ФИЗИКА 8 класс Задача 1

ФИЗИКА
8 класс
Задача 1
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
В двух непрозрачных сосудах с различной площадью сечения находится вода:
Сосуды соединены прозрачной трубкой, подходящей к сосудам снизу. Почти вся трубка,
за исключением воздушного пузырька в левом колене (см. рис.) заполнена водой. Что
можно сказать об уровнях воды в сосудах:
а) уровни одинаковы,
б) уровень в левом сосуде выше, чем в правом,
в) уровень в левом сосуде ниже, чем в правом,
г) результат зависит от площадей сечения сосудов.
Ответ: в.
Решение:
Поскольку плотность пузырька воздуха много меньше плотности воды, давление в
верхней и нижней части пузырька приблизительно одинаковы. Пусть это давление равно
P. Тогда высота столба воды в левом сосуде h1, отсчитанная от нижней части пузырька,
удовлетворяет соотношению:
P   gh1  PA ,
где PA – атмосферное давление. Точно такому же соотношению удовлетворяет высота
столба воды в правом сосуде h2, отсчитанная от верхней части пузырька. Поскольку из
соотношений следует, что h1 = h2, то уровень воды в правом сосуде выше, чем в левом.
Задача 2
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Электроплитку с открытой спиралью включили в сеть, в результате чего спираль
раскалилась и стала светиться. Затем на электроплитку направили поток воздуха от
вентилятора, в результате чего спираль перестала светиться. При этом мощность
электроплитки:
а) уменьшилась,
б) осталась неизменной,
в) увеличилась,
г) ответ зависит от конкретных параметров спирали.
Ответ: в.
Решение:
Раскаленная спираль имеет более высокую температуру, а, следовательно, большее
сопротивление. Поскольку при постоянном напряжении сети мощность электроплитки
обратно пропорциональна сопротивлению спирали, мощность электроплитки возрастает
при обдуве вентилятором.
Задача 3
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Стальные трубы газопровода имеют внутренний диаметр D =1 м. Толщина стенок равна
h=10 мм. Прочность стали на разрыв σ = 1000 Н/мм2. Нужно обеспечить запас прочности
k=3. Каково максимальное давление газа в трубах?
Ответ: 67
Решение:
k×L×D×P=2L×h×σ. Отсюда: P = 2h×σ/(k×D) = 66,6(6)×105 Па ≈ 67 Атм.
Задача 4
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Винни-Пух, набитый опилками, имеет массу M=1 кг. Он висит в воздухе с плотностью ρ =
1,2 кг/м3 возле «Пчелиного дерева», держась за веревочку, привязанную к воздушному
шарику. Оцените минимальный диаметр этого шарика, если дело происходит у нас на
Земле.
Ответ: 1.2
Решение:
Если шарик наполнен водородом (газом с наименьшей плотностью) при давлении равном
атмосферному, и массой оболочки шарика можно пренебречь, то минимальный диаметр
шарика находится из условия:
(πD3/6)×ρ×(1-2/29) = M.
Отсюда D ≈ 1,2 м.
Задача 5
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Линия, проведенная на бумаге шариковой ручкой, имеет ширину 0,3 мм. На корпусе
ручки написано «5 км». Столбик чернил в «свежем» заправленном стержне имеет длину
100 мм. Школьник нарисовал на листе бумаги формата А4 максимального размера
«черный квадрат» (это было на уроке рисования ). Насколько укоротилась длина
столбика чернил в стержне шариковой ручки?
Ответ: 3
Решение:
Размеры квадрата 21см×21см. 100×10-3×(2102/0,3)/5000 = 2,94 мм ≈ 3 мм.
Задача 6
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Плоскость маленького зеркала всё время вертикальна. Зеркало находится в руках
Буратино, который крутит его равномерно с угловой скоростью 360°/с вокруг
вертикальной оси, проходящей ровно через середину зеркала. Мальвина, стоя на
расстоянии 1 м от оси вращения, изредка видит своё изображение, пролетающее мимо.
Какова скорость движения изображения относительно неподвижной Мальвины в те
моменты, когда Мальвина его видит?
Ответ: 12.6
Решение:
При повороте зеркала на малый угол α изображение смещается на расстояние 2м×α.
Следовательно, скорость движения изображения равна 2×2×π (м/с) ≈ 12,6 м/с.
9 класс
Задача 1
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Имеются две сферы, сделанные из одинакового металла одинаковой толщины. Радиус
первой сферы в 2 раза больше, чем радиус второй сферы, толщина металла, из которого
изготовлены сферы много меньше радиуса.
Омметрами измеряют сопротивление между диаметрально противоположными точками
на сферах. Найти отношение сопротивления большой сферы к сопротивлению малой
сферы.
Ответ: 1.
Решение:
Сопротивление может зависеть от следующих параметров: удельное сопротивление
металла , толщина оболочки сферы d и радиуса сферы R. Достаточно очевидно, что
сопротивление прямо пропорционально  и обратно пропорционально d. Но, поскольку
размерность выражения /d уже имеет размерность сопротивления, домножение этого
выражения на R в какой-то степени, кроме нулевой, дает размерность, отличную от
размерности сопротивления. Следовательно, сопротивление сферы не зависит от R, то
есть сопротивления сфер одинаковы.
Можно дать и иное обоснование этого утверждения. Рассматривая точки подсоединения
прибора как полюса, разрежем сферу «по меридианам» на узкие полоски. Сопротивление
сферы можно вычислить, как параллельное сопротивление таких полосок. Очевидно, что
длина полоски прямо пропорциональна R, а средняя площадь поперечного сечения
полоски обратно пропорционально R. Таким образом, сопротивление каждой из полосок
не зависит от R, а, следовательно, и полное сопротивление параллельно подключенных
полосок не зависит от R.
Задача 2
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Имеется большой сосуд с прозрачной жидкостью с коэффициентом преломления n = 5/3.
На глубине 1 м в жидкости находится источник света. Сверху на поверхность жидкости
кладут диск, который полностью перекрывает свет (свет от стенок сосуда не отражается).
Каким должен быть минимальный радиус диска. Ответ выразите в см.
Ответ 75 см.
Решение:
Диск может перекрывать свет в силу явления полного внутреннего отражения:
R

h
Луч, идущий под углом к вертикали большим угла полного внутреннего отражения, не
выходит из воды. Минимальный радиус диска должен соответствовать углу полного
внутреннего отражения (см. рис.1 р). Таким образом, выполняются соотношения
sin   1/ n, R  h tg  .
Из этих соотношений получим:
Rh
1
n 1
2
 75 см .
Задача 3
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Стальные трубы газопровода имеют внутренний диаметр D =1 м. Толщина стенок равна
h=10 мм. Прочность стали на разрыв σ = 1000 Н/мм2. Нужно обеспечить запас прочности
k=3. Каково максимальное давление газа в трубах?
Ответ: 67
Решение:
k×L×D×P=2L×h×σ. Отсюда: P = 2h×σ/(k×D) = 66,6(6)×105 Па ≈ 67 Атм.
Задача 4
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Винни-Пух, набитый опилками, имеет массу M=1 кг. Он висит в воздухе с плотностью ρ =
1,2 кг/м3 возле «Пчелиного дерева», держась за веревочку, привязанную к воздушному
шарику. Оцените минимальный диаметр этого шарика, если дело происходит у нас на
Земле.
Ответ: 1.2
Решение:
Если шарик наполнен водородом (газом с наименьшей плотностью) при давлении равном
атмосферному, и массой оболочки шарика можно пренебречь, то минимальный диаметр
шарика находится из условия:
(πD3/6)×ρ×(1-2/29) = M.
Отсюда D ≈ 1,2 м.
Задача 5
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Линия, проведенная на бумаге шариковой ручкой, имеет ширину 0,3 мм. На корпусе
ручки написано «5 км». Столбик чернил в «свежем» заправленном стержне имеет длину
100 мм. Школьник нарисовал на листе бумаги формата А4 максимального размера
«черный квадрат» (это было на уроке рисования ). Насколько укоротилась длина
столбика чернил в стержне шариковой ручки?
Ответ: 3
Решение:
Размеры квадрата 21см×21см. 100×10-3×(2102/0,3)/5000 = 2,94 мм ≈ 3 мм.
Задача 6
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Плоскость маленького зеркала всё время вертикальна. Зеркало находится в руках
Буратино, который крутит его равномерно с угловой скоростью 360°/с вокруг
вертикальной оси, проходящей ровно через середину зеркала. Мальвина, стоя на
расстоянии 1 м от оси вращения, изредка видит своё изображение, пролетающее мимо.
Какова скорость движения изображения относительно неподвижной Мальвины в те
моменты, когда Мальвина его видит?
Ответ: 12.6
Решение:
При повороте зеркала на малый угол α изображение смещается на расстояние 2м×α.
Следовательно, скорость движения изображения равна 2×2×π (м/с) ≈ 12,6 м/с.
10 класс
Задача 1
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Два сосуда соединены трубкой, примыкающей к сосудам снизу. Площадь сечения правого
сосуда в 2 раза больше площади сечения левого, высоты сосудов одинаковы.
Сосуды частично заполнены водой при комнатной температуре. В сосуды добавляют лед,
причем в правый сосуд кладут в три раза большее количество, чем в левый. После чего
сосуды герметически закрывают. Как изменятся уровни воды в сосудах после
установления термодинамического равновесия, если в конечном состоянии лед полностью
тает:
а) уровни останутся неизменными,
б) уровень в левом сосуде будет выше, чем в правом,
в) уровень в левом сосуде будет ниже, чем в правом,
г) ответ зависит от первоначального объема воды в сосудах.
Ответ в).
Решение:
Заметим, что после добавления льда уровни воды в сосудах останутся одинаковы. Проще
всего решить задачу, мысленно перекрыв трубку сразу же после закрытия крышек, так,
чтобы вода не могла перетекать из одного сосуда в другой, и проанализировать, как
изменятся давления воздуха в сосудах после установления теплового равновесия. В этом
случае при таянии льда уровень жидкости в сосудах остается неизменным. Объем,
занимаемый воздухом в каждом из сосудов, уменьшится на объем льда, находящегося в
первоначальном состоянии выше уровня воды. Обозначим объемы сосудов, лежащие
выше уровня воды через V1 и V2 для левого и правого сосуда соответственно. Объем льда,
находящийся первоначально выше уровня воды, обозначим через V01 и V02 .
Первоначальную температуру обозначим через T, а конечную установившуюся
температуру – через T´. Первоначальное давление (атмосферное) обозначим через P, а
конечное давление воздуха в сосудах через P1 и P2 соответственно.
Используя обобщенный газовый закон, получим соотношения:
P(V1  V01 ) P1V1

,
T
T
P(V2  V02 ) P2V2

.
T
T
Из этих соотношений найдем отношение давлений:
P1 V2 (V1  V01 )

.
P2 V1 (V2  V02 )
(1)
Учтем теперь соотношения из условия задачи:
V2  2V1 , V02  3V01 .
Последнее равенство следует из того, что объем надводной части льда пропорционален
массе льда. В результате соотношение (1) приводится к виду:
1  V01 / V1
P1

.
P2 1  3V01 /( 2V1 )
Обозначив через  отношение V01/V1 , последнее выражение приведем к виду:
P1
1

 1.
P2 1  1,5
Таким образом, если первоначально перекрыть трубку и дать возможность установиться
термодинамическому равновесию, то давление в левом сосуде окажется больше, чем в
правом. Если теперь открыть трубку, то часть воды перетечет в правый сосуд, и уровень в
нем будет выше, чем в левом.
Задача 2
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
В невесомости происходит процесс упругого столкновения двух шаров, в результате чего
они разлетаются с некоторыми скоростями. Если учесть, что столкновение не совсем
упругое (часть механической энергии переходит в тепло), то скорости шаров после
разлета изменяются. Ученик, анализируя процессы столкновения, рассматривает
варианты:
1) скорости обоих шаров уменьшаются по сравнению со скоростями при упругом
столкновении,
2) скорости обоих шаров увеличиваются по сравнению со скоростями при упругом
столкновении,
3) скорость одного шара уменьшилась, а другого увеличилась по сравнению с
соответствующими скоростями при упругом столкновении.
С точки зрения физики возможны варианты:
а) 1 и 2,
б) 2 и 3,
в) 1 и 3,
г) только 1,
д) только 2,
е) только 3,
ж) все варианты
Ответ: в.
Решение:
Рассмотрим все три варианта. Вариант 1, очевидно, вполне допустим. В качестве
иллюстрации можно рассмотреть процесс столкновения двух одинаковых шаров, летящих
навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Вариант 2 невозможен в силу закона
сохранения энергии. Чтобы доказать возможность варианта 3 рассмотрим процесс
столкновения одинаковых шаров, в случае, когда один из шаров покоится. Результаты
можно понять из приведенных ниже рисунков. На рисунках изображены скорости шаров в
лабораторной системе отсчета и в системе, связанной с центром масс. Переход из
лабораторной системы отсчета в систему центра масс осуществляется сложением
векторов скоростей шаров с вектором, направленным влево, и по модулю равным /2.
Обратный переход в лабораторную систему отсчета осуществляется сложением векторов
скоростей шаров с вектором, направленным вправо, и по модулю равным /2.
До
столкновения
в
лабораторной
системе
отсчета
До
столкновения
в
системе центра масс

/2
/2
После
упругого
/2
столкновения в системе
центра масс
После
упругого

столкновения
в
лабораторной
системе
отсчета
После
неупругого
1/2
1/2
столкновения в системе
центра масс (1 < ).
После
неупругого
( + 1)/2
( - 1)/2
столкновения
в
лабораторной
системе
отсчета
Как видно, скорость правого шара уменьшилась после неупругого столкновения по
сравнению со случаем упругого столкновения, в то время как скорость левого шара стала
отличной от нуля, то есть увеличилась. Таким образом, возможны варианты 1 и 3, то есть
правильный ответ в).
/2
Задача 3
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Стальные трубы газопровода имеют внутренний диаметр D =1 м. Толщина стенок равна
h=10 мм. Прочность стали на разрыв σ = 1000 Н/мм2. Нужно обеспечить запас прочности
k=3. Каково максимальное давление газа в трубах?
Ответ: 67
Решение:
k×L×D×P=2L×h×σ. Отсюда: P = 2h×σ/(k×D) = 66,6(6)×105 Па ≈ 67 Атм.
Задача 4
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Винни-Пух, набитый опилками, имеет массу M=1 кг. Он висит в воздухе с плотностью ρ =
1,2 кг/м3 возле «Пчелиного дерева», держась за веревочку, привязанную к воздушному
шарику. Оцените минимальный диаметр этого шарика, если дело происходит у нас на
Земле.
Ответ: 1.2
Решение:
Если шарик наполнен водородом (газом с наименьшей плотностью) при давлении равном
атмосферному, и массой оболочки шарика можно пренебречь, то минимальный диаметр
шарика находится из условия:
(πD3/6)×ρ×(1-2/29) = M.
Отсюда D ≈ 1,2 м.
Задача 5
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Линия, проведенная на бумаге шариковой ручкой, имеет ширину 0,3 мм. На корпусе
ручки написано «5 км». Столбик чернил в «свежем» заправленном стержне имеет длину
100 мм. Школьник нарисовал на листе бумаги формата А4 максимального размера
«черный квадрат» (это было на уроке рисования ). Насколько укоротилась длина
столбика чернил в стержне шариковой ручки?
Ответ: 3
Решение:
Размеры квадрата 21см×21см. 100×10-3×(2102/0,3)/5000 = 2,94 мм ≈ 3 мм.
Задача 6
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым.
Плоскость маленького зеркала всё время вертикальна. Зеркало находится в руках
Буратино, который крутит его равномерно с угловой скоростью 360°/с вокруг
вертикальной оси, проходящей ровно через середину зеркала. Мальвина, стоя на
расстоянии 1 м от оси вращения, изредка видит своё изображение, пролетающее мимо.
Какова скорость движения изображения относительно неподвижной Мальвины в те
моменты, когда Мальвина его видит?
Ответ: 12.6
Решение:
При повороте зеркала на малый угол α изображение смещается на расстояние 2м×α.
Следовательно, скорость движения изображения равна 2×2×π (м/с) ≈ 12,6 м/с.
МАТЕМАТИКА
8 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Сестре втрое больше лет, чем было тогда, когда брат был в ее возрасте. Когда сестре будет
столько, сколько теперь ее брату, то им обоим вместе будет 96 лет. Сколько лет сестре и
сколько лет брату?
Ответ: 24 и 40
Решение:
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Если у натурального числа зачеркнуть последнюю цифру, то оно уменьшится в 13 раз.
Найдите все такие числа.
Ответ: 13, 26 и 39
Решение:
Запишем число в виде a*10+b, где b цифра. Тогда по условию задачи a*13=a*10+b, то есть
b=3a. Откуда находим три варианта: 13, 26 и 39.
Задача 3
Задача предложена СУНЦ УрГУ
На доске 10х10 клеток для игры в «морской бой» расположен прямой четырехклеточный
корабль. Какое наименьшее количество «ударов» нужно произвести, чтобы наверняка
попасть в корабль?
Ответ: 24
Решение:
Закрашивая диагонали доски последовательно четырьмя цветами, получаем, что наименьшее
количество полей одного цвета равно 24. Произведя «удары» по всем этим полям, мы наверняка
попадем в корабль. Меньшим же числом обойтись нельзя, так как на доске можно одновременно
разместить 24 корабля.
Задача 4
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Каждый член семьи выпил по полной чашке кофе с молоком, причем Саша выпил
четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
Ответ: 5
Решение:
Пусть n – число человек в семье, x – количество выпитого молока (в чашках). Тогда количество
выпитого кофе равно n – x. Саша выпил одну чашку, которая состояла из одной четверти всего
молока (x/4) и одной шестой всего кофе (n – x)/6. Получаем уравнение (x/4) +(n – x)/6=1, откуда
x+2n=12. Так как n – целое число, то x – целое, причем четное и не превосходит n. Находим
решения: n=5, x=2; n=x=4; n=6, x=0. Последние два решения не подходят, так как они
соответсвуют случаю, когда все пили просто кофе или просто молоко.
Задача 5
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Сколько отрицательных корней имеет уравнение: x4–5x3–4x2–7x+4=0?
Ответ: 0
Решение:
Запишем уравнение в виде x4–4x2+4=5x3+7x, или (x2–2)2=5x3+7x. При x<0 правая часть уравнения
положительна, а левая – отрицательна, значит отрицательных корней нет.
Задача 6
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Умножение на 9 изменяет порядок цифр некоторого четырехзначного числа на
противоположный. Какое это число? Указать все возможности.
Ответ: 1089
Решение:
Запишем число в виде abcd. Очевидно, что a=1, d=9. Тогда для нахождения b и c получаем
уравнение 80+890b=10c, то есть 8+89b=c, откуда b=0 и c=8.
9 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Сестре втрое больше лет, чем было тогда, когда брат был в ее возрасте. Когда сестре будет
столько, сколько теперь ее брату, то им обоим вместе будет 96 лет. Сколько лет сестре и
сколько лет брату?
Ответ: 24 и 40
Решение:
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O. Площади
треугольников BOC и AOD равны 25 и 49 соответственно. Найти площадь трапеции.
Ответ: 144
Решение:
Треугольники BOC и AOD подобны, коэффициент подобия равен корню из отношений
площадей этих треугольников, то есть 5:7. У треугольников BOC и ODC совпадают
высоты из точки С, поэтому их площади относятся как основания - 5:7. И, наконец,
площади треугольников ODC и ABO равны. Площадь трапеции получается
25+49+2*(25*7:5)=74+2*35=144.
Задача 3
Задача предложена СУНЦ УрГУ
На доске 10х10 клеток для игры в «морской бой» расположен прямой четырехклеточный
корабль. Какое наименьшее количество «ударов» нужно произвести, чтобы наверняка
попасть в корабль?
Ответ: 24
Решение:
Закрашивая диагонали доски последовательно четырьмя цветами, получаем, что наименьшее
количество полей одного цвета равно 24. Произведя «удары» по всем этим полям, мы наверняка
попадем в корабль. Меньшим же числом обойтись нельзя, так как на доске можно одновременно
разместить 24 корабля.
Задача 4
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Каждый член семьи выпил по полной чашке кофе с молоком, причем Саша выпил
четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
Ответ: 5
Решение:
Пусть n – число человек в семье, x – количество выпитого молока (в чашках). Тогда количество
выпитого кофе равно n – x. Саша выпил одну чашку, которая состояла из одной четверти всего
молока (x/4) и одной шестой всего кофе (n – x)/6. Получаем уравнение (x/4) +(n – x)/6=1, откуда
x+2n=12. Так как n – целое число, то x – целое, причем четное и не превосходит n. Находим
решения: n=5, x=2; n=x=4; n=6, x=0. Последние два решения не подходят, так как они
соответсвуют случаю, когда все пили просто кофе или просто молоко.
Задача 5
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Сколько отрицательных корней имеет уравнение: x4–5x3–4x2–7x+4=0?
Ответ: 0
Решение:
Запишем уравнение в виде x4–4x2+4=5x3+7x, или (x2–2)2=5x3+7x. При x<0 правая часть уравнения
положительна, а левая – отрицательна, значит отрицательных корней нет.
Задача 6
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна 1. Внутри него дана точка M. Найти
площадь четырехугольника с вершинами в точках, симметричных точке M относительно
середин сторон четырехугольника ABCD.
Ответ: 2
Решение:
Если соединить середины сторон четырехугольника ABCD, то получится параллелограмм,
площадь которого равна ½. Построенный в условии задачи четырехугольник получается из этого
параллелограмма гомотетией с центром в точке M и коэффициентом 2 (они подобны), поэтому
имеет в 4 раза большую площадь, то есть 2.
10 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Студент за 5 лет обучения сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал
экзаменов больше, чем в предыдущем, а на пятом курсе сдал втрое больше экзаменов, чем
на первом. Сколько экзаменов студент сдал на четвертом курсе?
Ответ: 8
Решение:
Пусть на i-м курсе студент сдал xi экзаменов. <3x1.
<3x1.>Оценим сумму всех экзаменов снизу: 31>=x1+(x1+1)+(x1+2)+(x1+3)+3x1,
откуда x1=<25/7. Теперь оценим сверху: 31<=x1+(x5-3)+(x5-2)+(x5-1)+x5,
откуда x1>=37/13. Значит x1=3. Получаем цепочку неравенств:
3<9.
<9.>x2=4, x3=7, x4=8 и x2=5, x3=6, x4=8.<3x1. <3x1.="" оценим="" сумму="" всех=""
экзаменов="" снизу:="" <="" p=""><3x1.>
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O. Площади
треугольников BOC и AOD равны 25 и 49 соответственно. Найти площадь трапеции.
Ответ: 144
Решение:
Треугольники BOC и AOD подобны, коэффициент подобия равен корню из отношений
площадей этих треугольников, то есть 5:7. У треугольников BOC и ODC совпадают
высоты из точки С, поэтому их площади относятся как основания - 5:7. И, наконец,
площади треугольников ODC и ABO равны. Площадь трапеции получается
25+49+2*(25*7:5)=74+2*35=144.
Задача 3
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Найти функцию, удовлетворяющую двум неравенствам f(x)≤x, f(x+y)≤f(x)+f(y) для всех
чисел x и y.
Ответ: x
Решение:
Подставляя в тождество f(x+y)≤f(x)+f(y)значения x=y=0 получаем f(0)≥0. Учитывая неравенство
f(0)≤0, получаем f(0)=0. Далее для y=–x имеемf(x)≥f(x+(–x)) –f(–x)= –f(–x)≥x. Таким образом f(x)=x.
Задача 4
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Сколько маршрутов ведет из точки A в точку B, если двигаться можно по линиям сетки
вправо или вверх?
B
A
Ответ: 850
Решение:
В прямоугольнике m x n число таких маршрутов равно
. В нашей фигуре любой
маршрут проходит через точку 1, 2 или 3, причем среди этих маршрутов нет общих.
Чтобы пройти через точку 1, мы проходим прямоугольник 2x4, а затем 4x2. Число таких
маршрутов равно
. Посчитав аналогично число маршрутов через точки 2 и 3,
находим общее число маршрутов:
=152+202+152=850. Ответ:
850.
B
1
2
3
A
Задача 5
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Сколько отрицательных корней имеет уравнение: x4–5x3–4x2–7x+4=0?
Ответ: 0
Решение:
Запишем уравнение в виде x4–4x2+4=5x3+7x, или (x2–2)2=5x3+7x. При x<0 правая часть уравнения
положительна, а левая – отрицательна, значит отрицательных корней нет.
Задача 6
Задача предложена СУНЦ УрГУ
Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна 1. Внутри него дана точка M. Найти
площадь четырехугольника с вершинами в точках, симметричных точке M относительно
середин сторон четырехугольника ABCD.
Ответ: 2
Решение:
Если соединить середины сторон четырехугольника ABCD, то получится параллелограмм,
площадь которого равна ½. Построенный в условии задачи четырехугольник получается из этого
параллелограмма гомотетией с центром в точке M и коэффициентом 2 (они подобны), поэтому
имеет в 4 раза большую площадь, то есть 2.
ХИМИЯ
8 класс
Задача 1
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и
неорганической химии СПбГУ, канд. хим. наук.
При взаимодействии 12,0 г гидрида натрия с 50 мл воды получается раствор с массовой
долей растворенного вещества:
А) 19,4%; Б) 24,0%; В) 32,3%; Г) 32,8%
Ответ: Г.
Следует учесть, что при взаимодействии гидрида натрия с водой образуется гидроксид
натрия (растворенное вещество) и выделяется газ (водород), что приводит к уменьшению
массы раствора по сравнению с суммой масс исходных веществ: NaH + H2O = NaOH + H2↑
Задача 2
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и
неорганической химии СПбГУ, канд. хим. наук.
Вещества только с молекулярной кристаллической решеткой представлены в ряду:
А) иод, хлорид натрия, алюминий;
Б) иод, сухой лед, белый фосфор;
В) бромид натрия, хлорид алюминия, кремний;
Г) кремний, алмаз, бор.
Ответ: Вещества только с молекулярной кристаллической решеткой представлены в ряду
Б (I2, CO2, P4).
Задача 3
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Изобразите электронную конфигурацию: а) атома гафния; б) иона франция в
невозбужденном состоянии в виде 1s^22s^22p^3...
Напоминания:
1) не забудьте, что верхние индексы предваряются "галочками";
2) не забудьте, что подуровни перечисляются в порядке увеличения главного квантового
числа, а имеющие одинаковое главное квантовое число – в порядке увеличения побочного
квантового числа.
Решение
А) Гафний Hf находится в IV группе побочной подгруппы периодической таблицы. Это
означает, что у него 4 валентных электрона. Поскольку это элемент побочной подгруппы,
то 2 из них – это s-электроны внешнего уровня, а еще 2 – d-электроны предвнешнего
уровня.
Гафний находится в 6-м периоде. Это значит, что внешний электронный уровень у него –
6-й. Таким образом, электронная конфигурация гафния ...5d26s2.
Остается выписать все внутренние электроны. Во внутренних уровнях заполнены все s- и
р-подуровни, d-подуровни до 4-го включительно (и есть электроны на 5-м) и f-подуровни
до 4-го включительно (т.е. 4f).
Электронная конфигурация: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d26s2.
Б) Франций Fr находится в I группе главной подгруппы периодической таблицы. Это
означает, что у него 1 валентный электрон (s-электрон на внешнем уровне).
Франций находится в 7-м периоде. Это значит, что внешний электронный уровень у него –
7-й. Таким образом, электронная конфигурация франция ... 7s1.
Остается выписать все внутренние электроны. Во внутренних уровнях заполнены все s- и
р-подуровни, d-подуровни до 5-го включительно и f-подуровни до 4-го включительно (т.е.
4f).
Электронная конфигурация: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p67s1.
При образовании однозарядного положительного иона из нейтрального атома 1 электрон
отрывается. Это внешний электрон. Таким образом, электронная конфигурация иона:
1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p6.
Ответ:
A) 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d26s2;
Б) 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p6.
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Укажите валентности и степени окисления всех атомов в 1) гидразине N 2H4 и 2) ионе
аммония NH4+.
Решение
Гидразин N2H4
Рассмотрим строение гидразина:
Определяем валентности:
Каждый из атомов азота образует по 3 связи, значит, валентность азота 3. Каждый из
атомов водорода образует по 1 связи, значит, валентность водорода 1.
Определяем степени окисления:
Способ 1
Каждый из атомов водорода связан одной ковалентной полярной связью с более
электроотрицательным атомом азота. Следовательно, если представить себе эту связь как
ионную, электрон перейдет от водорода к азоту, в результате атом водорода приобретет
заряд +1. Степень окисления атома водорода +1.
Каждый из атомов азота имеет две ковалентные полярные связи с атомами водорода (по
которым, если представить их как ионные, приходит по 1 электрону от каждого атома
водорода, всего 2 электрона, и приобретается заряд -2) и одну ковалентную неполярную
связь с атомом азота, по которой не происходит смещения электронной плотности.
Степень окисления атома азота -2.
Способ 2
Молекула гидразина – незаряженная частица, суммарный заряд равен 0. Азот более
электроотрицателен, чем водород, значит, на атоме азота отрицательный заряд, на атоме
водорода положительный. Атом водорода при полном переходе электрона может
приобрести положительный заряд только +1 (у него всего 1 электрон), значит, его степень
окисления +1. Примем степень окисления атома азота за х и составим уравнение
электронейтральности:
2х + 4(+1) = 0
Отсюда х = -2.
Ион аммония NH4+
Рассмотрим образование иона аммония:
Определяем валентности:
В ионе аммония каждый атом водорода образует по 1 связи, валентность водорода 1. Атом
азота образует 4 связи, его валентность 4.
Определяем степени окисления:
Способ 1
Каждый из атомов водорода связан одной ковалентной полярной связью с более
электроотрицательным атомом азота. Следовательно, если представить себе эту связь как
ионную, электрон перейдет от водорода к азоту, в результате атом водорода приобретет
заряд +1. Степень окисления атома водорода +1.
В молекуле аммиака атом азота был связан с тремя атомами водорода полярными
ковалентными связями по обменному механизму. Если представить эти связи как ионные,
к атому азота от водорода поступает 3 электрона, и атом азота приобретает заряд -3. При
образовании из аммиака иона аммония происходит присоединение иона водорода Н +.
Происходит ли при этом переход 4-го электрона к атому азота? Нет, ведь у иона Н+ не
было электронов. 4-я связь образуется за счет электронной пары, исходно принадлежащей
азоту, по донорно-акцепторному механизму. Таким образом, заряд на атоме азота остается
-3, и степень окисления азота -3.
Способ 2
Ион аммония – заряженная частица, заряд равен +1. Азот более электроотрицателен, чем
водород, значит, на атоме азота отрицательный заряд, на атоме водорода положительный.
Атом водорода при полном переходе электрона может приобрести положительный заряд
только +1 (у него всего 1 электрон), значит, его степень окисления +1. Примем степень
окисления атома азота за х и составим уравнение электронейтральности:
х + 4(+1) = +1
Отсюда х = -3.
Ответ:
N2H4: валентность Н 1, валентность N 3, ст.окисления Н +1, ст.окисления N -2;
NH4+: валентность Н 1, валентность N 4, ст.окисления Н +1, ст.окисления N -3.
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Бромид некоторого металла содержит 86,9% брома. Напишите 2 возможные формулы
бромида (не забывайте перед нижним индексом ставить знак _ ).
Решение
Запишем формулу бромида металла в общем виде: MeBrx и выразим массовую долю
брома:
w(Br) = M(Br)*x/M(MeBrx) = 80x/(M(Me)+80x) = 0,869.
Отсюда выведем соотношение между М(Ме) и х:
М(Ме) = 12х.
При х = 1 М(Ме) = 12 г/моль – подходит элемент С, но это не металл, и его валентность не
1.
При х = 2 М(Ме) = 24 г/моль – подходит Mg. Это металл, и его валентность действительно
2.
При х = 3 М(Ме) = 36 г/моль – такого элемента нет. Ближайший по молярной массе Cl, но
это не металл.
При х = 4 М(Ме) = 48 г/моль – подходит Ti. Это металл, и он проявляет валентность 4.
Тяжелые переходные металлы могут проявлять валентность вплоть до 8, но мы уже
получили 2 ответа. Для интереса каждый может самостоятельно проверить остальные
варианты и убедиться, что среди них нет подходящих.
Ответ: MgBr2, TiBr4.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Сколько граммов кристаллогидрата MgSO4*7H2O необходимо добавить к 100 мл 5%-го
раствора сульфата магния (плотность 1,03 г/мл), чтобы получить 10%-ный раствор
сульфата магния?
Решение
Найдем массу раствора сульфата магния:
m(p-pa MgSO4) = V(p-pa MgSO4)*d(p-pa MgSO4) = 100*1,03 = 103 г.
Найдем массу вещества в этом растворе:
m(MgSO4) = m(p-pa MgSO4)*w(p-pa MgSO4) = 103*0,05 = 5,15 г.
Примем массу добавляемого кристаллогидрата за Х. Тогда масса безводного сульфата в
нем составит:
m(MgSO4 в кр-гидр.) = m(кр-гидр)*M(MgSO4)/M(кр-гидр) = 120Х/246 = 0,488Х г.
Масса конечного раствора складывается из массы исходного вещества и массы
кристаллогидрата, а масса вещества в этом растворе – из массы вещества в исходном
растворе и массы безводного сульфата в кристаллогидрате:
m(р-ра) = m(p-pa MgSO4) + m(кр-гидр) = 103 + Х г;
m(в-ва) = m(MgSO4) + m(MgSO4 в кр-гидр.) = 5,15 + 0,488X г.
Тогда массовая доля конечного раствора равна:
w = m(в-вa)/m(р-ра) = (103+Х)/(5,15+0,488Х) = 0,1.
Отсюда X = 13,27 г.
Ответ: 13,27 г.
9 класс
Задача 1
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и
неорганической химии СПбГУ, канд. хим. наук.
Взяты два одинаковых кубика из цинка массой по 6,0 г. Один из них разрезали на 8
одинаковых кубиков. В два химических стакана налили по 200 мл соляной кислоты с
концентрацией 1 моль/л и поместили в стакан № 1 – большой кубик, а в стакан № 2 – 8
маленьких. Кубики поместили таким образом, чтобы они не касались ни дна, ни стенок
стакана, ни друг друга и были полностью покрыты кислотой.
Начальные скорости выделения водорода в стаканах № 1 и №2:
А) равны; Б) в стакане № 1 скорость в 2 раза больше; В) в стакане № 1 скорость в 2 раза
меньше; Г) в стакане № 1 скорость в 8 раз меньше.
Ответ: В.
Скорость реакции твердое вещество – жидкость прямо пропорциональна площади
соприкосновения веществ, а площадь 8 кубиков с ребром а/2 в 2 раза больше, чем одного
кубика с ребром а (8·6· а2/4 = 12а2 и 6а2, соответственно).
Задача 2
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и
неорганической химии СПбГУ, канд. хим. наук.
Сокращенно-ионное уравнение реакции NH4+ + OH-  NH3 + H2O соответствует
взаимодействию:
А) хлорида аммония и гидроксида бария;
Б) нашатырного спирта и гидроксида натрия;
В) сульфата аммония и гидроксида магния;
Г) гидроксида аммония и гидроксида калия.
Ответ: А
Задача 3
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Изобразите электронную конфигурацию: а) атома гафния; б) иона франция в
невозбужденном состоянии в виде 1s^22s^22p^3...
Напоминания:
1) не забудьте, что верхние индексы предваряются "галочками";
2) не забудьте, что подуровни перечисляются в порядке увеличения главного квантового
числа, а имеющие одинаковое главное квантовое число – в порядке увеличения побочного
квантового числа.
Решение
А) Гафний Hf находится в IV группе побочной подгруппы периодической таблицы. Это
означает, что у него 4 валентных электрона. Поскольку это элемент побочной подгруппы,
то 2 из них – это s-электроны внешнего уровня, а еще 2 – d-электроны предвнешнего
уровня.
Гафний находится в 6-м периоде. Это значит, что внешний электронный уровень у него –
6-й. Таким образом, электронная конфигурация гафния ...5d26s2.
Остается выписать все внутренние электроны. Во внутренних уровнях заполнены все s- и
р-подуровни, d-подуровни до 4-го включительно (и есть электроны на 5-м) и f-подуровни
до 4-го включительно (т.е. 4f).
Электронная конфигурация: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d26s2.
Б) Франций Fr находится в I группе главной подгруппы периодической таблицы. Это
означает, что у него 1 валентный электрон (s-электрон на внешнем уровне).
Франций находится в 7-м периоде. Это значит, что внешний электронный уровень у него –
7-й. Таким образом, электронная конфигурация франция ... 7s1.
Остается выписать все внутренние электроны. Во внутренних уровнях заполнены все s- и
р-подуровни, d-подуровни до 5-го включительно и f-подуровни до 4-го включительно (т.е.
4f).
Электронная конфигурация: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p67s1.
При образовании однозарядного положительного иона из нейтрального атома 1 электрон
отрывается. Это внешний электрон. Таким образом, электронная конфигурация иона:
1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p6.
Ответ:
A) 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d26s2;
Б) 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p6.
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Укажите валентности и степени окисления всех атомов в 1) гидразине N 2H4 и 2) ионе
аммония NH4+.
Решение
Гидразин N2H4
Рассмотрим строение гидразина:
Определяем валентности:
Каждый из атомов азота образует по 3 связи, значит, валентность азота 3. Каждый из
атомов водорода образует по 1 связи, значит, валентность водорода 1.
Определяем степени окисления:
Способ 1
Каждый из атомов водорода связан одной ковалентной полярной связью с более
электроотрицательным атомом азота. Следовательно, если представить себе эту связь как
ионную, электрон перейдет от водорода к азоту, в результате атом водорода приобретет
заряд +1. Степень окисления атома водорода +1.
Каждый из атомов азота имеет две ковалентные полярные связи с атомами водорода (по
которым, если представить их как ионные, приходит по 1 электрону от каждого атома
водорода, всего 2 электрона, и приобретается заряд -2) и одну ковалентную неполярную
связь с атомом азота, по которой не происходит смещения электронной плотности.
Степень окисления атома азота -2.
Способ 2
Молекула гидразина – незаряженная частица, суммарный заряд равен 0. Азот более
электроотрицателен, чем водород, значит, на атоме азота отрицательный заряд, на атоме
водорода положительный. Атом водорода при полном переходе электрона может
приобрести положительный заряд только +1 (у него всего 1 электрон), значит, его степень
окисления +1. Примем степень окисления атома азота за х и составим уравнение
электронейтральности:
2х + 4(+1) = 0
Отсюда х = -2.
Ион аммония NH4+
Рассмотрим образование иона аммония:
Определяем валентности:
В ионе аммония каждый атом водорода образует по 1 связи, валентность водорода 1. Атом
азота образует 4 связи, его валентность 4.
Определяем степени окисления:
Способ 1
Каждый из атомов водорода связан одной ковалентной полярной связью с более
электроотрицательным атомом азота. Следовательно, если представить себе эту связь как
ионную, электрон перейдет от водорода к азоту, в результате атом водорода приобретет
заряд +1. Степень окисления атома водорода +1.
В молекуле аммиака атом азота был связан с тремя атомами водорода полярными
ковалентными связями по обменному механизму. Если представить эти связи как ионные,
к атому азота от водорода поступает 3 электрона, и атом азота приобретает заряд -3. При
образовании из аммиака иона аммония происходит присоединение иона водорода Н+.
Происходит ли при этом переход 4-го электрона к атому азота? Нет, ведь у иона Н+ не
было электронов. 4-я связь образуется за счет электронной пары, исходно принадлежащей
азоту, по донорно-акцепторному механизму. Таким образом, заряд на атоме азота остается
-3, и степень окисления азота -3.
Способ 2
Ион аммония – заряженная частица, заряд равен +1. Азот более электроотрицателен, чем
водород, значит, на атоме азота отрицательный заряд, на атоме водорода положительный.
Атом водорода при полном переходе электрона может приобрести положительный заряд
только +1 (у него всего 1 электрон), значит, его степень окисления +1. Примем степень
окисления атома азота за х и составим уравнение электронейтральности:
х + 4(+1) = +1
Отсюда х = -3.
Ответ:
N2H4: валентность Н 1, валентность N 3, ст.окисления Н +1, ст.окисления N -2;
NH4+: валентность Н 1, валентность N 4, ст.окисления Н +1, ст.окисления N -3.
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Бромид некоторого металла содержит 86,9% брома. Напишите 2 возможные формулы
бромида (не забывайте перед нижним индексом ставить знак _ ).
Решение
Запишем формулу бромида металла в общем виде: MeBrx и выразим массовую долю
брома:
w(Br) = M(Br)*x/M(MeBrx) = 80x/(M(Me)+80x) = 0,869.
Отсюда выведем соотношение между М(Ме) и х:
М(Ме) = 12х.
При х = 1 М(Ме) = 12 г/моль – подходит элемент С, но это не металл, и его валентность не
1.
При х = 2 М(Ме) = 24 г/моль – подходит Mg. Это металл, и его валентность действительно
2.
При х = 3 М(Ме) = 36 г/моль – такого элемента нет. Ближайший по молярной массе Cl, но
это не металл.
При х = 4 М(Ме) = 48 г/моль – подходит Ti. Это металл, и он проявляет валентность 4.
Тяжелые переходные металлы могут проявлять валентность вплоть до 8, но мы уже
получили 2 ответа. Для интереса каждый может самостоятельно проверить остальные
варианты и убедиться, что среди них нет подходящих.
Ответ: MgBr2, TiBr4.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Сколько граммов кристаллогидрата MgSO4*7H2O необходимо добавить к 100 мл 5%-го
раствора сульфата магния (плотность 1,03 г/мл), чтобы получить 10%-ный раствор
сульфата магния?
Решение
Найдем массу раствора сульфата магния:
m(p-pa MgSO4) = V(p-pa MgSO4)*d(p-pa MgSO4) = 100*1,03 = 103 г.
Найдем массу вещества в этом растворе:
m(MgSO4) = m(p-pa MgSO4)*w(p-pa MgSO4) = 103*0,05 = 5,15 г.
Примем массу добавляемого кристаллогидрата за Х. Тогда масса безводного сульфата в
нем составит:
m(MgSO4 в кр-гидр.) = m(кр-гидр)*M(MgSO4)/M(кр-гидр) = 120Х/246 = 0,488Х г.
Масса конечного раствора складывается из массы исходного вещества и массы
кристаллогидрата, а масса вещества в этом растворе – из массы вещества в исходном
растворе и массы безводного сульфата в кристаллогидрате:
m(р-ра) = m(p-pa MgSO4) + m(кр-гидр) = 103 + Х г;
m(в-ва) = m(MgSO4) + m(MgSO4 в кр-гидр.) = 5,15 + 0,488X г.
Тогда массовая доля конечного раствора равна:
w = m(в-вa)/m(р-ра) = (103+Х)/(5,15+0,488Х) = 0,1.
Отсюда X = 13,27 г.
Ответ: 13,27 г.
10 класс
Задача 1
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и
неорганической химии СПбГУ, канд. хим. наук.
Органическое вещество с формулой С9H12 может относиться к следующему классу
углеводородов: А) алкины; Б) алкадиены; В) арены; Г) циклоалкены.
Ответ: В
Задача 2
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и
неорганической химии СПбГУ, канд. хим. наук.
В реакции окисления сульфида мышьяка(III) избытком концентрированной азотной
кислоты с образованием бурого газа сумма коэффициентов в левой части уравнения
составляет:
А) 41; Б) 29; В) 14; Г) 70.
Ответ: Б
Задача 3
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Изобразите электронную конфигурацию: а) атома гафния; б) иона франция в
невозбужденном состоянии в виде 1s^22s^22p^3...
Напоминания:
1) не забудьте, что верхние индексы предваряются "галочками";
2) не забудьте, что подуровни перечисляются в порядке увеличения главного квантового
числа, а имеющие одинаковое главное квантовое число – в порядке увеличения побочного
квантового числа.
Решение
А) Гафний Hf находится в IV группе побочной подгруппы периодической таблицы. Это
означает, что у него 4 валентных электрона. Поскольку это элемент побочной подгруппы,
то 2 из них – это s-электроны внешнего уровня, а еще 2 – d-электроны предвнешнего
уровня.
Гафний находится в 6-м периоде. Это значит, что внешний электронный уровень у него –
6-й. Таким образом, электронная конфигурация гафния ...5d26s2.
Остается выписать все внутренние электроны. Во внутренних уровнях заполнены все s- и
р-подуровни, d-подуровни до 4-го включительно (и есть электроны на 5-м) и f-подуровни
до 4-го включительно (т.е. 4f).
Электронная конфигурация: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d26s2.
Б) Франций Fr находится в I группе главной подгруппы периодической таблицы. Это
означает, что у него 1 валентный электрон (s-электрон на внешнем уровне).
Франций находится в 7-м периоде. Это значит, что внешний электронный уровень у него –
7-й. Таким образом, электронная конфигурация франция ... 7s1.
Остается выписать все внутренние электроны. Во внутренних уровнях заполнены все s- и
р-подуровни, d-подуровни до 5-го включительно и f-подуровни до 4-го включительно (т.е.
4f).
Электронная конфигурация: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p67s1.
При образовании однозарядного положительного иона из нейтрального атома 1 электрон
отрывается. Это внешний электрон. Таким образом, электронная конфигурация иона:
1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p6.
Ответ:
A) 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d26s2;
Б) 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s26p6.
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Укажите валентности и степени окисления всех атомов в 1) гидразине N 2H4 и 2) ионе
аммония NH4+.
Решение
Гидразин N2H4
Рассмотрим строение гидразина:
Определяем валентности:
Каждый из атомов азота образует по 3 связи, значит, валентность азота 3. Каждый из
атомов водорода образует по 1 связи, значит, валентность водорода 1.
Определяем степени окисления:
Способ 1
Каждый из атомов водорода связан одной ковалентной полярной связью с более
электроотрицательным атомом азота. Следовательно, если представить себе эту связь как
ионную, электрон перейдет от водорода к азоту, в результате атом водорода приобретет
заряд +1. Степень окисления атома водорода +1.
Каждый из атомов азота имеет две ковалентные полярные связи с атомами водорода (по
которым, если представить их как ионные, приходит по 1 электрону от каждого атома
водорода, всего 2 электрона, и приобретается заряд -2) и одну ковалентную неполярную
связь с атомом азота, по которой не происходит смещения электронной плотности.
Степень окисления атома азота -2.
Способ 2
Молекула гидразина – незаряженная частица, суммарный заряд равен 0. Азот более
электроотрицателен, чем водород, значит, на атоме азота отрицательный заряд, на атоме
водорода положительный. Атом водорода при полном переходе электрона может
приобрести положительный заряд только +1 (у него всего 1 электрон), значит, его степень
окисления +1. Примем степень окисления атома азота за х и составим уравнение
электронейтральности:
2х + 4(+1) = 0
Отсюда х = -2.
Ион аммония NH4+
Рассмотрим образование иона аммония:
Определяем валентности:
В ионе аммония каждый атом водорода образует по 1 связи, валентность водорода 1. Атом
азота образует 4 связи, его валентность 4.
Определяем степени окисления:
Способ 1
Каждый из атомов водорода связан одной ковалентной полярной связью с более
электроотрицательным атомом азота. Следовательно, если представить себе эту связь как
ионную, электрон перейдет от водорода к азоту, в результате атом водорода приобретет
заряд +1. Степень окисления атома водорода +1.
В молекуле аммиака атом азота был связан с тремя атомами водорода полярными
ковалентными связями по обменному механизму. Если представить эти связи как ионные,
к атому азота от водорода поступает 3 электрона, и атом азота приобретает заряд -3. При
образовании из аммиака иона аммония происходит присоединение иона водорода Н +.
Происходит ли при этом переход 4-го электрона к атому азота? Нет, ведь у иона Н+ не
было электронов. 4-я связь образуется за счет электронной пары, исходно принадлежащей
азоту, по донорно-акцепторному механизму. Таким образом, заряд на атоме азота остается
-3, и степень окисления азота -3.
Способ 2
Ион аммония – заряженная частица, заряд равен +1. Азот более электроотрицателен, чем
водород, значит, на атоме азота отрицательный заряд, на атоме водорода положительный.
Атом водорода при полном переходе электрона может приобрести положительный заряд
только +1 (у него всего 1 электрон), значит, его степень окисления +1. Примем степень
окисления атома азота за х и составим уравнение электронейтральности:
х + 4(+1) = +1
Отсюда х = -3.
Ответ:
N2H4: валентность Н 1, валентность N 3, ст.окисления Н +1, ст.окисления N -2;
NH4+: валентность Н 1, валентность N 4, ст.окисления Н +1, ст.окисления N -3.
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Бромид некоторого металла содержит 86,9% брома. Напишите 2 возможные формулы
бромида (не забывайте перед нижним индексом ставить знак _ ).
Решение
Запишем формулу бромида металла в общем виде: MeBrx и выразим массовую долю
брома:
w(Br) = M(Br)*x/M(MeBrx) = 80x/(M(Me)+80x) = 0,869.
Отсюда выведем соотношение между М(Ме) и х:
М(Ме) = 12х.
При х = 1 М(Ме) = 12 г/моль – подходит элемент С, но это не металл, и его валентность не
1.
При х = 2 М(Ме) = 24 г/моль – подходит Mg. Это металл, и его валентность действительно
2.
При х = 3 М(Ме) = 36 г/моль – такого элемента нет. Ближайший по молярной массе Cl, но
это не металл.
При х = 4 М(Ме) = 48 г/моль – подходит Ti. Это металл, и он проявляет валентность 4.
Тяжелые переходные металлы могут проявлять валентность вплоть до 8, но мы уже
получили 2 ответа. Для интереса каждый может самостоятельно проверить остальные
варианты и убедиться, что среди них нет подходящих.
Ответ: MgBr2, TiBr4.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Сколько граммов кристаллогидрата MgSO4*7H2O необходимо добавить к 100 мл 5%-го
раствора сульфата магния (плотность 1,03 г/мл), чтобы получить 10%-ный раствор
сульфата магния?
Решение
Найдем массу раствора сульфата магния:
m(p-pa MgSO4) = V(p-pa MgSO4)*d(p-pa MgSO4) = 100*1,03 = 103 г.
Найдем массу вещества в этом растворе:
m(MgSO4) = m(p-pa MgSO4)*w(p-pa MgSO4) = 103*0,05 = 5,15 г.
Примем массу добавляемого кристаллогидрата за Х. Тогда масса безводного сульфата в
нем составит:
m(MgSO4 в кр-гидр.) = m(кр-гидр)*M(MgSO4)/M(кр-гидр) = 120Х/246 = 0,488Х г.
Масса конечного раствора складывается из массы исходного вещества и массы
кристаллогидрата, а масса вещества в этом растворе – из массы вещества в исходном
растворе и массы безводного сульфата в кристаллогидрате:
m(р-ра) = m(p-pa MgSO4) + m(кр-гидр) = 103 + Х г;
m(в-ва) = m(MgSO4) + m(MgSO4 в кр-гидр.) = 5,15 + 0,488X г.
Тогда массовая доля конечного раствора равна:
w = m(в-вa)/m(р-ра) = (103+Х)/(5,15+0,488Х) = 0,1.
Отсюда X = 13,27 г.
Ответ: 13,27 г.