Личное первенство [решения задач]

Личное первенство по математике «Математический фейерверк», 2014 год
5-6 класс
1. Можно ли разрезать квадрат 4 × 4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные
прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами?
Ответ: да, можно.
Решение. Например, см. рис.
Критерии. Наличие правильного разрезания – 7 баллов.
2. Мама с дочкой тратят на уборку квартиры 30 минут. Одна мама убрала бы квартиру за 50
минут. За сколько минут сделала бы это дочка? Ответ обоснуйте.
Ответ: за 75 минут.
Решение. За 150 минут мама с дочкой уберут 5 квартир, мама – 3 квартиры. Поэтому дочка уберёт
2 квартиры за 150 минут и 1 квартиру за 75 минут.
Критерии. Только правильный ответ – 1 балл. Составление уравнения – 3 балла. Полное решение
– 7 баллов.
3. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх состояла из спортсменов и чиновников.
Средний возраст спортсменов составлял 22 года, а чиновников – 47 лет. При этом средний
возраст всех членов делегации оказался равным 41 году. Какова в этой делегации доля
чиновников (отношение количества чиновников к общему количеству членов делегации)?
Ответ обоснуйте.
19
 0,76 .
Ответ:
25
Решение. Пусть есть х спортсменов и у чиновников. Тогда общий возраст всех спортсменов 22х, а
чиновников – 47у. Общий возраст всех членов делегации 22х + 47у или 41(х + у). Получаем
19
19
х
19
у
19
х и
уравнение, из которого 19х = 6у. Тогда у 
 6
 6 
 0,76 .
19
19 25
6
х у
х  х 1
6
6
Критерии. Ответ без решения – 1 балл. Составление уравнения для возрастов – 3 балла. Полное
решение – 7 баллов. За ошибки в вычислениях снимать 1-2 балла.
4. Натуральное число называется упрощённым, если оно является произведением двух простых
чисел (не обязательно различных). Какое наибольшее количество последовательных
натуральних чисел может оказаться упрощёнными? Ответ обоснуйте.
Ответ: Три числа.
Решение. Четыре последовательных числа не могут быть упрощёнными. Одно из последовательных
чисел делится на 4. Оно будет упрощённым, если это ровно 4. Но 3 и 5 не являются упрощёнными.
Поэтому упрощённых чисел не больше трёх. Пример для трёх чисел: 33 = 3 × 11, 34 = 2 × 17,
35 = 5 × 7.
Критерии. Только правильный ответ – 1 балл. Оценка – 3 балла, пример – 3 балла. Полное
решение – 7 баллов.
Личное первенство по математике «Математический фейерверк», 2014 год
7-8 класс
1. Можно ли расставить в клетках таблицы 4 × 5 числа 1, 2, …, 20 (каждое используется по
одному разу) так, чтобы суммы чисел во всех рядах были одинаковы и суммы чисел во всех
столбцах были одинаковы, но, возможно, отличались от сумм чисел в рядах?
Ответ: нет.
Решение. Допустим, это возможно. Обозначим сумму в каждом ряду через S. Сложим все
20 чисел по рядам. Вся сумма равна 4S, так как рядов 4. С другой стороны, она равна
1 + 2 + … + 20 = 210. Число 210 не делится на 4 , а значит, не может раняться 4S.
Критерии. Только правильный ответ – 0 баллов. Полное решение – 7 баллов.
2. Таня составила из натуральных чисел от 1 до 22 одиннадцать дробей (каждое число
использовано ровно один раз и стоит либо в числителе, либо в знаменателе какой-то дроби).
Какое наибольшее количество целых чисел могло получиться у Тани?
Ответ: 10.
Решение. Рассмотрим числа 13, 17 и 19. Эти числа – простые и среди остальных чисел нет тех,
которые бы на них делились. Они сами могут разделиться только на число 1. Поэтому хотя бы
17
,
одна дробь не будет целым числом. Значит, целых чисел не больше 10. Пример на 10 чисел:
19
13
22
21
14
15
20
9
18
16
12
 13,
 2,
 3,
 7,
 3,
 2,
 3,
 3,
 2,
 3. Возможны другие
1
11
7
2
5
10
6
8
4
3
примеры.
Критерии. Только ответ – 1 балл. Оценка – 3 балла. Пример – 3 балла. Полное решение –
7 баллов.
3. В четырёхугольнике ABCD выполняется условие AD = AB + CD. Биссектрисы углов BAD и
ADC пересекаются в точке P. Докажите, что BP = CP.
Решение. Отметим точку К на отрезке AD
C
так, чтобы АК = АВ. Тогда DK = CD.
Треугольники АВР и АКР равны по первому
признаку и треугольники CPD и KPD тоже
B
P
равны. Тогда ВР = КР = СР.
Критерии. Полное решение – 7 баллов.
4. На доске в ряд записано 2015 звёздочек.
Андрей и Олеся играют в следующую
игру: они по очереди (Андрей – первый)
заменяют какую-нибудь звёздочку на A
D
K
какую-нибудь цифру (на первое место
нельзя ставить цифру 0). Если в конце получится 2015-значное число, делящееся на 11, то
выигрывает Андрей, если не делящееся на 11 – Олеся. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ: выигрывает Олеся.
Решение. Стратегия Олеси такова. Если Андрей меняет звёздочку (кроме первой) на какуюнибудь цифру, то Олеся меняет на такую же цифру какую-нибудь (кроме первой) звёздочку,
стоящую на месте другой чётности. Если теперь оставшимся ходом Андрей заменяет первую
звёздочку на какую-нибудь ненулевую цифру х, тогда разность между суммой цифр на чётных
местах и на нечётных равна х и это число не кратно 11. Тогда и полученное 2015-значное число не
кратно 11.
Если Андрей не последним ходом меняет первую звёздочку на ненулевую цифру х, то Олеся
меняет какую-нибудь звёздочку на чётном месте на цифру х – 1. Дальше применяется описанная
стратегия. Перед последним ходом разность между суммами цифр на нечётных и чётных местах
равна 1. Последним ходом Андрей ставит цифру на нечётное место и получить разность, кратную
11 (то есть 0 или 11), не сможет.
Критерии. Ответ без решения – 0 баллов. Идея симметричной стратегии – 1 балл. Описана
стратегия, когда последний ход – на первое место – 3 балла. Полное решение – 7 баллов.