Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет экономики
Программа дисциплины
«Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра, для
магистерской программы «Финансовые рынки и финансовые институты»
Автор программы:
Шоломицкий А.Г., [email protected]
Одобрена на заседании
кафедры управления рисками и страхования
Зав. кафедрой
«___»__________ 20 г
Рекомендована секцией УМС «Конкретная экономика» «___»__________ 20 г
Председатель
Утверждена УС факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
________________________
МОСКВА, 20___
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета
и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
1. Пояснительная записка.
Автор программы – к.ф.-м.н. А.Г.Шоломицкий.
Аннотация.
Курс «Теория риска» рассчитан на один семестр и читается студентам
первого курса магистратуры направления 080300.68 «Финансы и кредит»,
обучающимся по магистерской программе «Математические методы анализа».
Курс предназначен для ознакомления слушателей с теорией экономического
поведения и принятия решений при неопределенности и в ситуациях, связанных
с присутствием риска, а также с основными теоретическими принципами
оценки риска.
Полученные знания могут быть использованы в курсах экономического
профиля и при подготовке магистерских диссертаций, связанных с проблемами
учета риска при оптимизации экономических решений.
Для успешного усвоения курса студентам необходимо не просто получить
представление об основных методах анализа, но и научиться применять эти
методы. Это требует непрерывной практики в решении задач. Одной из форм
контроля является домашнее задание, которое включает в себя примеры задач
использования различных методов и моделей оценки риска.
Требования к студентам.
Предполагается, что студенты знакомы с необходимым математическим
аппаратом (математический анализ, теория вероятностей, теория случайных
процессов).
Учебная задача дисциплины.
В результате изучения курса «Методы и модели оценки риска» студент должен:
- знать основные результаты современной теории принятия решений в
условиях риска и неопределенности;
- обладать навыками использования различных методов и моделей оценки
риска;
- уметь применять полученные знания при решении теоретических и
практических задач.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
Формы и
методы
обучения,
способствующи
е
формированию
и развитию
компетенции
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения (показатели
достижения результата)
Способен анализировать
финансовое состояние
компаний и финансовых
институтов
ПК-11
Демонстрирует умение анализировать
финансовое состояние компаний и
финансовых институтов
Способен анализировать
факторы формирования
фундаментальной стоимости
капитала компании и
финансового института и ее
оценки
ПК-14
Демонстрирует умение анализировать
факторы формирования
фундаментальной стоимости капитала
компании и финансового института и
ее оценки
Самостоятельная
подготовка
проекта по
учебной
дисциплине
Самостоятельная
подготовка
проекта по
учебной
дисциплине
Способен обосновать
эффективность
инвестиционной политики
фирмы и финансового
института, включая
проектный анализ с
использованием
современного
аналитического аппарата,
учитывающего фактор
неопределенности деловой
среды
ПК-19
Демонстрирует умение
обосновывать эффективность
инвестиционной политики фирмы
и финансового института, включая
проектный анализ с
использованием современного
аналитического аппарата,
учитывающего фактор
неопределенности деловой среды
Работа с базами
данных на
семинарских и
практических
занятиях,
написании
реферата и
самостоятельной
подготовке
Способен контролировать
выполнение стратегических
управленческих решений и
финансовых планов
ПК-26
Демонстрирует умение
контролировать выполнение
стратегических управленческих
решений и финансовых планов
Способен руководить
процессом составления
отчетности (финансовой и
управленческой)
ПК-30
Демонстрирует умение руководить
процессом составления отчетности
(финансовой и управленческой)
Способен вносить
предложения и разрабатывать
стандарты регулирования
финансовых рынков
ПК-34
Владеет навыком разработки
стандартов регулирования
финансовых рынков
Самостоятельная
подготовка
практического
задания (кейса) по
учебной
дисциплине
Самостоятельная
подготовка
проекта по
финансовой и
управленческой
отчетности
Самостоятельный
поиск
соответствующих
законов и
нормативных
актов;
Выполнение
заданий по
применению
законов и
нормативных
актов
Компетенция
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
2.Тематический план дисциплины.
№
Наименование разделов и тем
Всего
Часов
1
Задачи выбора в экономике
14
2
Проблемы изменения риска
Аудиторные часы
Самостоятел
ьная работа
Лекции Семинары
4
-
10
25
6
-
19
3
Ожидаемая полезность и её 36
применения к задачам выбора в
условиях риска
8
-
19
4
Парадоксы и нелинейные модели
выбора в условиях риска
6
-
23
5
Выбор
в
неопределённости
6
-
9
30
-
78
29
условиях 14
Итого:
108
3.Литература.
Базовый учебник.
1. Шоломицкий А.Г. (2005) Выбор при неопределенности и моделирование
риска. – М.: ИД ГУ ВШЭ [Ш]
Основная.
1. Starmer, C. (2000) Developments in non-expected utility theory: the hunt for a
descriptive theory of choice under risk. – J. of Economic Literature, XXXVIII,
332 – 382. [Starmer]
2. Бауэрс, Н. Л., и др. (Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A.,
and Nesbitt, C.J.) (1997; рус. пер. 2001) Актуарная математика (2-е изд.).
– М.: Янус-К. [Бауэрс]
3. Fishburn, P. C. (1988) Nonlinear preference and utility theory. – Johns
Hopkins Univ. Press. [Fishburn]
4. Jorion, P. (1997) Value at risk. McGraw-Hill. [Jorion]
Дополнительная.
1. M.Machina Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Economic perspectives, 1987, 1, 121 -154. [Machina]
2. Tversky, A., and Kahneman, D. (1992) Advances in prospect theory:
cumulative representation of uncertainty. – J. of Risk and Uncertainty, 5, 297 –
323. [Tversky]
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
3. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., and Heath, D. (1999) Coherent measures
of risk. – Mathematical Finance, 9, 3, 203 – 228. [Artzner]
4. McNeil, A. J. (1997) Estimating the tails of loss severity distributions using
extreme value theory. – ASTIN Bulletin, 27, 1, 117 – 137.
5. Embrechts, P., Kluppelberg, C., and Mikosh, T. (1997) Modelling extremal
events for finance and insurance. – Springer.
6. Loewenstein, G., and Prelec, D. (1992) Anomalies in intertemporal choice:
evidence and interpretation. – Quarterly J. of Economics, 107, 2, 573 – 597.
7. Phelan, M. (1995) Probability and statistics applied to the practice of
financial risk management: the case of JP Morgan’s RiskMetrics TM . –
Working Paper 95-19, Wharton Business School, Univ. of Pennsylvania.
[Phelan]
8. Смоляк, С. А. (2002) Оценка эффективности инвестиционных проектов
в условиях риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта). –
М.: Наука. [Смоляк]
9. Фишберн, П. (Fishburn, P.) (1970; рус. пер. 1978) Теория полезности для
принятия решений. – М.: Наука. [Фишберн]
10. Mas-Colell, A., Whinston, M. D., Green, J. R. (1995) Microeconomic theory.
– Oxford Univ. Press.
11. Вилкас, Э. Й. (1990) Оптимальность в играх и решениях. – М.: Наука.
12. Anscomb, F. J., Aumann, R. J. (1963) A definition of subjective probability. –
Annals of Mathematical Statistics, 34, 1, 199 – 205.
13. Ingersoll, J. E. (1987) Theory of financial decision making. – Rowman and
Littlefield. [Ingersoll]
14. Kahneman, D., and Tversky, A. (eds.) (2000) Choices, values, and frames. –
Cambridge Univ. Press.
Соответствующие разделы основной литературы приведены по каждой теме.
4.Формы контроля.
1. Текущий контроль – посещение лекций и активность студентов на
занятии.
2. Промежуточный контроль – контрольная работа (30% от общей
оценки)
3. Итоговый контроль – письменный зачёт в конце курса (60% от
общей оценки)
Итоговый контроль – зачёт. Письменная работа в конце семестра,
которая включает в себя ответы на теоретические вопросы и решение
задач.
Итоговая оценка складывается из результатов текущего контроля (Отек),
промежуточного контроля (Опр) и оценки по 10-бальной шкале,
полученной на зачёте (Ок).
Итоговая оценка (Оср) определяется как средневзвешенная величина из
оценок текущего контроля (Отек), промежуточного контроля (Опр) и
контрольного теста (итоговый зачёт) (Ок)
Удельный вес каждой формы контроля составляет:
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
Текущий контроль = 0,1
Промежуточный контроль = 0,3
Контрольный тест (итоговый зачёт) = 0,6
Оср=0,1*Отек +0,3*Опр+0,6*Ок
5.Содержание программы.
Раздел I. Модель индивидуального риска в страховании (Ш, гл. 7; Бауэрс,
гл. 2).
Убыток страховщика как сумма убытков по отдельным рискам. Распределение
отдельного убытка. Аппроксимации для суммарного убытка. «Капитал под
риском» как мера риска страховщика. Задачи определения необходимого
резерва, рисковой надбавки, страховой премии.
Раздел II. Модель коллективного риска в страховании (Ш, гл. 8, 10;
Бауэрс, гл. 12, 13, 14).
Резерв страховщика как случайный процесс. Процесс риска. Вероятность
разорения страховой компании как мера риска. Коэффициент Лундберга.
Уравнения и неравенства для вероятности разорения. Вероятность разорения и
перестрахование.
Модель для конечного интервала времени. Распределение суммарного убытка
страховщика.
Сложное
пуассоновское
распределение.
Проблема
неоднородности и модель со смешиванием. Распределения отдельного убытка.
Развитие теории коллективного риска. Парадокс де Финетти. Среднее время до
разорения как альтернативная мера риска. Модели со случайным блужданием и
винеровским процессом. Модель с инвестиционным доходом. Общая модель
денежных потоков страховщика.
Раздел III. Меры риска (Ш, гл. 1, 2; Jorion; Phelan; Artzner).
Примеры применения мер риска в страховании и финансах. Меры риска,
основанные на дисперсии: примеры применения в оценке рыночных рисков.
Подход VaR. Пример: методика RiskMetrics.
Теоретические
свойства
мер
риска.
Монотонность
относительно
стохастического доминирования первого и второго рода. Субаддитивность и
свойство мер риска «поддерживать диверсификацию». Когерентность мер
риска. Примеры.
Раздел IV. Модели выбора в условиях риска и неопределенности.
Ожидаемая полезность в задачах выбора в условиях риска. Приложения
ожидаемой полезности: модель определения страховой премии, теорема Эрроу
об оптимальном страховании, выбор портфеля в статическом и динамическом
случаях. (Ш, гл. 3; Mas-Colell; Фишберн; Бауэрс, гл. 1; Ingersoll).
Парадоксы ожидаемой полезности и нелинейные модели выбора в условиях
риска. (Ш, гл. 4, 5; Fishburn, Ch. 2, 3; Starmer).
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
Модель выбора в условиях неопределенности. Субъективные вероятности:
теории Энскомба и Ауманна, Сэвиджа. Парадоксы Эллсберга. Теория
проспектов Канемана и Тверски. (Ш, гл. 6; Fishburn, Ch. 7, 8; Starmer; Смоляк;
Tversky).
6.Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примеры вопросов (задач) для проверки качества знаний:
1. Сравните распределения по критериям стохастического доминирования
первого и второго порядка. Вычислите и сопоставьте математические ожидания
и дисперсии распределений.
10 50 100 
 Значение
F1  
 и
 Вероятность 0 2 0 6 0 2 
10 60 100 
 Значение
F2  
.
 Вероятность 0 2 0 5 0 3 
2.
Рассмотрим следующее правило сравнения альтернатив: если
P  X A  X B   1 2 то A ± B . Величины X A и X B считаются независимыми.
Монотонно ли это правило относительно первого стохастического
доминирования?
3. Покажите, что отношение стохастического доминирования второго порядка
II транзитивно.
4. Покажите, что множество эффективных портфелей на плоскости ( r  mr )
изображается выпуклым множеством точек.
5.
Покажите, что критерий математического ожидания, V ( A)  mA ,
удовлетворяет свойству монотонности относительно первого стохастического
доминирования.
6. Докажите, что если FA доминирует FB в смысле второго стохастического
доминирования и mA  mB , то  A   B . Верно ли обратное? Если да, докажите.
Если нет, приведите пример.
7. Пусть 1 ( x) и  2 ( x) – две нормальные функции распределения. Покажите,
что 1 I  2 в том и только том случае, когда (m1  m2   1   2 ) .
8. Инвестор формирует свой портфель из двух активов: доллара и евро так,
чтобы минимизировать DEaR. Предположим, что для периода в один день
 1  0 44% ,  2  0 53% ,   0 38 . Найти b – оптимальную долю вложений в
доллар.
9. Какие из следующих мер риска удовлетворяют условию однородности?
Условию
монотонности
относительно
первого
стохастического
доминирования?
(а) Математическое ожидание mX ;
(б) мера риска R  m  a ;
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
(в) мера риска Полячека – Тверского R  m  a 2 ;
(г) VaR (квантиль распределения);
(д) мера риска R( X )  E  X | X  t  ;
(е) мера риска R( X )  E  X | X  mX  a X  ;
(ж) условное ожидание хвоста R( X )  E  X | X  VaR   .
10. Докажите следующие утверждения.
(a) Мера риска R  m  a является когерентной мерой риска, если
распределения всех убытков X и их сумм нормальны.
(b) Мера риска R  m  a не является когерентной мерой риска, если
распределения убытков X могут быть произвольными.
(c) VaR, определенная как квантиль соответствующего распределения, не
является когерентной мерой риска, если распределения убытков X могут быть
произвольными.
11.
Нами рассматривались меры риска, для которых неприятие риска
выражалось убыванием V по дисперсии. В теории ожидаемой полезности
неприятие риска выражается вогнутостью функции полезности денег.
Покажите, что эти два принципа противоречивы.
Указание. Постройте пример случайных величин X и Y и вогнутой функции
u () таких, что mX  mY   X   Y , но Eu ( X )  Eu (Y ) . Почему нельзя привести
такого примера с нормально распределенными X и Y ?
12. Какие из приведенных ниже функций полезности монотонны относительно
первого и/или второго стохастического доминирования, а какие – нет? Почему?
(а) U ( X )  E( X ) ;
(b) U ( X )  E( X )  0 02  ( D( X )) 3 ;
(c) U ( X )  Ee001 X ;
(d) U ( X )  Ee001 X ;
(e) U ( X )  Ee001 X 0001 X ,
где E – математическое ожидание, D – дисперсия.
13. Один и тот же человек регулярно покупает лотерейные билеты, надеясь
выиграть автомобиль ценой $10 000, и страхует свой собственный автомобиль
такой же стоимости от угона. Можно ли объяснить его поведение с помощью
модели ожидаемой полезности? Какую форму должна иметь функция
полезности? (Friedman and Savage, 1948).
14. Ущерб по некоторому риску распределен равномерно от 0 до 20. Какую
максимальную страховую премию за страхование такого риска готов будет
заплатить страхователь, имеющий капитал 50 и руководствующийся правилом
максимизации ожидаемой полезности с функцией полезности u ( x)  x  ax 2 ,
a  0 01 ?
15. Предположим, что ущерб страхователя имеет следующее распределение: в
случае аварии (с вероятностью 0,02) ущерб распределен равномерно на [0100] ;
в противном случае ущерб равен 0. Найти максимальную страховую премию,
которую готов заплатить страхователь в этом случае.
16. Страховой ущерб в случае пожара распределен равномерно от 0 до 100;
вероятность пожара равна 0,02. Найти форму страхового контракта,
2
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
оптимальную с точки зрения страхователя, имеющего возрастающую и
вогнутую функцию полезности, максимизирующего свою ожидаемую
полезность и готового заплатить за страхование данного риска сумму P .
17. Инвестор имеет возможность сформировать портфель из двух активов,
годовые нормы доходности которых моделируются нормальными случайными
величинами со средними m1  16% и m2  9% и средними квадратическими
отклонениями  1  30% и  2  12% , соответственно, и коррелированы с
коэффициентом корреляции   0 46 . Считая, что инвестор вкладывает 1 ден.
ед., имеет функцию полезности u( x)  x  0 02 x 2 и стремится максимизировать
ожидаемую полезность стоимости капитала на конец года, найти оптимальные с
его точки зрения доли вложений в первый и второй активы.
18. Проверьте, что если предпочтения определяются критерием «субъективно
взвешенной ожидаемой полезности», то выполнена основная аксиома Сэвиджа
(sure thing principle).
19. Пусть лицу, осуществляющему выбор, известны физические вероятности
событий и выбор определяется только распределением результата, т.е. имеет
место выбор в условиях риска. Покажите, что в этом случае аксиома sure thing
principle Сэвиджа сильнее аксиомы независимости фон Неймана –
Моргенштерна.
Указание. Воспользуйтесь представлением альтернатив выбора в виде
двухступенчатых лотерей.
20. Покажите, что первый из парадоксов Эллсберга представляет нарушение
аксиомы (G4) Сэвиджа.
21. В экперименте испытуемым было сначала предложено выбрать между
правом сыграть в игру
(A) выиграть $1000 с вероятностью 2/3 (0 в противном случае – везде далее
опускается)
и альтернативой
(B) получить $500 без риска.
Опрошенные в среднем признали альтернативы равнозначными. Затем было
предложено выбрать одну из альтернатив:
(C) выиграть $1000 с вероятностью 0,4 и $500 с вероятностью p
и
(D) выиграть $500 с вероятностью 0,8.
Каким должно быть p , чтобы выбор во второй паре альтернатив
соответствовал теории ожидаемой полезности?
22. В некотором экперименте испытуемым было сначала предложено выбрать
между правом сыграть в игру
(A) выиграть $200 с вероятностью 0,6
и альтернативой
(B) получить $100 без риска.
Большинство опрошенных выбрали (B). Затем было предложено выбрать одну
из альтернатив:
(C) выиграть $200 с вероятностью 0,3 и $100 с веростностью 0,4
и
(D) выиграть $100 с вероятностью 0,8.
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория риска»
для направления 080300.68 «Финансы и кредит» подготовки магистра,
Какой выбор во второй паре альтернатив согласуется с теорией ожидаемой
полезности?
23. Рассмотрим следующий пример (Аллэ, 1953). Предлагается выбор между
C1 : получить 1 млн. франков без риска; и C 2 : 5 млн. франков с вероятностью
0,8, 0 с вероятностью 0,2. Затем предлагается выбор между D1 : 1 млн. франков
с вероятностью 0,05 и 0 с вероятностью 0,95; и D 2 : 5 млн. франков с
вероятностью 0,04 и 0 с вероятность 0,96. Большинство людей предпочитают
C1 в первой паре и D 2 во второй. Покажите, что такие предпочтения нельзя
описать моделью ожидаемой полезности.
7. Методические рекомендации преподавателю.
При построении лекций необходимо, во возможности, демонстрировать связь
теории принятия решений с различными феноменами, наблюдаемыми в
реальных экономических ситуациях. Не следует вкладывать в сознание
студентов определенные стереотипы, «канонизируя» какой-либо «рецепт»
оценки риска, например, ожидаемую полезность или VaR. Следует развивать у
студентов критическое мышление, внимание к условиям и границам
применения тех или иных моделей.
Для освоения данного курса важно научить студентов понимать различные
свойства мер риска и критериев выбора. При этом важную роль играет решение
соответствующих задач.
8. Методические указания студентам.
Для успешного усвоения курса необходимо не только посещать лекции и
семинарские занятия, но и активно готовится к ним. Решение домашних
заданий очень важно для усвоения курса.
9.
Рекомендации
по
использованию
информационных
технологий.
Различные материалы по этому курсу будут вывешиваться на личных страницах
преподавателей на сайте ГУ – ВШЭ, а также на сайте www.xion.ru.
Автор программы:_________________________________ Шоломицкий А.Г.
10