9.Электростатика

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по теме «Электростатика»
для абитуриентов физического
факультета
1. ВОПРОСЫ ПРОГРАММЫ
Для подготовки абитуриентов к вступительным экзаменам по физике
программа-минимум для поступающих содержит следующие вопросы по
разделу «Электростатика»:
1. Взаимодействие заряженных тел. Закон Кулона. Закон сохранения
электрического заряда.
2. Электрическое поле. Напряжённость электрического поля.
Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции полей.
Проводники в электрическом поле.
3. Диэлектрики в электрическом поле. Диэлектрическая проницаемость.
4. Работа электростатического поля при перемещении заряда Разность
потенциалов.
5. Электроёмкость. Конденсаторы.
6. Энергия электрического поля.
2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, ФОРМУЛЫ, РЕКОМЕНДАЦИИ
В основном , все перечисленные вопросы программы – минимум освещены
достаточно подробно в школьном учебнике физики для 9 класса.
Типичные ошибки, которые допускают абитуриенты при решении задач по
указанному разделу, связаны с тем, что не учитывается векторный характер сил
и напряжённости электрического поля.
Прежде чем решать любую задачу по физике, необходимо сделать рисунок и
расставить все силы, действующие на рассматриваемое тело. Далее, если тело
движется с ускорением, необходимо записать 2-ой закон Ньютона в скалярной
форме для двух взаимно перпендикулярных направлений , выбираемых в
зависимости от конкретных условий задачи. Ели же тело покоится или движется
с постоянной скоростью, записывается условие равновесия тела опять по двум
взаимно-перпендикулярным направлениям.
Ниже приводятся основные законы и формулы, которые необходимо знать и
уметь применять при решении задач по электростатике.
Закон Кулона в скалярной форме для случая, если взаимодействующие
точечные заряды находятся в вакууме
Fk
q1 q 2
r2
,
(1)
где q1 и q 2
- модули взаимодействующих зарядов, r – расстояние между
Н*м
- коэффициент пропорциональности в системе СИ.
Кл
Так как сила – вектор, характеризующийся не только величиной, но и
направлением, то закон Кулона в векторной форме можно записать так
ними, k  9 10 9

q q 
F12  k 1 3 2 r12
r12
Где

r12
,
(2)

F12 - сила, действующая на второй заряд со стороны первого заряда,
- радиус- вектор, проведенный от первого заряда ко второму.
Указанные выше вектора приведены на рисунке для случая
одноимённых зарядов
Напряжённость электрического поля

 F
Е
q
(3)


Вектор E направлен так же, как и сила F .
Напряжённость, создаваемая точечным зарядом в вакууме (или шаром на
расстоянии r  R
- радиус шара), в скалярной форме
Ek
В векторной форме
q
r2

q 
Ek 3 r
r
(4)
(5)
На рисунке представлен вектор напряжённости электрического поля Е ,
создаваемого точечным зарядом + q в некоторой точке А на расстоянии г
от заряда
Напряжённость электрического поля нескольких неподвижных точечных
зарядов
q1 , q2 , ... равна векторной сумме напряжённостей полей,
которые создавал бы каждый из этих зарядов в отсутствие остальных, т.е.

q 
E   2i ri
i ri
(6)
Где ri – радиус-вектор, проведённый из заряда q i в точку наблюдения. Это
принцип суперпозиции электростатических полей. Его применение
проиллюстрировано на примере решения задачи № 3.
Напряжённость, создаваемая в вакууме бесконечной плоскостью с
поверхностной плотностью заряда   q
s
E  k 2 
(7)
Напряжённость поля между пластинами плоского конденсатора (без
диэлектрика) в 2 раза больше, чем напряжённость, создаваемая одной
плоскостью, т.к. поля, создаваемые каждой из пластин, одинаковы по величине
и совпадают по направлению, что видно из рисунка
E  k 4 
(8)
Напряжённость поля вне пластин конденсатора равна нулю, так как поля,
создаваемые каждой из пластин, направлены навстречу друг другу и,
следовательно, компенсируются.
Напряжённость электрического поля в диэлектрической среде

 E0
E

(9)
где E0 – напряжённость в вакууме, Е - диэлектрическая проницаемость
среды.
Работа по перемещению заряда q в электрическом поле, с
напряжённостью Е на расстояние d1  d 2
A  qE(d 1 - d 2 )
(10)
Потенциал электрического поля

Wp
q

A
q
(11)
Где Wp - потенциальная энергия заряда относительно бесконечности, равная
работе А по перемещению заряда из бесконечности в данную точку поля.
Потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от него в среде с
диэлектрической проницаемостью 
 k
q
r
(12)
Эту формулу можно получить следующим образом.
Из (11)   A , но A   F dr , где работа записана в интегральной
q1
форме, так как сила F  q1 E и напряжённость E  kq 2 есть функции
r
расстояния r. Поэтому

qq
qq
A   k 12 dr  - k 1
r
r
r

k
r
qq 1
,
r
 k
q
.
r
Такой же потенциал создает заряженная сфера, если расстояние r от её
центра больше радиуса сферы. Это следует из того, что поверхностно
заряженная и объёмно заряженная сферы, имеющие сферически симметричное
распределение заряда, создают такую же напряжённость, как точечный заряд.
Потенциал поля системы точечных зарядов в однородном диэлектрике на
основании принципа суперпозиции равен алгебраической сумме потенциалов:

qi
k
r

i
Где
i - номер заряда,
,
(13)
i
ri
- его расстояние до точки наблюдения.
Потенциал – величина скалярная, поэтому сложение потенциалов
выполняется более просто.
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов
Wp  k
q 1q 2
r
,
(14)
Связь между напряжённостью и разностью потенциалов
E-

U

,
d d
(15)
Электроёмкость проводника с зарядом q
C
q
.
U
(16)
Электроёмкость плоского конденсатора
C
 0 S
d
,
(17)
Где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,
диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.
Энергия заряженного конденсатора

-
qU CU 2 q 2
Wp 


.
2
2
2C
(18)
Электроёмкость системы параллельно соединённых конденсаторов,
показанных на рисунке, равна
C  C1  C 2  C 3 .
(19)
Электроёмкость системы последовательно соединённых конденсаторов равна
1
1
1
1



.
C C1 C 2 C 3
(20)
В школьном учебнике отмечается, что все точки проводника в
электрическом поле имеют один и тот же потенциал, а напряжённость поля
внутри проводника равна нулю. Однако абитуриенты часто забывают об этом.
Это особенно надо помнить при графическом изображении линий
напряжённости и линий равного потенциала (эквипотенциальных линий ).
Следует заметить, что в большинстве задач нет необходимости
производить промежуточные вычисления. Лучше задачу решить в общем виде,
а потом вычислить лишь ту величину, которая требуется по условию задачи,
обращая при этом внимание на размерности, чтобы все её величины были в
одной системе единиц, желательно в системе СИ.
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 3.1. В вершинах квадрата со стороной a находятся
одинаковые одноимённые заряды q . Какой заряд q 0 противоположного
знака необходимо поместить в центре квадрата, чтобы действующая на любой
из зарядов сила была равна нулю?
Р е ш е н и е.
Сначала сделаем и расставим силы, действующие, к примеру,
на заряд, расположенный в правой нижней вершине квадрата. Точно такие же
силы действуют на другие заряды, расположенные в вершине квадрата. Со
стороны зарядов q, расположенных в других трех вершинах, на выделенный
  
F
заряд действуют силы отталкивания 1 , F2 , F3 , со стороны заряда q 0

F0 . Направление этих сил указано на рисунке.
действует сила притяжения
Величины этих сил по закону Кулона можно записать следующим образом,
учитывая, что расстояние до заряда q 0 равно a


F1  F2 
q
40 a 2
;

F3 
q
40 2a 2
;
2
:
2

2q 0
F0 
40 a 2
(21)
По условию задачи, векторная сумма всех этих сил должна быть равна
нулю или
   
F0  F1  F2  F3 .
(22)


В скалярной форме сумма взаимно перпендикулярных сил F1 и F2 будет
равна
F12  F22  F1 2 ,



F1  F2
и направлена вдоль силы F3 .
Тогда уравнение в скалярной форме будет иметь вид
(23)
F0  F1 2  F3
(24)
Подставим в (24) значения сил из (21)
2q 0
q 2
q


.
40 a 2 40 a 2 40 2a 2
(25)
Откуда
 2 1
q 0  q
  .
2
4

П р и м е р 3.2.
Два маленьких проводящих шарика подвешены
на длинных проводящих нитях к одному крючку. Шарики заряжены
одинаковыми зарядами и находятся на расстоянии a1 = 5 см друг от друга.
Один из шариков разрядили. Каким стало расстояние между шариками ?
Решение
Сделаем чертёж для двух случаев: а) до разряда, б)
после разряда. Расставим силы, действующие на один из шариков. На другой
действуют точно такие же силы
Из рисунков видно, что на каждый из шариков действуют три силы: сила
тяжести mg, кулоновская сила F1  F2 и сила натяжения нити T1  T2 .
После разряда шарики сойдутся, заряд, оставшийся на одном из шариков,
перераспределится между ними поровну, так как шарики одинаковые, и станет
равным q / 2. Теперь шарики разойдутся на расстояние a 2 , так как
изменится и кулоновская сила. Из рисунка a) видно, что tg угла отклонения
нити с одной стороны можно определить как
tg 1 
a1
2
,
l
(26)
с другой стороны из треугольника сил
tg  1 
F1
.
mg
(27)
Приравнивая (26) и (27) получим
a1 F1

.
2l mg
(28)
Подставим в (28) значение кулоновской силы
F1 
получим
q2
40 a12
,
a1
q2

2l 40 a12 mg
.
(29)
По аналогии для случая б) можно записать
tg  2 
Учитывая, что после разряда
a 2 F2

.
2l mg
(30)
q  q 2
и
q2 4
F2 
40 a 22
Перепишем уравнение (30)
a2
q2

2l 40 4a 22 mg
.
Теперь, разделив (29) на (31), получим
(31)
,
a1 4a 22
 2
a2
a1
,
a13  4a 32 ,
откуда
или
a2 
a1
3
4
.
П р и м е р 3 .3. Два положительных точечных заряда q 1 и
находятся на расстоянии d друг от друга. Найти напряжённость поля,
создаваемую этими зарядами в точке, находящейся на расстоянии
первого заряда и
r2
от второго заряда
r1
q2
от
( d  r1  r2 ).
РЕШЕНИЕ
Сделаем чертёж, учитывая, что в точке наблюдения А напряжённости,
создаваемые каждым из зарядов, направлены вдоль линии, соединяющей точку
А с каждым из зарядов, от зарядов, так как заряды положительны.
По формуле напряжённости точечного заряда (4) имеем
E1 
q1
40 r12
,
E2 
q2
40 r22
.
(32)
Результатирующую напряжённость можно найти по правилу сложения
векторов

E рез  E12  E 22  2E1 E 2 cos  ,
(33)


Где  - угол между векторами E 1 и E 2 , который, как видно из рисунка,
равен углу между сторонами треугольника r1 и r2 . Используя теорему
косинусов, можно записать
d 2  r12  r22 - 2r1r2 cos  ,
(34)
откуда
r12  r23  d 2
cos  
.
2r1r2
(35)
Подставляя в формулу (33) значения E1 и E2 из (32) и
можно найти искомое значение напряжённости в точке А
Eрез 
1
40
cos  из (35),
q 1 q 2 2q 1q 2 r12  r22  d 2

 2 3 
.
r12 r22
r1 r2
2r1r2
П р и м е р 3 . 4. Электрон влетает в горизонтальный конденсатор
параллельно его пластинам со скоростью V = 10 м/с. Напряжённость поля в
конденсаторе E  10 4 В/м, длина конденсатора l  5  10 -2 м. Найти величину и
направление скорости электрона перед вылетом его из конденсатора.
Р е ш е н и е.
Н а электрон будет действовать электрическое поле конденсатора с силой
F = еЕ,
(36)
направленной перпендикулярно к пластинам, что приведёт к движению его
по пораболе (это видно на рисунке). Такое движение можно рассматривать как
два независимых движения:
1) по вертикали с ускорением
a
F eE

,
m m
2) по горизонтали с постоянной скоростью
(37)
Vг  V0 .
Время движения электрона в конденсаторе
t
l
.
V0
(38)
Вертикальная составляющая скорости электрона на выходе из конденсатора
будет
Vв  at .
(39)
После подстановки значения а из (37) и t из (38) получим
Vв 
eEl
.
mV0
(40)
Полная скорость на выходе
2
 eEl 
 , (41)
V  V  V  V  
 mV0 
2
г
2
в
2
0
А её угол с горизонталью будет
tg  
Vв
eEl

.
Vг mV02
(42)
Вычислим, взяв из таблиц е = 1,6  10-19 K, m= 9,1 10-31 кг,
2
 1.6  10 -19  10 4  5  10 -2 
  1.33  10 7 (м/с),
V  10  
- 31
7
9.1  10  10


14
1.6  10 -19  10 4  5  10 -2
tg  
 0.879,
9.1  10 -31  1014
  41.3  .
При решении подобных задач (на движение заряженной частицы в
поле конденсатора) необходимо рассматривать условие вылета частицы из
конденсатора в зависимости от его размеров l и d и величины разности
потенциалов на его обкладках.
Электрон вылетит из конденсатора, если половина расстояния между
пластинами (в случае, если частица влетела посредине конденсатора,
параллельно его пластинам) больше или равна пути, пройденному частицей за
время движения в конденсаторе , перпендикулярно его пластинам, т.е.
d
l eEl eEl 2
 tVв 


,
2
V0 mV0 mV02
d
l
V0
2eU
.
m
В противном случае электрон не вылетит из конденсатора.
П р и м е р 3.5. Металлический заряженный шар помещён в центре
толстого сферического слоя, изготовленного: а) из металла, б) из диэлектрика с
проницаемостью  = 2. Начертить графики зависимости напряжённости
поля и потенциала от расстояния до центра сферы.
Решение
Величина напряжённости поля в зазоре между шаром и слоем,
а также вне слоя изменяется пропорционально 1 r 2 (что видно из формулы
напряжённости для точечного заряда E  kq r 2 ), внутри металлического слоя
равна нулю, внутри слоя диэлектрика пропорциональна 1 r 2 .
Потенциал поля внутри металла постоянен и равен потенциалу на
поверхности шара   kq R 0 , внутри зазора и вне слоя изменяется
пропорционально 1/ r , внутри слоя диэлектрика ~ 1 r . Эти зависимости
изображены на рисунке
4 . ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ.
Для закрепления изложенного материала рекомендуется решить следующие
задачи из задачника Рымкевич А.П. , Рымкевич П.А. Сборник задач по
физике для 8 – 10 классов средней школы, 1983г.; №№ 682, 687, 690, 691, 692,
693, 694, 701, 702, 704, 705, 723, 727, 728, 734, 740, 766, 768, 769, 771.
5 . КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ .
1 . Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины,
опускают в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы
угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же?
Диэлектрическая проницаемость керосина   2 , плотность его   0.8 г см 3 .
2. Протон и  – частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в
плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение
протона полем конденсатора будет больше отклонения  – частицы?
3. Точечный заряд q 0 перемещается из точки А в точку В в поле
точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся на расстоянии
а друг от друга.
Зная расстояние В от точки А до заряда q 1 , определить работу по
перемещению заряда q 0 .
4. Три одинаковых заряда величиной q  10 -3 К каждый помещены в
вершинах равностороннего треугольника. Сила, действующая на каждый заряд,
F0 = 0, 01 Н. Определить длину стороны треугольника.
5. Электрон движется по направлению силовых линий однородного
электрического поля, напряжённость которого Е = 120 В/м.
Какое расстояние пролетит электрон до полной потери скорости, если его
начальная скорость V0 = 1000км/с ? Известно, что e m  1.758  1011 К/ кг.
В вершинах квадрата расположены точечные заряды q 1  10 -9 K,
q 2  2 10 9 K, q 3  3  10 -9 K, q 4  -4  10 -9 K.
6.
Определить потенциал и напряжённость электрического поля в центре квадрата
(точка А). Диагональ квадрата 2а = 20 см.
7.
Какую работу надо совершить, чтобы перенести точечный заряд
-9
q  2  10 К из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии l = 10 см от
поверхности металлического шарика, потенциал которого равен  0 = 200 В, а
радиус R = 2 см. Шарик находится в воздухе.
8.
Заряженный до потенциала  = 1000 В шар радиуса R = 20 см
соединяется с незаряженным шаром длинным проводником. После этого
соединения потенциал шаров оказался  1 = 300 В. Каков радиус второго шара?
9.
Маленькие одинаковые капли воды заряжены одноимённо до
потенциала  0 каждая. Определить потенциал большой капли, получающейся
от слияния n маленьких капель.
10.
Два последовательно соединённых конденсатора ёмкостями
C1 = 2 мкф и C 2 = 4 мкф присоединены к источнику постоянного напряжения
U = 120 В. Определить напряжение на каждом конденсаторе.
11.
Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено двумя слоями диэлектриков: стекла толщиной d 1 = 1 см и парафина
толщиной d 2 = 2 см. Разность потенциалов между обкладками U = 3000 В.
Определить напряжённость поля и падение потенциала в каждом из слоев.
Диэлектрическая проницаемость стекла  1 = 7, парафина  2 = 2.
12.
Две удалённые изолированные сферы радиусов R 1 и R 2
были заряжены до потенциалов  1 и  2 соответственно. Затем их соединили
тонким проводником. Чему равно изменение энергии системы?
13.
Два параллельных тонких кольца радиуса r имеют общую
ось. Расстояние между их центрами d. Найти работу А , совершаемую
электрическими силами при перемещении заряда Q из центра первого кольца
в центр второго, если по первому кольцу равномерно распределён заряд q 1 , а
по второму кольцу равномерно распределён заряд q 2 .
14.
Металлический шарик 1 радиуса r1 = 1 см прикреплён с
помощью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после весы
уравновешены гирями. Под шариком 1 помещен заряженный шарик 2 радиуса
r2 = 2 см на расстоянии a = 20 см.
Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой, которую потом убирают.
После этого оказывается, что для восстановления равновесия надо снять с
чашки весов равновес массой m = 4мг. Найти, до какого потенциала
заряжен шарик 2 до замыкания его проволокой с шариком 1.

был
15.
Найти разность потенциалов между точками А и В схемы,
изображённой на рисунке.
Ёмкости конденсаторов C1 = 0,5 мкф и C 2 = 1 мкф, эдс источников  1 = 2В и
 2 = 3В.
16.
Внутри тонкостенной металлической сферы радиусом R = 20 см
концентрически помещён металлический шар радиусом r = 10 см. Шар через
отверстие в сфере соединён с Землёй с помощью очень тонкого длинного
проводника. На внешнюю сферу помещают заряд Q = 10-8 К. Определить
потенциал

этой сферы.
17. Заряд Q равномерно распределён по объёму шара радиусом R из
непроводящего материала. Найти напряжённость поля на расстоянии r от
центра и построить график зависимости Е от r.
18. На рисунке (а, б, в ) показаны картины силовых линий трёх
электрических полей.
Как будет вести себя незаряженный шарик, помещённый в каждое из них.
19. Изобразить картину силовых и эквипотенциальных линий поля для
случаев: а) когда между пластинами плоского конденсатора помещён
незаряженный металлический шарик, б) к нижней пластинке присоединена
металлическая пластинка перпендикулярно к ней.
6. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАЧАМ И ВОПРОСАМ
1.  
K
 1.6 г см 3 .
 1
2. в 2 раза.
3. A 
q 0 q 2  q 1   1
1
  
40
a2  b2
b
4. a  q
F0  1.3 см
V02 m
 0.0237 м,
5. S 
2eE

6.
E
7. A 
1
40 a
k
a
t
V0 m
 4.7 10 8 c
bE
q 1  q 2  q 3  q 4   186 B
q 3  q 1 2  q 4  q 2 2
 15 В/м
q 0 R
 2.2  10 7 Дж.
RL
8.
r  R 1  1  46.6 см
9.
  n 2 3 0
10. U 1  U
11.

.


C2
 80 B
C1  C 2
U2  U
C1
 40 B
C1  C 2
E1  3.75  10 4 В/м
U1  375 B
E2  13.125  10 4 В/м
U 2  2625 B
R 1 R 2  1   2 
12. W 
2R 1  R 2 
2
1
13. A  Qq 1  q 2  
r
14.


2
2 
r a 
1
r r
  a mg r1 r  1 2  1.26 104 B
2
r1r2
15. U 
C1 1  C 2 2
 1.3 B
C1  C 2
16.

QR - r 
 225 B
40 R 2
17.
E
kQr
R3
18. а) двигаться вправо; б) двигаться влево; в) оставаться в покое.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буховцев Б.А., Климонтович Ю.Л., Мякишев Г.Я. Физика: Учебник
для 9 класса средней школы. М.: Просвещение, 1982.- 272 с.
2. Гурский И.П. Элементарная физика. С примерами решения задач. М.:
Наука, 1973.- 368с.
3. Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Шефер Н.И. Факультативный курс
физики: учебное пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1987 –
208с.
4. Рымкевич П.П., Рымкевич П.А. Сборник задач по физике для 8-10
классов средне школы. – М.: Просвещение, 1983.-192с.
5. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике: Учебное
пособие для поступающих во втузы. –М.: Высшая школа, 1973.-352с.