Алгебра. Начала математического анализа

Примерная учебная программа по алгебре и началам анализа
для 10 –11 классов (профильный уровень)
Пояснительная записка
Содержание учебников «Математика. Алгебра. Начала математического анализа.
Профильный уровень. Учебник для 10 класса» и «Математика. Алгебра. Начала
математического анализа. Профильный уровень. Учебник для 11 класса» соответствует
утвержденным Министерством образования РФ Стандарту среднего (полного) общего
образования по математике и Примерной программе среднего (полного) общего
образования по курсу «Математика. Алгебра. Начала математического анализа.
Профильный уровень».
Учебники для 10 и 11 классов по курсу «Математика. Алгебра. Начала
математического анализа. Профильный уровень» ориентированы на преподавание
профильного курса в 10 и 11 классах с углубленным изучением математики в объеме 6 – 8
часов в неделю (планирование представлено на 6 часов в неделю при общем количестве
часов за два года обучения – 420 часов).
Учебники «Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный
уровень» для 10 и 11 классов входят в учебно-методический комплект (УМК)
«Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень», который
содержит:
1. Шабунин М.И., Прокофьев А.А. «Математика. Алгебра. Начала математического
анализа. Профильный уровень. Учебник для 10 класса».
2. Шабунин М.И., Прокофьев А.А. «Математика. Алгебра. Начала математического
анализа. Профильный уровень. Учебник для 11 класса».
3. Шабунин М.И., Прокофьев А.А., Олейник Т.А., Соколова Т.В. «Математика.
Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Методическое
пособие для 10 класса». М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 448 с.
4. Шабунин М.И., Прокофьев А.А., Олейник Т.А., Соколова Т.В. «Математика.
Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Методическое
пособие для 11 класса».
5. Шабунин М.И., Прокофьев А.А., Олейник Т.А., Соколова Т.В. «Математика.
Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Задачник для 1011 классов».
Учебник для 10 класса содержит 10 глав. Изложение материала в нем опирается на
понятия, изученные учащимися в основной школе. Учебник для 10 класса ориентирован
на закрепление теоретических знаний с использованием практических работ.
В целях формирования логической культуры учащихся, являющейся неотъемлемой
частью математического образования на профильном уровне, учебник для 10 класса
содержит главу «Элементы математической логики». Кроме того, в учебнике для 10
класса рассматриваются понятия точных граней числовых множеств, формулируется
теорема о существовании точной грани и следствия из нее (об отделимости). Затем на
основании этих теорем даются определения суммы и произведения действительных чисел,
приводится доказательство теоремы о пределе монотонной последовательности.
Отметим, что в учебнике для 10 класса большее, чем обычно, внимание уделено
определению показательной функции, что особенно необходимо в классах профильного
уровня для понимания выполнения операции возведения положительного
действительного числа в действительную степень.
Учебник для 11 класса содержит 11 глав и так же, как и учебник для 10 класса,
ориентирован на закрепление теоретических знаний с использованием практических
работ.
Содержание главы «Тригонометрические и обратные тригонометрические функции»
опирается на материал глав «Тригонометрические формулы» и «Функции» учебника для
10 класса, и готовит основу для следующей главы учебника для 11 класса.
В главе «Тригонометрические уравнения и неравенства» разобрано около 70
примеров. Такое усиленное внимание к этой теме объясняется тем, что тригонометрия
занимает важное место в школьном курсе математики и широко представлена в
материалах итоговой аттестации (ЕГЭ, вступительные экзамены в вузы).
Глава «Дифференциальные уравнения» имеет прикладную направленность и знакомит
учащихся с общими и частными случаями решения простейших дифференциальных
уравнений.
Последний параграф главы «Делимость чисел, целочисленные решения уравнений»
посвящен методам решения текстовых задач, часто встречающихся в вариантах
вступительных экзаменов и основанных на том, что переменные принимают
целочисленные значения.
В каждой главе учебников для 10 и 11 классов представлено большое количество
разобранных примеров, помогающих учащимся лучше усвоить теоретический материал и
познакомиться с различными методами решений и доказательств. Кроме этого, в каждом
параграфе дается необходимое количество задач для самостоятельного решения в порядке
повышения их сложности. Такое количество примеров и задач позволяет организовать
процесс обучения с учетом индивидуальных запросов учащихся в рамках профильного
образования по математике. Ряд примеров и задач разработаны на основе вариантов
выпускных экзаменов для классов с углубленным изучением предмета и вариантов
вступительных испытаний в вузы, и нацелены на подготовку старшеклассников к
поступлению в высшие учебные заведения, предъявляющие повышенные требования к
математической подготовке поступающих (МФТИ, МГУ, СПГУ, НГУ, МВТУ, МИЭТ и
др.).
Общая характеристика учебного предмета
Математическое образование при профильном обучении в старших классах
складывается из следующих содержательных компонентов: алгебра и начала анализа;
геометрия; элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики.
В своей совокупности они отражают богатый опыт обучения математике в нашей стране,
учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют
реализовать поставленные перед школьным образованием цели на информационно емком
и практически значимом материале. Эти содержательные компоненты, развиваясь на
протяжении всех лет обучения, естественным образом переплетаются и взаимодействуют
в учебных курсах.
Алгебра и начала анализа нацелены на формирование математического аппарата
для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык
алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических
моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения
алгебры и начал анализа является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в
частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных
рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в
развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной
задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о
функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования
разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных,
периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в
развитии цивилизации и культуры.
Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей
становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его
прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для
формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать
информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер
многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты.
Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев,
перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.
При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о
современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли
статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы
вероятностного мышления.
Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают
возможность:
 развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике;
сформировать
практические
навыки
выполнения
устных,
письменных,
инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;
 овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные
алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и
нематематических задач;
 изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать
функционально-графические представления для описания и анализа реальных
зависимостей;
 получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о
различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих
вероятностный характер;
 развить логическое мышление и речь – умения логически обосновывать суждения,
проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры,
использовать различные языки математики (словесный, символический, графический)
для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
 сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших
средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.
Цели обучения
Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на
достижение следующих целей:

овладение системой математических знаний и умений, необходимых для
применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин,
продолжения образования;

интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых
человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных
математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления,
интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры,
пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;

формирование представлений об идеях и методах математики как универсального
языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

воспитание культуры личности, отношения к математике как к части
общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.
Место предмета в федеральном базисном учебном плане
Примерная программа рассчитана на преподавание профильного курса в 10 и 11
классах с углубленным изучением математики в объеме 6 – 8 часов в неделю
(планирование представлено на 6 часов в неделю при общем количестве часов за два года
обучения – 420 часов). При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени
в объеме 90 учебных часов для реализации авторских подходов, использования
разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов
обучения и педагогических технологий.
Содержание курса
«Алгебра. Начала математического анализа (профильный уровень)»
10 класс
Глава 1. Элементы математической логики
(12ч)
Высказывания и операции над ними. Неопределенные высказывания. Знаки общности и
существования. Некоторые приемы доказательства.
Основная цель – обобщение и систематизация начальных представлений о
математической логике, широко применяемых в основной школе при решении задач и
доказательствах теорем, формирование основ логической культуры учащихся,
необходимой для освоения фундаментальных понятий и теорем курса математики.
При рассмотрении высказываний и операций над ними (отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция, эквиваленция, импликация) уделяется много внимания составлению таблиц
истинности.
При изучении неопределенных высказываний (предикатов) особое место занимают
примеры записи теорем, известных из геометрии и алгебры, в формальном виде с
использованием знаков (кванторов) общности и существования, а также построение
отрицаний высказываний.
При рассмотрении различных приемов доказательства подробно обсуждаются такие
понятия, как «необходимое условие», «достаточное условие», «обратная и
противоположная теоремы», «необходимые и достаточные условия», «принцип полной
дизъюнкции».
Глава II. Множества и операции над ними
(30ч)
Множества. Операции над множествами. Натуральные, целые, рациональные и
иррациональные числа. Степени и корни. Логарифмы. Суммирование. Числовые
неравенства.
Основная цель – обобщить и систематизировать знания о множествах и, в частности, о
числовых множествах (целые, рациональные и иррациональные числа); научить
применять учащихся определения степени и корня для преобразования выражений и
выполнения вычислений; дать определение логарифма, рассмотреть свойства логарифмов
и выработать умение преобразовывать для преобразования выражений, содержащих
логарифмы, и вычисления их значений; сравнения чисел и доказательства равенств;
помочь учащимся приобрести навыки, связанные с вычислением различных сумм;
изложить основные свойства числовых неравенств, научить доказывать неравенства.
Параграф «Суммирование» начинается с изложения известных из курса алгебры
основной школы сведений, относящихся к арифметической и геометрической
прогрессиям. Особое внимание уделено использованию при решении задач
характеристических свойств этих прогрессий. Приводится формула суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии, доказательство которой дано в главе 9 «Предел и
непрерывность функции».
В параграфе «Числовые неравенства» изложены основные понятия, относящиеся к
числовым неравенствам, известные из курса алгебры основной школы. Доказаны
основные свойства неравенств с использованием понятия равносильности. Приведены
примеры доказательств с помощью метода математической индукции (неравенства Коши,
Коши-Буняковского, Бернулли).
Глава III. Функции
(22ч)
Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции. Основные понятия,
относящиеся к числовым функциям. Свойства функций. Обратная функция. Графики
функций.
Основная цель – обобщение и систематизация сведений о линейной, квадратичной и
дробно-линейной функциях, изложенных в учебниках алгебры основной школы;
формирование и подробное обсуждение основных понятий, связанных с функцией:
область определения, множество значений и способы задания функций; непрерывность,
четность и нечетность, монотонность, наибольшее и наименьшее значения функции,
периодические функции; обратная функция; графики функций и их построение методом
элементарных преобразований.
Изучение материала главы III «Функции» начинается с рассмотрения сведений,
известных из курса алгебры основной школы и относящихся к линейной, квадратичной и
дробно-линейной функциям. Для линейной функции, графиком которой является прямая,
вводится понятие углового коэффициента прямой и угла между прямыми. Для
квадратичной функции проводится исследование в зависимости от ее дискриминанта и
знака старшего коэффициента. Для дробно-линейной функции вводится понятие
асимптоты и даны примеры построения графиков дробно-линейных функций.
В параграфе «Свойства функций» вводится понятие непрерывности функции в точке и
точек разрыва; даются определение и рассматриваются свойства: четных и нечетных,
монотонных, ограниченных (сверху, снизу и ограниченной на множестве), периодических
функций; даются понятия точек экстремума и экстремумов функций, представлены
методы исследования на ограниченность и сформулированы достаточные условия
локального максимума и минимума; рассмотрены теоремы: о корне для возрастающей
(убывающей) функции и об определении периода функции, представляющей собой сумму
функций с разными периодами.
В параграфе «Обратная функция» дается определение обратной функции,
рассматриваются ее свойства и формулируется достаточное условие существования
обратной функции и способ ее нахождения.
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
(20ч)
Уравнение и его корни. Преобразования уравнений. Квадратные уравнения и
сводящиеся к ним. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля.
Алгебраические неравенства.
Основная цель – обобщение и систематизация сведений об алгебраических уравнениях
и неравенствах, изложенных в учебниках алгебры основной школы (область определения
уравнения и неравенства, равносильность уравнений и неравенств, преобразования
уравнений и неравенств).
Обсуждается круг вопросов, связанных с преобразованием уравнений и неравенств, а
именно:
 какие преобразования ведут к равносильным уравнениям или неравенствам;
 какие преобразования ведут к уравнениям-следствиям;
 в каких случаях происходит приобретение, а в каких потеря корней;
 каковы общие приемы и методы решения уравнений и неравенств.
Изучаемый материал структурирован так, чтобы за частными приемами и методами
решений уравнений и неравенств различных видов прослеживались общие идеи.
Подробно изучаются квадратные уравнения и сводящиеся к ним (биквадратные,
возвратные), иррациональные уравнения и уравнения, содержащие знак модуля.
Много внимания уделяется решению квадратичных неравенств (в том числе с
параметром) и сводящихся к ним, а также рациональных неравенств, решаемых методом
интервалов, и иррациональных неравенств. При этом широко используются графические
интерпретации решений.
Глава V. Тригонометрические формулы
(18ч)
Тригонометрическая окружность. Градусная и радианная меры измерения угловых
величин. Координаты точек тригонометрической окружности. Синус, косинус, тангенс
и котангенс. Преобразование тригонометрических выражений. Доказательство
тождеств. Формулы сложения. Формулы приведения. Формулы кратных углов. Формулы
половинных углов. Формулы преобразования произведений в суммы. Формулы
преобразования сумм в произведение. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс
числа.
Основная цель – освоить основные понятия тригонометрии (способы измерения углов,
тригонометрическая окружность, синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла
и их свойства, обратные тригонометрические выражения (арксинус, арккосинус,
арктангенс и арккотангенс) и их свойства); освоить основные тригонометрические
формулы и выработать умение выполнять тождественные преобразования
тригонометрических выражений с использованием выведенных формул; развитие
вычислительных навыков; научить решать простейшие тригонометрические уравнения
вида sin x  a , cos x  a , где a – табличное значение, и сводящихся к ним.
Вводится понятие угла между лучом, выходящим из начала координат, и
положительным направлением оси абсцисс. Затем вводится понятие градусной и
радианной меры угла, дается формула перевода радианной меры в градусную и наоборот.
Далее представлен способ установления соответствия точек числовой прямой (множества
действительных чисел) и точек единичной окружности и введено понятие координат
точек на тригонометрической окружности и определены координаты точек на
тригонометрической окружности в декартовой системе координат. С их помощью даются
определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла; рассмотрены их
основные свойства и доказаны основные формулы для них.
Далее рассматриваются понятия тригонометрических выражений и тождеств и
тождественных преобразований; приводятся способы доказательства тригонометрических
тождеств и упрощения тригонометрических выражений с помощью тождественных
преобразований.
В параграфе «Формулы сложения» с использованием формулы расстояния между
двумя точками в декартовой системе координат выводится формула косинуса разности
или суммы двух углов. Далее с ее помощью и применением формулы для дополнительных
углов выводятся формулы для вычисления синуса, тангенса и котангенса от суммы или
разности углов, а также формулы приведения.
Далее получены формулы:
 синуса, косинуса, тангенса и котангенса кратных (двойных и тройных) углов;
выведены формулы понижения степени и показано их применение при решении
задач;
 половинных углов для синуса, косинуса и тангенса и показано их применение при
решении задач, а также выведены формулы универсальной тригонометрической
подстановки;
 преобразования произведений косинусов и синусов разных углов в суммы, а также
преобразования произведения косинуса одного угла на синус другого в сумму;
 преобразования суммы или разности косинусов разных углов, а также
преобразования суммы или разности синусов разных углов в произведение.
Также в параграфе «Формулы преобразования сумм в произведение» рассмотрен
метод вспомогательного угла для преобразования тригонометрического двучлена
a sin x  b cos x и нахождения его наибольшего и наименьшего значения.
В параграфе «Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа» вводятся
арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа, рассматриваются их свойства,
дается таблица значений и основных тождеств, рассмотрен метод вспомогательного
аргумента для получения равенств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
разных чисел.
Глава VI. Комплексные числа
(18ч)
Определение комплексных чисел. Операции сложения и умножения. Комплексносопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деления
комплексных
чисел.
Геометрическое
изображение
комплексных
чисел.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Квадратные уравнения с комплексными
коэффициентами. Извлечение корня из комплексного числа.
Основная цель – расширение множества действительных чисел для того, чтобы
находить решения алгебраических уравнений и, в частности, квадратных уравнений с
отрицательным дискриминантом; научить представлять комплексное число в
алгебраической и тригонометрической форме, выполнять действия сложения, вычитания,
умножения и деления над комплексными числами; изображать комплексные числа
точками плоскости или с помощью векторов, извлекать корни из комплексных чисел.
Комплексные числа вводятся как упорядоченные пары действительных чисел, а затем
определяются равенства и операции сложения и умножения комплексных чисел. Исходя
из данного определения и заданных правил сложения и умножения комплексных чисел,
выводится алгебраическая форма комплексного числа, определяется его действительная и
мнимая части. Далее вводятся понятия комплексно-сопряженного числа и модуля
комплексного числа; рассматриваются их свойства. Эти позволяет установить, что
операция деления комплексных чисел сводится к умножению делимого и делителя на
число, комплексно-сопряженное с делителем.
Комплексные числа изображаются точками и векторами на плоскости. Модуль
разности комплексных чисел интерпретируется как расстояние между точками,
изображающими эти числа на плоскости.
Тригонометрическая форма комплексного числа используется как эффективное
средство для выполнения операций умножения и деления комплексных чисел, а также для
возведения комплексного числа в целую степень (формула Муавра) и извлечения корня nй степени ( n  N ) из комплексного числа (выводится формула всех корней n-й степени
( n  N ) из комплексного числа и дается их геометрическая интерпретация).
Параграф «Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами», посвященный
решению квадратных уравнений с комплексными коэффициентами, представляет
дополнительный материал, не предназначенный для обязательного изучения.
Глава «Комплексные числа» изложена до главы «Многочлены от одной переменной»,
что дает возможность в дальнейшем находить разложение многочлена с действительными
коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
Глава VII. Многочлены от одной переменной
(18ч)
Основные определения. Схема Горнера. Теорема Безу. Корни многочлена.
Алгебраические уравнения.
Основная цель – обобщение и систематизация сведений о многочленах, изложенных в
учебниках алгебры основной школы; изучить операции деления многочлена на многочлен
нацело и с остатком; изучить методы отыскания корней многочленов; усвоить понятие
комплексного корня многочлена и научить применять теоремы о комплексных корнях
многочлена при решении задач.
В начале темы дается определение многочлена (полинома) от одной переменной,
дается понятие равенства двух многочленов и вводится сумма, разность и произведение
двух многочленов, после чего рассматривается деление одного многочлена на другой и
вводится операция деления одного многочлена на другой с остатком и приводится
алгоритм выполнения этой операции.
Далее рассматриваются:
 методы неопределенных коэффициентов и деления многочленов «уголком»;
 схема Горнера и алгоритм разложения многочлена по степеням двучлена;
 многочлены с комплексными коэффициентами;
 многочлены с действительными коэффициентами;
 алгебраические уравнения высоких степеней.
При изучении темы формулируются и доказываются:
 две теоремы о делении многочленов с остатком;
 теорема Безу;
 теоремы о нахождении рациональных и целых корней многочлена;
 основная теорема алгебры (без доказательства) и следствия из нее;
 теорема о сопряженных комплексных корнях многочлена с действительными
коэффициентами;
 частный случай обобщенной теоремы Виета для многочлена 3-й степени.
В качестве дополнительного материала, полезного для ознакомления, представлены:
 алгоритм Евклида;
 обобщенная теорема Виета и ее применение;
 формула Кардано.
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
(16ч)
Основные понятия, связанные с системами уравнений. Системы линейных уравнений.
Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными. Нелинейные системы уравнений с
тремя неизвестными.
Основная цель – обобщить и систематизировать начальные сведения о системах
алгебраических уравнений с двумя и тремя неизвестными, изложенными в учебниках
алгебры основной школы; научить решать системы линейных уравнений, а также системы
нелинейных уравнений с двумя неизвестными (однородные, симметрические и др.),
системы иррациональных уравнений, а также нелинейные системы с тремя неизвестными.
Сначала рассматриваются основные понятия, относящиеся к системам уравнений:
решение системы, равносильность, следствие; система, равносильная совокупности
систем; затем такие методы решения систем, как метод подстановки и метод замены
переменных. Большое внимание уделено решению алгебраических уравнений с
использованием графических методов.
При решении линейных систем используется понятие определителя, правило Крамера,
метод Гаусса.
Даны примеры однородных, симметрических систем с двумя неизвестными. Всего в
главе VIII даны подробные решения 30 систем алгебраических уравнений различного
уровня сложности.
Глава IX. Предел и непрерывность функции
(24ч)
Точные грани числовых множеств. Операции над числовыми множествами. Предел
последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. Вычисление пределов
функции.
Основная цель – ввести важнейшие понятия, связанные с курсом математического
анализа:
точная
верхняя
(нижняя)
грань
числового
множества,
предел
последовательности, предел и непрерывность функции, и подготовить учащихся к
пониманию и успешному освоению дифференциального и интегрального исчисления.
Сформулированы определения точных граней числового множества, без
доказательства приводится теорема об их существовании, а затем определены основные
операции над действительными числами.
Определению предела последовательности (как и предела функции) предшествует
рассмотрение нескольких примеров, подводящих к строгому определению предела.
Доказаны свойства предела последовательности: единственность предела,
ограниченность сходящейся последовательности; доказана теорема о пределе монотонной
последовательности
и
об
арифметических
операциях
над
сходящимися
последовательностями.
При определении предела функции используется геометрическая интерпретация этого
понятия. Рассмотрены различные типы пределов (односторонние, бесконечные).
Сформулированы два эквивалентных определения предела функции в точке (с
помощью последовательности и окрестности) и сформулирована без доказательства, но с
подробным объяснением, важным для приложений свойства функций, непрерывных на
отрезке: ограниченность, достижимость точных граней, промежуточные значения. Все
теоремы и свойства иллюстрируются ключевыми для этих свойств примерами.
Глава X. Степенная, показательная и логарифмическая функции
(32ч)
Степенная функция. Показательная функция. Логарифмическая функция.
Показательные
уравнения.
Логарифмические
уравнения.
Показательные
и
логарифмические неравенства.
Основная цель – освоить понятия степенной, показательной и логарифмической
функций, а также сформировать умение решать показательные и логарифмические
уравнения и неравенства.
Рассмотрены функции (их свойства и графики) вида:
 степенные: y  x p , p  N ; y  x  p , p  N ; y  n x , n  N, n  2 ; y  x r , r  Q ;
 показательная y  a r , r  Q , где а – фиксированное действительное число;
 логарифмическая y  log a x , где a  0, a  1 ;
 степенная y  x  , где   R .
Далее демонстрируется применение показательной функции в физике. В качестве
дополнительного материала рассмотрены гиперболические функции, а также тождества,
следующие из их определения, и их графики.
Рассмотрены методы решения;
 показательных уравнений (простейших, сводящихся к алгебраическим методом
замены,
однородных
показательных,
степенно-показательных,
методы
потенцирования и логарифмирования),
 логарифмических уравнений (простейших, сводящихся к алгебраическим методом
замены, решаемых с применением эквивалентных переходов),
 показательных и логарифмических неравенств (простейших, сводящихся к
алгебраическим методом замены, решаемых с применением эквивалентных
переходов).
11 класс
Глава XI. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
(12ч)
Функции синус и косинус. Функции тангенс и котангенс. Обратные
тригонометрические функции. Первый замечательный предел.
Основная цель – изучить свойства тригонометрических и обратных
тригонометрических функций и научить применять эти свойства при решении задач;
научить строить графики тригонометрических обратных тригонометрических функций,
используя различные приемы построения графиков.
В главе «Тригонометрические и обратные тригонометрические функции»
рассматриваются свойства указанных функций и их графики. Содержание главы
опирается на материал глав «Тригонометрические формулы» и «Функции» учебника для
10 класса и готовит основу для следующей главы настоящего учебника.
В начале главы рассматриваются тригонометрические функции синус и косинус как
числовые функции числового аргумента, их свойства и графики, а также рассмотрен
тригонометрический двучлен a sin x  b cos x и показан метод нахождения его
наибольшего и наименьшего значения. Затем рассматриваются тригонометрические
функции тангенс и котангенс как числовые функции числового аргумента, их свойства и
графики.
Далее рассмотрены обратные тригонометрические функции арксинус, арккосинус,
арктангенс и арккотангенс как числовые функции числового аргумента, их свойства и
графики. В качестве дополнительного материала рассмотрены соотношения между
аркфункциями.
В завершение доказана непрерывность функций синус и косинус на множестве R ,
доказаны ряд неравенств и первый замечательный предел.
Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
(20ч)
Простейшие тригонометрические уравнения. Тригонометрические уравнения,
сводящиеся к алгебраическим. Метод замены неизвестного и метод разложения на
множители. Метод оценки левой и правой частей. Отбор корней уравнений.
Тригонометрические уравнения, содержащие знаки модуля и корня. Тригонометрические
уравнения различных видов. Уравнения, содержащие параметры. Тригонометрические
неравенства.
Основная цель – сформировать умение решать тригонометрические уравнения и
неравенства различного уровня сложности, используя известные из курса алгебры 10
класса основные тригонометрические формулы и навыки в преобразовании уравнений и
неравенств.
Изучение темы начинается с рассмотрения простейших тригонометрических
уравнений, решения которых записываются в виде совокупности серий корней с
использованием понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.
Затем рассматриваются уравнения, при решении которых применяется метод введения
новой переменной, с помощью которой исходные уравнения сводятся к алгебраическому.
Этим методом решаются, в частности, однородные уравнения.
Важное место занимает метод разложения уравнения на множители, позволяющий
свести исходное уравнение к совокупности простейших, а также метод предварительной
оценки левой и правой частей уравнения, который в ряде случаев дает возможность легко
найти его корни или установить, что их нет.
При решении уравнений приходится часто проводить отбор корней с учетом ОДЗ
уравнений и множества значений тригонометрической функции.
Данная тема содержит уравнения различного типа, для решения которых нужно уметь
умело применять различные формулы тригонометрии и различные методы решения
уравнений (уравнения, содержащие знаки модуля и корня; уравнения с параметрами).
Рассматриваются также простейшие тригонометрические неравенства и сводящиеся к
ним, при решении которых используются графики тригонометрических функций.
Глава XIII. Производная и дифференциал
(20ч)
Определение производной. Производная функций x n , sin x , cos x . Производные
показательной и логарифмических функций. Правила дифференцирования. Дифференциал.
Геометрический и физический смыслы производной и дифференциала.
Основная цель – научить находить производные различных функций, используя
формулы для производных основных элементарных функций (степенной,
тригонометрических, показательной, логарифмической) и правил дифференцирования;
научить находить с помощью производной уравнение касательной к графику функции.
Изучение темы начинается с задач, приводящих к понятию производной: задачи о
скорости движения материальной точки, задачи о касательной к графику функции.
Затем дается определение производной функции в данной точке, доказываются
формулы
производных
степенной
функции
с
натуральным
показателем,
тригонометрических функций (синуса и косинуса) с помощью первого замечательного
предела (глава XI), экспоненты (с помощью второго замечательного предела) и
логарифмической функции.
Далее формулируются и доказываются правила дифференцирования суммы,
произведения, частного, сложной и обратной функции, что позволяет находить
производные широкого класса функций.
Вводится определение дифференциала, с помощью которого можно находить
приближенное значение функции в некоторой точке, близкой к заданной.
Наконец, выясняется геометрический и физический смыслы производной и
дифференциала, вводятся понятия односторонних и бесконечных производных, выводится
уравнение касательной к графику функции в данной точке.
Правила дифференцирования нужно понять и уметь применять, а доказательство этих
правил можно опустить, как и вывод формул производных показательной и
логарифмической функций.
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
(18ч)
Основные теоремы для дифференцируемых функций. Возрастание и убывание
функции. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.
Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба. Построение графиков
функций.
Основная цель – показать, как используется производная в исследовании функции
(возрастание и убывание, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения, выпуклость и
точки перегиба), а также изложить схему построения графика функции с помощью
производной.
Доказаны основные теоремы для дифференцируемых функций (теорема Ферма о
необходимом условии экстремума дифференцируемой функции, теорема Ролля о нулях
производной, формула конечных приращений Лагранжа, формула Коши), показана
возможность их использования для доказательства некоторых важных неравенств и
нахождения односторонних производных.
Затем показано, как с помощью теоремы Лагранжа находить промежутки возрастания
и убывания функции и доказывать неравенства.
Введены понятия «стационарная точка», «критическая точка», установлены
необходимое условие экстремума, достаточное условие экстремума (с помощью смены
знака производной при переходе через критическую точку) дифференцируемой функции.
Показано, как находить с помощью производной наибольшее и наименьшее значения
функции.
Изложена схема построения графика функции:
1) Найти область определения функции; выяснить является ли она четной (нечетной),
периодической.
2) Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки
знакопостоянства функции.
3) Вычислить производную и с ее помощью определить промежутки возрастания
(убывания) функции.
4) С помощью второй производной найти точки перегиба и промежутки выпуклости
вверх (вниз) графика функции.
5) Нарисовать график функции.
Глава XV. Первообразная и интеграл
(30ч)
Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.
Применение определенного интеграла для вычисления площадей. Приложения
определенного интеграла к физическим задачам.
Основная цель – изучение основ интегрального исчисления, основанное на знании
таблицы первообразных (неопределенных интегралов) основных функций и умении
применять формулу Ньютона – Лейбница при вычислении определенных интегралов и
площадей фигур, а также решении физических задач.
Сначала вводится понятие первообразной функции непрерывной на интервале, ее
основного свойства и правил нахождения первообразных. Далее вводится понятие
неопределенного интеграла, рассматриваются его свойства и основные методы
вычисления
(непосредственное
интегрирование
с
использованием
таблицы
первообразных и правил их вычисления, метод замены переменной (подстановки) и метод
интегрирования по частям), составляется таблица основных интегралов.
После рассмотрения прикладных задач вводится понятие определенного интеграла,
определяется площадь криволинейной трапеции как предел интегральной суммы для
неотрицательной функции, формулируются условия интегрируемости функции,
рассматриваются свойства и способы вычисления интеграла (формула НьютонаЛейбница, методы замены переменной и интегрирования по частям). В этой главе
рассматривается применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских
фигур и решения физических задач.
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
(8ч)
Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные
дифференциальные уравнения первого и второго порядков с постоянными
коэффициентами.
Основная цель – познакомить с задачами, приводящими к дифференциальным
уравнениям, и отдельными типами дифференциальных уравнений первого и второго
порядка и методами их решений.
Сначала вводится общее определение дифференциального уравнения и его решения, а
также определяется понятие обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
и его решения. Рассмотрены задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
(радиоактивный распад, падение тела в воздушной среде, колебание груза под действием
упругой силы). Далее рассматривается дифференциальное уравнение, разрешенное
относительно производной, найдено его общее решение, раскрывается геометрический
смысл решения дифференциального уравнения, как семейства интегральных кривых, и
формулируется понятие задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Далее изучаются линейные уравнения второго порядков с постоянными
коэффициентами и способы их решения. Прикладная направленность этой темы
проиллюстрирована рассмотрением дифференциальных уравнений гармонических
колебаний.
В завершение рассмотрены неоднородные линейные дифференциальные уравнениями
второго порядка и сформулирована теорема о нахождении решения такого уравнения, как
суммы некоторого частного решения и общего решения соответствующего однородного
уравнения.
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
(18ч)
Показательные и логарифмические уравнения с параметром. Показательные и
логарифмические неравенства с параметром. Системы логарифмических и
показательных уравнений. Системы тригонометрических уравнений и неравенств.
Основная цель – освоить различные методы решения показательных и
логарифмических уравнений и неравенств с переменным или зависящим от параметра
основанием и
систем уравнений и неравенств с несколькими неизвестными
(показательных, логарифмических, тригонометрических, смешанных).
Сначала рассматриваются методы решения показательных и логарифмических
уравнений с переменным или зависящим от параметра основанием, сводящимся, как
правило, к совокупностям и системам уравнений и неравенств. Далее рассмотрены
методы решений систем уравнений и неравенств с несколькими неизвестными
(показательных, логарифмических, тригонометрических, смешанных) различной степени
сложности.
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
(18ч)
Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными. Нелинейные уравнения и
неравенства с двумя переменными. Уравнения и неравенства с двумя переменными,
содержащие параметры.
Основная цель – обучить приемам решения уравнений, неравенств и систем уравнений
и неравенств с двумя переменными.
Основу системы упражнений по данной теме составляют задачи на геометрическое
описание решений уравнений и неравенств с двумя переменными. В первую очередь,
внимание уделяется линейным уравнениям и неравенствам, а также уравнениям и
неравенствам, задающим окружность и круг. Подробно рассматриваются уравнения и
неравенства, содержащие знак абсолютной величины.
Обсуждается использование геометрического подхода для исследования уравнений,
неравенств и их систем. Ряд примеров посвящен аналитическим методам решений
уравнений и неравенств с двумя переменными. И наконец, рассматриваются различные
приемы и методы исследования уравнений и неравенств с двумя переменными,
содержащих параметры.
Глава XIX. Делимость чисел. Целочисленные решения уравнений
(14ч)
Делимость чисел. Сравнения. Решение уравнений и неравенств в целых числах.
Текстовые задачи с целочисленными неизвестными.
Основная цель – ознакомить учащихся с методами решения задач теории чисел,
связанных с понятием делимости; дать представление о методах решения диофантовых
уравнений и научить решать некоторые типы диофантовых уравнений.
Сначала рассматриваются вопросы делимости целых чисел, доказывается теорема
Евклида о бесконечности множества простых чисел, формулируется основная теорема
арифметики, определяется понятие канонического разложения натурального числа n  1 ,
доказывается теорема о представлении делителя натурального числа с известным
каноническим разложением, формулируется теорема о представлении наибольшего
делителя и наименьшего делителя двух натурального чисел с известными их
каноническими разложениями. Далее формулируется и доказывается теорема о делении
целых чисел с остатком и приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего
делителя двух чисел.
Затем определяется понятие сравнимости двух целых чисел по натуральному модулю,
формулируются и доказываются основные свойства сравнений, приводится алгоритм
нахождения остатка от деления целого числа на натуральное с использованием свойств
сравнений, формулируется и доказывается малая теорем Ферма, приводятся методы
решения сравнений и рассматриваются методы решения диофантовых уравнений
(линейных и степени выше единицы).
В завершение рассматриваются методы решения текстовых задач, содержащих
целочисленные неизвестные.
Глава XX. Элементы комбинаторики
(12ч)
Основные законы комбинаторики. Основные формулы комбинаторики. Бином
Ньютона и полиномиальная формула.
Основная цель – развить комбинаторное мышление учащихся; ознакомить с
основными законами и формулами комбинаторики; расширить знания о биноме Ньютона,
полученные в 10-м классе.
Рассмотрены основные законы комбинаторики и выведены формулы для вычисления
числа (без повторений и с повторениями) размещений, перестановок и сочетаний.
Обозначен круг задач, составляющих предметную область комбинаторика,
сформулированы основные правила (суммы и произведения), с использованием которых
решаются комбинаторные задачи. Далее рассмотрены две схемы составления
упорядоченных наборов, содержащих k элементов из n-элементного множества:
 схема (без возвращения), на основании чего определены понятия размещения,
перестановки и сочетания без повторения и выведены формулы для вычисления их
количества;
 схема (с возвращением), на основании чего определены понятия размещения и
перестановки с повторениями и выведены формулы для вычисления их количества.
В качестве дополнительного материала определено понятии сочетания с
повторениями, предложен метод подсчета и выведена формула для вычисления их
количества.
Затем учащимся напомнена формула бинома Ньютона и перечислен набор основных
свойств биномиальных коэффициентов, доказанных в 10-м классе; рассмотрен и
обоснован метод (треугольник Паскаля) для вычисления биномиальных коэффициентов с
использованием только операции сложения, решена задача о нахождении наибольшего
члена разложения в биноме.
В завершение в качестве примеров рассмотрены способы доказательства
комбинаторных тождеств методами математического анализа (с применением операций
дифференцирования и интегрирования) и доказана полиномиальная формула для
вычисления выражения (a1  a2  ...  ak ) n .
Глава XXI. Элементы теории вероятностей
(16ч)
Основные понятия теории вероятностей. Сложение вероятностей. Условная
вероятность. Независимость событий. Формула Бернулли. Дискретные случайные
величины и их числовые характеристики.
Основная цель – овладеть классическим понятием вероятности и изучить его свойства,
овладеть понятиями частота и условная вероятность события, независимые события;
научиться применять полученные знания при решении задач; познакомить с понятием
случайной величины и ее основных числовых характеристик.
Сначала рассматриваются случайные события, даются основные определения
(случайный исход, элементарное событие, множество элементарных событий  , события:
благоприятствующее, достоверное, невозможное, противоположное); определяются
операции над событиями (сумма, произведение), понятие несовместных событий и
определяется понятие алгебры событий; рассматриваются свойства операций над
событиями. Далее дается классическое определение вероятности события, выводятся ее
свойства и вводится понятие вероятностного пространства. Для ознакомления учащихся
представлены статистическое определение вероятности и понятие геометрической
вероятности.
Затем вводится и доказывается правило сложения вероятностей для двух
несовместных событий, дается определение попарно несовместных событий для любого
конечного числа событий и правило сложения вероятностей обобщается на конечное
число несовместных событий, доказывается утверждение о сумме вероятностей
противоположных событий, а также доказывается теорема сложения вероятностей для
двух произвольных событий и дается обобщение полученного результата на любое
конечное число произвольных событий.
После этого дается определение условной вероятности и выводится формула для ее
вычисления, вводятся определения двух независимых событий и конечного числа
событий, независимых в совокупности, приводятся и доказываются формула полной
вероятности и формула Байеса. Дается описание схемы проведения n последовательных
испытаний, в каждом из которых событие наступает с вероятностью p и не наступает с
вероятностью q ( p  q  1 ), называемой схемой Бернулли, выводится формула Бернулли и
рассматривается вопрос о наиболее вероятном числе успехов в опыте, проводимом по
схеме Бернулли. Формулируется закон больших чисел.
И в завершение формулируются основные определения: случайной величины и
дискретной случайной величины. Для дискретной случайной величины определяется
закон распределения, определяются такие характеристики дискретной случайной
величины как математическое ожидание и дисперсия и выводятся их свойства. Даются
примеры законов распределения дискретной случайной величины для случаев
равномерного и биномиального распределений и вычисляются их основные
характеристики.
Повторение
(24ч)
Результаты обучения
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности.
В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием у
учащихся перечисленных в программе знаний и умений, следует обращать внимание на
то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами
деятельности, приобретали опыт:
 планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных
и конструирования новых алгоритмов;
 решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач,
требующих поиска пути и способов решения;
 исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов,
обобщения, постановки и формулирования новых задач;
 ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи,
использования различных языков математики (словесного, символического,
графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации,
интерпретации, аргументации и доказательства;
 проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их
обоснования;
 поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования
разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную
литературу, современные информационные технологии.
Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают
систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся,
оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием
положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования
структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать
приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни».
При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов
содержания.
Требования к уровню подготовки выпускников
В результате изучения математики ученик должен
знать/понимать

существо понятия математического доказательства; приводить примеры
доказательств;

существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов;

как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их
применения для решения математических и практических задач;

как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости;
приводить примеры такого описания;

как потребности практики привели математическую науку к необходимости
расширения понятия числа;

вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры
статистических закономерностей и выводов;

каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры
геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;

смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности
математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.
Алгебра и начала анализа

уметь
составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в
выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие
вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из















формул одну переменную через остальные;
выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами
и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители;
выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и
преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к
ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;
решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы,
решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный
результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
изображать числа точками на координатной прямой;
определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами;
изображать множество решений линейного неравенства;
распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с
применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов;
находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее
аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком
или таблицей;
определять свойства функции по ее графику; применять графические представления
при решении уравнений, систем, неравенств;
описывать свойства изученных функций, строить их графики;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни для:
выполнения расчетов по формулам, для составления формул, выражающих
зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в
справочных материалах;
моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с
использованием аппарата алгебры;
описания зависимостей между физическими величинами соответствующими
формулами, при исследовании несложных практических ситуаций;
интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.
Элементы логики, комбинаторики,
статистики и теории вероятностей







уметь
проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных
или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность
рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для
опровержения утверждений;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;
составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных
вариантов и с использованием правила умножения;
вычислять средние значения результатов измерений;
находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые
статистические данные;
находить вероятности случайных событий в простейших случаях;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни для:
выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;



распознавания логически некорректных рассуждений;
записи математических утверждений, доказательств;
анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков,
таблиц;
решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с
использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени,
скорости;
решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора
вариантов;
сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности
случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной
ситуацией;
понимания статистических утверждений.




Учебно-тематическое планирование
Планирование для 10 класса
Планирование приводится в двух вариантах: для 5ч в неделю и для 6ч в неделю..
Курсивом выделен материал факультативного характера.
номер
урока
при 5ч
1-2
номер
урока
при 6ч
1-2
3-4
3-4
-
5-6
-
7-8
-
9
5-7
10-12
8-9
13-14
-
15
10-12
16-18
Тема урока
1 полугодие
Глава I. Элементы математической
логики
Высказывания.
Операции
над
высказываниями (отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция, эквиваленция, импликация).
Алгебра высказываний. Преобразование
высказываний. Решение логических задач.
Неопределенные
высказывания
(предикаты) и операции над ними. Знаки
общности и существования. Построение
отрицаний высказываний, содержащих
знаки общности и существования.
Необходимые и достаточные условия.
Обратные и противоположные теоремы.
Контрольная работа I.1.
Метод
математической
индукции.
Доказательство
формул
для
сумм.
Доказательство делимости.
Глава II. Числовые множества
Множества. Основные понятия. Операции
над множествами.
Формула включений и исключений.
Рациональные
числа.
Бесконечные
десятичные дроби и их приближения.
Иррациональные числа. Действительные
§
количество часов
5ч
6ч
в
в
неделю неделю
7
12
2
2
2
2
§2.
-
2
§3.
-
2
-
1
3
3
24
30
2
2
-
1
3
3
§1.
§3.
§1.
§2.
13-14
15-16
19-20
21-22
17-18
23-24
19-20
25-26
21-22
23-24
27-28
29-30
25-26
31-32
-
33-34
27-28
35-36
29
37-38
-
39-40
30-31
41-42
32-33
43-44
34-35
45-46
36-37
47-48
38-39
49-50
40-41
51-52
42-43
53-54
44-47
55-56
48-49
57-60
50-51
52-53
61-62
63-64
54-55
65-66
числа. Сравнение действительных чисел.
Целая и дробная части числа.
Контрольная работа II.1.
Степени и корни.
Определение
логарифма.
Свойства
логарифмов.
Свойства логарифмов. Десятичные и
натуральные
логарифмы.
Формула
перехода.
Преобразование
логарифмических выражений.
Контрольная работа II.2.
Арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия. Бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия.
Суммирование. Бином Ньютона.
Числовые
неравенства.
Основные
свойства
неравенств.
Доказательство
неравенств
методом
математической
индукции.
Некоторые
важные
неравенства.
Неравенство
между
средним
арифметическим
и
средним
геометрическим.
Неравенства Коши, Коши-Буняковского,
Бернулли.
Применение неравенств Коши, КошиБуняковского, Бернулли.
Контрольная работа II.3.
Глава III. Функции
Линейная и квадратичная функции.
Свойства и графики.
Исследование квадратичной функции.
Дробно-линейная функция.
Основные понятия, относящиеся к
числовым функциям. Сложная функция.
Понятие непрерывности функции. Четные
и нечетные функции и их свойства.
Монотонные функции. Наибольшее и
наименьшее значение функции.
Периодические функции.
Обратная функция. Достаточные условия
существования обратной функции.
Контрольная работа III.1.
Построение
графиков
функций.
Элементарные
геометрические
преобразования графиков функций.
Построение графиков уравнений.
Контрольная работа III.2.
Глава IV. Алгебраические уравнения и
неравенства
Уравнение и его корни. Преобразование
§3.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-
2
2
2
§4.
§5.
§6.
1
2
-
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
19
20
2
2
§6.
§2.
§3.
§3.
§4.
§5.
§1.
56-57
58-59
67-68
69-70
60-61
71-73
62-63
64-65
66-67
74-75
76-77
78-79
68-70
80-82
71-72
83-84
73-74
85-86
75-76
87-88
77-78
89-90
79-80
81-83
84-85
86-88
89-90
91-92
91-92
уравнений.
Квадратные уравнения и сводящиеся к
ним.
Иррациональные уравнения.
Уравнения, содержащие знак модуля.
Основные понятия, связанные с решением
неравенств.
Квадратичные
и
рациональные
неравенства.
Метод
интервалов.
Исследование
расположения
корней
квадратного трехчлена.
Контрольная работа IV.1.
Неравенства, содержащие знак модуля.
Иррациональные неравенства.
Практикум по решению алгебраических
неравенств.
Контрольная работа IV.2.
Глава V. Тригонометрические формулы
Тригонометрическая
окружность.
Градусная и радианная меры измерения
углов.
Координаты точек тригонометрической
окружности.
Понятие синуса, косинуса, тангенса и
котангенса угла. Вычисление значений,
определение знаков, сравнение и оценка
значений.
Преобразование
тригонометрических
выражений.
Доказательство
тригонометрических тождеств.
§2.
Основные тригонометрические формулы:
сложения и приведения, кратных углов.
Основные тригонометрические формулы:
половинных
углов,
преобразования
93-95
произведений в суммы и сумм в
произведение.
Практикум по решению задач на
96-97 использование
тригонометрических
формул.
Арксинус,
арккосинус,
арктангенс,
арккотангенс
числа:
определение,
98-100 геометрическое толкование, вычисление и
сравнение
значений.
Метод
вспомогательного треугольника.
101-102 Контрольная работа V.1.
2 полугодие
Глава VI. Комплексные числа
Определение
комплексных
чисел.
103-104 Алгебраическая форма комплексного
числа. Операции сложения и умножения и
§3.
2
2
2
2
§4.
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
18
2
18
2
2
§3.
2
2
§4.
2
2
§5.
§6.
§7.
2
2
§8.
§9.
§10.
3
3
§5-10.
2
2
§11.
3
3
2
2
15
18
2
2
§4.
§1.
§2.
§1.
93-94
105-106
95-96
107-108
97-98
109-110
99-100
111-112
-
113-115
101-103 116-118
104-105 119-120
106-107 121-122
-
123-124
108-109 125-126
110-111 127-128
112-113 129-130
131-132
114-115 133-134
135-136
116-117 137-138
118-119 139-140
-
141-142
120-121 143-144
их свойства.
Комплексно-сопряженные числа. Модуль
комплексного числа. Операции вычитания
и деления.
Геометрическое
изображение
комплексных чисел. Геометрический
смысл модуля, операций сложения,
вычитания
и
умножения
на
действительное число.
Аргумент комплексного числа. Запись
комплексного
числа
в
тригонометрической форме.
Умножение, деление и возведение в
степень комплексных чисел, заданных в
тригонометрической форме. Формула
Муавра.
Алгебраические
уравнения
с
действительными
и
комплексными
коэффициентами,
несложные
рациональные уравнения и системы.
Извлечение
корня
степени
n
из
комплексного числа.
Контрольная работа VI.1.
Глава VII. Многочлены от одной
переменной
Понятие многочлена. Арифметические
действия над многочленами. Метод
неопределенных коэффициентов. Метод
деления многочленов «уголком».
Свойства
делимости
многочленов.
Алгоритм Евклида.
Схема Горнера. Разложение многочлена
по степеням двучлена.
Теорема
Безу.
Многочлены
с
комплексными
и
действительными
коэффициентами.
Разложение многочлена на множители.
Обобщенная теорема Виета.
Алгебраические уравнения. Теоремы о
целых
и
рациональных
корнях
многочлена.
Формула Кардано.
Контрольная работа VII.1.
Глава VIII. Системы алгебраических
уравнений
Решение системы, равносильность и
следствия, совокупность систем. Методы
решения систем.
Системы линейных уравнений. Правило
Крамера. Метод Гаусса.
Нелинейные
системы
с
двумя
§2.
2
2
§3.
2
2
2
2
2
2
§5.
-
3
§6.
3
3
2
2
12
18
2
2
-
2
2
2
2
2
2
-
2
2
2
2
2
2
2
10
16
§1.
2
2
§2.
-
2
§3.
2
2
§4.
§1.
§2.
§3.
§4.
122-123 145-146
124-125 147-148
-
149-152
126-127 153-154
-
155-156
-
157-158
-
159-161
-
162-163
128-129 164-165
130-134 166-170
135-136 171-172
137-138 173-174
139-140 175-176
141-142 177-178
143-145 179-181
146-149 182-185
неизвестными. Однородные системы.
Симметрические
системы
с
двумя
неизвестными.
Различные типы систем двух с двумя
неизвестными.
Системы иррациональных уравнений с
двумя неизвестными.
Нелинейные
системы
с
тремя
неизвестными.
Контрольная работа VIII.1.
Глава IX. Предел и непрерывность
функции
Верхняя и нижняя грани числовых
множеств.
Операции
над
действительными числами.
Числовые последовательности и их
свойства. Предел последовательности:
определение, геометрическое толкование.
Свойства
сходящихся
последовательностей. Предел монотонной
последовательности. Число е.
Бесконечно малые последовательности.
Арифметические
операции
над
сходящимися
последовательностями.
Вычисление пределов.
Контрольная работа IX.1.
Предел функции на бесконечности:
определение геометрическое толкование,
вычисление. Предел функции в точке:
определение геометрическое толкование.
Бесконечно
малые
функции.
Арифметические
операции
над
функциями, имеющими конечный предел.
Различные типы пределов: определения,
геометрическое толкование. Вычисление
пределов.
Непрерывность
функции
в
точке:
определение, геометрическое толкование.
Точки разрыва функции.
Свойства функций непрерывных на
отрезке. Использование их для решения
уравнений и неравенств.
Техника вычисления пределов.
Контрольная работа IX.2.
Глава X. Степенная, показательная и
логарифмические функции
Степенная функция. Свойства и график
степенной функции. Решение уравнений и
неравенств с использованием свойств и
графиков функций.
Показательная функция. Свойства и
график показательной функции. Решение
2
2
2
2
-
4
2
2
15
24
-
2
-
2
-
3
-
2
2
2
5
5
2
2
2
2
2
2
2
2
28
32
§1.
3
3
§2.
4
4
§4.
§1.
§2.
§3.
§4.
§5.
150-153 186-189
154-156 190-192
157-160 193-196
161-164 197-200
165-168 201-204
-
205-208
169-170 209-210
уравнений и неравенств с использованием
свойств и графиков показательных
функций.
Логарифмическая функция. Свойства и
график
логарифмической
функции.
Решение уравнений и неравенств с
использованием свойств и графиков
логарифмических функций.
Показательные уравнения, содержащие
показательные функции с постоянным
основанием.
Простейшие логарифмические уравнения,
содержащие логарифмы с постоянным
основанием.
Показательные
и
логарифмические
неравенства.
Практикум по решению показательных и
логарифмических уравнений и неравенств.
Решение смешанных задач и задач с
параметром.
Контрольная работа X.1.
§3.
4
4
§4.
3
3
§5.
4
4
§6.
4
4
4
4
-
4
2
170
2
210
§4-6.
Итого:
Планирование для 11 класса
номер
урока
при 5ч
1-2
номер
урока
при 6ч
1-2
3-4
3-4
5-6
5-6
7-9
7-9
10-11
12
10-11
12
Тема урока
1 полугодие
Глава I. Глава XI. Тригонометрические
и обратные тригонометрические
функции
Функции синус и косинус, их свойства
(периодичность, четность и нечетность,
монотонность и др.).
Графики функции синус и косинус.
Тригонометрический
двучлен
a cos x  b sin x.
Функции тангенс и котангенс ее свойства
их свойства (периодичность, четность и
нечетность, монотонность и др.) и
графики.
Обратные тригонометрические функции
(арксинус, арккосинус, арктангенс и
арккотангенс),
соотношения
между
аркфункциями.
Первый замечательный предел.
Контрольная работа XI.1.
Глава
XII.
Тригонометрические
уравнения и неравенства
§
количество часов
5ч
6ч
в
в
неделю неделю
12
12
2
2
2
2
§2.
2
2
§3.
3
3
§4.
2
1
2
1
20
20
§1.
13-14
13-14
15-16
15-16
17-18
17-18
19-20
19-20
21-22
21-22
23-24
23-24
25-27
25-27
28-30
31-32
28-30
31-32
33-34
33-34
35-36
35-36
37-38
37-38
39-40
39-40
41-42
-
41-42
43-44
43-44
45-46
45-46
47-48
-
49-50
47-48
51-52
49-50
53-54
51-52
55-56
Простейшие
тригонометрические
§1.
уравнения.
Тригонометрические
§2.
уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Пункт1
Однородные
тригонометрические
уравнения.
§2.
Линейные тригонометрические уравнения.
Метод замены неизвестного при решении
тригонометрических уравнений.
§3.
Метод разложения на множители при
решении тригонометрических уравнений.
Тригонометрические
уравнения,
решаемые методом оценки правой и левой
§4.
частей уравнения.
Отбор
корней
уравнения.
Тригонометрические
уравнения,
содержащие знаки модуля и корня.
§5-6.
Тригонометрические
уравнения
различных видов. Уравнения, содержащие
параметр.
Тригонометрические неравенства.
§7.
Контрольная работа XII.1.
Глава
XIII.
Производная
и
дифференциал
Задачи,
приводящие
к
понятию
производной. Определение производной.
§1.
Производные
степенной
и
тригонометрических функций синус и
косинус.
Второй
замечательный
предел.
Некоторые важные пределы. Производные
§2.
показательной
и
логарифмической
функций.
Правила
дифференцирования.
Дифференцирование
суммы,
произведения и частного.
§3.
Дифференцирование сложной функции.
Дифференцирование обратной функции.
Дифференциал.
Геометрический
и
физический
смысл
производной
и
§3.
дифференциала.
Пункт
Касательная к графику функции.
6
§4.
Односторонние
и
бесконечные
производные.
Контрольная работа XIII.1.
Глава XIV. Применение производной к
исследованию функций
Основные
теоремы
для
дифференцируемых функций. Локальный
экстремум и теорема Ферма. Теорема
§1.
Ролля о нулях производной.
Формула
конечных
приращений
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
3
2
16
20
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-
2
2
2
2
2
2
-
2
2
2
16
18
2
2
2
2
53-54
57-58
55-56
59-60
57-58
61-62
-
63-64
59-60
65-66
61-62
67-68
63-64
69-70
65-66
71-72
67-70
73-76
-
77-80
71
81-82
72-73
83-84
74-77
85-88
78-83
89-94
-
95-98
84-85
99-100
-
-
101-102
-
103-104
-
86-89
105
106-107
108
109-112
Лагранжа. Некоторые следствия из
теоремы Лагранжа. Формула Коши.
Возрастание и убывание функции.
Экстремумы
функции.
Необходимое
условие экстремума. Достаточные условия
экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение
функции.
Производные
второго
порядка,
выпуклость и точки перегиба.
Асимптоты графики функции
Общая схема исследования функции и
построения ее графика.
Контрольная работа XIV.1.
Глава XV. Первообразная и интеграл
Основные
понятия.
Первообразная
функции.
Основное
свойство
первообразных функции.
Простейшие
правила
нахождения
первообразных.
Неопределенный интеграл, его свойства.
Методы вычисления неопределенных
интегралов.
Контрольная работа XV.1.
Задачи,
приводящие
к
понятию
определенного интеграла. Определенный
интеграл.
Достаточные
условия
интегрируемости функции.
Свойства
определенного
интеграла.
Способы вычисления.
Применение определенного интеграла для
вычисления площадей.
Приложения определенного интеграла к
физическим задачам.
Контрольная работа XV.2.
2 полугодие
Глава
XVI.
Дифференциальные
уравнения
Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям. Основные определения.
Уравнения
с
разделяющимися
переменными.
Линейные дифференциальные уравнения
первого и второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Уравнение гармонических колебаний.
Неоднородные линейные уравнения.
Контрольная работа XVI.1.
Глава XVII. Системы уравнений и
неравенств различных типов
Показательные
и
логарифмические
§2.
2
2
§3.
2
2
§4.
2
2
§5.
-
2
2
2
2
2
2
21
2
30
2
2
4
4
-
4
1
2
2
2
4
4
§4.
6
6
§5.
-
4
2
2
-
8
-
2
-
2
-
1
2
1
18
18
4
4
§6.
§1.
§2.
§3.
§1.
§2.
§3.
§1.
90-93
113-116
94-98
117-121
99-103
122-126
104-405 127-128
106-107 129-130
108-109 131-132
110-112 133-135
113-115 136-138
116-119 139-142
120-121 143-144
122-124 145-147
148-151
125-126 152-153
127-129 154-156
130-131 157-158
132-133 159-160
134-135 161-162
136-137 163-164
138-139 165-166
167-168
140-141 169-170
-
уравнения с переменным основанием и
параметром.
Показательные
и
логарифмические
неравенства с переменным основанием и
параметром.
Системы
показательных
и
логарифмических уравнений.
Системы тригонометрических уравнений
и неравенств.
Контрольная работа XVII.1 (выдается на
дом на две недели)
Глава XVIII. Уравнения и неравенства
с двумя переменными
Линейные уравнения и неравенства с
двумя переменными.
Системы линейных неравенств с двумя
переменными.
Нелинейные уравнения и неравенства с
двумя переменными.
Системы нелинейных неравенств с двумя
переменными.
Уравнения и неравенства с двумя
переменными, содержащие параметр.
Системы уравнений и неравенств с
параметрам.
Контрольная работа XVIII.1.
Глава
XIX.
Делимость
чисел,
целочисленные решения уравнений
Делимость чисел.
Сравнения.
Решение уравнений в целых числах.
Текстовые задачи с целочисленными
неизвестными.
Контрольная работа XIX.1.
Глава XX. Комбинаторика
Основные
законы
комбинаторики.
Основные
формулы
комбинаторики
(размещения с повторениями и без
повторений, перестановки без повторений,
сочетания без повторений).
Основные
формулы
комбинаторики
(перестановки
и
сочетания
c
повторениями).
Решение
комбинаторных
задач
с
использованием известных формул.
Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.
Наибольший член разложения бинома.
Полиномиальная формула.
Контрольная работа XX.1.
Глава
XXI.
Элементы
теории
вероятностей
§2.
4
4
5
5
5
5
18
18
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
2
2
10
14
§1.
§2.
§3.
3
2
3
4
2
§4.
3
3
2
9
2
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-
16
§3.
§4.
§1.
§2.
§3.
§1.
§2.
§3.
Основные понятия теории вероятностей
171-172 (случайные события, операции над
событиями и их свойства).
173-174 Вероятность события.
Теоремы сложения вероятностей (для
175-176
несовместных и произвольных событий).
Условная вероятность. Независимость
177-178 событий. Формула полной вероятности и
формула Байеса.
179-181 Схема и формула Бернулли.
Числовые характеристики случайных
величин (математическое ожидание и
182-184 дисперсия
дискретной
случайной
величины). Два закона распределения
дискретной случайной величины.
185-186 Контрольная работа XX.2.
142-165 187-210 Итоговое повторение.
Резерв.
Итого:
-
-
2
-
2
§2.
-
2
§3.
-
2
§4.
-
3
§5.
-
3
24
5
170
2
24
210
§1.
Приложение 1
Таблица соответствия содержания учебника
Шабунин М.И., Прокофьев А.А. «Математика. Алгебра. Начала математического анализа» (10 класс)
Стандарту среднего (полного) общего образования по математике
(профильный уровень)
Тема курса
Разделы стандарта
ЧИСЛОВЫЕ
БУКВЕННЫЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
числа.
И Комплексные
Действительная и мнимая часть.
Арифметические действия над
комплексными числами в разных
формах записи.
Комплексно сопряженные числа.
Модуль комплексного числа.
Знания,
умения,
навыки
из
государственного
стандарта
выполнять действия с
комплексными числами,
в простейших случаях
находить комплексные
корни
уравнений
с
действительными
коэффициентами;
выполнять действия с
комплексными числами
Геометрическая интерпретация пользоваться
комплексных чисел.
геометрической
интерпретацией
комплексных чисел
Аргумент комплексного числа. выполнять действия с
Алгебраическая
и комплексными числами,
тригонометрическая
формы в простейших случаях
записи
комплексных
чисел. находить комплексные
Арифметические действия над корни
уравнений
с
комплексными числами в разных действительными
формах записи. Возведение в коэффициентами;
натуральную степень (формула
Муавра).
Параграфы учебника
Глава VI. Комплексные числа
§1. Определение комплексных чисел. Операции
сложения и умножения
Глава VI. Комплексные числа
§2. Комплексно-сопряженные числа. Модуль
комплексного числа. Операции вычитания и
деления комплексных чисел
Глава VI. Комплексные числа
§3. Геометрическое изображение комплексных
чисел
Глава VI. Комплексные числа
§1. Определение комплексных чисел. Операции
сложения и умножения
§4. Тригонометрическая форма комплексного
числа
§5.
Решение
квадратных
уравнений
с
комплексными корнями
§6. Извлечение корня из комплексного числа
Тема курса
Разделы стандарта
Многочлены
от
одной
переменной.
Делимость
многочленов.
Деление
многочленов с остатком.
Схема Горнера.
Теорема Безу. Число корней
многочлена. Основная теорема
алгебры.
Рациональные
многочленов
с
коэффициентами.
корни
целыми
Многочлены
от
двух
переменных.
Формулы
сокращенного умножения для
старших степеней. Многочлены
от
нескольких
переменных,
симметрические многочлены.
Знания,
умения,
навыки
из
государственного
стандарта
находить
корни
многочленов с одной
переменной,
раскладывать
многочлены
на
множители;
находить
корни
многочленов с одной
переменной,
раскладывать
многочлены
на
множители;
находить
корни
многочленов с одной
переменной,
раскладывать
многочлены
на
множители;
находить
корни
многочленов с одной
переменной,
раскладывать
многочлены
на
множители;
Параграфы учебника
Глава VII. Многочлены от одной переменной
§1. Основные определения
Глава VII. Многочлены от одной переменной
§2. Схема Горнера
Глава VII. Многочлены от одной переменной
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
Глава VII. Многочлены от одной переменной
§4. Алгебраические уравнения
Глава VIII. Многочлены от одной переменной
§3. Нелинейные системы уравнений с двумя
неизвестными
§4. Нелинейные системы с тремя неизвестными
Тема курса
Разделы стандарта
Корень степени n>1 и его
свойства.
Степень
с
рациональным показателем и ее
свойства. Понятие о степени с
действительным
показателем.
Свойства
степени
с
действительным показателем.
Логарифм
числа.
Основное
логарифмическое
тождество.
Логарифм
произведения,
частного, степени; переход к
новому основанию. Десятичный
и натуральный логарифмы, число
е.
Преобразования
выражений,
включающих
арифметические
операции, а также операции
возведения
в
степень
и
логарифмирования.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Радианная мера угла.
Знания,
умения,
навыки
из
государственного
стандарта
находить
значения
корня
натуральной
степени, используя при
необходимости
вычислительные
устройства;
пользоваться оценкой и
прикидкой
при
практических расчетах;
находить
значения
логарифма, используя
при
необходимости
вычислительные
устройства;
пользоваться оценкой и
прикидкой
при
практических расчетах;
проводить
преобразования
числовых и буквенных
выражений,
включающих степени,
радикалы, логарифмы и
тригонометрические
функции;
производить
практические расчеты
по формулам, включая
формулы, содержащие
тригонометрические
функции, используя при
необходимости
Параграфы учебника
Глава II. Числовые множества
§3. Степени и корни
Глава II. Числовые множества
§4. Логарифмы
Глава II. Числовые множества
§2. Натуральные, целые, рациональные и
иррациональные числа
§3. Степени и корни
§4. Логарифмы
Глава IX. Предел и непрерывность функции
§1. Точные грани числовых множеств. Операции
над действительными числами
Глава V. Тригонометрические формулы
§1. Тригонометрическая окружность. Градусная и
радианная меры измерения угловых величин
§2. Координаты точек тригонометрической
окружности
Тема курса
Разделы стандарта
Синус,
косинус,
тангенс,
котангенс произвольного угла.
Синус, косинус, тангенс и
котангенс числа.
Основные тригонометрические
тождества.
Преобразования
тригонометрических выражений.
Синус, косинус и тангенс суммы
и разности двух углов. Формулы
приведения. Синус и косинус
двойного
угла.
Формулы
половинного
угла.
Преобразования
суммы
тригонометрических функций в
произведение и произведения в
сумму.
Знания,
умения,
навыки
из
Параграфы учебника
государственного
стандарта
справочные материалы
и
простейшие
вычислительные
устройства;
определять
значение
функции по значению
аргумента
при
различных
способах
задания функции;
строить
графики
изученных
функций,
выполнять
преобразования
графиков;
проводить
преобразования
числовых и буквенных
выражений,
включающих
тригонометрические
функции;
проводить
преобразования
числовых и буквенных
выражений,
включающих
тригонометрические
функции;
Глава V. Тригонометрические формулы
§3. Синус, косинус, тангенс и котангенс
Глава V. Тригонометрические формулы
§4.
Преобразование
тригонометрических
выражений. Доказательство тождеств
Глава V. Тригонометрические формулы
§5.Формулы сложения
§6. Формулы приведения
§7. Формулы кратных углов
§8. Формулы половинных углов
§9. Формулы преобразования произведений в
суммы
§10.
Формулы
преобразования
сумм
в
произведение
Тема курса
Разделы стандарта
Арксинус,
арккосинус,
арктангенс, арккотангенс числа.
ФУНКЦИИ
Функции. Область определения и
множество значений. График
функции. Сложная функция
(композиция функций).
Свойства
функций:
монотонность,
четность
и
нечетность,
периодичность,
ограниченность.
Промежутки
возрастания
и
убывания,
наибольшее
и
наименьшее
значения, точки
экстремума
(локального
максимума
и
минимума).
Взаимно обратные функции.
Область определения и область
значений обратной функции.
График
обратной
функции.
Нахождение функции, обратной
данной.
Знания,
умения,
навыки
из
государственного
стандарта
проводить
преобразования
числовых и буквенных
выражений,
включающих
тригонометрические
функции;
определять
значение
функции по значению
аргумента
при
различных
способах
задания функции;
Параграфы учебника
Глава V. Тригонометрические формулы
§11. Арксинус, арккосинус, арктангенс
арккотангенс числа
и
Глава III. Функции
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная
функции
§2. Основные понятия, относящиеся к числовым
функциям
описывать по графику и Глава III. Функции
по формуле поведение и §3. Свойства функций
свойства функций;
строить
графики Глава III. Функции
изученных
функций, §4. Обратная функция
выполнять
преобразования
графиков;
описывать по графику и
по формуле поведение и
свойства функций;
Тема курса
Разделы стандарта
Знания,
умения,
навыки
из
Параграфы учебника
государственного
стандарта
строить
графики Глава III. Функции
изученных
функций, §5. Графики функций
выполнять
преобразования
графиков;
Построение графиков функций,
заданных
различными
способами.
Преобразования
графиков: параллельный перенос,
симметрия относительно осей
координат
и
симметрия
относительно начала координат,
симметрия относительно прямой
y = x, растяжение и сжатие
вдоль осей координат.
Степенная
функция
с строить
графики
натуральным показателем, ее изученных
функций,
свойства и график.
выполнять
преобразования
графиков;
описывать по графику и
по формуле поведение и
свойства функций;
Вертикальные и горизонтальные строить
графики
асимптоты графиков. Графики изученных
функций,
дробно-линейных функций.
выполнять
преобразования
графиков;
описывать по графику и
по формуле поведение и
свойства функций;
Показательная
функция строить
графики
(экспонента), ее свойства и изученных
функций,
график.
выполнять
преобразования
графиков;
описывать по графику и
Глава X. Степенная, показательная
логарифмическая функции
§1. Степенная функция
и
Глава III. Функции
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная
функции
Глава X. Степенная, показательная
логарифмическая функции
§2. Показательная функция
и
Тема курса
Разделы стандарта
Логарифмическая функция,
свойства и график.
Знания,
умения,
навыки
из
Параграфы учебника
государственного
стандарта
по формуле поведение и
свойства функций;
ее строить
графики
изученных
функций,
выполнять
преобразования
графиков;
описывать по графику и
по формуле поведение и
свойства функций;
Бесконечно
убывающая находить
сумму
НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО геометрическая прогрессия и ее бесконечно убывающей
сумма.
геометрический
АНАЛИЗА
прогрессии;
Глава X. Степенная, показательная
логарифмическая функции
§3. Логарифмическая функция
Понятие
о
пределе
последовательности.
Существование
предела
монотонной
ограниченной
последовательности. Теоремы о
пределах последовательностей.
Понятие о пределе функции в
точке. Поведение функций на
бесконечности.
Понятие
о
непрерывности
функции. Основные теоремы о
непрерывных функциях.
Глава IX. Предел и непрерывность функции
§2. Предел последовательности
Глава II. Числовые множества
§5. Суммирование
Глава IX. Предел и непрерывность функции
§3. Предел функции
§5. Вычисление пределов функций
Глава IX. Предел и непрерывность функции
§4. Непрерывность функции
и
Тема курса
Знания,
умения,
навыки
из
Параграфы учебника
государственного
стандарта
рациональных решать
рациональные Глава IV. Алгебраические уравнения и
Равносильность уравнения
неравенства
§1. Уравнение и его корни. Преобразование
уравнений.
§2. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
Разделы стандарта
УРАВНЕНИЯ
НЕРАВЕНСТВА
И Решение
уравнений.
уравнений.
Решение
уравнений
Решение
уравнений
Решение
уравнений
иррациональных решать иррациональные Глава IV. Алгебраические уравнения и
уравнения
неравенства
§3. Иррациональные уравнения. Уравнения,
содержащие знак модуля
показательных решать показательные Глава X. Степенная, показательная
уравнения
логарифмическая функции
§4. Показательные уравнения
логарифмических решать
логарифмические
уравнения
Решение
рациональных
и
иррациональных
неравенств.
Метод
интервалов.
Доказательства
неравенств.
Неравенство
о
среднем
арифметическом
и
среднем
геометрическом двух чисел
Решение
показательных
и
логарифмических неравенств.
решать рациональные и
иррациональные
неравенства
доказывать несложные
неравенства
Глава X. Степенная, показательная
логарифмическая функции
§5. Логарифмические уравнения
Глава II. Числовые множества
§6. Числовые неравенства
Глава IV. Алгебраические
неравенства
§4. Алгебраические неравенства
уравнения
и
и
и
решать показательные и Глава X. Степенная, показательная и
логарифмические
логарифмическая функции
неравенства
§6. Показательные и логарифмические неравенства
Тема курса
Разделы стандарта
Равносильность систем
Решение систем уравнений с
двумя
неизвестными
(простейшие типы). Основные
приемы
решения
систем
уравнений:
подстановка,
алгебраическое
сложение,
введение новых переменных.
Применение
математических
методов
для
решения
содержательных
задач
из
различных областей науки и
практики.
Интерпретация
результата,
учет
реальных
ограничений.
Формула
бинома
Ньютона.
ЭЛЕМЕНТЫ
Свойства
биномиальных
КОМБИНАТОРИКИ,
СТАТИСТИКИ
И коэффициентов.
ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Знания,
умения,
навыки
из
Параграфы учебника
государственного
стандарта
Глава VIII. Многочлены от одной переменной
§1. Основные понятия, связанные с системами
уравнений
решать рациональные,
показательные
и
логарифмические
уравнения
и
неравенства,
иррациональные
и
тригонометрические
уравнения, их системы;
решать
текстовые
задачи
с
помощью
составления уравнений,
и
неравенств,
интерпретируя
результат
с
учетом
ограничений
условия
задачи;
решать
уравнения,
неравенства и системы с
применением
графических
представлений, свойств
функций, производной;
вычислять
коэффициенты бинома
Ньютона по формуле и с
использованием
треугольника Паскаля;
Глава VIII. Многочлены от одной переменной
§2. Системы линейных уравнений
Глава I. Элементы математической логики
§1. Высказывания и операции над ними
§2.
Неопределенные
высказывания.
Знаки
общности и существования
§3. Некоторые приемы доказательства
Глава II. Числовые множества
§1. Множества. Операции над множествами.
Глава V. Тригонометрические формулы
§1. Тригонометрическая окружность. Градусная и
радианная меры измерения угловых величин
Глава II. Числовые множества
§5. Суммирование
Приложение 2
Таблица соответствия содержания учебника
Шабунин М.И., Прокофьев А.А. «Математика. Алгебра. Начала математического анализа» (11 класс)
Стандарту среднего (полного) общего образования по математике
(профильный уровень)
Тема курса
Разделы стандарта
ЧИСЛОВЫЕ
БУКВЕННЫЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
И Делимость целых чисел. Деление
с остатком
Сравнение
Решение
задач
с
целочисленными неизвестными.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Выражение тригонометрических
функций
через
тангенс
половинного аргумента
Знания,
умения,
навыки
из
государственного
стандарта
применять
понятия,
связанные с делимостью
целых
чисел,
при
решении
математических задач;
применять
понятия,
связанные с делимостью
целых
чисел,
при
решении
математических задач;
применять
понятия,
связанные с делимостью
целых
чисел,
при
решении
математических задач;
проводить
преобразования
числовых и буквенных
выражений,
включающих
тригонометрические
функции;
Параграфы учебника
Глава
XIX.
Делимость
целых
Целочисленные решения уравнений.
§1. Делимость чисел
чисел.
Глава
XIX.
Делимость
целых
Целочисленные решения уравнений.
§2. Сравнения
чисел.
Глава
XIX.
Делимость
целых
чисел.
Целочисленные решения уравнений.
§3. Решение уравнений в целых числах
§4. Текстовые задачи с целочисленными
неизвестными
Глава XII. Тригонометрические уравнения и
неравенства
§3. Метод замены неизвестного и метод
разложения на множители
Тема курса
Знания,
умения,
навыки
из
государственного
стандарта
Простейшие тригонометрические решать
уравнения.
Решения тригонометрические
тригонометрических уравнений.
уравнения
Разделы стандарта
Простейшие
тригонометрические
неравенства.
ФУНКЦИИ
Параграфы учебника
Глава XII. Тригонометрические уравнения и
неравенства
§1. Простейшие тригонометрические уравнения
доказывать несложные Глава XII. Тригонометрические уравнения и
неравенства
неравенства
§7. Тригонометрические неравенства
Тригонометрические функции, описывать по графику и Глава XI. Тригонометрические и обратные
их
свойства
и
графики, по формуле поведение и тригонометрические функции
периодичность, основной период свойства функций;
§1. Функции синус и косинус
§2. Функции тангенс и котангенс
Обратные тригонометрические описывать по графику и Глава XI. Тригонометрические и обратные
функции, их свойства и графики. по формуле поведение и тригонометрические функции
свойства функций;
§3. Обратные тригонометрические функции
Выпуклость
функции. исследовать функции и Глава XIV. Применение производной к
Графическая интерпретация.
строить их графики с исследованию функции
помощью производной
§5. Производные второго порядка. Выпуклость и
точки перегиба.
Вертикальные и горизонтальные исследовать функции и Глава XIV. Применение производной к
асимптоты графиков
строить их графики с исследованию функции
помощью производной
§6. Построение графиков функций
Примеры
функциональных исследовать функции и Глава XIV. Применение производной
зависимостей
в
реальных строить их графики с исследованию функции
процессах и явлениях.
помощью производной
§6. Построение графиков функций
Понятие о производной функции. вычислять производные
НАЧАЛА
основных элементарных функций,
МАТЕМАТИЧЕСКОГО Производные
элементарных функций
применяя
правила
АНАЛИЗА
вычисления
производных, используя
к
Глава XIII. Производная и дифференциал
§1. Определение производной. Производные
степенной функции, sin x, cos x
§2.
Производные
показательной
и
логарифмической функций
Тема курса
Разделы стандарта
Производные суммы, разности,
произведения
и
частного.
Производные
сложной
и
обратной функций
Физический и геометрический
смысл производной. Уравнение
касательной к графику функции.
Асимптоты.
Применение
производной к исследованию
функций и построению графика.
Использование производных при
решении
уравнений
и
неравенств,
текстовых,
физических и геометрических
задач, нахождении наибольших и
наименьших значений.
Вторая производная. Применение
производной к исследованию
функций. Физический смысл
второй производной
Первообразная. Первообразные
элементарных функций. Правила
вычисления первообразных.
Знания,
умения,
навыки
из
Параграфы учебника
государственного
стандарта
справочные материалы;
вычислять производные
элементарных функций,
применяя
правила
вычисления
производных, используя
справочные материалы;
решать
задачи
с
применением уравнения
касательной к графику
функции;
исследовать функции и
строить их графики с
помощью производной;
решать
задачи
на
нахождение
наибольшего
и
наименьшего значения
функции на отрезке;
Глава XIII. Производная и дифференциал
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал
Глава XIII. Производная и дифференциал
§4. Геометрический и физический смыслы
производной и дифференциала
Глава XIV. Применение производной к
исследованию функции
§1. Основные теоремы для дифференцируемых
функций
§2. Возрастание и убывание функции
§3. Экстремумы функции
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции
§6. Построение графиков функций
исследовать функции и Глава XIV. Применение производной к
строить их графики с исследованию функции
помощью производной
§5. Производные второго порядка. Выпуклость и
точки перегиба.
вычислять
Глава XV. Первообразная и интеграл
первообразные
§1. Первообразная функции
элементарных функций,
применяя
правила
вычисления
Тема курса
Разделы стандарта
Знания,
умения,
навыки
из
Параграфы учебника
государственного
стандарта
первообразных,
используя справочные
материалы;
Площадь
криволинейной вычислять
площадь Глава XV. Первообразная и интеграл
трапеции.
Понятие
об криволинейной
§2. Неопределенный интеграл.
определенном
интеграле. трапеции;
§3. Определенный интеграл
Формула Ньютона-Лейбница
§4. Применение определенного интеграла для
вычисления площадей
Примеры
использования решение
Глава XIV. Применение производной к
производной для нахождения геометрических,
исследованию функции
наилучшего
решения
в физических задач, в том §4. Наибольшее и наименьшее значения функции
прикладных задачах
числе
задач
на
наибольшие
и
наименьшие значения с
применением аппарата
математического
анализа
Нахождение
скорости
для решение
Глава XIII. Производная и дифференциал
процесса, заданного формулой геометрических,
§4. Геометрический и физический смыслы
или графиком
физических задач, в том производной и дифференциала
числе
задач
на
наибольшие
и
наименьшие значения с
применением аппарата
математического
анализа
Примеры применения интеграла решение
Глава XV. Первообразная и интеграл
в физике и геометрии.
геометрических,
§5. Приложения определенного интеграла к
физических задач, в том физическим задачам
числе
задач
на
наибольшие
и
Тема курса
Знания,
умения,
навыки
из
государственного
стандарта
наименьшие значения с
применением аппарата
математического
анализа;
тригонометрических решать
И Решение
уравнений.
Равносильность тригонометрические
уравнений.
неравенства,
доказывать несложные
неравенства;
Разделы стандарта
УРАВНЕНИЯ
НЕРАВЕНСТВА
Решение
тригонометрических решать
неравенств.
Равносильность тригонометрические
неравенств.
неравенства,
их
системы;
доказывать
несложные неравенства;
Решение
показательных,
логарифмических
и
тригонометрических уравнений и
неравенств.
Основные
приемы
решения
систем уравнений: подстановка,
алгебраическое
сложение,
введение новых переменных.
Равносильность
уравнений,
неравенств, систем. Решение
решать рациональные,
показательные
и
логарифмические
уравнения
и
неравенства,
иррациональные
и
тригонометрические
уравнения, их системы;
Параграфы учебника
Глава XII. Тригонометрические уравнения и
неравенства
§2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к
алгебраическим.
Однородные
и
линейные
уравнения.
§3. Метод замены неизвестного и метод
разложения на множители
§4. Метод оценки левой и правой частей уравнения
§5. Отбор корней уравнения. Тригонометрические
уравнения, содержащие знаки модуля и корня
§6. Тригонометрические уравнения различных
видов. Уравнения, содержащие параметры.
Глава XI. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
§4. Первый замечательный предел
Глава XII. Тригонометрические уравнения и
неравенства
§7. Тригонометрические неравенства
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств
различных типов
§1. Показательные и логарифмические уравнения с
параметром
§2. Показательные и логарифмические неравенства
с параметром
§3. Системы логарифмических и показательных
уравнений
§4. Системы тригонометрических уравнений и
неравенств
Тема курса
Разделы стандарта
систем уравнений с двумя
неизвестными
(простейшие
типы).
Решение
систем
неравенств с одной переменной.
Использование
свойств
и
графиков функций при решении
уравнений
и
неравенств.
Равносильность
уравнений,
неравенств, систем. Изображение
на
координатной
плоскости
множества решений уравнений и
неравенств с двумя переменными
и их систем.
Применение
математических
методов
для
решения
содержательных
задач
из
различных областей науки и
практики.
Интерпретация
результата,
учет
реальных
ограничений.
Знания,
умения,
навыки
из
Параграфы учебника
государственного
стандарта
решать
уравнения,
системы
уравнений,
неравенства, используя
свойства функций и их
графические
представления;
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя
переменными
§1. Линейные уравнения и неравенства с двумя
переменными
§2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя
переменными
§3. Уравнения и неравенства с двумя
переменными, содержащие параметры
решать
текстовые
задачи
с
помощью
составления уравнений,
и
неравенств,
интерпретируя
результат
с
учетом
ограничений
условия
задачи;
решать
уравнения,
неравенства и системы с
применением
графических
представлений, свойств
функций, производной;
Формулы числа перестановок, решать
простейшие
ЭЛЕМЕНТЫ
сочетаний, размещений. Решение комбинаторные задачи
КОМБИНАТОРИКИ,
методом перебора, а
СТАТИСТИКИ
И комбинаторных задач
также с использованием
ТЕОРИИ
известных формул
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Глава XIII. Производная и дифференциал
§4. Геометрический и физический смыслы
производной и дифференциала
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
§1. Основные понятия
§2. Уравнения с разделяющимися переменными
§3. Линейные дифференциальные уравнения
первого и второго порядка с постоянными
коэффициентами
Глава
XIX.
Делимость
целых
чисел.
Целочисленные решения уравнений
§4. Текстовые задачи с целочисленными
неизвестными
Глава XX. Комбинаторика
§1. Основные законы комбинаторики
§2. Основные формулы комбинаторики
Тема курса
Разделы стандарта
Формула
бинома
Ньютона.
Свойства
биномиальных
коэффициентов.
Треугольник
Паскаля.
Поочередный и одновременный
выбор нескольких элементов из
конечного множества.
Элементарные
и
сложные
события. Рассмотрение случаев и
вероятность
суммы
несовместных событий,
Знания,
умения,
навыки
из
государственного
стандарта
решать
простейшие
комбинаторные задачи
треугольника Паскаля;
вычислять
коэффициенты бинома
Ньютона по формуле и с
использованием
треугольника Паскаля;
вычислять вероятности
событий
на
основе
подсчета числа исходов
(простейшие случаи);
вычислять вероятности
событий
на
основе
подсчета числа исходов
(простейшие случаи);
Параграфы учебника
Глава XX. Комбинаторика
§3. Бином Ньютона и полиномиальная формула
Глава XXI. Элементы теории вероятностей
§1. Основные понятия теории вероятностей
Глава XXI. Элементы теории вероятностей
§2. Сложение вероятностей
Понятие
о
независимости анализ
информации Глава XXI. Элементы теории вероятностей
событий.
Вероятность
и статистического
§3. Условная вероятность. Независимость событий
статистическая
частота характера;
наступления события.
вероятность
события
противоположного вычислять вероятности Глава XXI. Элементы теории вероятностей
событий
на
основе §4. Формула Бернулли
подсчета числа исходов
(простейшие случаи);
Табличное
и
графическое анализ
реальных Глава XXI. Элементы теории вероятностей
представление данных. Числовые числовых
данных, §5. Числовые характеристики случайных величин
характеристики рядов данных.
представленных в виде
диаграмм, графиков;
Приложение 3
Методические рекомендации по использованию ресурсов ФЦИОР по математике (10-11 классы)
к учебникам М.И. Шабунина и др.
«Математика. Алгебра. Начала математического анализа (профильный уровень)»
На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (www.fcior.edu.ru) представлены электронные учебные
модули (информационные, практические, контрольные), которые созданы по тематическим элементам математики. Каждый учебный модуль
автономен и представляет собой законченный интерактивный мультимедиа продукт, нацеленный на решение определенной учебной задачи.
В каталоге сайта ФЦИОР электронные образовательные ресурсы по математике для 10-11 классов представлены в разделах «Основное
общее образование» и «Среднее (полное) общее образование».
Глава учебников
10 класс
глава I
глава II
глава III
Название
Название
модуля
на
Интернет-ресурсе
www.fcior.edu.ru
с указанием пути
каталог электронных образовательных каталог
электронных
ресурсов – основное общее образование образовательных ресурсов – среднее
–
перечень
учебных
предметов (полное) общее образование –
(дисциплин) общего образования – перечень
учебных
предметов
математика – название модулей
(дисциплин) общего образования –
математика – название модулей:
Элементы
математической Бинарные логические функции.
Формулы логики.
логики
Квадратный корень из степени.
Числовые множества
Свойства степени с рациональным
показателем.
Решение уравнений, содержащих степени
с дробным показателем.
Свойства
логарифмов.
Применение
свойств логарифмов.
Логарифмирование и потенцирование.
Преобразование
выражений
с
использованием свойств логарифма.
Обратная
функция,
ее
область График функции.
Функции
определения и область значений, график.
Параллельный перенос, поворот.
глава IV
глава V
глава VI
глава VII
глава VIII
глава IX
глава X
Алгебраические уравнения и Равносильность уравнений.
Систематизация и обобщение сведений о
неравенства
неравенствах.
Основные методы решения неравенств.
Решение неравенств методом интервалов.
Тригонометрические формулы Определение синуса, косинуса, тангенса и
котангенса произвольного угла. Основные
тригонометрические
тождества,
их
применение.
Формулы приведения.
Синус, косинус, тангенс суммы и
разности аргументов.
Формулы двойного и половинного
аргумента.
Радианное измерение углов.
Действия над комплексными числами.
Комплексные числа
Представление комплексных чисел.
Многочлены
от
одной Деление многочленов.
Целое уравнение и его корни. Уравнения,
переменной
приводимые к квадратным.
Системы
алгебраических Методы решения систем линейных
алгебраических уравнений.
уравнений
Применение методов решения систем
линейных алгебраических уравнений.
Систематизация и обобщение сведений о
системах уравнений.
Предел
и
непрерывность Числовые последовательности. Понятие
предела последовательности.
функции
Длина окружности, площадь круга и его
частей.
Предел
последовательности.
Предел
функции. Непрерывность функции.
Степенная, показательная и Степенная функция с натуральным
показателем, ее свойства и график.
логарифмическая функции
Свойства показательной функции и ее
график.
Логарифмическая функция, ее свойства и
график.
Методы
решения
показательных
уравнений.
Простейшие уравнения.
Примеры решения логарифмических
уравнений.
Иррациональные
уравнения.
Использование нескольких приемов при
решении иррациональных уравнений
11 класс
глава XI
глава XII
глава XIII
глава XIV
глава XV
Тригонометрические
и Тригонометрические функции числового
обратные тригонометрические аргумента.
Выражение тригонометрических функций
функции
через тангенс половинного аргумента.
Обратные тригонометрические функции.
Тригонометрические
функции,
их
свойства и графики, периодичность,
основной период.
Методы решения тригонометрических
Тригонометрические
уравнений.
уравнения и неравенства
Использование нескольких приемов при
решении тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических неравенств
графическим методом.
Геометрический смысл производной.
Понятие о производной функции.
Производная и дифференциал
Уравнение касательной к графику
функции.
Производная суммы, произведения и
частного.
Производная сложных функций.
Применение
производной
Применение производной к Параллельный перенос, поворот.
Применение производной к исследованию исследованию функций.
исследованию функций
функций.
Задача
вычисления
площади
Первообразная и интеграл
криволинейной трапеции.
к
глава XVI
глава XVII
глава XVIII
глава XIX
глава XX
глава XXI
Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Применение интеграла в физике. Решение
задач на математический маятник.
Дифференциальные уравнения Численное решение дифференциальных
уравнений.
Применение методов численного решения
дифференциальных уравнений.
Системы
уравнений
и Систематизация и обобщение сведений о
системах уравнений.
неравенств различных типов
Уравнения и неравенства с Многочлены от двух переменных.
двумя переменными
Делимость
целых
чисел. Алгоритм перевода целых чисел из РЦелочисленные
решения ичной системы счисления в 10-ю.
Задачи на движение.
уравнений.
Сравнение десятичных дробей.
Приближенные
значения
чисел.
Округление чисел.
Формулы числа перестановок, сочетаний
Комбинаторика
и размещений.
Элементы теории вероятностей Табличное и графическое представление
данных.
Числовые характеристики рядов данных.
Решение
практических
задач
с
применением вероятностных методов.