Лекция 16. Напряжённость электрического поля в вакууме

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Лекция № 16
НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ
1.
2.
3.
4.
План
Понятие электростатического поля. Закон Кулона. Напряженность
электрического поля. Концепция близко- и дальнодействия. Принцип суперпозиции электрических полей. Силовые линии электростатического поля.
Поток напряженности. Теорема Гаусса для электростатического поля
в вакууме.
Применение теоремы Гаусса в интегральной форме для расчета полей.
Теорема Гаусса в дифференциальной форме.
1. Понятие электростатического поля.
Все тела в природе способны электризоваться, т.е. приобретать заряд.
Наличие электрического заряда проявляется в том, что заряженные тела
взаимодействуют друг с другом. Существует два типа электрических зарядов, условно названных отрицательными и положительными. Носителями
отрицательного заряда являются в основном электроны; ядра атомов заряжены положительно. Полагают, что существование этих двух типов заряда
является проявлением симметрии природы (как, например, левое и правое). Другим фундаментальным свойством заряда является его дискретность, его кратность, хоть и малой, но вполне определенной величине. В
электрически изолированной системе общий заряд системы не изменяется
(закон сохранения заряда). Поле, создаваемое электрическими зарядами и
обнаруживающее себя воздействием на другие заряды называется электрическим полем. Если заряды неподвижны и поле не изменяется, то поле
называется электростатическим.
Взаимодействие зарядов описывается законом Кулона. Если расстояние между заряженными телами много больше размеров тел, заряды можно считать точечными.
Закон Кулона. Сила взаимодействия точечных неподвижных зарядов
в вакууме прямо пропорциональна величине зарядов и обратно пропорци4
ональна квадрату расстояния между ними. Для одноименных зарядов (рис.
16.1)

qq 
F12  k 1 2 e12
r2
где k 
1
40
- коэффициент пропор-
циональности,  0 - электрическая постоянная (  0  8 ,85  1012 Ф/м);
Рис. 16.1
q1 , q2 - величины электрических зарядов; r – расстояние между зарядами;


e12 – единичный вектор; F12 – сила, действующая на заряд q1 со стороны

заряда q2 . Знак «-» обусловлен тем, что сила F12 направлена противопо
ложно вектору e12 .
Пример использования закона Кулона.
Задача. Найти силу взаимодействия заряженного стержня с зарядом
Q и длиной l с точечным зарядом q ,
находящимся на расстоянии a от края
стержня на одной прямой с ним.
Дано: q , Q , l , a .
Найти: F  ?
Рис. 16.2
Решение. Разобьем стержень (рис. 16.2) на дифференциально малые
элементы длиной dx с зарядом dQ , которые мы можем считать точечными. Сила взаимодействия заряда dQ с q по закону Кулона dF 
Представим dQ как заряд, приходящийся на единицу длины
ный на длину элемента dx , т.е. dQ 
по
длине
dQ  q
40 x 2
.
Q
, умноженl
Qq dx
Q
dx , тогда dF 
. Интегрируя
l
l  4 0 x 2
стержня,
получим
Qq  1  a l
Qq
F 
dx 

.
 
2
l  40  x  a
40 a( a  l )
a l  4 0 x
a l
Qq
5
Заметим, что при a  l F 
Qq
40 a 2
, т.е. стержень уже можно считать
точечным зарядом.
Напряженность электрического поля – это его силовая характеристика, векторная величина, определяемая отношением силы, действующей
на заряд в данной точке поля, к величине заряда.

 F
E
q
Размерность E  

Н В
 .
Кл м
Концепция дальнодействия заключается в том, что при изменении
положения одного заряда относительно другого заряда сила взаимодействия изменяется мгновенно.
Концепция близкодействия. При изменении положения одного заряда относительно другого сила взаимодействия изменяется с конечной скоростью (в вакууме – со скоростью света). Взаимодействие осуществляется
при помощи посредника – электрического поля, создаваемого зарядами.
Это концепция современной физики. Она пришла на смену концепции
дальнодействия.
Принцип суперпозиции электрических полей. Как следует из опыта,
сила, действующая на некоторый заряд со стороны системы зарядов, равна
векторной сумме сил, с которыми каждый из зарядов системы действует на




n 
данный заряд F  F1  F2  ...  Fn   Fi . Поделив последнее выражение на
i 1
n 


 
 Fi
F
F F F
величину заряда, получим:  1  2  ...  n  i 1 .
q
q
q
q
q
Из определения напряженности следует
n 
 


E  E1  E2  ...  En   Ei
i 1
Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность поля,
создаваемого системой зарядов в некоторой точке, равна векторной сумме
напряженностей, создаваемых в отдельности каждым зарядом системы в
данной точке.
6
Напряженность электрического поля, создаваемого точечным неподвижным зарядом в некоторой точке на расстоянии r от него, можно получить с помощью закона Кулона:
Eточ 
q
4 0 r
Силовые линии. Для наглядности электрические поля изображают с
помощью силовых линий, т.е. воображаемых линий, в каждой точке кото-

рых напряженность E направлена по касательной. На рисунке 16.3 изображены картины силовых линий для некоторых случаев:
а)
б)
в)
Рис. 16.3
а) и б) – одиночные заряды разных знаков,
в) система двух разноименных зарядов,
г) система двух одноименных зарядов.
г)
2. Поток напряженности электрического поля. Потоком напряженности d электрического поля
через некоторую площадку ds


(рис.16.4) называется скалярное произведение вектора E на вектор ds
 
d  E  ds


Вектор ds по модулю равен ds ( ds  ds ),

Рис. 16.4
направлен по нормали n к площадке ds и называется вектором элементарной площадки
 
( ds  n  ds ).
По правилу скалярного произведения
d  E ds cos  . Полный поток через произвольную поверхность конечных размеров s находится интегрированием по поверхности:
 
   Eds
s
7
Теорема Гаусса (Карл Гаусс – великий немецкий математик, 1777 –
1855 гг.). Постановка задачи: имеется система точечных зарядов, которые
заключены в замкнутую поверхность произвольной формы s . Требуется
найти поток напряженности через эту поверхность.
Сначала рассмотрим случай, когда
внутри поверхности находится один заряд
(рис.16.5). Найдем элементарный поток
 
d  E ds  E ds cos  . Напряженность поля
точечного заряда в некоторой точке A на
поверхности s E 
q
40 r
2
.
ds

s
A
q
r
Из рисунка видно, что ds cos   ds ,
где ds - элементарная площадка, расположенная перпендикулярно радиус-вектору,
проведенному из точки расположения заряда q в точку A .
Тогда элементарный поток напряженности d 
Отношение
ds
r
2

ds
Рис. 16.5
q ds
4 0 r 2
.
 d - элементарный телесный (пространственный)
угол.
Найдем полный поток напряженности через поверхность s , когда
внутри
нее
один
точечный
заряд:
 
   d   Eds 
s
s
4

0
q
40
d 
q
40
4 
q
0
. Обобщим этот результат на
случай произвольного числа зарядов внутри поверхности (рис.16.6).


Воспользуемся принципом суперпозиции E   Ei , тогда, используя
то, что интеграл суммы равен сумме интегралов, получим
8

E
   Eds    Ei ds    Ei ds   i .
0
s
s
s
 
 
 
q
Таким образом,
 
E
 ds 
s
 qi
0
Рис. 16.6
Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности электрического поля
через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную.
«Алгебраическая сумма» означает, что каждый заряд берется со своим
знаком («+» или «-»).
3. Применение теоремы Гаусса.
а) Поле бесконечной заряженной плоскости (рис. 16.7)
Введем поверхностную плотность заряда  (   
Кл
м2
). Выбира-
ем вспомогательную гауссову поверхность s , в данном случае в виде цилиндра, основания которого
параллельны плоскости, а образующие перпендикулярны ей. Записываем
теорему
Гаусса
Рис. 16.7
   qi
.
E
 ds 
s
0
Раскладываем интеграл по поверхности на 3 интеграла (по левому ос 
нованию, правому основанию и боковой поверхности):  Eds   Eds cos  .
лев
лев


Угол  между E и ds для левого основания равен нулю, значит cos  1 ,
т.е.  Eds  E  ds  E  s .
лев
лев
Аналогичный результат мы получим и для правого основания. Поток
напряженности через боковую поверхность равен нулю (угол
9


2
, cos  0 ; силовые линии параллельны боковой поверхности, ее не
пересекают).
Заряд, вырезаемый гауссовой цилиндрической поверхностью на заряженной плоскости, равен   s . Тогда, подставляя полученное выражение
s
в теорему Гаусса, получим 2 Es 
, откуда напряженность поля заря0
женной плоскости равна

E
2 0
б) Поле плоского конденсатора.
Имеется две бесконечные заряженные плоскости, заряженные разноименно
с поверхностной плотностью заряда
 (рис. 16.8). Воспользуемся принципом
суперпозиции. Напряженность поля в об




ласти I: E I  E1  E2 , где E1 и E 2 напряженности полей, создаваемых пластинами 1 и 2 соответственно. В проекции
на ось X


Рис. 16.8
E I   E1  E2  

0.
2 0 2 0





В области II E II  E1  E2 
.
2 0 2 0  0



0.
В области III E III  E1  E2 
2 0 2 0
Таким образом, поле бесконечного плоского конденсатора сосредоточено внутри, между его пластинами, и равно

Eпл.конд. 
0
(Примечание: конденсатор можно считать бесконечным, если размеры
пластин примерно на порядок больше расстояния между ними.)
в) Поле объемно-заряженного шара.
Пусть имеется равномерное скопление зарядов в виде шара (рис. 16.9)
радиусом R с объемной плотностью  (   
10
Кл
м3
). Поле шара обладает
центральной симметрией. Записываем теорему Гаусса  Eds   i . Прове0
s
 
q
дем внутри шара вспомогательную (гауссову) поверхность в форме сферы
 
радиусом r . Дальнейшие преобразования:  Eds   Eds cos    Eds .
s
s
s
Напряженность по величине на одном и том же расстоянии r от центра
шара одинакова, поэтому, вынося E за знак интеграла, получим:
 Eds  E  ds  E  4r
s
2
, где 4r 2 - площадь гауссовой сферы.
s
4
3
Заряд, охватываемый гауссовой поверхностью, равен   r 3 , где
4 3
r - объем шара.
3
В итоге, подставляя в теорему
Гаусса, получаем E  4r 
2
  43 r 3
0
и поле внутри заряженной сферы
E( r ) 
,
r
3 0
Рис. 16.9
Проведя аналогичные действия
вне заряженной сферы, нетрудно
получить
E( r ) 
 R3
3 0 r 2
График зависимости
представлен на рис. 16.10.
E( r )
Рис. 16.10
4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме.
Введем понятие объемной плотности заряда  
dq
аналогично плотdV
ности массы. Чтобы найти суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности s , нужно вычислить интеграл от  по объему, ограни11
n
ченному поверхностью, Q   qi    dV , т.е. можно записать теорему
i 1
V
Гаусса
  1
E
 ds 
s
 0 V
 dV .
Воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса (Михаил Васильевич Остроградский – крупнейший русский математик, академик, 1801 –
1861 гг.) (без вывода):
 

E
d
s

div
E
dV


s
Тогда
1
V

  dV   divE dV (*).
0 V
V

По определению дивергенции divE 
E x E y E z
. Из выражения


x
y
z
(*) следует теорема Гаусса в дифференциальной форме
 
divE 
0
Для уяснения смысла дивергенции проведем параллель с текущей

жидкостью. Известно, что div – удельная мощность источников жидкости

в данной точке ( – вектор скорости). По аналогии говорят, что заряды являются источниками электрического поля.
Вопросы для самоконтроля.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Сформулируйте закон Кулона.
Что такое напряженность электрического поля?
В чем заключается принцип суперпозиции электрических полей?
Что такое силовые линии? Для чего они используются?
Дайте определение потока напряженности электрического поля через элементарную площадку. Как определяется полный поток
напряженности через произвольную поверхность?
Сформулируйте теорему Гаусса и проделайте ее вывод.
Решите самостоятельно задачи на применение теоремы Гаусса.
12