 2 . Тогда

b1  b1q  b1q 2  56 ( условие(б ))



b1  7  (b1  1)  b1q  21  (b1  7) ( условие(в))
Выполним преобразования и получим
b (1  q  q 2 )  56
1

 b1(q  1)  8  0
Решим систему методом подстановки b1 
8
. Первое уравнение
q 1
системы приобретет вид:
8(1  q  q 2 )
 56  1  q  q 2  7(q  1)  q 2  6q  8  0  q1  2 q2  4
q 1
Необходимо выбрать значение q  2 , чтобы выполнилось условие
b1  b2  b3  56 . В этом случае b1  8. По условию задачи необходимо
найти сумму 10 членов геометрической прогрессии, то есть
b1(1  q10 ) 8(1  210 ) 8  (1023)
S10 


 8184 .
1 q
1 2
1
§5. Текстовые задачи
Текстовые задачи – это задачи на составление уравнений на основании
зависимости, данной в условии задачи. Основные этапы решения задачи.
1) Выбор одной из неизвестных величин, входящих в условие задачи,
и обозначение ее какой-либо буквой (например x ). Иногда
удобно ввести две или более неизвестных. В большинстве случаев
для этого берут искомую величину, то есть ту, которую требуется
определить по условию задачи. Но иногда бывает целесообразно
обозначить через x какую-нибудь другую неизвестную величину,
связанную с искомой. Удачный выбор неизвестной величины
облегчает составление и решение уравнения.
2) Выражают через x (или другие введенные неизвестные) все
неизвестные величины, входящие в условие задачи.
3) Составление уравнений (одного или более) на основании
зависимости между величинами, данной в условии задачи, и их
решение.
4) Проверка (по условию задачи) обязательна, так как корень
уравнения может не быть решением задачи.
Различают задачи, где используется процентное соотношение
между величинами, или даны соотношения между ними в частях;
задачи на движение и задачи на выполнение той или иной работы.
Пример. Имеется 5л 70%-го раствора серной кислоты. Сколько
литров 80%-го раствора серной кислоты нужно долить в
этот раствор, чтобы получился 72%-й раствор серной
кислоты?
(задача 9 блока 4 на процентное соотношение)
Пояснение. В 5 л 70% раствора серной кислоты
5  70
 3,5 л серной кислоты. Если за x взять искомый
100
x  80
 0,8 x серной
объем 80% раствора, то в нем будет содержаться
100
кислоты. Тогда ( 3,5  0,8x )серной кислоты должны составлять 72%
3,5  0,8 x
 0, 72 - это
полученного ( 5  x ) литров объема, то есть
5 x
содержится
искомое уравнение задачи. Решаем его:
3, 5  0, 8x  0, 72(5 x ) 0, 08x  0,1 x  1, 25
л.
Пример. Первый сплав содержит металлы в отношении 1:2, а
второй – те же металлы в отношении 2:3. Из скольких
частей обоих сплавов можно получить третий сплав,
содержащий металлы в отношении 17:27?
(задача 10 блока 4 на отношения в частях)
Пояснение. Весь объем первого сплава разделен на 3 части
(соотношение 1:2) и содержит 1/3 одного металла и 2/3 другого
металла. Аналогично, весь объем второго сплава разделен на 5
частей (соотношение 2:3) и содержит 2/5одного металла и 3/5
другого металла. Третий, полученный сплав, имеет соотношение
металлов 17:27(44части), то есть должен содержать 17/44 одного
металла и 27/44 другого металла. Пусть взято (в долях) x первого
сплава и y второго сплава. Тогда существуют равенства
17

5
x

6
y

15

(1)
 x 2 y 17



(
для
первого
металла
)
44
 3 5 44



27

 2 x  3 y  27 (для второго металла ) 10 x  9 y  15  44 (2)

5 44
 3

Поделим (1) на (2):
5 x  6 y 17
x 9

 27(5 x  6 y)  17(10 x  9 y )  9 y  35 x   , то есть нужно
10 x  9 y 27
y 35
взять 9 и 35 долей (частей) первого и второго сплава,
соответственно.
Пример. Поезд был задержан на 15 минут, поэтому, чтобы
прибыть на станцию по расписанию, проходил
оставшийся до нее путь в 120 км, увеличив скорость по
сравнению со скоростью по расписанию в 1,2 раза. С
какой скоростью прошел поезд 120 км?
(задача 11 блока 4 на движение)
Пояснение. Возьмем за x скорость движения поезда до задержки и t время движения. Тогда, согласно закону физики, xt  120 . По условию,
скорость увеличена в 1,2 раза, а время уменьшено на 15 мин.(задержка
поезда), то есть ¼ часа. Расстояние осталось прежним. Отсюда
1
1, 2 x(t  )  120 . Система уравнений имеет
4
xt  120

1

вид: 
 1.2 120  1, 2 x   120  0,3 x  24  x  80 км/час.
1
4
1, 2 x(t  )  120


4
Скорость 1, 2 x  96 км/час.
Пример. В бассейн проведены три трубы. Через первые две вода
заливается, через третью вытекает. Через одну первую
трубу бассейн может наполниться за 2 часа, через одну
вторую за 5 часов, а через третью трубу вся вода из
наполненного бассейна может вытечь за 10 часов. За какое
время наполнится бассейн, если открыть все три трубы?
(задача 12 блока 4 на выполнение работы)
Пояснение. Пусть V - объем бассейна. Тогда, скорость вытекания
V
V
V
, из второй - , из третьей- . Время,
10
2
5
когда открыты все трубы, обозначим t . Составляем
V V V
t (   )  V . Знак (+) означает, что труба работает на заполнение, а
2 5 10
знак (-) – на вытекание. После преобразования ( деления на величину V )
воды из первой трубы
1
2
1 1
6
2
)  1  t  1  t  1 (часа)=1ч45мин.
5 10
10
3
получим t (  
§6. Тригонометрические задачи
Тригонометрические задачи делятся на несколько типов: Вычисление
тригонометрических выражений; доказательство тригонометрических
тождеств; решение тригонометрических уравнений и неравенств. Но в
каждом обозначенном типе задач используются одни и те же
тригонометрические формулы, количество которых достаточно велико.
Приведем те формулы и тригонометрические преобразования, без
знания которых большинство тригонометрических задач решить
невозможно.
1) cos 2   sin 2   1
2) sin 2  2 sin  cos 
3) cos 2  cos 2   sin 2 
4) 2 sin 2
5)2 cos 2

2
7) cos  
 1  cos 

2
 1  cos 
2tg
6) sin  
1  tg
1  tg
2
2

2 
1  tg 2
9) sin 2  

2

8) cos 2  
2
1
1  tg 2
2
tg 2
1  tg 2
10) tg 2 
2tg
1  tg 2
Приемы, используемые в решении задач:
1) 1  sin 2  sin 2   cos 2   2 sin  cos  (sin   cos )2
2) sin 4   cos4   (sin 2   cos2  )(sin 2   cos2  )   cos 2
3) sin 4   cos4   sin 4   cos4   2 sin 2  cos2   2 sin 2  cos2  
1
(sin 2   cos 2  ) 2  2 sin 2  cos 2   1  sin 2 2
2
4) sin   cos   sin   sin( 90   )  сумма синусов
5) sin   cos  sin   sin( 90   )  2 cos(  45 )
Рассмотрим решение некоторых задач блока 4.
Пример. Вычислить
1  sin 6 x  cos6 x
1  sin 4 x  cos 4 x
(задача 13 блока 4 )
Воспользуемся преобразованиями:
а) 1  sin 6 x  cos6 x  1  (sin 6 x  cos6 x)  1  (sin 2 x  cos2 x) 
1
1
3
(sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  cos 4 x)  1  (1  sin 2 2 x  sin 2 2 x)  sin 2 2 x
2
4
4
1
(использован прием(3) из списка и формула sin 2 x cos 2 x  sin 2 2 x )
4
1
1
б) 1  sin 4 x  cos 4 x  1  (sin 4 x  cos 4 x)  1  (1  sin 2 2 x)  sin 2 2 x
2
2
3
При делении (а) на (б) получим .
2
x
x
Пример. Вычислить 19tgx, если sin  cos  0,1. (задача 16 блока 4)
2
2
x
x
x
x 2
Преобразуем sin  cos  0,1  (sin  cos )  (0,1)2 
2
2
2
2
x
x
x
x
sin 2  2 sin cos  cos 2  0,1  1  sin x  0,1  sin x  0,9
2
2
2
2
При этом cos x   1  sin 2 x   1  0,81   0,19
Выражение 19tgx  19
sin x
0,9
 19
 9
cos x
 0,19
Пример. Решить уравнение
cos x
 2  tgx
1  sin x
(задача 20 блока 4 )
Необходимо учесть, что решение уравнения не должно содержать тех
1  sin x  0
 cos x  0
значений, которые подпадают под условия: 
Преобразуем
cos x
sin x
 2
 ( приведем уравнение к общему
1  sin x
cos x
знаменателю) cos 2 x  2 cos x  2 sin x cos x  sin x  sin 2 x 
cos2 x  sin 2 x  2 cos x  2 sin x cos x  sin x  1  sin x  2 cos x(1  sin x)  0 
1
(1  sin x)(1  2 cos x)  0  1  sin x  0  1  2 cos x  0  cos x  
2
x  60  360 n, n  Z  - решение уравнения.
Глава 3. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ
БЛОКОВ 5,6 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №3
(геометрические задачи рассматриваются в отдельном издании)
В блоках 5,6 содержатся задачи, связанные с темами: производная
функции; первообразная функции; определенный интеграл.
§1. Производная функции, и ее приложения
Наиболее сложными задачами в данной теме являются задачи, в
которых необходимо использовать геометрический или механический
смысл производной, а также задачи на исследование функции.
Необходимо знать, что:
1) y( x0 )  tg - производная функции y  f (x) , вычисленная в точке
x  x0 , равна тангенсу угла  наклона касательной,
проведенной к графику функции в точке с координатами
( x0 , y0 ) , где y0  f ( x0 ) .
2) уравнение касательной к графику функции в точке с координатами
( x0 , y0 ) может быть записано в виде y  y0  f ( x0 )( x  x0 ). Также
полезно знать, что уравнение прямой через две известные точки с
координатами ( x1, y1) и ( x2 , y2 ) может быть записано в виде
x  x1
y  y1

. Алгебраическими преобразованиями можно
x2  x1 y1  y2
данное уравнение привести к виду y  kx  b , где k  tg - угловой
коэффициент прямой.
3) y( x0 )  v - скорость движения материальной точки, вычисленная в
момент времени x  x0 .
4) Решение неравенства y(x) 0 и y(x) 0 определяет интервалы
монотонного возрастания и убывания функции, соответственно.
Эти интервалы должны принадлежать области определения
функции.
5) Условие y(x) =0 определяет точку x  x0 , в которой функция
достигает своего максимума или минимума, если эта точка
принадлежит области определения функции y  f (x) и
производная функции в окрестности точки x  x0 меняет знак, то
есть y( x0   ) 0, а y( x0   ) 0 или наоборот, где  - малое
положительное значение
Пример. В каких точках касательные к графику
1
6
1
4
функции y  x3  x 2  2 имеют угол наклона к оси ОХ,
равный 45? Напишите уравнения этих касательных.
(задача 1 блока 5)
1
2
1
2
а) Найдем производную функции: y( x)  x 2  x
б) По условию задачи угол наклона касательных к графику
функции должен быть равен 45 ,то
есть y( x)  tg 45 или y( x)  1
в) Решим уравнение
1 2 1
x  x  1  x 2  x  2  0  x1  1 x2  2,
2
2
 19
7
, y (2) 
.
и вычислим значение y (1) 
12
3
y( x)  1 
г) Запишем уравнение касательных:
19
31
 ( x  1)  y  x  ,
12
12
7
1
y    ( x  2)  y  x 
3
3
при x  1 y  
при x  2
Пример. На параболе y=x 2 взяты две точки с абсциссами x1  1, x2  3.
Через эти точки проведена секущая. В какой точке
параболы касательная к ней параллельна проведенной
секущей? (задача 3 блока 5)
а) Определим уравнение секущей, используя уравнение
прямой, проходящей через две известные точки. Для этого
вычислим y1( x1)  y(1)  1 y2 ( x2 )  y(3)  9. Уравнение
секущей:
x 1 y 1

 y  4 x  3 ; Угловой коэффициент этой прямой
3 1 9 1
равен 4 (множитель перед x , если y  kx  b ).
б) Параллельные прямые имеют одинаковые угловые
коэффициенты.
Поэтому производная функции y=x 2 должна быть равна 4,
то есть ( x 2 )  2 x  2 x  4  x  2 y(2)  4. Окончательно,
получаем ответ:(2;4)
Для решения задачи 4 блока 5 необходимо использовать условие
перпендикулярности двух прямых y  k1x  b1 и y  k2 x  b2 в виде
k1k2  1.
Пример. Найти угловой коэффициент прямой, соединяющей точки
экстремума функции y=x 3 -6x 2 +9x+1. (задача 7 блока 5)
а) Найдем точки экстремума функции. Для этого приравняем
нулю производную функции y=x 3 -6x 2 +9x+1 и решим
уравнение 3x 2  12 x  9  0  x1  1 x2  3 . В окрестности точек
x1  1 x2  3 производная меняет знак, точки принадлежат
области определения функции (-;) и являются точками
экстремума.
б) Вычислим y1( x1)  y(1)  5 y2 ( x2 )  y(3)  1. Запишем
уравнение прямой, проходящей через две известные точки с
координатами (1;5) и (3;1)
x 1 y  5

 y  2 x  7 .
2
4
Угловой коэффициент прямой равен (-2).
Пример. Найти минимальное целое значение параметра к, при котором
функция y=x3+5x2+kx+6 не имеет экстремума.
(задача 8 блока 5)
а) Найдем производную функции y=x3+5x2+kx+6. Так как по
условию задачи функция не должна иметь экстремума, то
y(x) 0, то есть 3 x 2  10 x  k  0 .
б) Уравнение 3x 2  10 x  k  0 не имеет решения, если
25
. Минимальное
3
целое значение данного неравенства k  9 .
дискриминант D  100  12k 0, то есть k 
§2. Первообразная функции. Определенный интеграл
Для решения задач, связанных с первообразной функции
(неопределенным интегралом) и определенным интегралом, необходимо
знать:
1) таблицу неопределенных интегралов в объеме
а) x ndx 
б )
x n 1
C
n 1
dx
 ln x  C
x
в)  cos xdx   sin x  C
д)  a x dx 
е) 
dx
cos 2 x
dx
ж) 
sin 2 x
ax
C
ln a
 tgx  C
 ctgx  C
г )  sin xdx   cos x  C
2) свойства неопределенного интеграла
а)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx , где k - числовой коэффициент.
б )  ( f1 ( x)  f 2 ( x)) dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx
1
F (kx  b)  C , где F (kx  b) - первообразная
k
функции f (kx  b) , а (kx  b) - линейная функция.
в )  f (kx  b)dx 
b
3)  f ( x)dx  F (b)  F (a) . Вычисление определенного интеграла
a
представляет собой нахождение числа, равного разности значений
первообразной функции в точках верхнего и нижнего пределов
определенного интеграла. Это же числовое значение определяет
площадь криволинейной трапеции, вид которой можно найти в
любом учебнике. Для вычисления площади фигуры, заключенной
между графиками функций y1  f1( x) и y2  f2 ( x) необходимо
определить значения x  a и x  b как абсциссы точек пересечения
графиков y1  f1( x) и y2  f2 ( x) : f1( x)  f2 ( x) - решить уравнение или
определить их из условия задачи. В любой точке x0  (a, b)
вычислить y1  f1( x0 ) и y2  f 2 ( x0 ) . Если, допустим, y2  y1 , то
b
площадь фигуры равна S   ( f 2 ( x)  f1( x))dx .
a
Пример. Найти первообразную функций f(x), проходящую через
точку М 0 с координатами x 0 ,y0 :
f ( x) 
2
; М 0 (1;1); (задача 17 блока 6)
5 x
1
а) Найдем первообразную функции: y  

2
dx  2 (5  x) 2 dx 
5 x
(аргументом степенной функции является линейная функция
(x  5) , где k =-1)

1
 1
 2(5  x) 2
1
 1
2
 4 5  x  C .
б) Используя условие задачи М 0 (1;1) , то есть y  1 x  1 ,
получим уравнение для определения значения постоянной
интегрирования C : -1=-8+ C  C  7 ; Окончательно,
y  74 5 x .
Пример. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
указанными линиями: y=2x; y=x; x=5.
(задача 20 блока 6)
а) Функции: y1 =2x; y2 =x пересекаются в точке с абсциссой
x=0 (2x=x), то есть a  0 (нижний предел определенного
интеграла, который определит искомую площадь фигуры).
Значение b  5 ( x  5) определено условием задачи. Тогда
x  0;5 . Вычислим y1(1)  1 y2 (1)  1 . Значит
5
5
0
0
S   (2 x  x)dx   xdx 
x 2 5 25
25
.

0 
2 0 2
2
Пример. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
линиями: y=x 2 -x; y=2x.
а) Найдем точки пересечения функций y1 =x 2 -x; y2 =2x:
x 2  x  2 x  x 2  3x  0  x1  0 x2  3 .
3
б) Вычислим y1(1)  0 y2 (1)  2 . Тогда S   (2 x  ( x 2  x))dx 
0
3
 (3x  x
2
0
3
3
x 3 39
)dx  ( x 2  ) 
 9  4,5.
2
3 0
2
Глава 4. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ
БЛОКОВ 7,8,9 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №4
В блоках 7,8,9 рассматривается решение показательных,
логарифмических уравнений и неравенств; вычисление логарифма
числа; задачи на область определения функции и построение графиков
функции, а также задачи с параметром на различные темы.
§1. Показательные уравнения
Способы решения показательных уравнений можно представит,
рассматривая два вида уравнений:
1) a f ( x)  a g ( x) , где f ( x), g ( x) -функциональные выражения
произвольного вида, а число a 0 и a  1.Тогда равенство
показательных выражений левой и правой части уравнений
приводит к равенству f ( x)  g ( x) , которое представляет собой
алгебраическое уравнение, способы решения которого известны.
Пример. 3  4 x 1  3  4 x  4 x 1  124 (задача 2 блока 7)
Преобразуем левую часть уравнения, используя равенства
1 x
4 ; 4 x 1  4 x  4 . Уравнение принимает вид:
4
1 x
3
31 ч
3  4  3  4 x  4  4 x  124; 4 x (  3  4)  124;
4  124  4ч  16  42  x  2
4
4
4
4 x 1  4 x  41 
2) f (a x )  c , то есть неизвестная величина в уравнении
представлена показательной функцией a x . Введем новую
переменную t  a x (заметим, что t 0, так как a x 0 при
любых значениях x ). Далее, будем решать алгебраическое
уравнение f (t )  c и находить значения t  t0 (одно или более,
зависит от вида уравнения). Затем,
a x  t0 (t0  a k )  a x  a k  x  k .
Пример.
3 x 1  9
x
 3x 1 9 ( задача 4 блока 7 )
3
9
3x  9
Заменим: t  3x , учтем, что 3x 1  3  3x  3t . Уравнение будет иметь
3t  9 t  9

 (3t  9) 2  (t  9) 2  8t 2  72t  0  t  9 (t  0)  3x  9  x  2.
t  9 3t  9
3) Наиболее сложными являются показательные уравнения,
содержащие две показательные функции с разными основаниями.
Для их решения необходимо правильно выбрать алгебраические
преобразования, которые приводят уравнение к виду с одной
показательной функцией.
Рассмотрим решение уравнения такого типа.
Пример. 23 x 1  25 x  2 x 1  125 x (задача 6 блока 7)
1
2
1
2
Преобразуем 23 x 1   23 x , 25 x  52 x , 2 x 1   2 x , 125 x  53 x .
Уравнение содержит показательные функции: 1) с основанием 2,
степени которых 3x и x ; 2) с основанием 5, степени которых 2x и 3x .
Выберем показательные выражения с меньшими степенями, то есть 2 x и
5 2 x ; разделим левую и правую части уравнения почленно на
произведение 2  5 . Получим
x
2x
23 x
2  2 x  52 x

52 x  2 x
2  2 x  5x
53 x

2 x  52 x
. Преобразуем
1
2
x
x
22 x   2   5 x   2  
1 22 x 1 5 x
 
  
  
и получим результат:
,
где
;
.
2 52 x 2 2 x
52 x   5   2 x   5  
x
1
1
2
Заменим    t и запишем алгебраическое уравнение t 2   t 1 или
5
2
2
t 3  t  2  0 . Кубическое уравнение решается подбором корня t  1.
Остаток от деления многочленов (t 3  t  2) и (t  1) равен t 2  t  2 .
Уравнение t 2  t  2  0 не имеет решения в области вещественных чисел.
x
x
0
2
2
2
Поэтому единственный корень t  1 определяет    1 или      ;
5
5
5
x  0.
§2. Решение системы показательных уравнений
32 x  2 y  725
y
Пример. 
(задача12 блока 7)
 3 x  2 2  25
2
Заменим: 3x  t 2 y  s . Тогда система будет иметь вид: t  s  725
 t  s  25
Алгебраическую систему уравнений решаем методом подстановки
t  25  s . Первое уравнение системы представим в виде:
t 2  s  (t  s )(t  s )  725  25(25  s  s )  725  2 s  4  s  2  s  4
Тогда t  27 . Окончательно, x  3; y  2.
§3. Показательные неравенства
При решении показательных неравенств вида
a f ( x)  a g ( x) или a f ( x)  a g ( x) необходимо учитывать значение a . При
0< a <1 знак неравенств, при сравнении степеней, меняется на
противоположный, то есть f ( x)  g ( x) или f ( x)  g ( x). При a >1 сравнение
степеней выполняется с тем же знаком. Полученные алгебраические
неравенства решают известными способами в зависимости от вида
неравенства.
Пример. 6  x  (5x 7,2 x 3,9  25 5 )  0 (задача 7 блока 7)
Учитывая область определения неравенства: 6  x  0  x  6 и условие
6  x  0 , будем решать неравенство 5x 7,2 x3,9  25 5  0 . Так как
2
2
5
5
25 5  5 2  x 2  7,2 x  3,9 
2
(основание 5>1).Квадратное неравенство
1
7; ). С учетом области
5
1
определения решение задачи: x    ; .
5

x 2  7,2 x  1,4  0 имеет решение x  (;
Рекомендации к решению задачи 8 блока 7.
Необходимо 4x 0,5 представить в виде 4 x  40,5  2  (2 x )2 , заменить
2 x  t 0 и решать алгебраическое неравенство.
1
2
Получите решение t  ( ;4) и, с учетом того, что t 0, решением
является интервал (0;4). Тогда 0 2 x 4     x  2  x  (2; ).
Рекомендации к решению задачи 10 блока 7.
Учесть, что 1  2  3  ...x 
1 x
x2  x
x 
. Использована формула
2
2
суммы арифметической прогрессии, число членов которой равно x .
Рекомендации к решению задачи 11 блока 7.
Представить 4 x  (2 x )2 , 6 x  2 x  3x , 9 x  32 x. Затем, почленно разделить
обе части неравенства на произведение 2 x3 x .
§4. Логарифм числа
При вычислении логарифма числа, обозначенного log a b , где
a  0, a  1, b  0 , необходимо знать его свойства:
1)a log a b  b 2) log a a  1 3) log a 1  0 4) log a b1b2  log a b1  log a b2
b
5) log a 1  log a b1  log a b2
b2
7) log a b 
6) log a bc  c log a b  log a a c  c
log c b
1
1
8) log a b  log a b 9) log a b 
 log a b  log b a  1
log c a

log b a
1
3
Пример. Вычислить: ( log 4 125  4 log 16 3) log 45 4  log 27 3  log 8 4 ;
(задача 15 блока 7)
а) Представим
1
log 4 125  log 4 3 125  log 4 5(свойство 6)
3
4 log 16 3  4 log 2 3  2 log 4 3  log 4 32  log 4 9(свойства 8,6)
4
log 45 4 
log 8 4 
1
(свойство 7)
log 4 45
log 27 3 
1
1
log 3 3  (свойство8,2)
3
3
1
2
log 2 22  (свойство8,6,2)
3
3
б) Продолжим вычисления, используя представленные
преобразования:
(log 4 5  log 4 9)
1
log 4 45

1 2
1
  log 4 45 
1  2
3 3
log 4 45
(log 5) 1
 (8 81
Пример. Вычислить: 125 25  25 3
(задача 20 блока 7)
Преобразуем, используя свойства логарифма числа:
log
log 16
125 25
5
3 log 25 16
5
16
3
log 16
2 5
5
log 5 16
3
2
log 1296 log 6 9
)
3
 16 2
 26  64
log 3 2 log 3 5 2
(log 3 5) 1log 5 3 25 5 5
3 9
129664
log 81 64 log 6 9 2 log 9 6log 6 9 2
64982 9
§5. Решение логарифмических уравнений
С помощью логарифмических свойств и алгебраических
преобразований логарифмические уравнения сводятся к двум видам:
1) log a f ( x)  log a g ( x) . Из равенства логарифмов с одним и тем же
основанием следует равенство f ( x)  g ( x) , которое требует решения
алгебраического уравнения. Для получения правильного решения
логарифмического уравнения необходимо сделать проверку
полученного решения алгебраического уравнения, так как необходимо,
чтобы f ( x)  0 и g ( x)  0 .
2) f (log a g ( x))  0 . Замена переменной: t  log a g ( x) приводит к
решению алгебраического уравнения f (t )  0 . Получив решение
t  t0 , переходят к решению уравнения
t
t
log a f ( x)  t0  log a f ( x)  log a a 0 , то есть f ( x)  a 0 . Полученное
решение проверяется условием g ( x)  0 .
Пример. log 4 ( x  12)  log x 2  1 (задача 1 блока 8)
а) Преобразуем левую часть уравнения
log 2 ( x  12)
 1 . (Использованы равенства:
2 log 2 x
1
1
log 4 ( x  12)  log 2 ( x  12), log x 2 
).
2
log 2 x
б) Приводим полученное выражение к общему знаменателю:
log 2 ( x  12)  log 2 x 2 или x  12  x 2  x 2  x  12  0  x1  4 x2  3 .
Проверкой подтверждается только решение x  4 .
Рекомендации к решению задачи 3 блока 8.
Необходимо преобразовать:
4
16
1
16
log x 4  4 log x 2 
; log 2 4
 log 2
log 2 x
8 x 4
8 x
После этого выполнять действия, подобные тем, что были при решении
задачи 1.
Пример. x20,5 lg x  100 ( задача5 блока 8)
а) Заменим lg x  t  x  10t
б) x 20,5 lg x  10t (20,5t )
в)
10t (20,5t )  102  2t  0,5t 2  2 
0,5t 2  2t  2  0  t1,2  2  x  102  100
§6. Решение логарифмических неравенств


Решение логарифмического неравенства вида log a f ( x)  log a g ( x)
зависит от основания логарифма a . При a >1 переходим к решению


неравенства f ( x)  g ( x) (знак неравенства - прежний), а при 0  a  1


знак неравенства меняется на противоположный: f ( x)  g ( x) .
Окончательное решение логарифмического неравенства находится с
учетом его области определения, то есть выполнения условий
f ( x)  0, g ( x)  0.
Если основание логарифма является переменной величиной, то
решение логарифмического неравенства выполняется в два этапа, когда
полагается, что основание логарифма больше единицы, либо меньше
единицы, но больше нуля.
Пусть log g ( x) f ( x)  0. Решение:
0  g ( x)  1  g ( x)  1


а )  f ( x )  0  g ( x )  0
 f ( x)  1
 f ( x)  1


Пример. log
1 0,4 0
x 1
 g ( x)  1

б ) f ( x)  0
 f ( x)  1

(задача 6 блока 8)
а) Данная задача, в сравнении с той, что была описана в общем виде
выше, упрощается тем, что выражение под логарифмом представлено
числом 0,4<1.В этом случае log 1 0,4 0 выполняется только тогда,
x 1
когда логарифмическая функция убывает, то есть при условии
0
1
 1.
x 1
б) Решаем систему неравенств:
1

 0  x 1  0  x  1

x 1
 1
2 x

1
 0  x  (;1)  (2; )
x 1
 x 1
Общее решение системы: (2;).
x2  2x
Пример. . log 0,5 (log 8
) 0 ( задача 8 блока 8)
x3
а) Необходимо решить систему неравенств:
 x2  2x
x ( x  2)
 0 (1) 
 0  решение методом интервалов

x3
 x3

x2  2x
log 8
 0 ( 2)

x3

x2  2x

 log 8 x  3  1 (3) ( учтено, что основание логарифма 0,5  1)

б) Решение неравенства (1): x  (0;2)  (3; ).
Неравенства (2) и (3) объединяем и решаем неравенство:
log 8
x2  2 x
x2  2 x
x 2  10 x  24
( x  4)( x  6)
1
8
0
0
x 3
x 3
x3
x 3
Последнее неравенство решаем мотодом интервалов и получаем
решение: x  (3;4)  (6; ).
в) Учитываем решение (1) и получаем общее решение (3;4)(6;).
Рекомендации к решению задачи 9 блока 8.
Необходимо рассмотреть решение двух систем.
 2 x  0

а) x 2  1
2  x  x 2

Пример.
log 2
 2 x  0

б ) x 2  1
2  x  x 2

3  2x
1 (задача 10 блока 8)
1 x
а) Система неравенств будет иметь вид:
 3  2x
(1)
 1 x  0

3  2x
 0 (2)
log 2
1

x

 log 3  2 x  1 (3)
 2 1  x
3
2
3  2x
2 x
1
 0  x  (;1)  2;  
Решение неравенства (2):
1 x
1 x
3  2x
1
2
 0  x  (1; ) .
Решение неравенства (3):
1 x
1 x
Объединим полученные решения: x  2; .
б) Решение неравенства (1): x  (;1)  ( ; ).
§7. Область определения функции. Графики функции.
Ограничения на область определения имеют следующие
функциональные выражения:
1) y 
f ( x)
 g ( x)  0
g ( x)
2) y  2 n f ( x) , (n  1,2,3...)  f ( x)  0
3) y  log a f ( x)  f ( x)  0


tg ( x), f ( x)   k , k  Z 
4) y  
2

ctg ( f ( x)), f ( x)  k
 arcsin f ( x)
5) y  
 1  f ( x)  1
arccos f ( x)
Решение данных неравенств приводит к решению задачи о нахождении
области определения.
Пример. y  arcsin
x3
(задача
x
13 блока 8)
Решим систему неравенств, согласно общим рекомендациям.
x 3
 2x  3
3

 x  1
 x 0
x  (;0)  ( ; )
,x  0 
,x  0 
.
 x3
2
3



x  (0; )
1
0
 x
 x
3
Решение задачи: x  ( ; ).
2
При построении графиков функций необходимо классифицировать
функцию как линейную, дробно-линейную, степенную, показательную,
логарифмическую тригонометрическую или обратно
тригонометрическую. Графики простейших функций данного вида
общеизвестны. Далее, необходимо учесть параллельный перенос осей
координат, если функция y  f (x) преобразуется к виду y  y0  f ( x  x0 ) .
При параллельном переносе новое начало осей координат находится в
точке О1 с координатами ( x0 , y0 ) , а оси О1Х1 и О1Y1 параллельны осям
ОХ и ОY. График функции y1  f ( x1) расположен относительно точки
( x0 , y0 ) также, как располагался бы график y  f (x) ( y1  y  y0; x1  x  x0 ).
Рекомендации к решению задач 16,…20 блока 8 .
Задача 16: y 
1
x 1
x1  x  1  x0  1;
.
y1  y  y0  0. Начало координат О1(0;-1)
является нулевой точкой новой системы координат Х1О1Y1 при
параллельном переносе осей координат (О1Х1 и О1Y1 параллельны ОХ и
ОY, соответственно). В новой системе координат строим гиперболу
y1 
1
, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях
x1
системы Х1О1Y1; учитываем, что одна из ветвей проходит через точку:
x  0;
y (0)  1.
График функции y1 
1
1
отличается от графика y1 
тем, что
x1
x1
все y1  0 , поэтому необходимо все отрицательные значения y1
заменить такими же положительными значениями y1  0 .
Окончательный график y1 
1
представляет собой две ветви
x1
гиперболы, расположенные в первой и второй четвертях системы
координат Х1О1Y1.
Задача 17: y  3 x  1 .
x1  x  1  x0  1; y1  y  y0  0. Начало координат О1(0;1). Строим
график степенной функции y1  3 x1 в системе координат Х1О1Y1 ,
симметричный относительно О1, так как функция y1  3 x1 нечетна.
График функции должен пройти через точку x  0; y  1.
Задача 18: y  2  31 2 x .
Преобразуем выражение y  2  31 2 x к виду y  2  31 2 x
1
2
1
2
Тогда x1  x   x0  ; y1  y  2  y0  2. Строим график
показательной функции y1  32 x1 в системе координат Х1О1Y1 в
последовательности: а) y1  32 x1 ( аналог y  a  x , a  1 )- монотонно
убывающая на всей числовой оси функция, имеющая точку
пересечения с осью О1Y1 ( x1  0; y1  1 ); б) все значения y1  0
переносим в отрицательную область, сохраняя числовое значение
ординаты, и получаем график функции y1  32 x1 . Построенный
график должен пройти через точку x  0; y  1.
Задача 19: y  log 2 (1  4x)  2 .
Преобразуем выражение y  log 2 (1  4x)  2 к виду
1
1
1
y  2  log 2 (4( x  )) . Тогда x1  x   x0  ; y1  y  2  y0  2.
4
4
4
Строим график логарифмической функции y1  log 2 (4x1) в системе
координат Х1О1Y1( аналог y  log a ; x  0, a  1 ). Область определения
функции в системе координат Х1О1Y1:  4x1  0  x1  0 , и график
1
4
функции проходит через точку  4 x1  1  x1   ; y1  log 2 1  0.
Необходимо также учесть, что графику функции принадлежит точка
x  0; y  2.
Задача 20: y  1 cos2 x преобразуем к виду y  sin x , так как
1  cos 2 x  sin 2 x . Необходимо построить график известной
функции y  sin x , и все отрицательные значения ординат точек графика
заменить положительными значениями.
§7. Задачи с параметрами.
Задачи с параметрами относятся к сложным задачам и имеют разную
направленность. Поэтому можно дать только одну, общую для всех
задач, рекомендацию: необходимо хорошо знать теоретические основы
темы, обозначенной в условиях задачи.
1
3
Пример. При каком значении «а» функция y  x3  x 2  ax
возрастает на интервале (0;)? Указать наименьшее целое.
(задача 1 блока 9)
а)Тема задачи: исследование функции с помощью ее
производной. Возрастание функции определяется условием
y( x )  0 .
б) y( x)  x 2  2 x  a . Необходимо решить неравенство x 2  2 x  a  0 ,
при условии x  (0; ). Квадратное неравенство будет
выполняться, если при условии D  0 больший корень
уравнения x 2  2 x  a  0 равен нулю, то есть:
(1) D  4  4a  0  a  1; (2) x2  1  1  a 
 1  1  a  0  1  a  1  a  0.
Рекомендации к выполнению задачи 2 блока 9.
1
2
Функция y  x 2  3x  a графически представлена параболой, ветви
которой направлены вверх, и, согласно условия задачи, ее вершина
должна быть расположена в точке с координатами ( x0 , y0 ), причем
y0  0 . Находим x0  3, y0  y(3)  4,5  a . Решаем простейшее
неравенство, и, при получении ответа, учитываем условие задачи
(указать наименьшее целое).
Рекомендации к выполнению задачи 4 блока 9.
2
Функция y  e x 2 x >0 при любых значениях x и имеет
наименьшее значение при условии y( x)  0 . Найдем решение
данного уравнения (для проверки: x =1); y(1)  e1  p.
Рекомендации к выполнению задачи 5 блока 9.
В уравнении x  x  p необходимо убрать знак модуля при
условии: a) x  p  0 б ) x  p  0 и решать уравнения
a) x  x  p б ) x   x  p.
Если уравнение записать в виде x  x   p, то единственное
решение проще найти графически, заменяя x  t  0 и получая
уравнение  t 2  t   p . Необходимо из двух уравнений выбрать
одно. Левая часть уравнения представляет собой параболу с
1
2
1
2
1
4
1
4
вершиной t  , y (t )  y ( )   . Условие    p определяет
значение параметра:
1
.
4
Рекомендации к выполнению задачи 6 блока 9.
Преобразуем неравенство
аx  4
 8 к виду
x
x(a  8)  4
 0,
x
и будем его решать методом интервалов с нулевыми точками
x0 и
x
4
4
. Значение
может быть как больше нуля, так и
8a
8a
меньше. Необходимо рассмотреть оба варианта и получить решение
неравенства. По условию задачи, наименьшее решение должно быть
равно (-1). В одном из вариантов (8- a  0 ) такого решения быть не
может.
Рекомендации к выполнению задачи 8 блока 9.
Преобразуем 2 lg( x  1)  lg ax к виду lg( x  1)2  lg ax и перейдем к
решению уравнения ( x  1)2  ax при условии, что a  0, x  1, ax  0.
Единственное решение возможно в двух случаях: 1) D  0, 2) D  0 ,
но один из корней уравнения x1 или x2 не удовлетворяют условию
задачи. Для случая D  0 получаем решение a  4 , при
D  0  a  (;0)  (4; ) только в случае a  (;0) решение будет
единственным.
Рекомендации к выполнению задачи 9 блока 9.
Преобразуем 3x lg x  1  a lg x к виду lg x(3x  a)  1  lg x 
1
.
3x  a
Решение уравнения необходимо выполнить графически, то есть
построить известные функции y1  lg x, y2 
1
и подобрать
3x  a
значение a так, чтобы точка пересечения графиков была
единственной.
Рекомендации к выполнению задачи 10 блока 9.
Область определения функции y  log 25  x 2 (cos x  8 sin x  a)

25  x 2  0 (1)

25  x 2  1 (2)
находится при выполнении условий 
cos x  8 sin x  a  0 (3)

Решение (1) и (2) определяет x  (5;5) за исключением значений
x   24 . Решение (3) удобнее находить в виде cos x  8 sin x  a ,
обозначая y1( x)  cos x  8 sin x, y2 ( x)  a . Тогда y1( x)  y2 ( x) .
Необходимо определить минимум функции y1( x) , используя
равенство нулю ее производной:  sin x  8 cos x  0 . Точкой
минимума является точка с координатами x    arctg 8 , y  3.
Выполнение условия y1( x)  y2 ( x) достигается при значении
a  3. С учетом (1) и (2) решением задачи являются значения
a  (5; 24 )  ( 24 ;3).
БЛОК 1
ТЕМЫ: 1) Вычисление без калькулятора; 2) алгебраические
преобразования с использованием
формул сокращенного умножения; 3) линейные уравнения и
неравенства, содержащие знак модуля.
ЗАДАЧИ.
1.Обозначим двузначное число
ab , где а - число десятков, а
b -число единиц. Доказать, что ab + ba делится на 11, а ab - ba
делится на 9.
2. Обозначим трехзначное число abc . Доказать, что aaa делится
на 37.
3. Доказать, что любое трехзначное число из последовательных
цифр после вычитания 12 равно первой цифре, умноженной на
111.
4. Доказать, что 25 7 +5 13 делится на 30.
5.Переведите периодическую дробь в обыкновенную,
воспользовавшись представлением периодической части в виде
бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма
a1
.
1 q
3
3
3
1
1
3
3
Пример: 0,(3)= 0+ +
+
+…=0+ :(1- )= ; a1  ;
10
100 1000
10
10
3
10
1
q
;
10
которой представляет собой известную формулу: S n 
Задание: а)0,2(1); б)3,7(3); в)2,2(41); г)0,12(3); д)3,1(23);
е)1,(13).
Ответ: а)
19
90
б)3
73
99
в)2
239
990
г)
37
61
д)3
495
300
Вычислить (рациональный счет):
1
3
6. (4 +5,4+0,2(6)):(
Ответ:10.
13
+0,0(3)+0,1).
15
е)1
13
99
7. А 40%=(0,536 2-0,464 2 ):(3,6 2 -7,22,4+2,4 2 ); Найти А.
Ответ:0,125.
5
8
8. (( +2,708333…):2,5):((1,3+0,7(6)+0,(36)) 
110
1
) ;
2
401
Ответ: 1.
9. ( 2  3 ) 2 .
10.
11.
12.
13.
Ответ: 3  2 .
52 6
Ответ: 3  2 .
3 2
Ответ:
94
.
2.
2.
5.
- 1.
Ответ: 2 2 + 1.
2
Ответ: 5 -2.
Выполнить алгебраические преобразования:
14.(16-8х+х 2 )(2- х ) -2 ( х +2) -2 .
Ответ: 1.
15.(
94
а 0 ,5  1
а 0 ,5  1
+
а 0 ,5  1
4 3
).
а 0 ,5  1 а  1
16. ( х х +1)( х 
-
1
х 3  1 -1
)(
) .
х
х
Ответ: 8.
Ответ: 1.
Решить уравнения и неравенства:
17. х+12-х-1=3х-8.
Ответ: 7.
18. х-3-х+1=х+5.
Ответ: -9;-1.
19. х-1+ х  5-2х-5.
Ответ: (0,5;2,75).
20. 2х-3+х-12х-4.
Ответ: 3.
БЛОК 2.
Темы:
1) Системы линейных уравнений; 2) Задачи, связанные с
квадратным выражением; 3) Рациональные неравенства.
Решить системы линейных уравнений, в том числе с
параметром.
2 x  3 y  z  4
1.  6 x  y  z  12
4 x  2 y  2 z  0

Ответ:1,5;2;-1;
 x  y  z  3
2.  3x  2 y  3z  1
5 x  2 y  8 z  6

Ответ: 2;-4;1;
 x  y  2 z  1
3. 2 x  y  2 z  4
4 x  y  4 z  2

Ответ: 1;2;-2;
4.Найти все «а», при которых система имеет единственное
решение.
3x  (a  1) y  a  1

 (a  1) x  y  3
Ответ: а2;
5. Найти все «а», при которых система имеет бесконечное
множество решений.
 2 x  ay  a  2

(a  1) x  2ay  2a  4
Ответ: 3;
6. Найти все «а», при которых система не имеет решений.
 2 x  3 y  ay

3 y  4  (a  1) x
Ответ: -1;-3;
7. Составить квадратное уравнение, если известны корни:
а) (-2;4); б)( а  в; а  в ).
8. Найти корни квадратного уравнения по теореме Виета:
а) х 2 -10х+9=0;
б) 3х 2 +3х-36=0.
9.Разложить на сомножители:
а) –m2 +5m-6;
б) - х 2 -8х+9.
10. Выделить полный квадрат: а) х 2 +8х-33; б)2х 2 +6х+5.
11. Построить параболу, находя координаты вершины, точки
пересечения с осями координат и направление ветвей:
а) у= х 2 -х+1; б) у= - х 2 + 3х.
12. Решить квадратное неравенство:
а) 4-х 2 0; б) 16х 2 -х-2-9х-3;
в) 2х 2 +6х+50.
Ответ: а) –2;2; б) –0,25; в) нет решений.
Решить квадратное уравнение, содержащее знак модуля:
13. х 2 + 5х-6=0;
Ответ: -1; 1.
2
14. х -5х=6.
Ответ: -1;2;3;6.
Решить квадратное неравенство, содержащее знак модуля:
15. 2х 2 -9х+1520; Ответ: (-;-0,55;+).
16. х 2 -31;
Ответ: (-2;- 2 )( 2 ;2).
Решить рациональные неравенства:
17. 2-
х 3 х 5

;
х  2 х 1
18.
8
х
2

 2 ;
х 1 х  1 х 1
19.
4 х
х-4;
х4
20.
х 2  5х  6
2
х  5х  6

Ответ: (1;1,8)(2;).
Ответ: (-2;-1)(1;3).
Ответ: (-;-3).
х 1
;
х
Ответ: (-;-3)(-2;0).
БЛОК 3.
Темы: 1)Решение рациональных уравнений со степенью n2;
2)Решение нелинейных систем уравнений;
3)Решение иррациональных уравнений и неравенств.
ЗАДАЧИ.
Решить уравнения:
Ответ: 1.
1. х 4  х 2  2  0 .
2.
х 2  4 х 12  42 х

7.
7х  2
х2  4х
Ответ: 1;2;19 349 .
3.
6
8

1.
( х  1)( х  2) ( х  1)( х  4)
Ответ: 0;-3;
 3  73
.
2
Ответ: -1;-2;-3.
Ответ: 1;4;-3.
4. х 3  6 х 2  11х  6  0 .
5. х 4  х 3  13х 2  х  12  0 .
6. (6  х)( х  2)( х  3)( х  9)  24 х 2 .
Ответ:3:-6;
 1 73
.
2
7. ( х  9)( х  3)( х 2  8х  12)  56 х 2 .
Ответ: -9;2;
11 193
.
2
Решить системы уравнений:
 х у 13
  
8.  у х 6 .
 х  у  5
Ответ: (2;3);(3;2);

х  у 3
. Ответ: (1;4);(4;1);
 х  у  ху  3
9. 
2
 2
10.  х 3 ху 3 у  7 . Ответ: (3;2);(2;3);
 х  у  35
2
 2
11.  х у  ху  6 . Ответ: (1;2);(2;1);
 ху  х  у  5
х

 ху  у  2
12. 
.
у
1
 ху  

х 2
Ответ: ( 
5
;  5 );
2
Решить иррациональные уравнения:
13. 4  х 36  х 2  х  2 .
Ответ: (0;52);
14. 3х  1  9  х 
6
.
9 х
Ответ: (8);
15. х 2  26 х  169  9  6 х  х 2  2 . Ответ: (7);
16. 3 х  45  3 х  16  1 .
Ответ: (-109;80);
17. х 2  3х  18  4 х 2  3х  6  0 .
Ответ: (-5;2);
18. х 2  х  2  х .
Ответ: (-;-2;(2;);
19.
20.
3 х
1.
15  х
х 2 1
13  х
2
 х 1 .
Ответ: (-1;15);
Ответ: (- 13 ;1;2; 13 );
БЛОК 4.
Темы: 1) Прогрессии; 2) Задачи на составление уравнений;
3) Тригонометрия.
Задачи:
1. Три числа образуют убывающую арифметическую
прогрессию, сумма которой равна 3. Известно, что сумма
квадратов этих чисел равна 11. Найти разность прогрессии.
Ответ: -2.
2. Сумма первых двух членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии равна 6, а отношение второго
члена к пятому равно 8. Определить сумму прогрессии.
Ответ: 8.
3. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую
геометрическую прогрессию равна 56. Если из них вычесть
соответственно 1, 7 и 21, то вновь полученные числа
составят арифметическую прогрессию. Найти сумму первых
10 членов геометрической прогрессии.
Ответ: 8184.
4. Сумма первого, третьего и пятого членов геометрической
прогрессии равна 182,а сумма второго, четвертого и шестого
ее членов 546. Сколько первых членов прогрессии следует
взять, чтобы в сумме получить 242?
Ответ: 5.
5. Три положительных числа образуют арифметическую
прогрессию. Третье число больше первого на 14. Если к
третьему числу прибавить первое, а остальные два оставить
без изменения, то получиться геометрическая прогрессия.
Найдите эти числа.
Ответ: 7; 14; 21.
6. Среди 11 членов арифметической прогрессии первый, пятый
и одиннадцатый являются тремя последовательными
членами некоторой геометрической прогрессии. Найти
первый член и разность арифметической прогрессии, если
седьмой член прогрессии равен 42.
Ответ: 24; 3.
7. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% с
назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько
процентов прибыли предполагал получить магазин
первоначально?
О твет: 20%.
8.Два завода должны были по плану выпустить з60 станков в
месяц. Первый завод выполнил план на 112%, а второй на
110%, и поэтому оба завода выпустили за месяц 400 станков.
Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод?
Ответ: 24; 16.
9. Имеется 5л 70%-го раствора серной кислоты. Сколько
литров 80%-го раствора серной кислоты нужно долить в
этот раствор, чтобы получился 72%-й раствор серной
кислоты?
10.Первый сплав содержит металлы в отношении 1:2, а второй
– те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих
сплавов можно получить третий сплав, содержащий
металлы в отношении 17:27?
11.Поезд был задержан на 15 минут, поэтому, чтобы прибыть
На станцию по расписанию, проходил оставшийся до нее
путь в 120 км, увеличив скорость по сравнению со
скоростью по расписанию в 1,2 раза. С какой скоростью
прошел поезд 120 км?
12.В бассейн проведены три трубы. Через первые две вода
заливается, через третью вытекает. Через одну первую
трубу бассейн может наполниться за 2 часа, через одну
вторую за 5 часов, а через третью трубу вся вода из
наполненного бассейна может вытечь за 10 часов. За какое
время наполнится бассейн, если открыть все три трубы?
Вычислить значение выражения:
13.
1  sin 6 x  cos6 x
1  sin 4 x  cos 4 x
(sin   cos ) 2
.
Ответ: 32.
.
Ответ: 2.
3
).
2
x
x
16. 19tgx, если sin  cos  0,1 .
2
2
17. cos(2arctg7)  sin( 4arctg3) .
Ответ: 
14.

sin (   )
4
2
1
2
15. sin(arccos( )  3 arcsin
Решить уравнения:
3
.
2
Ответ: 9.
Ответ: 0.
18. sin 4 3x  cos4 3x 
1
2
Ответ: 20+60n.
19. cos3x  sin 2 x  cos x  0, (0 x 180).
Ответ:30;90;150;180.
cos x
 2  tgx .
20.
1  sin x
БЛОК 5
ТЕМЫ: 1)Производная функции; 2) планиметрия.
ЗАДАЧИ.
1.В каких точках касательные к графику
1
6
1
4
функции y  x3  x 2  2 имеют угол наклона к оси ОХ, равный
45? Напишите уравнения этих касательных.
Ответ: y  x 
31
1
при x=1; y  x  при x=-2.
12
3
2. В каких точках касательные к графику функции y=0,5arcsinx
имеют угол наклона к оси ОХ, равный 30?
Ответ: (0,5;


); (-0,5;- );
12
12
3. На параболе y=x 2 взяты две точки с абсциссами x1  1, x2  3.
Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы
касательная к ней параллельна проведенной секущей?
Ответ: (2;4).
4. На графике функции y=x 2 найти точку, касательная к
которой перпендикулярна прямой x+2y+1=0.
Ответ: (1;1).
5. Тело массой 100 ед. движется прямолинейно по закону
s(t)=2t 2 +3t+1. Определить кинетическую энергию тела
через t=5сек. после начала движения.
Ответ: 26450.
6. Найти значение функции в точке ее минимума:
y
2( x  3)3
mv 2
2
Ответ: 27.
( x  1) 2
7. Найти угловой коэффициент прямой, соединяющей точки
экстремума функции y=x 3 -6x 2 +9x+1.
Ответ: -2.
8. Найти минимальное целое значение параметра к, при
котором функция y=x 3 +5x 2 +kx+6 не имеет экстремума.
Ответ: 9.
В задачах 9,10 найти производную функции f(x), затем
вычислить ее значение в заданной точке x0 :
9. f ( x) 
x
1  x2
; x0  0 .
Ответ: 1.
10. f ( x)  tg 2 ( x3  1) ; x0  0 . Ответ:0.
11. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 122 см,
проекция одного из катетов на гипотенузу равна 50 см.
Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла.
Ответ: 60.
12. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на
боковую сторону, равна 12 см, основание равно 15 см. Найдите
площадь треугольника.
Ответ: 75.
13. В остроугольном треугольнике АВС проекция боковых
сторон АВ и ВС на основание АС равны 2 и 4. Найдите
проекцию медианы АD, проведенной из вершины А к стороне
ВС на основание АС.
Ответ: 4.
14. Радиус окружности равен 9, а расстояние от одного конца
хорды до касательной, проведенной через другой ее конец,
равно 2. Найдите длину хорды.
Ответ: 6.
15. Из точки, взятой на окружности, проведены две взаимно
перпендикулярные хорды. Отрезок, соединяющий середины
хорд, равен12. Найдите радиус окружности.
Ответ: 12.
16.Через конец хорды, делящей окружность в отношении 1: 3,
проведена касательная. Найдите острый угол (в градусах)
между хордой и касательной.
Ответ: 45.
17. В прямоугольнике АВСD стороны АВ=4мс, ВС=10см. На
стороне ВС взята точка М так, что проведенные отрезки АМ и
МD образуют прямой угол. Определите отрезки ВМ и МС.
Ответ: 2;8.
18. Диагонали ромба равны 80см и 60 см. Найдите расстояние
между параллельными сторонами ромба.
Ответ: 48.
19. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится
точкой касания с вписанной окружностью в отношении 5:8,
считая от основания треугольника. Найдите основание
треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.
Ответ: 30.
20. Окружность с центром О, вписанная в прямоугольный
треугольник АВС, касается гипотенузы АВ в точке М, АМ=12,
ВМ=8. Найдите площадь треугольника АОВ.
Ответ:40.
БЛОК 6
ТЕМЫ: 1)Стереометрия; 2) Первообразная функции;
3)Определенный интеграл.
ЗАДАЧИ.
1. В основании пирамиды лежит равносторонний
треугольник со стороной, равной 2. Одна из боковых граней
также равносторонний треугольник и перпендикулярна
основанию. Найдите объем пирамиды.
Ответ:1.
2. Боковое ребро МС пирамиды МАВС
Перпендикулярно плоскости основания АВС и равно 4.
Плоскость, параллельная основанию, проходит через середину
высоты пирамиды и пересекает боковые ребра в точках А1, В1, С1 .
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды МА1В1С1 , если
АС=ВС=5, а высота СК треугольника АВС равна 3.
Ответ: 10.
3. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами
10,8 и 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под
углом 45. Найдите объем пирамиды.
Ответ:40.
4. Основание пирамиды – квадрат, сторона которого
равна3.Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания
под углом, тангенс которого равен 43. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
Ответ:15.
5. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник
ABCDEF. Боковое ребро BS перпендикулярно плоскости
основания и равно ребру основания. Найдите градусную меру
угла между боковым ребром FS и плоскостью основания.
Ответ:30.
6. Площадь основания конуса равна площади поверхности
вписанного в него шара. Найти радиус шара, если образующая
конуса равна 10.
Ответ: 3.
7. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар с
объемом 323.Найдите объем пирамиды, если ее высота
равна 6.
Ответ: 96.
8. Найти объем куба, вписанного в конус, если
радиус основания и высота конуса равны 6 2 и 4,
соответственно.
Ответ: 27.
9. Шар, объемом 323, вписан в конус. Найти высоту конуса,
если радиус его основания равен 2 3 .
Ответ: 6.
10. Дана призма ABCDA1B1C1D1 , в основании которой лежит
квадрат, а боковые ребра наклонены под углом 60.
Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания. Найти
длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности
призмы равна 6( 3  2) . Ответ: 3.
11. В кубе ABCDA1B1C1D1 через точки В, D и середину ребра D1C1
проведена секущая плоскость с площадью, равной 144. Найти
площадь полной поверхности куба.
Ответ: 768.
12. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 . Площадь
боковой поверхности равна 20. В призму вписан цилиндр.
Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани
призмы равно 3 3 . Найти объем цилиндра.
Ответ: 10.
13. Вокруг правильной шестиугольной призмы описан цилиндр
с площадью боковой поверхности, равной 16 3 .Расстояние
между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы
равно 2 3 . Найти объем призмы.
Ответ: 144.
14. В усеченный конус, радиусы основания которого r и r 1 ,
вписан шар. Найти отношение объемов усеченного конуса и
шара.
Ответ: (r 2 +r 1 2 +rr 1 )2rr 1 .
В задачах 15,16,17 найти первообразную функций f(x),
проходящую через точку М 0 с координатами x 0 ,y0 :
15. f ( x)  sin 2 x ; М 0 (0;1) ;
Ответ:
 cos 2 x 3
 .
2
2
16. f ( x) 
1

; M 0 ( ;1);
12
sin 2 3x
2
17. f ( x) 
; М 0 (1;1);
5 x
1
3
2
3
Ответ:  ctg 3 x  .
Ответ: 7- 4 5  x .
В задачах 18,19,20 вычислить площадь фигуры, заключенной
между указанными линиями:
18. y=x 3 ; y=1; x=2.
Ответ: 114.
19. y= x ; y=2; x=9.
Ответ: 83.
20. y=2x; y=x; x=5.
Ответ: 252.
БЛОК 7
ТЕМЫ: 1)Показательные уравнения и неравенства;
2) Логарифм числа.
ЗАДАЧИ.
Решить уравнения:
1. 3x
2
4 x 0,5
 81 3 ;
Ответ: -1;5.
2. 3  4 x 1  3  4 x  4 x 1  124 ;
Ответ: 2.
3. 182 x  2 2 x  3x
Ответ: -2;-1.
4.
2
1
 3 x 1 ;
3 x 1  9
x
 3x 1 9 ;
3
9
3x  9
Ответ: 2.
5. 8 x  18 x  2  27 x ;
Ответ: 0.
6. 23 x 1  25 x  2 x 1  125 x ;
Решить неравенства:
Ответ: 0.
7.
2
6  x  (5 x 7,2 x 3,9  25 5 )  0 ;
1
5
Ответ: (-; .
8. 4 x  0,5  7  2 x  4 0;
Ответ: (-2;).
9. 3  16 x  2  81x  5  36 x 0;
Ответ: (-;0) ( ;).
5
2
1
2
10. 0,41 23...  x  ( ) 7 ;
Ответ: 1;4.
11. 4 x  6 x  2  9 x 0;
Решить системы уравнений:
Ответ: (-;0).
32 x  2 y  725
y
12. 
x
 3  2 2  25
Ответ: (3;2).
 x 3y  1
2 
y4
13. 
x
y  3 2  8

2x  1
Ответ: (0;-2,5).
4x  5 y  2

 4 x  5 y  4 
7
14. 
2x  y  1
x y



4x  5 y  5
5
Ответ: (5;4).
Вычислить логарифмы чисел:
1
3
15. ( log 4 125  4 log16 3) log 45 4  log 27 3  log8 4 ;
Ответ: 2.
16. log 2 3 2
Ответ: 3.
log 2 (log 3 2)
 log3 5  log25 81;
17.
1
1
log 5
log 7
25 6  49 8
18.
1 1
 log 4
log 2
814 2 9  49 7 ;
Ответ: 3.
2  2 log 3 3
4
Ответ: 22.
19. 8
1 log 4
 7 49 ;
3
log 25 16
20.125
Ответ: 10.
;
(log 5) 1
 25
3
 (8log81 1296)log6 9 ;
Ответ: 9.
БЛОК 8
ТЕМЫ: 1)Логарифмические уравнения и неравенства;
2)Область определения функций.
3)Графики функций.
ЗАДАЧИ.
Решить уравнения:
1. log 4 ( x  12)  log x 2  1 ;
Ответ: 4.
2. log 49 x 2  log 7 ( x  1)  log 7 (log
4  log 2 4
x
3. log
3
3) ;
16
 1;
8 x
Ответ: 4.
x
3
4. 2 x 2  (6 x  45)  log x 4  log8 ;
3
Ответ: 2.
Ответ: 5.
5. x20,5 lg x  100 ;
Решить неравенства:
6. log 1 0,4 0;
Ответ: 100.
Ответ: (2;).
x 1
7. lg 2 x  4 lg x  3  0 ;
Ответ: 10;1000.
x2  2x
8. log0,5 (log8
) 0;
x3
Ответ: (3;4) (6;).
9. log x 2 (2  x) 1;
Ответ: (-2;-1) (-1;0)  (0;1) 
(2;).
10. log2
3  2x
1;
1 x
Ответ: (2;).
Найти область определения функций:
11. y   x 
1
;
4 x
12. y  4 6 x  x2  5 ;
13. y  arcsin
14. y  lg
x3
;
x
x5
x2  4
;
Ответ: (-4;0.
Ответ: 1;5.
Ответ: (32;).
Ответ: (5;).
15. y 
x
;
cos x
Построить графики функций:
16. y 
1
x 1
17. y  3 x  1
18. y  2  31 2 x
19. y  log 2 (1  4x)  2
20. y  1 cos2 x
1
2
Ответ: x  n, n  Z .
БЛОК 9
ТЕМЫ: Задачи с параметрами.
ЗАДАЧИ.
1
3
1. При каком значении «а» функция y  x3  x 2  ax возрастает
на интервале (0;)? Указать наименьшее целое.
Ответ: 0.
1
2
2. При каком значении «а» функция y  x 2  3x  a
расположена не ниже оси ОХ. Указать наименьшее целое.
Ответ: 5.
3. При каком значении «m» функция y  11 mx  3x 2  2 имеет
максимум в точке x0 =2,5.
Ответ: 15.
4. Найти все значения «р», при которых уравнение e x
имеет одно решение.
Ответ: 1е.
2 2 x
5. Найти все значения «р», при которых уравнение
x  x p
имеет одно решение. Ответ: 14.
6. Найти все значения «а», при которых наименьшее
решение неравенства
аx  4
 8 равно –1.
x
Ответ: 12.
7. При каких значениях «в» уравнение x  b  x  3
имеет единственное решение?
Ответ: 114 3;).
8. При каких значениях «а» уравнение 2 lg( x  1)  lg ax
имеет единственное решение?
Ответ: 4 (-;0).
9. При каких значениях «а» уравнение 3x lg x  1  a lg x
имеет единственное решение?
Ответ: а0.
10. При каких значениях «а» функция
y  log
(cos x  8 sin x  a) определена при любых
25  x 2
значениях «х»?
 p