6 классов

5 класс
1. Существуют ли такие два последовательных натуральных числа, что сумма цифр каждого из них делится на 4?
Существуют. Например, 39 и 40.
2. Дядька Черномор нарисовал на песке 17 русалок. 33 богатыря подошли к нему, и каждый
из них или стёр одну русалку, или дорисовал трех новых. Могло ли в конце остаться 37 русалок?
Не могло. Они нечетное число раз изменяли число русалок на нечетное число, значит, в конце должно получиться нечетное + нечетное = четное число.
3. Из шести внешне неотличимых монет две фальшивые (фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). В нашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Как за четыре взвешивания найти обе фальшивых монеты?
Взять одну из них и взвесить с остальными (взвешиваний хватит на сравнения с четырьмя
монетами, одна во взвешиваниях не сможет участвовать). По количеству равенств и неравенств при взвешиваниях можно понять, какой является взятая монета, а значит, каковы те, с
которыми её взвесили, и какова оставшаяся монета.
4. Разрежьте по клеточкам на 4 части фигуру, изображенную на рисунке, и сложите из них
из них квадрат.
5. На собрании рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут) в
компании у камина каждый заявил остальным: «Среди вас — два рыцаря». Сколько рыцарей
могло быть в этой компании?
Предположим, что был хотя бы один рыцарь. Тогда, кроме него, должно быть еще ровно два
рыцаря. Всего будет три рыцаря. Ясно, что компания, в которой ровно 3 рыцаря и любое количество лжецов удовлетворяет условию.
Пусть не было рыцарей. Нетрудно видеть, что компания из одних лжецов также удовлетворяет условию.
Ответ: или три, или ни одного.
6 класс
1. На доске написано 10 единиц и 10 двоек. Двое играют по следующим правилам: за ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если
разными — единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра — единица, то выиграл первый игрок, если двойка — то второй. Кто выиграет?
Будем следить за четностью суммы чисел, написанных на доске. Заметим, что при каждом
ходе она не изменяется, так как либо вычитается чётное число и прибавляется двойка, либо
вычитается нечётное число и прибавляется единица. Поскольку вначале сумма чисел была
чётной, то последняя цифра, оставшаяся на доске, чётна, то есть это двойка. Поэтому выигрывает второй игрок.
2. На собрании рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут) в
компании у камина каждый заявил остальным: «Среди вас – четыре рыцаря». Сколько рыцарей могло быть в этой компании?
Предположим, что был хотя бы один рыцарь. Тогда, кроме него, должно быть еще ровно четыре рыцаря. Всего будет пять рыцарей. Ясно, что компания, в которой ровно 5 рыцарей и
любое количество лжецов удовлетворяет условию.
Пусть не было рыцарей. Нетрудно видеть, что компания из одних лжецов также удовлетворяет условию.
Ответ: или пять, или ни одного.
3. Вершины многоугольника с тысячей углов занумерованы по порядку от 1 до 1000. Вася
отмечает каждую пятнадцатую вершину, начиная с первой (то есть вершины с номерами
1, 16, 31, 46 и т.д.). Так он делает до тех пор, пока не дойдёт до уже отмеченной вершины.
Сколько вершин останутся неотмеченными?
Будем выписывать номера отмеченных вершин. Первые несколько из них делятся на 15 с
остатком 1: это 1, 16, 31, ..., 991. Дальше будет 6 и другие номера, делящиеся на 15 с остатком 6: 21, 36, ..., 996. Дальше будет 11 и другие номера, делящиеся на 15 с остатком 11: 26,
41, ..., 986. А потом – снова 1, и больше никакие вершины отмечены не будут. На первом
круге отмечено 67 вершин, на втором тоже 67, на третьем 66 – всего ровно 200. Неотмеченных останется 800.
4. Можно ли разрезать квадрат на квадратики двух размеров так, чтобы маленьких было
столько же, сколько и больших?
Можно:
5. Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна — фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна — фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты.
Первым взвешиванием сравним веса первых двух монет. Вторым — веса третьей и четвертой.
Если в обоих взвешиваниях одна из чаш перевешивала, то за оставшееся взвешивание
можно установить фальшивые монеты. Действительно, тяжелая монета не может лежать на
легкой чашке, а легкая на тяжелой. Также тяжелая и легкая монеты не могли участвовать в
одном взвешивании. Значит, в одном взвешивании участвовали тяжелая и настоящая, а в
другом — настоящая и легкая. Т.е. оставшаяся монета настоящая. Остается сравнить ее с монетой с тяжелой чаши, например, в первом взвешивании.
Очевидно, в обоих взвешиваниях чаши не могли находиться в равновесии.
Если же в одном из взвешиваний чаши находились в равновесии, то на ней лежали две
настоящие монеты. Теперь взвесим настоящую и оставшуюся. Мы можем узнать тип этой
монеты. А далее узнаем тип монет на чашах, находившихся в одном из первых двух взвешиваний не в равновесии.