Задание №1 Решение а). ; б).

Задание №1. Найти производные ф ункций.
( x  1) 2
x
 3  3 x 2 ; б). y  2 sin x ; в).
 xy  2  0 .
x2
y
4
а). y  ln
Решение.

2 
 ( x  1) 2

 ( x  1) 2
1
3
2 
а). y   ln
 3  x    ln
 3  x 3  
2
x2
x2

 
 ( x  1)
x2

1
 ( x  1) 2 
2 3
  3   x 
 
3
 x2 
1
1


 ( x  1)2  2  ( x  1)  ( x  2) 
( x  1)  ( x  1  2  ( x  2))
3
  2  x 3 
 

2

x

2
x

2
(
x

1
)



x2
( x  1)2


x  1  2x  4
x5 2
.
 2 x 3  

x 1
x 1 3 x
1
4


4
4
sin x
 sin4 x 
4 
4  ln 2  2  cos x
 4 

б). y   2   2 sin x  ln 2  
.
  2 sin x  ln 2   
  cos x  
2
sin 2 x
 sin x 
 sin x 


в). Для нахождения производной, заданной неявным образом ф ункции ,
использ уем соответствующую формулу:
y  
Fx
.
Fy
В нашем случае получим:

x

1
1  y2
;
Fx    xy  2  x   y  0 
y
y
y


x

x
xy2  x
;
Fy    xy  2  y   2  x  0 
y
y2
y

1  y2
1  y2
y2
y  ( y 2  1)
y
.
y   2

 2

xy  x
y
xy  x
x  ( y 2  1)
y2
Ответ: а). 
б). 
x5 2

;
x 1 3 x
4
sin x
4  ln 2  2  cos x
;
sin 2 x
y  ( y 2  1)
в). 
.
x  ( y 2  1)
Задание №2. Исследовать данные ф ункции методами дифференциального
исчисления и построить их графики. Исследование ф ункции рекоменд уется
проводить по следующей схеме:
1). найти область определения ф ункции;
2). исследовать ф ункцию на непрерывность;
3). определить, является ли данная ф ункция четной, нечетной;
4). найти интервалы монотонности ф ункции и точки её экстремума;
5). найти интервалы вып уклости и вогн утости графика функции и точки
перегиба;
6). найти асимптоты графика ф ункции.
( x  2) 2
.
y 2
x 4
Исследование.
1). Функция определена на всей числовой прямой: x  (;) .
2). Функция непрерывна на всей области определения.
3).
y (  x) 
( x  2)2 ( x  2)2
 2
 y( x)   y( x) , поэтому ф ун кция ни четная ни
(  x) 2  4
x 4
нечетная.
4). Находим точки экстремума и промежутки роста и убывания ф ункции.

 ( x  2) 2  2  ( x  2)  ( x 2  4)  2 x  ( x  2) 2 2  ( x  2)  ( x 2  4  x  ( x  2))
 
y   2


2
2
x2  4
x2  4
 x 4 


2  ( x  2)  ( x 2  4  x 2  2 x)
x
y  0 
2
4

2
4  ( x  2)  (2  x)
x
2
4

2



4  ( x  2)  (2  x)
x
2
4

2

;
 0; 4  ( x  2)  (2  x)  0 ;
x1  2, x2  2
–
стационарные
точки.
y ( 2)  0 , y (2)  2 .
x
 ;2
-2
 2;2
2
2;
y
–
0
+
0
–
y
убывает
0
растет
2
убывает
минимум
максимум
5). Находим точки перегиба и интервалы вып уклости и вогн утости ф ункции.


 4  ( x  2)  (2  x)   4  (4  x 2 )   8 x  x 2  4 2  16 x  ( x 2  4)( 4  x 2 )




y 



2
4

  x2  4 2 
x2  4
x2  4

 










 8x  ( x2  4  8  2 x2 )
x
y  0 
2
4

3
8 x  ( x 2  12)
x
2
4

3

 8 x  ( x 2  12)
x
2
4

3

8 x  ( x 2  12)
x
2
4

3
;
 0 ; 8 x  ( x 2  12)  0 , x1   12  3,5 , x2  0 , x3  12  3,5 .
y ( 12 )  0,13 , y ( 12)  1,87 , y (0)  1 .
x
 ; 12 
 12
y
–
0
+
0
y
вып уклая
0,13
вогн утая
1

12 ;0
перегиб

0
перегиб
12
 12 ;
–
0
+
вып уклая
1,87
вогн утая
0;
12

перегиб
6). Находим асимптоты ф ункции.
Вертикальных асимптот не существует.
 ( x  2)2 
 x2  4x  4 


  1 , поэтому y  1 – горизонтальная асимптота.
lim
 lim 
2
x   x 2  4 
x  
x

4





 ( x  2) 2  
 lim  2

 x2  4x  4 
 x   x  4  
 y
lim    lim 

lim
 x   x  ( x 2  4)   0 , поэтому наклонных асимптот
x   x
x
  x  







не существует.
Задание 3. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном
объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее
количество материала.
Решение.
Введем обозначения:
a – сторона квадратного дна;
h – высота бассейна;
S – площадь стен и дна бассейна;
V – объем бассейна.
Запишем выражение площади стен и дна бассейна:
S  a 2  4ah .
Запишем выражен ие объема бассейна:
V  a 2h .
Тогда, получим:
h
V
;
a2
S ( a )  a 2  4a 
V
V
 a2  4  .
2
a
a
Находим первую производн ую для полученной ф ункции:

V
4V 2a 3  4V

2
.
S (a)   a  4    2a  2 
a
a
a2

Приравниваем первую производн ую к нулю и находим стационарные точки:
S ( a )  0 ;
2a 3  4V
 0;
a2
2a 3  4V  0 ;
2a 3  4V ;
a 3  2V , a  3 2V .
Пол ученн ую экстремальн ую точк у можно считать точкой минимума.
Следовательно,
сторона
квадратного
a  3 2  32  3 64  4 , а высота – h 
дна
должн а
быть
равной
32
 2.
16
Ответ: открытый бассейн должен иметь дно со стороной 4 м и высот у 2м.
Задание
4.
Найти
наименьшее
и
наибольшее
значения
ф ункции
z  x 2  4 xy  y 2 в треугольнике, ограниченном осями Ox и Oy и прямой
y  2 x .
Решение.
Сделаем чертеж треугольника.
Находим стационарные точки вн утри треугольника
OAB и на линиях,
которые его ограничивают.
1). zx  2 x  4 y , z y  4 x  2 y ;
 z x  0; 2 x  4 y  0;  x  0;


 
 z y  0; 4 x  2 y  0;  y  0.
Следовательно,
O (0;0)
–
стационарная
точка,
которая
принадлежит
заданному треугольнику.
2). x  0  z   y 2 ;
z   2 y , z  0 , то y  0 . Получили стационарн ую точк у O (0;0) .
3). y  0  z  x 2 ;
z  2x , z  0 , то x  0 . Получили стационарн ую точк у O (0;0) .
4). y  2  x  z  x 2  4 x  (2  x)  (2  x) 2  x 2  8x  4 x 2  4  4 x  x 2  4 x 2  12 x  4 ;
z  8x  12 , z  0 , то x 
3
1
3 1
 1 . Тогда, y  2   . Получили стационарн ую
2
2
2 2
3 1
точк у C  ;  , которая принадлежит замкн утому треугольник у.
2 2
Подсчитаем значения функции в точках (стационарные и концы отрезков),
обозначенных на рисунке:
z ( A)  z(0;2)  4 ;
z ( B)  z(2;0)  4 ;
3 1 1
3 1 9
z (C )  z ;    4     5 ;
2 2 4
2 2 4
z (O)  z(0;0)  0 .
Сравнивая теперь между собой все вычисленные значения функции, видим,
что само большое из них: 5 и самое маленькое: -4.
Ответ: -4 и 5.
Задание 5. Найти указанные неопределенные интегралы и рез ультаты
интегрирования проверить дифференцирован ием:
а).
sec 2 x  dx
 tg 2 x  9 ; б).
x3  1
 x2  7 x  10  dx ; в).
 xe
4 x
 dx .
Решение.
t  tgx



sec2 x  dx
dx
dx 
cos2 x  dt
dt
1
3t
а).  2


dt


 2

 ln



2
2
2
2
2

tg x  9
cos x  (tg x  9) 
cos x 
cos x  (t  9)
t 9
23 3  t
2
dx  cos x  dt 
1
3t
1
3  tgx
   ln
   ln
C.
6
3t
6
3  tgx
Проверим рез ультат интегрирования дифференцированием:
1
1


(
3

tgx
)

 (3  tgx)
2
2
 1

3  tgx
1
1
cos
x
cos
x
   ln
 C    

0
3  tgx
6 3  tgx
3  tgx2
 6

3  tgx
3
1
3
1
6
 tgx 

 tgx 
2
2
2
1 3  tgx cos 2 x
1
3

tgx
cos x cos x
cos x   
cos 2 x 
 


6 3  tgx
6 3  tgx 3  tgx2
3  tgx2
1
2
sec 2 x
sec 2 x
cos
x
.



3  tgx3  tgx (tgx  3)(tgx  3) tg 2 x  9
б).
x3  1
39 x  69 

 x2  7 x  10  dx    x  7  x2  7 x  10   dx .
Разложим дробь
39 x  69
на сумму простейших дробей использ уя общий
x  7 x  10
2
метод разложения:
39 x  69
39 x  69
A
B
;



x  7 x  10 ( x  2)( x  5) x  2 x  5
2
A( x  5)  B( x  2)  39 x  69 ;
Ax  5 A  Bx  2B  39x  69 ;
A  39  B;
A  39  B;
 A  B  39;


 A  39  B;  A  3;





 5 A  2 B  69;  5  (39  B)  2 B  69;  195  5B  2 B  69;  3B  126;  B  42.
Тогда, получим:
x3  1
3
42 
x2


dx

x

7



dx

 7 x  3 ln( x  2)  42 ln( x  5)  C .


 x2  7 x  10

x  2 x 5
2
Проверим рез ультат интегрирования дифференцированием:

 x2
 2x
 3( x  5)  42( x  2) 
3
42
  7 x  3 ln( x  2)  42 ln( x  5)  C  
 
7

 0  x  7  
2
x2 x5
 ( x  2)( x  5) 
 2

 3x  15  42 x  84 
 39 x  69 ( x  7)( x 2  7 x  10)  39 x  69
  x  7  2
 x  7  


x  7 x  10
x 2  7 x  10
 ( x  2)( x  5) 

x3  7 x 2  7 x 2  49 x  10 x  70  39 x  69
x3  1
.

x 2  7 x  10
x 2  7 x  10
в).
u  x; du  dx


x 4x 1
4x


xe

dx

 e    e  4 x  dx 
1
4x
 4 x  uv   vdu  

dv

e

dx
;
v



e
4
4


4


x
1
   e 4 x   e 4 x  C .
4
16
Проверим рез ультат интегрирования дифференцированием:

1 4x 4x 4 x 4 4 x
 x 4 x 1 4x

 e   e  0  x  e 4 x .
 e  e  C   e 
4
16
4
4
16


1
3  tgx
Ответ: а).   ln
C ;
6
3  tgx
б).
x2
 7 x  3 ln( x  2)  42 ln( x  5)  C ;
2
x
1
в).   e  4 x   e  4 x  C .
4
16
Задание
6.
Вычислить
площадь
фигуры,
ограниченной
линиями. Сделать чертеж.
y  3x 2  1 ; y  3 x  7 .
Решение.
Находим точки пересечения заданны линий:
 y  3x 2  1;

 y  3x  7;
3x 2  1  3x  7 ;
3x 2  3x  6  0 ;
x2  x  2  0 ;
x1  1, x2  2  y1  3  7  4 , y2  6  7  13 .
Следовательно, (1;4) и (2;13) – точки пересечения линий.
Сделаем схематический чертеж:
указанными
Для нахождения площади фигуры закрашенной на чертеже, использ уем
соответствующую формулу (Ньютона -Лейбница):
2
 3x 2
3


S   ( f ( x)  g ( x))  dx   3x  7  3x  1  dx   3x  6  3x  dx  
 6x  x  
 2
 1
x1
1
1
x2
2

2
3
1
3

 6  12  8    6  1  15   13 .
2
2
2

Ответ: 13
1
кв. ед.
2

2

2
