Лекция 6. Показатели надёжности ОТС и её объектов

Лекция 6.
Показатели надёжности ОТС и её объектов
Реализация целевых свойств объекта, в частности надежности, возможна только в определенной
организационно-технической системе (ОТС) (системе эксплуатации). Характеристики, определяющие
надежность ОТС представлены на рис. 6.1.
Таким образом, организационно-техническая система (в частности, система эксплуатации) – это
сложный человеко-машинный комплекс, осуществляющий целенаправленное воздействие на входящий в ее
состав технический объект, определяющий ее назначение с целью реализации свойств, заложенных в него
при проектировании, в заданных условиях функционирования и применения.
Таким образом, в ОТС (систему эксплуатации) входит большое число элементов, объединенных в
подсистемы различных уровней (см. рис.1.1), объединяющих объекты, управляющий или персонал,
оснащенный соответствующим оборудованием и программами действий. Состав ОТС (системы
эксплуатации) и ее подсистем зависит от целей, которые должны быть достигнуты от применения объекта и
его элементов. Эти цели зависят от уровней рассмотрения объектов, представленных на рис.1.1. Все эти
цели достигаются в образованных для их достижения организационно-технических системах (человекомашинных комплексов).
Общие требования к показателям надежности.
К показателям надежности, как и к любым показателям качества технических систем, предъявляется ряд
естественных требований.
1. Показатель надежности должен быть измеримым, то есть должна иметься возможность задавать его в
количественном виде. Именно это позволяет априорно оценивать этот показатель, используя
аналитические методы или методы статистического моделирования, а также вырабатывать
обоснованные рекомендации по рациональному повышению показателей надежности путем
изменения структуры системы, принципов ее функционирования и технического обслуживания.
2. Показатель надежности должен допускать возможность экспериментальной (опытной) проверки во
время специально проводимых испытаний или во время реальной эксплуатации.
3. Показатель надежности должен быть простым в физическом смысле и естественным с точки зрения
оценки выполняемых технической системой функций.
4. Общее число показателей надежности, характеризующих техническую систему, должно быть
небольшим. Однако использование одного единственного показателя надежности (особенно
интегрального, в который входят, как в «свернутый критерий», целый ряд исходных показателей)
может также оказаться неудобным.
5. Показатели надежности иногда бывает целесообразно подразделить на внешние (оперативнотактические) и внутренние (технические). Первые характеризуют эффективность и надежность
собственно применения рассматриваемого объекта в целом, а вторые являются вспомогательными и
служат в качестве параметров при оценке внешних показателей для систем более высокого уровня.
6.1. Комплексные показатели готовности
Характеристики, определяющие надёжность ОТС для удобства рассмотрения целесообразно
объединить в следующие
группы: характеристики
технических объектов
(безотказность,
ремонтопригодность и др.), характеристики персонала
характеристики определяют комплексные характеристики ОТС: эффективность, готовность, экономичность.
Эффективность – свойство ОТС, заключающееся в ее приспособленности к выполнению решаемых
(поставленных) задач.
Показатель эффективности ОТС – это количественная характеристика, оценивающая степень ее
приспособленности к выполнению поставленных задач.
Важнейшей составляющей эффективности ОТС является готовность.
Исходя из предназначения комплекса объекта, его составных частей и элементов и с учетом
приведенного выше определения готовности можно в качестве количественной характеристики ОТС,
определяющей ее пригодность к реализации целевых свойств может быть принята вероятность сложного
события:
K ОТ ( t )


PЦ (Т Э , t З )  Pд  К (Т Э )  Р П (t З ),
(6.1)
где Рд – вероятность того, что в момент поступления команды на применение объект будет находиться в
режиме дежурства;
К (Т Э ) - среднее значение коэффициента готовности Кr(t) в пределах рассматриваемого периода
эксплуатации, равное доле времени, в течение которого объект будет находиться в работоспособном
состоянии за время эксплуатации ТЭ;
РП (t З )
- вероятность того, что объект будет подготовлен к применению и успешно применен за заданное
время tЗ.
Вероятность
РП (t З )
будет
определяться
как
произведение
вероятности
безотказной
работы
неконтролируемых и контролируемых составных частей комплекса объекта или элементов объекта РНК(tЗ) и
РК(tЗ).
В свою очередь вероятность
РП (t З )
своевременной подготовки объекта будет определяться
вероятностью того, что за время подготовки tЗ в объекте и его составных частях, состояние которых
контролируется, не возникнет отказов или в случае возникновения отказов они будут устранены за
допустимое время  д . Выражение для этой вероятности будет иметь вид:
P(t З , д )  PК (t З )  QК (t З )V ( д ),
(6.2)
где
РК (t З )
- вероятность безотказной работы объекта или его составных частей, состояние которых
контролируется за время tЗ;
QК (t З )
V ( д )
- вероятность отказа контролируемых объектов или их составных частей за время tЗ;
- вероятность того, что отказы, обнаруженные в процессе подготовки объекта к применению будут
обнаружены и устранены за допустимое время  д .
Пусть РНК(tЗ) – вероятность того, что в течение всего процесса подготовки объект и его составные части,
состояние которых не контролируется, будут находиться в работоспособном состоянии. Тогда вероятность
выполнения задания организационно-технической системой (ОТС), в состав которой входит объект, с
учетом ранее полученных выражений (6.1) - (6.2) запишется следующим образом:
PОТС (Т Э ; t З , д )  Рд К (Т Э ) РНК (t З )  PК (t З )  QК (t З )V ( д ) .
(6.3)
Первые два сомножителя правой части полученного выражения (6.3) представляют собой
коэффициент оперативной готовности, а вторые два сомножителя характеризуют надежность объекта и
быстродействие ОТС (в частном случае – систему эксплуатации) при выполнении поставленной задачи на
применение комплекса объекта (см. рис.1.1).
В отличие от функции (6.3), являющейся обобщенным показателем готовности, входящие в ее состав
сомножители являются частными показателями надежности и готовности комплекса объекта или самого
объекта, а также ОТС или системы эксплуатации.
Комплексные показатели готовности (6.1), (6.2), а в особенности, показатель (6.3) характеризуют
надежность
ОТС
в
целом,
в
состав
которой
входит
объект
(см.
рис.6.1).
6.3 Показатели надежности
6.3.1 Показатели надежности невосстанавливаемых объектов
Такие отказы являются неисправностями (предпосылками к отказам) объектов в целом. Уменьшением
периодов между моментами контроля и увеличением его полноты обеспечивается уменьшение средней
величины общей интенсивности отказов эксплуатируемых устройств. Кроме того, среднеинтегральной
интенсивностью постепенных, а также и внезапных отказов можно управлять путем профилактических
замен некоторых элементов и материалов, подверженных повышенному изнашиванию, старению,
расходованию, повреждениям. Управление интенсивностью внезапных отказов, а в некоторых случаях и
постепенных отказов осуществляется путем доработки эксплуатируемых устройств, заключающейся в
замене выявленных в процессе применения ненадежных элементов, узлов и блоков на более надежные.
Во всех рассматриваемых вариантах управления в конечном счете осуществляется улучшение
эксплуатационных значений тех или иных характеристик (показателей) надежности. При этом чем больше
улучшены характеристики надежности, тем выше, при прочих равных условиях, эффективность применения
данных объектов. Однако иногда по объективным причинам не удается достичь требуемых высоких
значений некоторых характеристик (показателей) надежности. В этих случаях при невозможности
дальнейшего улучшения какой-либо одной из характеристик надежности, эффективность выполнения
практических задач может быть повышена благодаря возможному улучшению другой, а это еще одно
направление управления надежностью. В общем случае оно заключается в обосновании бинарных групп
взаимно дополняющих друг друга характеристик надежности.
Итак, можно выделить три направления в управлении надежностью технических устройств.
1. Уменьшение интенсивности отказов (t ) :
- выявлением (путем контроля) и устранением (путем ремонта, регулировок и настроек) предпосылок
к отказам;
- профилактическими заменами элементов перед наступлением их старения (изнашивания) или перед
выполнением ответственного задания.
2. Улучшение ремонтопригодности, в частности, уменьшение среднего времени восстановления Tв при
невозможности в дальнейшем увеличивать среднее время безотказной работы T .
3. Увеличение результирующей вероятности безотказной работы Pр (t ) и нестационарного
коэффициента готовности K Г (t ) :
- восстановлением отказавших устройств и переводом их в подмножество исправных;
- устранением предпосылок к отказам, т.е. уменьшением (t ) .
Управление надежностью, связанное только с улучшением ее характеристик, не может осуществляться
беспредельно вследствие чрезмерного возрастания затрат на обеспечение очень высоких значений
характеристик надежности. Кроме того, при увеличении надежности, при прочих равных условиях,
возрастает масса и стоимость создаваемых объектов и их элементов. Поэтому на практике, исходя из
экономического или другого критерия, например критерия готовности, определяется область оптимальных
эксплуатационных значений характеристик надежности. В этой области затраты на повышение надежности
должны объективно соответствовать степени важности выполняемых с помощью данного устройства задач.
Другими словами, затраты на повышение надежности пропорциональны цене отказа.
Количественное определение такой области, объективно существующей на практике, является одной из
основных задач науки об управлении надежностью. В найденной оптимальной области поддерживаются на
требуемом уровне (стабилизируются) текущие эксплуатационные значения характеристик надежности
путем выполнения на эксплуатируемых устройствах плановых профилактических работ.
Осуществляемое здесь управление типа стабилизации подчинено принципу компенсации затрат.
Понятие «управление надежностью» в 1969 г. ввел Г. С. Поспелов. Однако это не значит, что никто до
этого не занимался управлением надежностью. Вместе с появлением самых первых технических устройств
люди направляли свою деятельность на то, чтобы созданные ими устройства наряду с обеспечением
выполнения тех или иных практических задач меньше отказывали в работе и при хранении (тем меньше,
чем важнее задачи, для выполнения которых они предназначены), при отказах быстрей могли быть
восстановлены, были более долговечными. С этой целью для устройств более ответственного назначения
выбирались лучшие материалы и детали, тщательнее разрабатывалась схема и конструкция, применялась
лучшая технология изготовления. Перед более ответственным или более длительным применением
устройств проводилась более полная и более качественная профилактика.
Фактически всегда проводилось управление надежностью как на стадии создания, так и на стадии
эксплуатации технических устройств [1-18].
Значительно позднее появились математические модели управления надежностью, позволяющие
количественно оценивать результаты управления и целенаправленно влиять на эти результаты в требуемом
направлении. Известно уже довольно много таких моделей, однако наиболее полно в них разработаны
вопросы управления надежностью на стадиях проектирования и серийного изготовления технических
устройств и значительно меньше – на стадиях разработки требований на их создание и эксплуатации [1-40].
Особенность показателей надежности невосстанавливаемых объектов (элементов) заключается в том,
что они характеризуют не все составляющие свойства надежности, а лишь два свойства – безотказность и
сохраняемость. К невосстанавливаемым объектам (элементам) относятся объекты низших уровней,
преимущественно 4-го и 5-го уровней. Это в основном комплектующие и составляющие элементы (см. рис.
1.1).
6.3.2 Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов
Определение показателей безотказности невосстанавливаемых объектов проводится для простейшей
модели невосстанавливаемого объекта: в момент начала работы t  0 объект работоспособен; в случайный

момент времени (наработки) t объект переходит в неработоспособное состояние, т.е. в этот момент
происходит отказ. Для такой модели объекта его надежность полностью определяется безотказностью.

Случайную величину времени t наработки до отказа невосстанавливаемых объектов в научнотехнической литературе часто называют временем жизни объекта. Так как невозможно указать такие

моменты времени, в которые отказ не был бы возможен, то наработка до отказа t есть непрерывная

случайная величина. Вероятностные характеристики случайной величины наработки до отказа t
используются в качестве показателей безотказности невосстанавливаемых объектов.
Вероятность события (t  t ) называется вероятностью отказа Ft (t ) за время (наработку) t (или функцией
«ненадежности» объекта).
Вероятность отказа является функцией распределения случайной величины времени (наработки) до
отказа и по определению имеет вид

Ft (t )  Вер( t  t) ,
(6.4)
где Вер() – символ вероятности события, записанного в круглых скобках;


(t  t )
- событие, заключающееся в том, что случайное время (наработка) t до отказа не превысит
заданное t .
Так как неработоспособное и работоспособное состояния образуют полную группу несовместных
событий, то вероятность безотказной работы за время (наработку) t , или функция надежности
Rt (t )  1  Ft (t )
Отметим, что вероятность безотказной работы
Rt (t )
или
P(t )  1  Ft (t ) .
(6.5)
имеет смысл дополнительной функции

распределения случайной величины t . Обозначение вероятности безотказной работы символом « Rt (t ) »

является более информативным, так как индекс « t »
P (t )
определяет случайную величину, а аргумент t заданную (детерминированную) наработку. В научнотехнической литературе и нормативно-технической
документации функция Rt (t ) именуется функцией
Ft (t )
1
Ft (t )
 / 100
0
надежности или вероятностью безотказной работы и
обозначается P (t ) . Исходя из этого, в дальнейшем будет
использовано обозначение вероятности безотказной
работы или функции надежности P (t ) .
Tср
P(t)
t
t
Рис. 6.2. Графики функций P (t ) и
Ft (t )
Под вероятностью безотказной работы P (t )
понимают вероятность того, что в пределах заданного
времени (заданной наработки) t отказ не произойдет.
Типичные зависимости вероятности безотказной работы
P (t ) и вероятности отказа Ft (t ) приведены на рис. 6.2.
Основные свойства вероятности безотказной работы P (t ) :
1) 0  P(t )  1 , так как P (t ) есть вероятность;
2) P(0)  1 , т.е. вероятность безотказной работы определяется только для объектов, исправных в
начальный момент времени их функционирования, и с этой точки зрения она является условной
вероятностью (условием является исправное состояние в начальный момент времени);
3) функция P (t ) является монотонно убывающей функцией (при t   функция P(t )  0 ).
Следует заметить, что время (наработка) t в формулах (6.2) – (6.3) обозначает не момент времени, а
интервал времени. Так как для невосстанавливаемых объектов время (наработка) отсчитывается от начала
эксплуатации, то интервал равен [0, 0  t ] .
Оценка вероятности безотказной работы определяется по статистической информации об отказах
P  (t ) 
N (t )
n
 1
,
No
No
(6.6)
где N o - число объектов, работоспособных в начальный момент времени ( t  0 );
N (t )
n

- число объектов, сохранивших работоспособное состояние за заданную наработку t ;
- число объектов, отказавших за заданную наработку t ;
- символ оценки.
Точность определения оценки вероятности безотказной работы тем выше, чем больше объектов
находится под наблюдением. При значительном числе объектов оценка статистической вероятности P  (t )
стремится к теоретической вероятности P (t ) .

Несмотря на то, что любая из функций Ft (t ) и P (t ) полностью характеризуют случайную величину t , в
ряде случаев более удобными, простыми и наглядными оказываются некоторые дополнительные
функциональные и числовые характеристики.
Так, весьма полезным вспомогательным инструментом исследования надежности является плотность
распределения  t (t ) наработки до отказа, или дифференциальный закон распределения случайной величины

t:
 t (t ) 
dFt (t )
dt
или
 t (t )  
dP (t )
.
dt
(6.7)
Основные свойства плотности распределения наработки до отказа:
1) функция  t (t )  0 , так как она и есть производная от монотонно возрастающей функции Ft (t ) ;

2)   t (t ) dt  1 ;
0
3) размерность [ t (t )]  1 / наработки , например, 1/ч.
Кроме указанных функций в теории, надежности и в практике эксплуатации в качестве единичных
показателей безотказности невосстанавливаемых объектов используются числовые характеристики
распределения наработки до отказа: средняя наработка до отказа Tср ; интенсивность отказов  ; гаммапроцентная наработка до отказа t  .
Средняя наработка до отказа Tср определяется как математическое ожидание наработки объекта до отказа,
т.е.
 
Tср  M [t ]   t t (t )dt ,
0
где M [] - символ математического ожидания.
Выражение (6.7) с учетом (6.6) и (6.4) преобразуется к виду
(6.8)



dFt (t )
d (1  P(t ))
Tср   t
dt   t
dt   t d P(t ) .
dt
dt
0
0
0
Если обозначить t  u и dP(t )  dv , следовательно, dt  du и P(t )  v , то полученный интеграл может быть
взят по частям (  udv  uv   vdu) :



Tср   tdP(t )  tP(t ) 0   P(t )dt .
0
Так как первое слагаемое
0

 tP(t ) 0  (  0)  0  1  0 ,
то

Tср   P(t )dt .
(6.9)
0
Из анализа формулы (6.8) и графика P (t ) (см. рис. 6.2) следует, что средняя наработка до отказа численно
равна площади под кривой P (t ) на интервале [0, ) .
Оценка средней наработки до отказа по статистическим данным зависит от плана испытаний и закона
распределения наработки до отказа.
Если испытания ведутся до отказа всех объектов, то оценка средней наработки до отказа определяется по
формуле
Tср 
1
No
No
t
i 1
i
,
(6.10)
где t i - наработка до отказа i-го объекта.
В практике эксплуатации, как правило, известны данные об отказах за определенное время
T
, когда из N o
объектов, имеющихся к началу эксплуатации, откажет только n. Тогда для оценки средней наработки до
отказа для случая, когда частота возникновения отказов постоянна, следует пользоваться соотношением
n

ср
T 
t
i 1
j
 T ( N o  n)
n
.
(6.11)
Интенсивностью отказов  (t ) называется условная плотность вероятности возникновения отказа объекта
в момент времени (наработки) t , определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени
отказ не возник.
На рис.6.3 показана плотность распределения наработки на отказ для нормального закона распределения,
на котором отмечен заданный момент времени t и элементарное приращение времени (наработки) dt ,
примыкающее к моменту времени t . Элементарное значение безусловной вероятности отказа на этом
приращении времени в соответствии с (6.5) равно  t (t )dt , как это показано на рис.6.3. Элементарное
значение условной вероятности отказа на этом же отрезке, определяемое при условии, что в момент времени
t
отказ не возник, т.е. P (t ) , равно  (t)dt . Из теории вероятностей известно, что безусловная вероятность
 t (t )dt равна
произведению
условной
вероятности
 (t)dt на
вероятность
условия
P (t ) ,
то
есть
 t (t )dt   (t )dt  P(t ) .
Сокращения левой и правой частей полученного выражения на dt дает уравнение связи интенсивности
отказов с (безусловной) плотностью вероятности отказа  t (t )
 (t ) 
 t (t )
.
P (t )
(6.12)
Интенсивность отказов показывает, какая доля объектов, работоспособных в момент времени t ,
отказывает в единицу времени за бесконечно малый промежуток времени, примыкающий к этому моменту
времени.
Подстановка (6.7) и (6.5) в (6.12) дает формулу
 (t ) 
dFt (t ) d (1  P(t ))
dP(t )


,
dt  P(t )
dt  P(t )
dt  P(t )
дифференцирование которой дает уравнение связи вероятности безотказной работы P (t ) с интенсивностью
отказов  (t ) :
dP(t )
  (t )dt .
P(t )
Интегрирование уравнение (6.13) в пределах от 0 до t , то есть
(6.13)
dP( )
0 P( )  0  ( )d ,
t
t
где  - аргумент (по смыслу время), приводит к следующему результату
t
ln P( ) 0     ( )d
t
.
0
t
Так как P(0)  1 и ln P (0)  0 , то ln P(t )    ( )d , для вероятности безотказной работы получим основную
0
формулу надежности
t
P(t )  exp(    ( )d ) .
(6.14)
0
Интенсивность отказа  (t ) характеризует не интервальную, а локальную или мгновенную безотказность
объекта в момент времени t и является показателем безотказности, зависящим от времени (наработки) t .
Экспериментально установлено, что практически для всех технических объектов график зависимости
интенсивности отказов от наработки имеет вид, представленный на рис. 6.3.
 (t )
  const
0
t1
t2
t
Рис. 6.3. Зависимость интенсивности отказов от времени
(наработки)
Интервал времени (наработки) [0, t1 ] соответствует
периоду приработки, на котором выявляются, в
основном, конструктивные и производственные отказы,
чаще всего относящиеся к внезапным. По мере
приработки и устранения отказов интенсивность
отказов уменьшается. Продолжительность периода
зависит от вида объекта и интенсивности отказов его
составных элементов. Продолжительность этого
периода может быть уменьшена в результате
«тренировки» объекта в заводских условиях.
Интервал времени (наработки) [t1 , t 2 ] соответствует
периоду нормальной эксплуатации объекта. На этом
участке интенсивность отказов практически постоянна. Отказы этого периода относятся как к внезапным,
так и к постепенным. Значение интенсивности отказов может быть снижено за счет своевременного и
качественного технического обслуживания. Следует стремиться, чтобы объект использовался по
назначению только в период нормальной эксплуатации.
Интервал времени (наработки) [t 2 , ) характеризуется тем, что из-за усиления процессов старения и
износа интенсивность отказов возрастает. Этот участок называется участком старения. По статистическим
данным оценка интенсивности отказов может быть определена из соотношения
 (t ) 
n
N (t )  N (t  t )

N (t )t
N (t )t
,
где n - число отказавших объектов на интервале времени (наработки) t ;
(6.15)
N (t ) , N (t  t )
- число объектов, работоспособных соответственно к моментам времени t и t  t .
Безотказность объектов  (t )    const характеризует надежность невосстанавливаемых объектов периода
нормальной эксплуатации и описывается экспоненциальным законом распределения времени (наработки) t .
Для экспоненциального закона функциональные и числовые характеристики имеют вид:
вероятность безотказной работы за время (наработку) t
P (t )  exp( t ) .
(6.16)
вероятность отказа за время (наработку) t
Ft (t )  1  P(t )  1  exp( t ) ;
(6.17)

плотность распределения наработки до отказа t
 t (t ) 
dFt (t ) d (1  exp( t ))

   exp( t ) ;
dt
dt
(6.18)
средняя наработка до отказа


0
0
Tср   P(t )dt   exp( t )dt  
1


exp( t ) 0 
1

.
(6.19)
Из (6.16) с учетом (6.19) следует еще одна формула для вероятности безотказной работы
P(t )  exp( t / Tср ) .
(6.20)
Справочные данные по интенсивностям отказов для некоторых объектов технологического оборудования
технических (ТК) и стартовых (СК) комплексов приведены в Приложении А.
Гамма-процентной наработкой до отказа t  называется наработка, в течение которой отказ объекта не
возникнет с вероятностью  , выраженной в процентах.
Для произвольного закона распределения времени (наработки) до отказа гамма-процентная наработка до
отказа t  может быть получена двумя способами:
численным интегрированием уравнения (6.15) при условиях: верхний предел интегрирования равен t  t ,
а вероятность безотказной работы - P(t  )   % / 100%  0,01   ;
графически (см. рис. 6.2): входом в график является вероятность P(t  )   % / 100%  0,01   , а выходом –
гамма-процентная наработка до отказа t  .
Для экспоненциального закона распределения гамма-процентная наработка до отказа t  может быть
получена из (3.14) при условиях: t  t и P(t  )   % / 100%  0,01   , т.е. 0,01    exp(   t ) , или окончательно
t  
1

ln( 0,01   ) .
(6.21)
Пример 6.1. В эксплуатации находятся 50 однотипных невосстанавливаемых объектов. В течение одного
года в неработоспособное состояние в результате отказов перешли 30 объектов. Рассчитать оценки
показателей безотказности.
Решение:
1. Обозначим: число работоспособных объектов N o  50 ; число неработоспособных объектов n  30 ;
интервал времени T = 1 год = 24 365 = 8760 часов.
2. Наработку до отказа всех объектов внесем в таблицу (в предположении, что объекты используются
на участке нормальной эксплуатации и частота отказов постоянна).
Номер объекта i
Наработка до отказа t i , ч.
1
2
3
…
29
30
292
584
876
…
8468
8760
3. Расчет оценок показателей безотказности в соответствии с (6.6), (6.12) и (6.20):
вероятности безотказной работы за один год
P  (t )  1 
n
30
 1
 0,4 ;
No
50
средней наработки до отказа
n
Tср 
t
i 1
1
 T ( N o  n)
n

135780  8760(50  30)
 10366
30
ч.
интенсивности отказов
 (t )  1 / Tср  1 / 10366  0,0001 1/ч.
Пример 3.2. Рассчитать показатели безотказности электродвигателя в течение наработки t=500 ч, для
которого интенсивность отказов   0,0012 1/ч. (см. Приложение А).
Решение:
1. Средняя наработка до отказа
Tср 
1


1
 833
0,0012
ч.
2. Вероятность безотказный работы в течение наработки
P(t )  exp( t )  exp( 0,0012  500)  0,55 .
t
3. Гамма-процентная наработка до отказа для уровня вероятности   90%
t 90%  
1

ln( 0,01 )  
1
ln( 0,01  90)  88
0,0012
ч.
4. Комплексные показатели надежности
6.3.2 Показатели надежности мгновенно-восстанавливаемых объектов
В сложных объектах отказы каждой из его составных частей образуют во времени последовательности
событий, происходящих друг за другом в случайные моменты времени.
Графически этот поток событий можно представить как последовательность точек
числовой оси ot, соответствующих моментам появления этих событий (рис.2.5).



ti
t2
t1
0
t1 ,t 2 ,
… на
t
Рис. 2.5. Графическое представление потока событий.
Самым простым потоком с точки зрения его построения является регулярный поток, в котором
события следуют одно за другим через строго определённые промежутки времени.
Однако вследствие воздействия многих случайных факторов как моменты возникновения событий, так
 
и интервалы между событиями являются случайными величинами. Пусть эти интервалы T1 ,T2 , …
независимы между собой. В этом случае поток событий называется потоком с ограниченным последствием
или потоком Пальма.
Различают потоки однородных и неоднородных событий. События в однородном потоке имею одну и
туже природу и различаются только моментами появления. Неоднородные потоки образуются суммой
потоков неодинаковой природы, (например, потоки отказов резисторов и конденсаторов). Если в потоке
 
Пальма интервала T1 ,T2 , … между событиями потока имеют один и тот же закон распределения, то такой
поток событий называется рекуррентным потоком [7,9].
Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на интервал [t,t+ t ] двух и более
событий пренебрежимо мало (стремится к нулю) при стремлении интервала t к нулю.
Как показывает опыт эксплуатации различных объектов, одновременное возникновение двух и более
отказов маловероятно.
Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания m событий на
интервале времени [t,t+ t ] не зависит от числа и моментов появления событий на других интервалах, не
пересекающихся с данным.
Последействие потока означает, что будущее поведение потока зависит от его состояния в прошлом.
Если поток событий является ординарным и без последействия, то число событий, попадающих на интервал
[t, t+ t ] , распределено по закону редких явлений или закону Пуассона. Такой поток называется
пуассоновским. Для пуассоновского потока вероятность того, что случайное число r (t ) событий, попавших
на интервал (t,t+ t ) , выражается формулой Пуассона [4,7,6,9]:
am

Pm  P[r (t )  m] 
exp( a) ,
m!
(2.56)
где а – параметр потока Пуассона (математическое ожидание числа событий, попадающих на интервал t и
примыкающих к моменту времени t).
Параметр закона Пуассона определяется следующим образом:
t  t
a(t , t  t )  a
  (t )dt ,
(2.57)
t
где x(t) – интенсивность потока отказов.
Интенсивностью или плотностью потока отказов называется математическое ожидание числа
событий, поступающих в единицу времени. В общем случае интенсивность  (t ) потока отказов является
функцией времени.
Если вероятность попадания m событий на интервале времени [t , t  t ] зависит только от числа
событий и длины интервала t и не зависит от начала t интервала, то такой поток называется стационарным,
при этом  (t )    const .
Для этого потока математическое ожидание числа событий (2.47) также не будет зависеть от t:
t  t
a(t ) 
 dt  t
(2.58)
t
Пуассоновский поток, удовлетворяющий условиям стационарности называется простейшим. Таким
образом, простейший поток отказов обладает одновременно тремя свойствами: ординарностью, отсутствием
последействия и стационарностью.
Для простейшего потока вероятность того, что на произвольно выбранном отрезке времени
продолжительностью t наступит ровно m событий на основе (2.47) составим
(t ) m  t

P(r (t )  m) 
e
m!
(2.59)
Тогда вероятность того, что на участке времени t, следующим за одним из событий, не появится ни
одного события, как это следует из (2.50) при m=0, будет равно:

P(r (t )  0)  et
(2.60)

Но вероятность (2.51) есть вероятность того, что случайная величина t будет больше заданного
значения t. Следовательно

P(t  t )  et ,
(2.61)
откуда


Ft (t  t )  P(t  t )  1  e  t ,
(2.62)

 t (t )  dP(dtt t )  e  t .
(2.63)

Таким образом, в простейшем потоке интервал времени t между двумя соседними событиями
распредёлен по показательному закону с параметром  . Вследствие отсутствия последействия все интервалы
между соседними событиями представляют собой независимые случайные величины. Поэтому
простейшими поток представляет собой стационарный поток Пальма.
Многие потоки событий, возникающих на практике, можно считать Пуассоновским. Так, например,
поток автомашин на загородном шоссе будет практически пуассоновским, так как он состоит из отдельных
автомашин, выезжающих на шоссе с различных улиц и дорог. Поток самолётов, прибывающих в аэропорт,
так же близок к пуассоновскому несмотря на то, что его стремятся сделать строго регулярным (заранее,
планируют время прибытия каждого самолёта). Это объясняется тем, что самолёты прибывают к аэропорту
не в строго заданное время, а раньше или позже. Причём каждый самолёт независимо от других вносит свой
элемент в случайности в поток приземлений.
Современные электронные объекты состоят из большого числа элементов. Каждый из этих элементов
отказывает достаточно редко. Поэтому поток отказов такого объекта с учётом вышеизложенного может
быть представлен в виде суммы большого числа независимых редких потоков. Вклад каждого из элементов
в суммарном потоке мол и примерно одинаков. Поэтому даже если поток отказов какого-либо элемента
обладает последействием, то суммарный поток не будет иметь последействия, так как зависимые отказы
будут разделены достаточно большим числом отказов других элементов.
Таким образом, на основе придельной теоремы для суммарного потока сумма независима ,
ординарных, стационарных потоков сходится к простейшему. Причём сходимость суммарного потока к
простейшему осуществляется достаточно быстро. Практически считается, что сложение четырёх-пяти
стационарных, ординарных, независимых потоков, сравним их по интенсивности, достаточно для того,
чтобы суммарный поток был близок к простейшему [6,7,9]
Сложение потоков заключается в том, что все моменты появления событий в этих потоках относят к
одной временной оси ot, на которой отмечаются моменты появления события в суммарном потоке. Поэтому
при сложении n потоков интенсивности суммарного потока определяется следующим образом:
n
   j ,
(2.64)
j 1
где  j - интенсивность j-го потока событий.
Таким образом, для выяснения свойств суммарного потока событий достаточно знать лишь
интенсивности суммы потоков и практически не требуется знать внутреннюю структуру этих потоков.
Если суммируемые потоки нестационарные, то предельное свойство так же имеет место, а суммарный
поток получается близким к нестационарному пуассоновскому с интенсивностью:
n
 (t )    j (t ) ,
(2.65)
j 1
где  j (t ) - переменная интенсивности j-го потока, представленные в формуле (2.65) интенсивности всех
потоков для любого момента времени t должно быть соизмеримым.
Таким образом, пуассоновские и простейшие потоки отказов, как это следует из формул (2.64), (2.65)
обладают свойствами устойчивости, при их объединение, так как в результате этой операции
математическая модель результатирующего потока не меняется (меняется лишь его плотность).
По мере увеличения сложности основных и составляющих элементов объекта (см. рис. 1.2), то есть с
увеличенным числа входящих в их состав составляющих комплектующих элементов, распределение
времени безотказной работы входящий в их состав основных и составляющих элементов при весьма общих
условиях сходится к экспоненциальному.
Критерием экспоненциальности распределения времени безотказной работы объекта, поток отказов
которого является стационарным, может служить выражение [10]:
h
l
i l
i
T
n
2
l
( ) 2
i  l Ti
 0,1 ,
(2.66)
где Ti среднее время безотказной работы i-го элемента, n – число элементов объекта.
Хотя критерий (2.66) является лишь достаточным, но зато он удобен для практических приложений,
поскольку необходимо знать только математические ожидания времён безотказной работы элементов.
Приближение к экспоненциальному закону тем лучше, чем больше n. Так как левая часть выражения (2.66)
не меньше, чем 1/n, то распределение времени безотказной работы объекта со стационарным потоком
отказов будет практически экспоненциальным при n  10 [9,10].
3.2.1 Показатели безотказности объектов с мгновенным восстановлением.
Допущение о мгновенном восстановлении работоспособности может быть принято только в том случае,
когда время восстановления существенно меньше времени наработки на отказ.
Сущность модели восстанавливаемого объекта с мгновенным восстановлением заключается в следующем
(рис. 3.11): в момент начала работы t = 0 объект работоспособен; проработав случайное время 1 , объект
переходит в неработоспособное состояние, т.е. в случайный момент времени t1  1 возникает первый отказ;

затем следует мгновенное и полное восстановление работоспособности объекта; проработав случайное время  2 ,
объект снова переходит в неработоспособное состояние, т.е. в случайный момент времени t2  1  2 возникает
второй отказ; снова следует мгновенное и полное восстановление работоспособности объекта и т.д.

3

2

1

t1
tx

t2

i

ti

t3
t
x
t
Рис. 3.11. Модель восстанавливаемого объекта с мгновенным
восстановлением
  

Интервалы времени между отказами  1 , 2 , 3 , , m являются конкретными реализациями случайного


времени между отказами  . Случайная величина времени между отказами  характеризуется функцией
распределения и плотностью распределения времени между отказами, выражения для которых соответственно
имеют вид:

F (t )  Bep   t ;
 (t ) 
dF (t )
,
dt
()
()
где t – аргумент.
Моменты времени возникновения 1, 2,…, i-го, …, m-го отказов:
 
t1   1 ;
  
t2   1   2 ;

  

ti   1   2     i ;


 


tm   1   2     l     m .
образуют поток отказов, а так как восстановление происходит мгновенно, то эти же моменты образуют и
 

поток восстановлений. Моменты времени t1 , t 2 ,  , t m являются случайными величинами и характеризуются
функциями распределения F (t ), F (t ),  , F (t ).
1
2
m
Функции распределения F (t ), F (t ),  , F (t ) - это вероятности того, что первый, второй,…, m -ый отказы



произойдут за время t1  t , t 2  t , , t m  t , где t - заданное время (наработка).
1
2
m
Процесс отказов (восстановлений) можно описать случайной величиной r (t ) , равной числу отказов
(восстановлений) за время (наработку) t . Естественно, что r (t ) принимает только целые неотрицательные
значения.
Функция распределения дискретной случайной величины r (t )


P(r (t )  m)  P(t m  t )  Ftm (t ),
где P (r (t )  m) - вероятность того, что в момент времени
(3.24, а)
t
число отказов r (t ) будет больше или равно числу m ;


P(t m  t ) - вероятность того, что m -ый отказ произойдет в момент времени t m , который меньше t .
Так как события (r (t )  m) и (r (t )  m) образуют полную группу несовместимых событий, то
P(r (t )  m)  P(r (t )  m)  1 , и вероятность возникновения числа отказов меньше m

P(r (t )  m)  1  Ftm (t )
t
(3.24, б).
Исходя из свойств функции распределения, вероятность возникновения ровно m отказов в течение времени
с учетом (3.24, б)



P(r (t )  m)  P(r (t )  m  1)  P(r (t )  m)  Ftm (t )  Ftm 1 (t ) .
(3.24,в)
В теории надежности принято случайную величину числа отказов r (t ) характеризовать функцией
восстановления H (t ) или ведущей функцией потока, под которой понимается математической ожидание
числа отказов (восстановлений) за время (наработку) t

H (t )  M [r (t )] ,
(3.25)
где M [] - символ математического ожидания.
Известно, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений
возможных значений случайной величины на вероятности их возникновения. Следовательно, функция
восстановления может быть определена по формуле математического ожидания []


H (t )   m  P(r (t )  m) ,
(3.26)
m 1
где m - конкретные значения случайной величины числа отказов r (t ) ;

P ( r (t )  m )
- вероятности возникновения m отказов.
Формула (3.26) с учетом (3.24, в) преобразуется к виду

H (t )   m[ Ftm (t )  Ftm 1 (t )] .
m 1
Если раскрыть сумму в левой части последнего равенства и произвести приведение подобных членов, то
получим

 m[ F
m 1

tm
(t )  F m 1 (t )]  1  [ Ft1 (t )  Ft2 (t )]  2  [ Ft2 (t )  Ft3 (t )]  3  [ Ft3 (t )  Ft4 (t )]   

 Ft1 (t )  Ft2 (t )  Ft3 (t )     Ftm (t ).
m 1
Следовательно, выражение для функции восстановления преобразуется к виду

H (t )   Ftm (t ).
(3.27)
m 1
Зная распределение случайной величины r (t ) , можно, например, рассчитать на данный (планируемый)
период вероятной число отказов, а, следовательно, и число необходимых запасных элементов в составе ЗИП.
Несмотря на то, что функция восстановления H (t ) полностью характеризует поток отказов
(восстановлений), ее использование ограничено только нормальным экспоненциальным распределением и
гамма-распределением. Поэтому для описания безотказности восстанавливаемых объектов используются
параметр потока отказов  (t ) и средняя наработка на отказ  .
Параметр потока отказов, или плотность отказов  (t ) - отношение среднего числа отказов
восстанавливаемого объекта за бесконечно малую наработку к значению этой наработки, т.е.
 (t ) 
dH (t )
.
dt
(3.28)
После дифференцирования (3.27) для параметра потока отказов получим
 (t ) 
dH (t )  dFtm (t )  

  ft m (t ) ,
dt
dt
m 1
m 1
(3.29)


где ft m (t ) - плотность распределения случайной величины t m .
Экспериментально установлено, что график зависимости параметра потока отказов  (t ) от наработки t
имеет вид, аналогичный графику интенсивности отказов  (t ) для невосстанавливаемых объектов (см. рис.
3.10).
Несмотря на некоторую похожесть параметра потока отказов  и интенсивности отказов  , они как по
определению, так и по существу различные, а именно:
интенсивность отказов – условная плотность вероятности возникновения отказа, определяемая при
условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не наступил;
параметр потока отказов – безусловная вероятность возникновения отказа за единицу времени.
Только для периода нормальной эксплуатации численные значения параметра отказов и интенсивности
отказов равны, т.е.  =  .
Средняя наработка на отказ  - отношение суммарной наработки
t
восстанавливаемого объекта к
математическому ожиданию числа его отказов H (t ) в течение этой наработки.
Согласно определению для средней наработки на отказ имеем
 
t
.
H (t )
(3.30)
С целью существенного упрощения изложения в дальнейшем рассматриваются потоки событий,
удовлетворяющие свойствам: ординарности, отсутствия последействия и стационарности.
Поток событий называют ординарным, если вероятность попадания на интервал времени [t , t  t ]
двух и более событий пренебрежимо мало (стремится к нулю) при стремлении длины интервала t к нулю.
Как показывает опыт эксплуатации технических устройств, одновременное возникновение двух и более
отказов маловероятно.
Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания m событий на
интервал времени [t , t  t ] не зависит от числа и моментов появления событий на других интервалах, не
пересекающихся с данным.
Если поток событий является ординарным и без последействия, то число событий, попадающих на
интервал времени [t , t  t ] , распределено по закону редких явлений или закону Пуассона. Исходя из этого,
такой поток называют пуассоновским. Для пуассоновского потока вероятность того, что случайная
величина числа событий r (t ) , попавших на интервал [t , t  t ] , выражается формулой Пуассона
am

Pm  P(r (t )  m) 
exp( a) ,
m!
(3.31)
где a - параметр закона Пуассона (математическое ожидание числа событий, попадающих на интервал
[t , t  t ] );
! - символ факториала.
Параметр закона Пуассона определяется
t  t
a
  (t )dt ,
(3.32)
t
где  (t ) - интенсивность потока.
Если вероятность попадания m событий на интервал времени [t , t  t ] зависит только от числа m событий
t
и
длины
интервала
и
не
зависит
от
начала
интервала
то
такой
поток
называют
стационарным.
t ,
Пуассоновский поток, удовлетворяющий условиям стационарности, называется простейшим.
Для простейшего потока число событий, попадающих в произвольный интервал длиной t ,
распределено по закону Пуассона (3.31) с параметром a  t
(t ) m

Pm  P(r (t )  m) 
exp( t ) .
m!
(3.33)
В свою очередь, распределение времени между событиями в простейшем потоке подчинено
экспоненциальному закону с плотностью распределения
0, t  0;
 (t )  
 exp( t ), t  0.
(3.34)
Для простейшего потока отказов, когда  =  , справедливы следующие формулы:
вероятность возникновения ровно i отказов
( t ) i

Pi (t )  P(r (t )  i) 
exp( t ) ;
i!
(3.35)
вероятность возникновения не более m отказов
m
m
(t )

P(r (t )  m)   Pi (t )  
exp( t ) ;
i!
i 0
i 0
i
(3.36)
функция восстановления
H (t )  t ;
(3.37)
  1 /  ;
(3.38)
наработка на отказ
вероятность безотказной работы, т.е. число отказов i  0 ,
P (t )  exp( t ) .
(3.39)
Оценка параметра потока отказов по статистической информации проводится для каждого интервала
наработки t i по формуле
 i  ni /( N  t i ) ,
(3.40, а)
где N - число восстанавливаемых объектов, находящихся в эксплуатации;
n i - число отказов всех объектов на интервале t i .
Если оценка параметра потока отказов проводится по одному объекту, т.е. N  1, то она характеризует
число отказов объекта в единицу времени и определяется по формуле
 i  ni / t i .
(3.40, б)
Оценка наработки на отказ определяется как отношение суммарной наработки N восстанавливаемых
объектов к суммарному числу отказов этих объектов:
nj
N
N
    t pij /  n j


i 1 j 1
,
(3.41, а)
j 1
где t pij - i -я наработка j -го объекта;
n j - число отказов j -го объекта.
Для одного объекта оценка наработки на отказ проводится по формуле
n
  ( t pi ) / n ,
(3.41, б)
i 1
где t pi - наработка на i -й отказ;
n
- число отказов.
Пример 3.3. Для восстанавливаемого объекта, отказы которого образуют простейший поток с
параметром потока отказов     10 4 1/ч, рассчитать вероятности возникновения одного, двух, …, пяти
отказов и другие рассмотренные показатели безотказности для наработки t  10 4 ч.
Решение:
1. Наработка на отказ   1 /   1 / 10 4  10 4 ч.
2. Функция восстановления H (t )  t  10 4  10 4  1 отказ.
3. Вероятность безотказной работы
P (t )  exp( t )  exp( 10 4  10 4 )  0,368
4. Вероятности возникновения одного, двух, ..., пяти
соответственно:
P1 (t ) 
отказов рассчитаны по (3.35) и равны
(10 4  10 4 )1
exp( 10  4  10 4 )  0,368;
1!
P2 (t )  0,184;
P3 (t )  0,067; P4 (t )  0,015; P5 (t )  0,003.
5. Вероятность возникновения не более пяти отказов рассчитана по формуле (3.36) и равна
Среднее количество отказов (замен) n на интервале (t , t  t ) пропорционально числу N находящихся
под наблюдением объектов и продолжительности интервала наработки dt :
n  N(t )dt  n1  n2 ,
где n1 - количество отказов объектов из числа безотказно проработавших в течение интервала (0, t ) ;
количество отказов объектов из числа уже отказавших ранее.
n2
-
Очевидно, что n1  N t (t )dt.
Для определения среднего количества отказов объектов из числа уже отказавших ранее возьмем
малый интервал наработки ( ,   d ) , предшествующий t . В течение этого интервала отказало и заменено
на новые N ( )d объектов. Из них на интервале (t , t  dt ) будут вновь заменены [ N ( ) d ] t (t   ) dt .
Суммируя по всем  от 0 до t , получаем, что всего из числа уже отказавших (смененных) до момента
времени
t
t
объектов вновь откажут на интервале (t , t  dt ) n2  N dt   ( ) t (t   ) d объектов.
0
Общее среднее количество отказов на интервале наработки (t , t  dt )
t


N dt (t )  N dt  f (t )    ( )  t (t   ) d  .
0


()
При сокращении на N dt уравнение () принимает вид
t
 (t )  f (t )    t (t   )  ( ) d .
(1.41)
0
Таким образом, параметр потока отказов связан с плотностью распределения наработки между
отказами интегральным уравнением Вольтерра второго рода с разностным ядром. Это уравнение не
всегда удается решить в конечном виде. Если наработка между имеет показательное распределение, то из
уравнения () следует, что если  t (t )  e t , то     const .
В технических заданиях на проектируемые объекты часто используют среднее значение
tp
1
 ср    (t ) dt ,
tp 0
где t p - технический ресурс или срок службы объекта.
Если при t   плотность распределения наработки до отказа f (t )  0 , то существует установившееся
значение параметра потока отказов
  lim  (t )  1 / mt  t ,
t 
()
где mt - средняя наработка на отказ восстанавливаемого объекта (в рассматриваемом случае совпадает
со средней наработкой до отказа mt ).
В общем случае средняя наработка на отказ mt отношение наработки восстанавливаемого объекта к
математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Часто mt используется в качестве
самостоятельного показателя надежности. Если наработка выражается в единицах времени, то может
применяться термин «среднее время безотказной работы».
W(t),f(t)
ω(t)
(t)
( t)
ω(t)
0.1
f( t )
Wt
(t)
0.05
0
0
10
20
mt
30
40
50
ttT
2mt
60
70
t
3mt
Рис 1.11: Параметр потока отказов объекта ω(t) при нормальном распределении
(
,
)
При нормальном распределении наработки между отказами параметр отказов

 (t )  
n 1
 (t  nmt ) 2 
exp 
.
2n t 2 
2 n

1
t
()
где mt ,  t - среднее значение и среднее квадратическое отклонение наработки между отказами.
На рис. 1.11 видно, что значения параметра потока отказов совершают ряд колебаний, прежде чем
станут равными   1 / mt . Продолжительность этого колебательного процесса обратно пропорциональна
среднему квадратическому отклонению наработки между отказами  t . Чем меньше  t , тем
определеннее отказы группируются около средних значений mt и тем большая суммарная наработка
должна накопиться, прежде чем сравняют условия появления отказов. При  t = 0 отказы происходят
регулярно и установившееся значение

вообще не достигается.
Таким образом, если рассматриваемый интервал наработки выбран достаточно далеко от начала
эксплуатации объектов данного типа, то параметр потока отказов можно считать стационарным.
4.1 Функция готовности отказов с конечным временем восстановления

Время восстановления  в зависит как от надежности самого объекта, так и характеристик
обслуживающего персонала, наличия ЗИП, характеристик оснащенности средствами контроля и
диагностики организационно-технической системы, в состав которой входит объект и т.д. Следовательно,
при формировании показателей надежности объектов с конечным временем восстановления необходимо
учитывать как показатели надежности, так и показатели свойств указанной организационно-технической
системы, то есть системы эксплуатационного объекта.
В общем случае модель восстанавливаемого объекта с конечным случайным временем восстановления
формируется следующим образом: в момент времени t  0 объект работоспособен, проработав случайное
время
 
t1   1 ,
объект переходит в неработоспособное состояние, то есть возникает первый отказ, затем в

течение случайного времени  в происходит восстановление объекта, в результате чего он полностью
1
восстанавливается до состояния, в котором он находился в момент t  0 . Далее, проработав некоторое
случайное время 2 , объект второй раз переходит в неработоспособное состояние, то есть в случайный





момент времени t 2   1   в   2 возникает второй отказ, затем за случайное время  в
1
2
объект вновь
восстанавливается до первоначального состояния.
При этом предполагается, что контроль работоспособности объекта является непрерывным и
полностью достоверным.
Описанная выше модель функционирования восстанавливаемого объекта с конечным временем
восстановления представлена на рис. 4.1.

2

в

1
1

 в2
t
0

t1

t в1

t в2

t2
Рис. 4.1 Модель функционирования восстанавливаемого объекта с
конечным временем восстановления.
Если объект имеет экспоненциальное распределение времени безотказной работы, а знание какой-либо
предыстории объекта не представляет большой ценности для предсказания ее поведения в будущем, то
представленный на рис. 4.1 процесс может быть описан Марковским процессом []. В этом случае случайные
 


величины времени  i   между отказами времени  в   в восстановления являются независимыми
1
случайными величинами, распределенными по экспоненциальным законам, то есть потоки отказов и
восстановлений являются простейшими потоками. При этом поток отказов характеризуется параметром
потока (интенсивностью) отказов    или наработкой на отказ   1 /  , а поток восстановлений –
параметром потока (интенсивностью) восстановления

или средним временем восстановления в  1 /  .
Для модели (см. рис. 4.1) функционирования восстанавливаемого объекта с конечным временем
восстановления в качестве показателя надежности используются функция готовности
коэффициент готовности
KГ
Функция готовности
K Г (t )
или
.
K Г (t )
представляет собой вероятность того, что объект окажется в
работоспособном состоянии в произвольный момент времени (наработки) t .
Для модели, представленной на рис. 4.1, граф состояний восстанавливаемого объекта представлен на
рис. 4.2. Этот граф имеет два возможных состояния: работоспособное S O с вероятностью пребывания в нем
P1 (t ) .
При появлении отказа объект из состояния S O переходит в состояние
S1
с интенсивностью x . После
завершения восстановления объект возвращается в работоспособное состояние S O с интенсивностью
восстановления
.

Граф
рис.
системой
состояний
4.2
описывается
P1 (t )
P0 (t )

Рис. 4.2 Граф состояний восстанавливаемого объекта.
на
дифференциальных уравнений Колмогорова:
d P0 (t )

 Po (t )  P1 (t );
dt

d P1 (t )
 Po (t )  P1 (t ). 
dt

Так как состояния S O и
S1
(4.1)
образуют полную группу несовместимых событий, то нормирующим
условием для системы (4.1) будет равенство
Po (t )  P1 (t )  1 ,
(4.2)
что позволяет уменьшить на единицу число уравнений (4.1).
Начальные условия для дифференциальных уравнений (4.1) составят
при t  0; Po (0)  1 и
P1 (0)  0 .
(4.3)
Решение первого из уравнений (4.1) с учетом нормирующего условия (4.2) и начальных условий (4.3)
позволяет получить выражение для функции готовности Po (t )  K Г (t ) . Так, из (4.2) следует P1 (t )  1  Po (t ) .
Подстановка этого выражения в первое уравнение системы (4.1) дает следующий результат
dPo (t )
 (   ) Po (t )   .
dt
(4.4)
Полученное выражение (4.4) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение с
постоянной правой частью.
Общее решение этого уравнения (4.4) равно сумме его однородного и неоднородного решений.
Чтобы найти решение неоднородного уравнения при условии существования предельной вероятности
Po (t ) , необходимо приравнять нулю производную левой части выражения (4.4), то есть
0  (   ) Po (t )   ,
откуда
Poнеодн. 


.
(4.5)
Решение однородного уравнения отыскивается из исходного уравнения (4.4) путем приравнивания
нулю его правой части (   0)
dPo (t )
 (   ) Po (t )  0,
dt
откуда
Poоднор. (t )  Ce  (    )t ,
(4.6)
где C – постоянная интегрирования.
Постоянная интегрирования C может быть получена из уравнения (4.6) с учетом начальных условий
(4.3).
Тогда общее решение уравнения (4.4) будет равно
Poобщ. (t )  Ce (    )t 


,
(4.7)
которое при t  0, Po (t )  1 преобразуется к виду

1 C 

,
откуда
C


.
(4.8)
Подстановка (4.8) в формулу (4.7) дает окончательное выражение для функции готовности, которое
определяется следующим образом
K Г (t ) 





e (    ) t .
(4.9)
С учетом того, что среднее время безотказной работы объекта   1 /  , а среднее время восстановления
в  1 /  , то функция готовности (4.9) примет вид
K Г (t ) 
  1

в
1

exp  
 t .
  в   
   в  
(4.10)
В формуле (4.10) интенсивность отказов  и наработка на отказ являются показателями безотказности,
а интенсивность восстановления

и среднее время восстановления в
являются показателями
ремонтопригодности. Следовательно, функция готовности (4.9), (4.10) является показателем двух свойств:
безотказности и ремонтопригодности.
Анализ функций (4.9), (4.10) показывает, что при t  0 функция готовности равна единице
Предельное значение функции готовности (при
K Г  lim K Г (t ) 
t 
t )
K Г (0)  1 .
называется коэффициентом готовности, то есть



.
  в   
(4.11)
При    (в  0) , что соответствует мгновенному восстановлению, первое слагаемое правой части
стремится к единице, а второе слагаемое стремится к нулю, следовательно,
K Г (t )  1 ,
то есть объект, будет
постоянно находиться в работоспособном состоянии. Отсюда следует, что одним из главных путей
повышения
надежности
восстанавливаемых
объектов
является
сокращение
среднего
времени
восстановления в , то есть улучшение показателя ремонтопригодности.
При   0 (в  ) , что соответствует низким значениям показателей ремонтопригодности или слабой
подготовке персонала, из формул (4.9), (4.10) следует, что значение функции готовности будет определяться
только функцией надежности невосстанавливаемого объекта.
Графики функции готовности
K Г (t )
при различных значениях показателей надежности   1 /  и
восстанавливаемости в  1 /  приведены на рис. 6.4.
Как правило, на практике функция готовности
коэффициенту готовности
KГ
K Г (t )
стремится к стационарному значению, то есть к
за наработку, меньшую наработке на отказ, что позволяет использовать его в
качестве показателя надежности восстанавливаемых объектов.
(условием является
исправное
состояние в начальный
момент
времени);
118
эа 3. Эксплуатационное качеству
космических. < и эффективность
эксплуатационных процессов
(3.1)
где
Вер() символ вероятности события, записанного в круглых скобках;
(? < О - событие, заключающееся в том, что случайное время
(наработка) i до отказа не превысит заданное t .
времени;, монотонно
3) функция Р(О убываний функцией (при
,_>«= функция
O
)
Так как неработоспособное и работоспособное состояния образуют
полную группу несовместных событий, то вероятность безотказной работы
за время (наработку) (, или функция надежности
RifD^I-F^t) или P(t) = l-F-t(t) .
(3.2)
Отметим, что вероятность безотказной работы R't(t) имеет смысл
дополнительной функции распределения случайной величины / .
Обозначение вероятности безотказной работы символом «Rjft)»
является более информативным, так как индекс «f » определяет
случайную величину, а аргумент t - заданную
(детерминированную) наработку. В научно-технической литературе и
нормативно-технической документации функция Rf(t) именуется функцией
надежности или вероятностью безотказной работы и обозначается
P(t). Исходя из этого, в дальнейшем будет использовано обозначение
вероятности безотказной работы или функции надежности P(t).
Пол вероятностью безотказной работы P(t) понимается
вероятность того, что в пределах заданного времени (заданной
наработки) t отказ не произойдет. Типичные зависимости вероятности
безотказной работы P(t) и вероятности отказа F;(t) приведены на
рис. 3.9.
Основные свойства вероятности безотказной работы
1)
0<P(t)^l, так как
Pit) есть вероятность;
у/100
Рис. 3.9. Графики
функций
Р(') И Fj(t)
2)
ятность безотказной работы оп
ределяется только для
объектов,
исправных в начальный
момент
времени их
функционирования,
и с этой точки зрения она явля
ется условной вероятностью
Р(0)~1, т.е. веро
простыми и наглядными оказываются некоторые дополнительные
функциональные и числовые характеристики.
Глава 3. Эксплуагпаиионное качество космических средств и 19
эффективность эксплуатационных процессов
Так, весьма полезным вспомогательным инструментом
исследования надежности является плотность распределения
<p\(t) наработки до отказа, или дифференциальный закон
распределения случайной величины t:
Следует заметить, что время (наработка) t в формулах (3.1) (3.2) обозначает не момент времени, а интервал времени. Так как для
невосста-навливаемых объектов время (наработка) отсчитывается от
начала эксплуатации, то интервал равен [0,0+1].
Оценка вероятности безотказной работы определяется по
статистической информации об отказах
dP(t)
(3.4)
или <P't(t)=где No - число объектов, работоспособных в начальный момент
времени (t=0);
dt
'" '
dt
Основные свойства плотности распределения наработки до
отказа:
N(t)- число объектов сохранивших работоспособное состояние
за
1) функция щ (t)>0, так как она есть производная от
монотонно
заданную наработку /;
возрастающей функции Fj(t)\
п - число объектов, отказавших за заданную наработку г;
2)
\<pi(l)dt = l ;
* - символ оценки.
О
Точность определения оценки вероятности безотказной работы
тем выше, чем больше объектов находится под наблюдением. При
значительном числе объектов оценка статистической вероятности Р*(()
стремится к теоретической вероятности P(t).
3) размерность {$>;(()] =1/ наработки, например, 1/ч.
Кроме указанных функций, в теории надежности и в практике
эксплуатации в качестве единичных показателей безотказности не
восстанавливаемых
объектов
используются
числовые
характеристики распределения
Несмотря на то, что любая из функции F;(t) и P(t) полностью характеризуют случайную величину /, в ряде случаев более удобными,
.
120
i 3. Эксплуатационное качество космических средств
эффективность эксплуатационных проивссов
Глава 3. Эксплуатаиионное качество космических средств и
эффективность эксплуатационных процессов
наработки до отказа: средняя наработка до отказа Тср;
интенсивность отказов Я; гамма - процентная наработка до отказа
121
i = i
т*
*срш-
(3.8)
t y,
Интенсивностью отказов Л(t) называется условная
плотность вероятности возникновения отказа объекта в момент
времени (наработки) /, определяемая при условии, что до
рассматриваемого момента времени отказ не возник.
Средняя наработка до отказа Тср определяется как
математическое ожидание наработки объекта до отказа, т.е.
1-ср=М[1]=\щ(0<И,
(3.5)
0
где М[] - символ математического
ожидания.
Выражение (3.5) с учетом (3.4) и (3.2) преобразуется
к виду 00 dF;(t) » dn-Pfti)
°°
т*ш1*лГ*ш U
р
о
dt
о
Г *" t4P(t).
*
о
Если обозначить /=и и dP(t)=dv, следовательно, dt=du и
P(t)=v, то полученный интеграл может быть взят по частям
(\udv=uv-\vdu):
0
Рассмотрим
элементарное
приращение
времени
(наработки) dt, примыкающее к моменту времени /.
Элементарное значение безусловной вероятности отказа на этом
приращении времени в соответствии с (3.4) равно (p-Jt)dt.
Элементарное значение условной вероятности отказа на этом
же отрезке, определяемое при условии, что в момент времени /
отказ не возник, т.е. P(t), равно A(t)dt. Из теории вероятностей
известно, что безусловная вероятность (p-(t)dt равна
произведению условной вероятности
A(t)dtn& вероятность условия P(t),7.c.
<p-((t)dt = Mt)dt P(t).
Сокращая левую и правую части равенства на dt, получим
уравнение связи интенсивности отказов с (безусловной) плотностью
вероятности отказа tpj(t)
0
ш
Так как первое слагаемое - =-(<&0)+0 1=0 , то
(3.6)
Т =
О
О
Из анализа формулы (3.6) и графика P(t) (см. рис. 3.9)
следует, что средняя наработка до отказа численно равна
площади под кривой P(t) на интервале [Osc),
Оценка средней наработки до отказа по статистическим
данным зависит от плана испытаний и закона распределения
наработки до отказа.
Если испытания ведутся до отказа всех объектов, то оценка
средней наработки до отказа определяется по формуле
• / N°
где t; • наработка до отказа / -го объекта.
В практике эксплуатации, как правило, известны данные об
отказах за определенное время Т, когда из Wo объектов,
имеющихся к началу эксплуатации, откажет только л . Тогда для
оценки средней наработки до отказа для случая, когда частота
возникновения
отказов
постоянна,
следует
пользоваться
соотношением
Mth
(3.9)
P(t)
Интенсивность отказов
показывает, какая доля объектов,
работоспособных в момент времени /, отказывает в единицу
времени за бесконечно малый промежуток времени.
Подставляя (3.4) и (3.2) в (3.9)
ЩШ d(i-P(t))= dP(t) dt-P(t)
dt-P(t) ' dt-P(t) '
после преобразований получим дифференциальное уравнение
связи вероятности безотказной работы P(t) с интенсивностью
отказов
dP(t)
=-X(t)dt.
(3.10)
P(t)
Интегрируя уравнение (3.10) в пределах от 0 до /,
т.е. -\X(r)dz , где г - аргумент (по смыслу время), получим
I/ '
'
1пР(хГ0=-\Цт)4т . Так как Р(0)=! и ЫР(0)=0, то lnP(t)=-JMr)dr ,
1
0
0
122
Г/rgg^ 3 Эксплуатаиионное качество космических
средств и эффективность эксплуатационных
процессов
Интервал времени (наработки) [t2, со ) характеризуется тем,
что из-за усиления процессов старения и износа интенсивность
отказов возрастает. Этот участок называется участком старения.
для вероятности безотказной работы получим основную формулу
надежности
t
P(t)=exp(-\A(T)dT) .
)
По статистическим данным оценка интенсивности отказов
может быть определена из соотношения
H<*H«* + ")t
(3.11
(3.12
)
О
Интенсивность отказа Aft) характеризует не интервальную, а
локальную или мгновенную безотказность объекта в момент
времени ( и является показателем безотказности, зависящим от
времени (наработки) t.
Экспериментально установлено, что практически для всех
технических объектов график зависимости интенсивности отказов
от наработки имеет вид, представленный на рис. 3.10.
Интервал
времени
(наработки) [0, t[] соответствует
периоду приработки, на котором выявляются, в основном,
X(t) конструктивные и производственные отказы, чаще всего
относящиеся к внезапным. По
мере приработки и устранения
отказов интенсивность отказов уменьшается.
A=const Продолжительность периода зависит от вида
объекта и интен- сивности отказов его составных
t
tэлементов.
Продолжительность
Рис. 3.10. Зависимость
этоинтенсивности отказов от
времени (наработки)
го периода может быть уменьшена
в результате «тренировки»
объекта в заводских условиях.
Интервал времени (наработки) [tb t2] соответствует периоду
нормальной эксплуатации объекта. На этом участке интенсивность
отказов практически постоянна. Отказы этого периода относятся как
к внезапным, так и постепенным. Значение интенсивности отказов
может быть снижено за счет своевременного и качественного
технического обслуживания. Следует стремиться, чтобы объект
использовался по назначению только в период нормальной
эксплуатации.
N(t)6t
N(t)bt Ал - число отказавших
гд объектов на интервале времени (наработки)
е
Д/
;
Глава 3. Эксплуатаиионное качество космических
средств и эйхЪективность эксплуатационных процессов
N(t),N(t + At) - число объектов,
соответственно к моментам времени / и t + Д/.
123
работоспособных
Безотказность объектов с А/О- Л-const характеризует
надежность не восстанавливаемых объектов периода нормальной
эксплуатации и описывается экспоненциальным законом
распределения времени (наработки) (.
Для экспоненциального закона функциональные и числовые
характеристики имеют вид:
вероятность безотказной работы за время (наработку) t
P(t) = exp(-At) .
(3.13)
вероятность отказа за время (наработку) t
F}(t)=l-P(t) = l-exp(-M);
(3.14)
плотность распределения наработки до отказа /
dt
dt
(3.15)
средняя наработка до отказа
Тер = \f(t)dt = \exp(-M)dt = ~
(3.16)
j
0
i
i
0
Из (3.13) с учетом (3.16) следует еще одна формула для
вероятности безотказной работы
P(()=exp(-t/Tcp).
(3.17
)
Справочные данные по интенсивностям отказов для
некоторых изделий технологического оборудования ТК и СК
приведены в Приложении 3.1.
Гамма - процентной наработкой до отказа ty называется
наработка, в течение которой отказ объекта не возникнет с
вероятностью /, выраженной в процентах.
Для произвольного закона распределения времени
(наработки) до отказа гамма - процентная наработка до отказа /.,
может быть получена
двумя способами:
численным интегрированием уравнения (3.11) при
условиях: верхний предел интегрирования равен t=t~, а
вероятность безотказной работы
графически (см. рис. 3.9): входом в график является
вероятность =>у%/'100% = 0.01-у, а выходом - гаммапроцентная наработка до
y.
отказа t
124
Г
л
а
в
а
интенсивности отказов
Для экспоненциального закона распределения гамма процентная наработка до отказа ty может быть получена из (З.П) при
условиях: t = ty и P(ty)-y%/100% = 0,01-y,T.t. 0,01-у- exp(-Aty), или
окончательно
>
(3.18)
Пример 3.1. В эксплуатации находятся 50 однотипных
невостанав-ливаемых объектов. В течение одного -ода в
нерабэтосносоГшэе состояние в результате отказов перешли 30
объектов. Рассчитать оценки показателей
безотказности
3
.
Л *(t)=l/T*p= 1/10366 * 0,0001 1 / ч .
Пример 3.2. Рассчитать показатели безотказности
.«ектродвигателя в течение наработки / = 500 ч, для которого
интенсивность отказов А -0,0012 1/ч (см.
Приложение 3.1).
Решение:
Решение:
Ре
1. Обозначим: число работоспособных объектов Мо -50; число
1. Средняя наработка до
нера
ботоспособных объектов л =30; интервал времени 7 ! го^ - 14 165 -
= 833 ч.
8760 часов.
2. Наработку до отказа всех объектов внесем э таблицу (в
предпо
ложении, что объекты используются HI. участке нормальной
эксплуатации и
частота отказов постоянна)
отказа
Наработка до отказа 11;ч | 292
р
' 3 1 .. ' 29 I 30 "876
' .'. 1 8*6^ 1 8760
А 0,0012
3. Расчет оценок показателей безо: казности в соответствии с
(3.3),
(3.8) и (3.17):
21 J
вероятности безотказной работы за один год
" и
средней наработки до отказа
ср
30
Э
к
с
п
л
у
а
т
а
и
и
о
н
н
о
е
к
а
ч
е
с
т
в
о
к
о
с
м
и
ч
е
с
к
и
х
с
р
е
^
с
тв
и эффективность эксплуатационных проиессов
Ai
2. Вероятность безотказной работы в течение наработку t
конкрет-<
реализациями
сл
P(t) = exp(-Xt) = ехр(-0,0012-500) = 0,53
Л1^ого
времени меж];
г.
3. Гамма - процентная наработка до отказа дляотказами
уровня вероятности
Слу||наямежду
у = 90%
величина
от-каза|
f
Рис. 3.11. Модель восстанавливаемого
характери-3yeii
1
1
объекта
с мгновенным
90%^~1
функцией
восстановлением
Рас%еления
3.3.3. ПОКАЗАТЕЛИ БЕЗОТКАЗНОСТИ
и
ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
ОБЪЕКТОВ
ции
гастся
и
ым
[пу
■IO-
их И)
'И-
Определение показателей безотказности восстанавли| аемых 05ъек.
тов проведем для моделей с мгновенным восстановлением ц с конечным
ия
временем восстановления.
А. МОДЕЛЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ОБЪЕКТА
)7
С МГНОВЕННЫМ ВОССТАНОВЛЕНИЕМ
Несмотря на то, что допущение о мгновенном восста^^^ Da5o.
тоспособности может быть принято, только в том случае, кс^а время ^^^
становления существенно меньше времени наработки на отк^ его исполь.
зование позволяет исследовать закономерности процесса восЧановления
Сущность модели восстанавливаемого объекта с м%венным
восстановлением заключается в следующем (рис. 3.11): в моме| начала
Da6o ты t = 0 объект работоспособен; проработав случайное вр^ ^ 05ъект
переходит в неработоспособное состояние, т.е. в случайньЦ омент воеме„
ни ij = fj возникает первый отказ; затем следует мгновение^ полное вос.
становление работоспособности объекта; проработав случа^ время f
объект снова переходит в неработоспособное состояние, тц в
случайный момент времени ^ = ?1 + Ъ возникает второй отказ;
сновз1ледует венное и полное восстановление работоспособности
объекта^ д
Интервалы
между от-
в
126
Глава 3. Эксплуатационное качество космических средств и
эффективность эксплуатационных проиессов
Очевидно, что функция распределения F; (t) случайной
величины
плотностью распределения времени между отказами, выражения для
которых соответственно имеют вид:
Ff(t) = Bep (i<t)\
Щ^
' (3.19)
Fijty-Ffd).
'
(3.2
0)
где t - аргумент.
at
Моменты времени возникновения 1, 2,..., /-го,,.., w-ro
отказов:
ия
образуют поток отказов, а так как восстановление происходит
мгновенно, то эти же моменты образуют и поток восстановлений.
Моменты времени /у, f?> •••> 'm являются случайными
величинами и характеризуются функциями распределения F;y (t),
F;2 (t),..;, F^ (/>. '
Напомним, что функции распределения F/y (t), F^ (t)9.-..r F\m
(t) -это вероятности того, что первый, второй,..., т -ый отказы
произойдут за время ii <t9 i2<fj., tm<i>Т№ tl заданное время
(наработка).
функциями
..., Ft (t) случайных величин ihi2................. 'm c функцией
распределения
Ff(t)времени между отказами т.
.
(3.21)
По известной функции распределения F^ (t) случайной
величины ij можно найти функцию распределения
F;2(t)случайной величины f^, т.е. вероятность того, что два
отказа произойдут за время |р, меньшее t. Вывод формулы
проведем на основании следующих соображений (см. рис.
3.11):
вероятность того, что первый отказ произойдет в момент
времени^ ij, который меньше t - х, равна Ff. (t-x);
•
Установим связь между
распределенияF; (t), F^O),
ij равна функции распределения времени F~t(t)между отказами
г , т.е.
вероятность того, что второй отказ произойдет на интервале
времени (t-xj-x + dx),равна <pf(x)dx\
Глава 3. Эксплуатаиионнов качество космических средств
и э<Ь<Ьективность жсплуатаиионных пооивссов
127
суммируя (интегрируя) все возможные варианты на
интервале [О, t], получаем искомое равенство
t
F
i2 (О = [F'tl (I -x)Pi(x)dx.
P(f(t)<m) = l-F: (t)
(3.22)
0
Проведя аналогичные рассуждения, получим
рекуррентную формулу
функции распределения F: (t) времени im
fit
)о
Так как события (f(t)>m) и (f(t)<m) образуют полную группу
несовместных событий, то P(r(t)>m)+P(r(t)<m= 1, и вероятность
возникновения числа отказов меньше т
(3.24,6
).
Исходя из свойств функции распределения, вероятность
возникновения ровно m отказов в течение времени f с учетом
(3.24,6)
P(r(t) = m) = P(r(t)<m + l)-P(f(t)<m) = Fim(t)-F;m+](t). (3.24,в)
(3.23
Из анализа рекуррентной формулы (3.23) следует, что
функции распределения F^(t), Fi2(t)% ...,' F{ (t) случайных величин
ij'h-Jm
представляют собой соответствующие (1, 2,..., m-кратные) свертки
функции распределения времени между отказами t (хвнутренняя переменная, по смыслу время).
Процесс отказов (восстановлений) можно описать случайной
величиной f(t)y равной числу отказов (восстановлений) за время
(наработку) /. Естественно, что f(t) принимает только целые
неотрицательные значения.
Функция распределения дискретной случайной величины
r(t)
P(f(t)*т) = P(im <$)жFim (t),
(3.24,a
)
где Р(г(О ^ *п) - вероятность того, что в момент времени / число
отказов f(t) будет больше или равно числу т;
P(tm < t) - вероятность того, что т -й отказ произойдет в
момент времени im, который меньше /.
В теории надежности принято случайную величину числа отказов
r(t) характеризовать функцией восстановления H(t) или ведущей
функ
цией потока, под которой понимается математическое ожидание
числа
от
казов (восстановлений) за время (наработку) t
i
H(t)
=
M[r(t)]
,
(3.25)
где М[] - символ математического ожидания.
Известно, что математическое ожидание дискретной случайной
величины есть сумма произведений возможных значений случайной
величи-
ГП9?в 3 Эксплуатационное качество космических средств
I' эффективность эксппуатаиионных проиессов
128
каз TQ.
Параметр потока стказов,шп плотность отказов Ц*) отно шение среднего чи^ла отказов воесгачлвлнваемою объекта
за бескокгчип малую нараб^-ку к .начемию этой наработки, т.е.
ны на вероятности их возникновения. Следовательно, функция
восстановления может быть определена по формуле
математического ожидания
fmP(rft) = m)>
(3.28)
(3-26)
dt
т
После дифференцирования (3.27) для параметра потока
отказов по-
где т - конкретные значения случайной величины числа
отказов f(t); P(f(t) = m) - вероятности возникновения т
отказов. Формула (3.26) с учетом (3.24, в) преобразуется к
виду
лучим
Н(0- i"(Fim(t>-Fim + l(t)].
РГ-J
т=1
Ее- и раскрыть сумму в левой части последнего равенства и
произвести приведшие подобных членов, то получим
т=1
+ 3-[Fh(t)-Fi4(t,j
Следовагел0но, выражена дл), функции восстановления
преобразуется к виду
Н(: =
(t).
(3-27)
Зная распределение случ; чной величины r(t), можно,
например, рассчитать на данный (,илаяир>окы*) период вер. яткое
число стказов, а, следовательно, и число необходимых запасных
элементов в составе ЗИП.
Несмотря на ю, что функция восстановления H(t) полностью
ха-рактери- т поток откизов (вос-тянонлсний), е ^пользование
ограничено
только
н
чм..
ьным,
местоноУ^мльйИЧ
распределением и гамма - оаспре-делением Поэтому va cwwaiffli.
безотказности латана вливаемых объектов испо" .уются параметр
КОТОК" ечказов out) и средняя нарабэтка на JTт
(3.29)
dH(t) dt
Глава j, Эксплуатаиионнов качество космических средств
129 и эффективность эксплуатационных процессов
Поток событий на!ывается потоком без последействия, если
вероятность попадания т событий на интервал времени [i,t + Л//
не зависит от числа и моментов появления событий на других
интервалах, не пересекающихся с данным.
где ft (t) - плотность распределения случайной величины im .
Экспериментально установлено, что график зависимости
параметра потока отказов ajft) от наработки t имеет вид,
аналогичный
графику
интенсивности
отказов
ЖОлпя
невосстанавливаемых объектов (см. рис. 3.10).
Несмотря на некоторую похожесть параметра потока отказов
at и интенсивности отказов Я , они как по определению, так и по
существу различные, а именно:
интенсивность отказов - условная плотность вероятности
возникновения отказа, определяемая при условии, что до
рассматриваемого момента времени отказ не наступил;
параметр потока отказов - безусловная вероятность
возникновения отказа за единицу времени.
Только для периода нормальной эксплуатации численные
значения параметра отказов и интенсивности отказов равны, т.е. at
= Л.
Средняя наработка на отказ То- отношение суммарной
наработки
t восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа
его отказов H(t) в течение этой наработки.
Согласно определению для средней наработки на отказ имеем
Г=
H(t)
(3.30)
С целью существенного упрощения изложения в дальнейшем
рассматриваются потоки событий, удовлетворяющие свойствам:
ординарности, отсутствия последействия и стационарности.
Поток событий называют ординарным, если вероятность
попадания на интервал времени [t,t + At] двух и более событий
пренебрежимо мало
(стремится к нулю) при стремлении длины интервала Ы к нулю. Как
показывает опыт эксплуатации технических устройств, одновременное
возникновение двух и более отказов маловероятно.
Если поток событий является ординарным и без
последействия, то число событий, попадающий на интервал
времени [tJ + At], распределено по закон\г редких явлений или
закону Пуассона. Исходя из этого, такой поток называют
пуассоновским. Для пуасеоновского потока вероятность того, что
случайная величина числа событий r(t), попавших на интервал [t,t
+ Ы] , выражается формулой Пуассона
(3.31)
ml
130
Глава 3. Эксплуатационное качество космических средств
и эффективность эксплуатационных процессов
(3.35)
где a - параметр закона Пуассона (математическое ожидание числа
событий, попадающих на интервал [t.t + AtJ);
! - символ факториала. Параметр закона
Пуассона определяется
t+to
am \A(t)dt,
(3.36)
(3.32)
i=0
функция
H(t) =
t
где A(t)- интенсивность потока.
восстановления
Если вероятность попадания m событий на интервал •
времени [t,t + At] зависит только от числа т событий и длины
интервала Д* и не зависит от начала интервала t , то такой поток
называют стационарным. Пуассоновский поток, удовлетворяющий
условиям стационарности, называется простейшим.
наработка на отказ
(3.38)
вероятность безотказной работы, т.е. число отказов i = 0,
P0(t) = exp(-At).
Для простейшего потока число событий, попадающих в
произвольный интервал длиной Д*, распределено по закону
Пуассона (3.31) с параметром а = AAt
Рт = P(f(t) = m) = (J^f-exp(-AAt).
(3.33
(3.37)
(3.
39)
Оценка параметра потока отказов по статистической
информации проводится для каждого интервала наработки Д/, по
формуле
)
ml
В свою очередь, распределение времени между событиями в
простейшем потоке подчинено экспоненциальному закону с
плотностью распределения
дующие формулы:
вероятность возникновения ровно i отказов
(3.34)
(At)'
[
Для простейшего потока отказов, когда со - А, справедливы
сле-
Pi(t) = Р( f(t) = i) = —-f- exp(-At);
i/
вероятность возникновения не более Ш
отказов
т
Глава 3- Эксплуатационное качество космических средств
131 и эффективность эксплуатаиионных процессов
<у,*=Ди,-/(7/•&,■>,
(3.40,а)
где N - число восстанавливаемых объектов, находящихся в
эксплуатации;
Ди, - число отказов всех объектов на интервале Д/,.
Если оценка параметра потока отказов проводится по одному
объекту, т.е. N"=1, то она характеризует число отказов объекта в
единицу времени и определяется по формуле
а*= Ди,-/Mt .
(3.40,6)
Оценка наработки на отказ определяется как отношение
суммарной наработки N восстанавливаемых объектов к суммарному
числу отказов этих объектов:
. "j N
N
Гв = 11',0/£яу.
(3-41,а)
•
где
tpy - i -я наработка у -го объекта;
rij - число отказов j -го объекта.
_
Для одного объекта оценка наработки на отказ проводится по
формуле
(3.41,6)
где
<_,-- наработка на / -й отказ;
п - число отказов.
Пример 3.3. Для восстанавливаемого объекта, отказы
которого образуют простейший поток с параметром потока отказов
си= А = 10 '4 1/ч, рассчитать вероятности возникновения одного,
двух, ..., пяти отказов и другие рассмотренные показатели
безотказности для наработки t= 104 ч.
Решение:
1. Наработка на отказ То = 1/А = 1 /10 '4 = 104 ч.
2. Функция восстановления H(t) = ^=1O'4104=1 отказ.
3. Вероятность безотказной работы
Po(t) = exp(-At)= ехр(-10 "4 104) = 0,368.
4. Вероятности возникновения одного, двух,..., пяти отказов
рас
считаны по (3.35) и равны соответственно:
P2(t) = 0,184; P3(t) = 0,067; P4(t) = 0,0J5; P5(t) = 0,003. 5. Вероятность
возникновения не более пяти отказов рассчитана по формуле (3.3
6) и равна
132
Гла.ва 3. Эксплуатаиионное качество космических
средств и эффективность эксплуатационных
процессов
P(r(t)<5) = %Pi(t) =0,368+0,368+0,184+0,067+0,015+0,003=0,999.
Б. МОДЕЛЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ОБЪЕКТА С
КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
На практике время восстановления г в принимает конечные
случайные значения, зависящие как от надежности самого объекта,
так и характеристик личного состава, проводящего восстановление
работоспособности, а также организации работ, наличия ЗИП и других
объективных и субъективных факторов. Следовательно, при описании
показателей надежности объектов с конечным временем
восстановления следует учитывать характеристики как самого
объекта, так и характеристики организационно-технической
системы, т.е. системы эксплуатации КСр.
' TBi
2
*U—
tB1
Рис.3.12. Модель функционирования
восстанавливаемого объекта с конечным
временем восстановления
Сущность модели (рис. 3.12) определяется следующими
положени-ми: в момент начала работы t = 0 объект работоспособен;
проработав
случайное
время
i\,
объект
переходит
в
неработоспособное состояние, т.е. в случайный момент времени /у = f
/ возникает первый отказ; затем в течение случайного времени тщ
объект полностью восстанавливается до состояния, в котором он
находился в момент t-0\ проработав случайное время т2, объект
второй раз переходит в неработоспособное состояние, т.е. в
случайный момент времени ^ = г; + Tgj + f^ возникает второй отказ;
снова объект за случайное время fg2 восстанавливается до
первоначального состояния и т.д.
С целью упрощения изложения будем полагать, что случайные
величины времени между отказами fj = т и времени восстановления
гд,- = fg
(i = l.m) независимы, распределены по экспоненциальному закону,
т.е. потоки отказов и восстановлений являются простейшими
потоками.
Поток отказов характеризуется параметром потока
(интенсивностью) отказов со= Я или наработкой на отказ То-1/Х , а
поток восстановлений - параметром потока (интенсивностью)
восстановления /л или средним временем восстановления Tg-l/ /и.
Глава 3. Эксплуатационное качество космических средств
133 и эффективность эксплуатационных проиессов
Для восстанавливаемого объекта с конечным временем
восстановления в качестве показателя надежности не может быть
использована вероятность безотказной работы, так как она не
учитывает восстановление работоспособности.
Для модели функционирования восстанавливаемого объекта с конечным временем восстановления в качестве показателя надежности
используется функция готовности Kr(t), или коэффициент готовности
Кр. Функция готовности Kp(t) представляет собой вероятность того,
что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный
момент времени (наработки) t.
P0(t)+P,(t)=l
Начальные условия для дифференциальных уравнений (3.42):
при/ = 0 Р0(0) = 1 и Р,(0)=0 .
Kp(t) и неработоспособное Sj с
вероятностью пребывания в
нем Pj(t).
При появлении отказа
объект из состояния Sg переходит в состояние S; с интенсивностью отказов Л. После восстановления
объект
возвращается в состояние SQ С
интенсивностью
восстановления /j.
Рис. 3.13. Граф состояний
восстанавливаемого
объекта
Граф состояний восстанавливаемого объекта описывается одним из дифференциаль-
ных уравнений
Колмог
(3.42)
орова:
= AP0(i)-pP,(t). dPp(t)
dt
dt dPi(t) _
Так как состояния SQ И SJ образуют полную группу несовместных
событий, то нормирующим условием для системы (3.42) будет
равенство
(3.44)
(3 41 Решая пеРвое из уравнений (3.42) с учетом нормирующего условия v 43) и начальных условий (3.44) возможно получить выражение для
функции готовности P0(i) = kr(t).
Вывод функции готовности проведем для графа состояний восстанавливаемого объекта (рис. 3.13), имеющего два возможных
состояния: работоспособное So С вероятноX
(3.43)
стью пребывания в нем PQ(1) =
134
Глава 3, Эксплуатационное качество космических средств и эфсЬвктивность
эксплуатационных процессов
Выразив из (3.43) Pj(t)= I - Pgft) и подставив в первое уравнение системы (3.42), после
приведения подобных членов получим неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами
4&@- + (Л + м)Р0(О = м.
(3.45,а)
at
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного
уравнения и частного решения неоднородного уравне-
ния, т.е. Р**"* = Pf" + Р%еоан.
Решение однородного уравнения (правая часть уравнения равна нулю)
(3.45,6)
и,
ищется в виде Р^н = ert, где г - неопределенный коэффициент.
Kr(t)
rt
H
n
Подставляя решение в виде PQ " = e и его производную dP^ I dt = re в
однородное уравнение (3.45,6), получим решение однородного уравнения
Р^ н =Се~ (Л+ ^',
(3.45л)
где С - постоянная интегрирования.
Частное решение неоднородного уравнения (3.45,а) ищется в виде рнеодн _ ^ ^ где ^ _
неопределенный коэффициент. Подставляя частное решение Рдеодн = А и его производную
dP™0**" /dt = 0в неоднородное уравнение (3.45,а), найдем значение коэффициента А, то есть
частное решение неоднородного уравнения р^еодн = р/(Л + ju) .
Тогда общее решение неоднородного уравнения (3.45,а)
робщ т Ce-
Постоянная интегрирования С определяется из уравнения (3.46) при подстановке в него
начального условия (3.46): при t = 0 PQ(0) = 1.
Тогда окончательно для функции готовности получим формулу
(3.47)
(3.46)
Глава 3. Эксплуатационное качество космических средств
эксплуатационных проиессов
135 и эффективность
С учетом того, что наработка на отказ То = 1 /Л и среднее время восстановления Тд =////,
получим еще одно выражение для функции готовности
(i О 1
I-
Т0+Тв То+Тв
(3.48)
— + — \-t .
Так как интенсивность отказов Л и наработка на отказ То являются единичными показателями
безотказности, а интенсивность восстановления /j и среднее время восстановления Тв единичными показателями ремонтопригодности, то функция готовности Kf(t) является
показателем двух свойств: безотказности и ремонтопригодности, т.е. комплексным показате-.ем
надежности.
При t = 0 функция готовности равна единице Кр(0) = 1. Предельное значение функции
готовности называется коэффициентом готовности (см. п. 3.3.7)
(3.49)
ТО + ТВ
Из анализа функции готовности (3.47) и (3.48) следует:
■^
1. При /j->да (Тв =0), что
соответствует мгновенному восста
новлению, второй член в формулах
стремиться к нулю и функция готов
ности Kp(t) = l (рис. 3.14). Объект
будет постоянно находиться в рабо
тоспособном состоянии. Следова-
Kr{t)
//=0;Р
=exp(-/lf)
ремонтопригодности.
О
2.
тельно, одним из путей повышения надежности
восстанавливаемых объектов является повышение показателей
При ju=O(TB -юо), что
соответствует низким значениям показателей ремонтопригодности
Рис.3.14. Графики
или необученное™ личного состава, nej. ■
функции
готовностистремится к нулю и надежность определяется безотказностью.
вый член в формулах
Пример 3.4. Рассчитать функцию и коэффициент готовности объекта, потоки отказов и
восстановлений которого являются простейшими с параметрами Х= 0,0002 1/ч и ц=0,002 1/ч.