 

1.2. Электрическое поле
1.2.1. Капля воды R = 510  5 м находится в состоянии безразличного равновесия в масле с плотностью  = 800 кг/м3 при напряжённости
электрического поля Е = 104 Н/Кл. Вектор напряжённости поля
направлен вертикально вверх. Сколько элементарных электрических
зарядов находится на капле?
Решение
1. Свободно парящая в масле заряженная
положительно капля воды находится под действием трёх сил: силы тяжести mg, силы Архи
меда FA и кулоновской силы Fk, возникающей в
FA
вертикальном электрическом поле напряжённоq
стью Е.

2. Определим величины действующих на
R
каплю сил
Е
4
(1)
mg  R 3 2 g ,
mg
3
4
(2)
FA  1g R 3 ,
3
(3)
Fk  QE ,
3
где 1  плотность масла, 2 = 1000 кг/м  плотность воды, Q  заряд
капли.
3. Запишем условие равновесия капли воды под действием анализируемой системы сил
(4)
mg  FA  Fk ,
4 3
4
(5)
R  2 g  R 31g  QE .
3
3
4. Выразим из уравнения (5) величину заряда
4R 3g 2  1  4 1,25 10 13 10  200
(6)
Q

 110 13 Кл .
E
10 4
5. Определим количество положительных элементарных зарядов,
сосредоточенных на поверхности капли
Q 110 13
(7)
N e  
 6,25 10 5 .
e 1,6 10 19
Fk
24
1.2.2. Два равных отрицательных заряда по q = 9 нКл находятся в
воздухе на расстоянии r0 = 8 см друг от друга. Определить напряжённость электрического поля в точке, отстоящей на удалении 5 см от
каждого заряда. Изменится ли напряженность поля при помещении
зарядов в воду?
Решение
1. В заданной точке А имеет место суперпозиция электрических полей от двух зарядов. Задача, таким образом, сводится к определению
геометрической суммы векторов напряжённости зарядов q1 и q2



E  E1  E 2 .
(1)
r0
o
-q1
r
-q2
r
Е1
Е
Е
A 2
2. Определим модуль вектора напряжённости результирующего
электрического поля
E  E12  E 22  E1E 2 cos2 ,
(2)
где Е1, Е2  модули напряжённостей полей, создаваемых зарядами q1 и
q2, соответственно.
3. Поскольку модули зарядов одинаковы
q
9 10 9
В
E1  E 2 

 3 10 4 ,
(3)
2
м
4 0 r
12 ,56  9 10 12  25 10  4
уравнение (2) можно упростить
E  E12  E12  E12 cos2  E1 2  cos2 .
(4)
4. Определим из прямоугольного треугольника q1AO значение 
r
sin   0  0,8,    arcsin0,8  53 0 .
(5)
2r
5. Найдём модуль вектора напряжённости результирующего поля
(6)
E  3 104 2  0,27  4 104 В / м .
6. При перенесении зарядов в воду напряжённость поля изменится,
потому что диэлектрическая проницаемость воды ( = 81) отличается от
диэлектрической проницаемости воздуха (  1), Е1  370 В/м. Напря25
жённость результирующего поля, таким образом, определится как
E  370 2  0,27  486 В / м .
(7)
1.2.3. Для системы зарядов, заданной в предыдущей задаче определить потенциал электрического поля в точке А.
Решение
1. Потенциал, создаваемый системой точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов каждого заряда, составляющего систему
in
   i .
(2)
i 1
2. Определим потенциал поля, создаваемого одним из зарядов в воздухе, потенциал второго заряда будет иметь такое же значение, потому
что величины зарядов и удаление от заданной точки одинаковы
q1
9 10 9
1 

 1600 В .
(3)
4 0 r 12 ,56  9 10 12 1  5 10  2
3. При помещении зарядов в воду потенциал уменьшится в 81 раз и
станет равным 2   20 В
4. Результирующий потенциал в воздухе и воде будет составлять
возд  21  3200 В ,
(4)
H 2O 
а
-
21
3200

 40 В .
 H 2O
80
-
q1
q2
Е1
Е2
а
О
Е4
q4
-
Е3
q3
(5)
1.2.4. В вершинах квадрата со
стороной а = 0,1 м расположены
четыре отрицательных заряда: q1=
q2 = q3 = q4 = 0,1 нКл. Определить
напряжённость Е и потенциал 
электрического поля в центре квадрата. Как изменятся параметры
поля, если один из зарядов заменить
положительным зарядом той же
величины?
-
Решение
1. Если в вершинах квадрата
находятся отрицательные заряды, то напряжённость электрического
поля в центре будет эквивалентна нулю, потому что векторы напряжён-
26
ностей диагональных зарядов будут равны по модулю и противоположны по направлению, Е0 = 0.
2. Определим далее потенциал поля, создаваемого одним из зарядов
q
,
(1)
1 
4 0 r
где r  a
2  расстояние от центра квадрата до каждого из зарядов,
q 2
10 10 1,41

 12 ,5 B .
(2)
4 0 a
12 ,56  9 10 12  0,1
3. Результирующий потенциал будет определяться в виде алгебраической суммы
1  
i4
O   i  41  50 B .
(3)
i 1
4. Рассмотрим далее систему, когда
заряд q1 будет положительным. Ситуация по сравнению с предыдущей изменится. Векторы напряжённости поля
создаваемого зарядами q2 и q4 будут
одинаковы по модулю и противоположны по направлению


E2  E4  0 .
(4)
Таким образом напряжённости в точке
О определится в виде суммы векторов
напряжённостей полей зарядов q1 и q3
 

E  E 3  E1 .
(5)
E O  2E 1 
4q
-
q1
1 10

а
-
q2
Е2
О
а
Е3
Е4
q4
-
Е1
10
 354
q3
-
В
.
м
(6)
4 0 a
3,14  9 10  0,01
5. Потенциал при этом будет определяться уравнением (3), с учётом
того, что 1 + 3 =0, поэтому
(7)
O  21  25 В .
2
12
1.2.5. Две проводящие пластины несут заряды с плотностью 1 =
+510  8 Кл/м2 и 2 = 910  8 Кл/м2. Пространство между пластинами
заполнено стеклом ( = 7). Определить напряжённость электрического
поля между пластинами и вне их.
Решение
1. Напряжённость электрического поля, создаваемого пластиной с
27
+ 
- 
плотностью заряда  определяется
как

.
(1)
E
2



0



2. Напряжённость электричеЕ2
ского поля в зазоре между пластиЕ2
Е2
нами



E   E1  E 2 .
(2)
3. Подставим в уравнение (2) значение напряжённости в соответствии с уравнением (1)
8
  2


14 10
(3)
E  1  2  1

 1111 В / м .
12
201 201
201
2  9 10  7
4. В пространстве вне области, заполненной диэлектриком, векторы
напряжённостей имеют противоположное направление, поэтому
8
  1
4 10
(4)
E   E 2  E1  2

 2222 В / м .
12
2 0  2
2  9 10 1
Е1
Е1
Е1
1.2.6.   частица проходит через геометрический центр молекулы
водорода, состоящего из двух протонов, расположенных на расстоянии
а друг от друга. На каком расстоянии от протонов их электрическое
поле будет действовать на   частицу с максимальной силой?
+
р
Е3=0 а
Е 3 Е

2
Е2 Е
Е
Е
1
Е
Е1
+
р
Решение
1. Предположим, что   частица движется перпендикулярно линии, соединяющей центры протонов через середину отрезка а.
2. Напряжённость электрического поля
по ходу движения частицы определяется в
виде геометрической суммы напряжённостей полей, создаваемых каждым из протонов. Поскольку в каждой точке траектории
расстояние от   частицы до протонов
одинаковы, то напряжённости по модулю
одинаковы
E i  E  E  E cos2 ,
(1)
Ei  E 2  cos2 .
(2)
2
2
28
2
E
qp
.
(3)
4 0 r
3. Анализ уравнений (2) и (3) показывает, что силовое воздействие
электрического поля на отрицательно заряженную   частицу определяется двумя параметрами: расстоянием r и величиной угла 2. Максимум напряжённости поля от каждого протона будет иметь место в точке
траектории 3, но векторы напряжённостей имеют противоположные
направления, т.е. суммарная напряжённость будет равна нулю.
4. Функция Е = f (cos2) будет иметь максимум при  = 450, в этом
случае cos2 = 1. Таким образом, максимальное силовое воздействие на
  частицу будет иметь место при расстоянии r
2
2
a
a a
r      
.
2
2 2
(4)
1.2.7. На расстоянии а = 8 см друг от друга в воде ( = 81) расположены два положительных заряда по q = 10 нКл каждый. Определить
напряжённость и потенциал поля в точке, находящейся на расстоянии
r = 5 см от зарядов.
Решение
1. Напряжённость электрического поля
и потенциал точечного заряда в точке С
определяются уравнениями
q
q
.
(1)
E
, 
2
4 0 r
4 0 r
А
+
q1
В
+
q2
D
r

r
С
2. Напряжённость поля в заданной
точке С от двух зарядов равна геометриЕ
Е
ческой сумме напряжённостей

 
EC  E  E ,
(2)
ЕС
модуль которой находится по теореме
косинусов, т.к. результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах
E C  E  E  2E cos   E 2 1  cos   ,
2
2
2
(3)

.
(4)
2
3. Величину cos 2 определим из прямоугольного треугольника
E C  2E cos
САD: CD  25 16  3 см
29
 CD 3

  0,6 .
2
r
5
4. Объединим уравнения (1), (3) и (5)
(5)
cos
8
2 10  0,6
В
.
(6)
м
12,56  9 10  81  25 10
5. Потенциал электрического поля в точке С определится в виде алгебраической суммы
EC 
12
4
 524
8
C  1  2  21 
2q
2 10

 43 B .
4 0 r 12,56  9 10 12  81  5 10  2
(7)
1.2.8. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а =
0,2 м помещены положительные одинаковые заряды по q = 1 нКл каждый. Заряды размещены в воздухе. В середине одной из сторон находится третий заряд, на который действует сила F = 0,6 мкН. Определить величину этого заряда, напряжённость поля и потенциал в этой
точке.
В + q2
а
Решение
1. Определим расстояние r от заряда
q2 до точки расположения неизвестного
заряда qx, воспользовавшись теоремой
Пифагора
а
r
2
a
a 3

 0,173 м . (1)
D qx
4
2
2. Заряды q1 и q3 в точке D будут
Е2
создавать равные по модулю и противоположные по направлению напряжённости


E1  E 3  0 .
(2)
3. Напряжённость результирующего поля, таким образом, будет
равна напряжённости поля, создаваемого зарядом q2
q
Е1 3
+
С
q1 Е
3
+A
r a 
2
9
В
 295 .
2
12
м
4 0 r
12,56  9 10 1 0,03
4. Определим долее величину заряда, находящегося в точке D
E2 
q

10
(3)
7
F 6 10

 2 нКл .
E2
295
5. Определим потенциал электрического поля в заданной точке
D  1  2  3 ,
F  qxE2 ,  qx 
30
(4)
(5)
причём
4q
1  3 
2 10

9
 90 В .
2
12
4 0 a
12,56  9 10 1 0,2
6. Определим потенциал, создаваемый зарядом q2
(6)
9
q
10

 51 В .
4 0 r 12,56  9 10 12 1 0,173
7. Совместим уравнения (7), (6) и (5)
D  2  90  51  231 В .
3 
(7)
(8)
1.2.9. Два одинаковых положительных заряда расположены в воздухе на расстоянии а = 0,1 м. Напряжённость электрического поля в
точке, удалённой на расстояния r1 = 6 cм и r2 = 8 см от зарядов равна
Е = 10 кВ/м. Найти потенциал поля в заданной точке и величину зарядов.
Решение
1. Напряжённость электрического
поля в точке С определится в виде геометрической суммы
E  E1  E 2 .
2
2
Е
Е2
С

(1)
2. Соотношение заданных расстояний показывает, что ABC  прямоугольный
r2
q1
+A
а
Е1
r1 q
2
+
В
(2)
a  r1  r2 ,
0
т.е.  = 90 , следовательно, cos = 0.
3. Определим напряжённость результирующего поля по уравнению
(1) с учётом особенности геометрии зарядов
2
2
2
q
E
2

q
2
4 r  4 r 
0
2 2
1
0
2 2
2

q
1 1
 ,
4 0  r14 r24
(3)
4. Выразим из уравнения (3) заряд q
4 0 r1 r2 E
2 2
q
r1  r2
4
4

12,56  9 10
12
4
4
1 36 10  64 10 10
1,3 10
5
 4 10
5
4
 3,6 нКл . (4)
5. Определим далее потенциал в точке С
q 1 1
    9 10 9  3,6 10 9  29,5  956 В .
  1   2 
4 0   r1 r2 
31
(5)
1.2.10. Электрон со скоростью v0 = 2106 м/с влетает в направлении
силовых линий однородного электрического поля напряжённостью Е =
2,4 В/м. В течение какого времени будет двигаться электрон до полной
остановки? Какое расстояние пройдёт частица?
Решение
me
-
v0
е
Е
Fk
1,6 10
1. Запишем параметры элементарной
частицы: масса электрона  me = 110  30
кг, заряд е = 1,610  19 Кл и определим
ускорение
F
eE
,
(1)
a k 
me me
19
 2,4
м
.
(2)
с
1 10
2. Определим далее время полёта электрона из кинематических соображений
a
 30
 4 10
11
v0  v v0
v
2 10

,   0 
 5 мкс .
11


a
4 10
3. Путь, пройденный электроном до полной остановки
6
a
a
4 10  25 10
6
6
 2 10  5 10 
2
2
2
s  v0 
11
(3)
12
 5м .
(4)
1.2.11. Из экспериментальной установки выбрасываются протоны,
летящие прямолинейно со скоростью v0 = 0,5Мм/с. Каковы должны
быть параметры однородного электрического поля, чтобы частицы
останавливались на расстоянии, не превышающем х = 0,5 м?
х
Е
v0
р
р
р
Fk
р
р
Решение
1. Чтобы затормозить движущиеся протоны
(mp  1,710 27 кг, qp = 1,610  19 Кл) необходимо приложить к ним тормозящую силу, обусловленную действием электрического поля.
2. Совмещая уравнения (1) и (3), получим
зависимость для времени движения протонов
до полной остановки
mp v0
.
(1)

qpE
2. Запишем кинематическое уравнение равнозамедленного движения
32
протона в направлении противоположном электрическому полю
v 
v 
a
(2)
 v0  0  0 .
2
2
2
3. Подставим в уравнение (2) значение  из уравнения (1)
v0mp v0
.
(3)
x
2q p E
4. Разрешим уравнение (3) относительно напряжённости электрического поля Е
2
m p v 0 1,7 10 27  25 10 10
В
E

 2656 .
(4)
19
2q p x
м
3,2 10  0,5
2
2
x  v0 
1.2.12. Два длинных цилиндрических проводника расположенных на
расстоянии  = 0,2 м в воздухе несут отрицательный равномерно распределённый электрический заряд с линейной плотностью  = 0,6
мкКл/м. С каким ускорением и, в каком направлении будет двигаться
электрон, помещённый в точку, равноудалённую от проводников на
расстояние r = 0,2 м.
Решение
1. Напряжённость поля, создаваемого
протяжённой заряженной проводящей
нитью определяется как
-
А
В
Е
7

-
6 10
В
E1  E 2  k 2  9 10
 135 . (1)
Е2
Е1 
0,04
м
r
2. Напряжённость результирующего
С
поля определится в виде геометрической
суммы напряжённостей от двух идентичных нитей, с учётом того, что
угол между векторами напряжённостей  = 600
9
E  2E1  E1 cos 60  E1 2,5  213 В м .
2
2
0
 30
(2)
 19
3. Электрон (me = 110
кг, е = 1,610
Кл), помещённый в точку
С будет двигаться в направлении противоположном направлению вектора напряжённости Е, потому что заряд электрона отрицательный.
4. Определим ускорение электрона, воспользовавшись уравнением
(1) задачи 1.2.10
19
a
Fk
eE 1,6 10  213
м


 34 2 .
30
me me
110
с
33
(3)
1.2.13. Между параллельными металлическими пластинами находится трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью 
= 2,2. Пластины несут положительный электрический заряд с плотностью 1 = 3 мкКл/м2 и 2 = 2 мкКл/м. Определить напряжённость и
индукцию электрического поля в пространстве между пластинами и
вне его.


Решение
1. Напряжённость электрического поля, создаваемого пластиной с плотностью заряда  определяется уравнением
Е**

Е**

.
(1)
E
2

Е2 Е2
Е2
0
2. Напряжённость поля в диэлектрике между пластинами Е*
Е*
будет равна разности напряжённостей полей, создаваемых каждой из пластин
Е1
Е1
Е1
6
1
1   2   11012
 25 кВ / м .
2 0 
2  9 10  2,2
3. Напряжённость поля вне пластин определится в виде суммы
E*  E1  E 2 
(2)
6
1
(3)
1  2   5 1012  278 кВ .
2 0 
м
18 10 1
4. Электрическое смещение D связано с напряжённостью поля следующим соотношением
(4)
D   0 E ,
величина D, таким образом, в пространстве между пластинами и вне его
индукция будет равна
E**  E1  E 2 
D*   0 E*  9 10
12
D**   0 E**  9 10
 2,2  25 10  22,5 мкКл / м ,
12
3
2
1 2,8 10  2,52 мкКл / м .
5
2
(5)
(6)
1.2.14. Заряд Q = 1 мкКл распределён равномерно по тонкому проводящему кольцу радиуса R = 0,1 м. Определить напряжённость поля,
создаваемого заряженным кольцом в воздухе на его оси в точке, удалённой от центра кольца на расстояние х = 1 м .
Решение
1. Выделим на кольце бесконечно малый элемент длиной dl,
34
dl
несущий на себе заряд dQ, и
определим напряженность, соr
здаваемого им электрического
Q
поля в точке удалённой на расdEx

O
стояние х. Определим величину
элементарного заряда, считая, R
х
dEy
что весь заряд равномерно расdE
пределён по длине кольца
Q
(1)
dQ 
dl .
2R
2. Подставим значение элементарного заряда в уравнение напряжённости точечного заряда
Q  dl
,
(2)
dE  k
2
2R  r

3. Направление вектора dE совпадает с отрезком, соединяющим dl
и заданную точку . Этот вектор в данном случае целесообразно разложить на очевидные составляющие по стандартным осям координат, т.е.



на dE x и dE y . Существенно отметить, что представление dE в виде
двух составляющих позволит существенно упростить рассмотрение.
Дело в том, что при любом способе разбиения кольца на элементарные
длины, всегда будут встречаться два диаметрально противоположных
элемента, у которых векторы напряжённостей будут равны по модулю и
противоположны по направлению, их геометрическая сумма, в рассматриваемой точке будет равна нулю. Для всего кольца .
in

(3)
 dE y i  0 .
i 1
4. Напряжённость поля кольца на его оси, таким образом, определится следующим уравнением
E   dE  cos  .
(4)
5. Поскольку вопрос о направленности искомого вектора решён, то
уместно векторную символику опустить. Подставим в уравнение (4)

значение dE из уравнения (2)
kQ dl
E
 cos  .
(5)
2R  r 2
6. Подынтегральное выражение (5) содержит две переменных величины, однако, взять этот интеграл не представляется возможным. Но
можно избавиться от одной переменной, используя следующие замены
x
2
2
(6)
cos   ;
r  x R ,
r
35
E
kQ
2R
2 R

0
dl  x
x R
2
2

2
x
kQx
2
R

2 3
.
(7)
7. Если x  R, как в данном случае, то уравнение (7) упрощается
E
kQx

kQ
9 10 110
1
9

6
(8)
 9 кВ / м
3
6
x
x
8. Полученное уравнение (8) совпадает с уравнением напряжённости
точечного заряда . Дело в том, что предположение x  R, превращает
кольцо в точку.
1.2.15. Электрический заряд Q=50 нКл равномерно распределён по
тонкому стержню длиной а = 0,15 м. На продолжении оси стержня на
расстоянии r = 0,1 м от ближайшего его конца находится точечный
заряд q = 100 нКл. С какой силой электрическое поле стержня действует на заряд?
Решение
1. Прежде чем приступить
к решению,
r
R+a x
следует заметить, что в
o
r
a
рассматриваемом случае не представляется
возможным напрямую
использовать закон Кулона, потому, что заряженное тело не является
точечным и вопрос о расстоянии в рамках этого закона не решается
корректно. Требуются некоторые, специальные подходы. Определим
координаты концов стержня, совместив начало системы отсчёта с положением заряда q, т.е. r; r  a .
2. Рассмотрим элементарный участок стержня протяжённостью dx,
заряд, которого можно представить как
Q
(1)
dQ  dx ,
a
где, величина Q/а =   линейная плотность заряда.
3. Для выделенного точечного заряда, уже можно применять закон
Кулона
dQ  q
q  Q  dx
.
(2)
dF  k 2  k
2
x
ax
4. Применим далее принцип суперпозиции, т.е. определим множество значений элементарной силы и сложим их, т.е. проинтегрируем
уравнение для элементарной силы
q
dx
Q
36
r a
qQ dx
qQ 1
1 
qQ
.
k

k

2


a r x
a r r  a 
rr  a 
Подстановка численных значений дает:
F   dF  k
9
(3)
9
50  10  100  10
3
 1,8  10 H .
(4)
0,10,1  0,15 
5. Из (4) можно получить путём его деления на q уравнение для
напряжённости электрического поля на оси заряженного стержня
Q
Ek
````
.
`````````````
(5)
r r  a 
F  9  10 
9
Очевидно, что при r >> a уравнение (5) превращается в обычное уравнение закона Кулона. Используя изложенный выше метод, можно определять напряжённости поля не только на оси цилиндра, но и в любой точке окружающего пространства.
1.2.16. Внутри замкнутой сферической полости находятся три точечных электрических заряда q1 = +2 нКл, q2 =  3 нКл, q3 = + 5 нКл.
Определить поток вектора напряжённости электрического поля через
замкнутую сферическую поверхность для двух случаев: когда полость
заполнена воздухом ( = 1) и водой ( = 81).
Решение
1. Поток напряжённости в общем
случае определяется уравнением
 E   E n ds ,
(1)
s
ФЕ
q
q
1
2
 
где E n  E cosE; n   проекция вектора
q3
напряжённости на внешнюю нормаль. В
 
 
данном случае E; n   0 , cosE; n  = 1,
поэтому Е = Еn.
2. Каждый заряд на поверхности сферы создаёт поле постоянной напряжённости
q
.
(2)
E
2
4 0 r
3. Перепишем уравнение (1) для точечного заряда с учётом сферической симметрии задачи и постоянства Е
37