

1.3.17. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной а. Стержни заряжены с линейной плотностью  = 1,33 нКл/м. Найти потенциал
электрического поля в центре квадрата.
Решение
d А
1. Стержни несут одинаковый по знаку и модулю распределённый электрический заряд,
поэтому можно определить по 
rd
тенциал, создаваемый в центре
квадрата одним из стержней.
2. Рассмотрим один из
В

D стержней CD. Элементарный
С
da
потенциал d, создаваемый элеа
ментом стержня da в точке А,
удалённой на расстояние r, определится уравнением
da
d 
.
(1)
4 0 r
3. Определим далее величину da, что позволит в предыдущем уравнении перейти от линейных переменных к угловым
rd 
da 
.
(2)
cos 
4. Перепишем уравнение (1) с учётом значения da
d
.
(3)
d 
4 0 cos 
5. Проинтегрируем уравнение (3) в пределах от 1 до 2
2

d
 2 d
.
(4)


4 0 cos  4 0 1 cos 
1
6. В силу симметрии точки А относительно концов стержня С и D
углы 1 = 2, поэтому

2
1 
4 0


1
d
2
  4
0 cos   4 0 ln tg 2  4  0 ,

3

 ln tg
 ln tg   2 1,33 10 9  9 10 9  0,881  21 B .
8
4

7. Потенциал электрического поля от четырёх стержней
1 
2
4 0
(5)
(6)
i 4
   i  41  84 B .
i1
60
(7)
1.3.18. Бесконечно длинная тонкая прямая нить
несёт равномерно распределённый по её длине электрический заряд с линейной плотностью  = 10  8
Кл/м. Определить разность потенциалов  двух
точек, отстоящих от нити на расстояниях r1 = 0,02
м и r2 = 0,04 м.
r1 Е1 r2

Е2


Решение
1. Напряжённость электрического поля, создаваемого на удалении r от бесконечной равномерно заряженной нити равно
1 2
.
(1)
E
4 0 r
2. Напряжённость и потенциал в данной точке поля связаны соотношением
d
 dr
.
(2)
E
,  d  Edr  
dr
2 0 r
3. Исходя из уравнения (2) потенциалы поля в заданных точках
определятся интегралами
r
r

dr

dr
1  



,
,
(3)
2
2 0 0 r
2 0 0 r
1
1  

ln r1 ,
2 0
2
2  

ln r2 ,
2 0
(4)
откуда
  1   2 
r

ln 2  18 10 9 10 8  0,69  124 B .
2 0 r1
1.3.19. Тонкая круглая пластинка несёт равномерно распределённый по плоскости заряд Q = 1
нКл. Радиус пластинки равен R = 5 см. Определить
потенциал поля  в двух точках: 1) в центре пластинки О; 2) в точке А на оси, перпендикулярной
плоскости пластинки и удалённой от центра на
расстояние а = 5 см.
Решение
1. Запишем уравнения для напряжённости электрического поля бесконечной плоскости Е1 и круг61
(5)
R
r
А
О
Q
а
лого диска конечного радиуса Е2

Q
,
E1 

2 0  2 0 R 2
(1)




a
Q
a
1 

1 
.
(2)
2




R 2  a 2  2 0 R 
R2  a2 

2. Потенциал  в точке О можно определить по уравнению (1), используя взаимосвязь между напряжённостью и потенциалом в данной
точке поля при r = R
d
Q
(3)
E1  
,  
 18 10 9 10 9  20  360 B .
dr
2 0 R
3. В точке А потенциал определится расстоянием
E2 

2 0
r  R2  a2 ,

Q 
a
Q
1 
 R2  a2 
2 
2 
2
2 
2 0 R 
2 0
R a 
(4)
R
2

 a 2  a  150 B (5)
1.3.20. Заряд распределён равномерно по бесконечной плоскости с
поверхностной плотностью  = 10 нКл/м2. Определить разность потенциалов  двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от плоскости на расстояние r = 10 см.
Решение

1. Общая формула для определения
потенциала бесконечной заряженной
плоскости имеет вид

r 
0

x .
(1)
х
2 0

2. Как следует из уравнения (1) и

графика, на поверхности пластины по
тенциал будет равен 1 = 0, т.к. х = 0. На
удалении от поверхности на расстояние r потенциал определится как

10 8
2  
r 
 0,1  55,6 B .
(2)
2 0
2  9 10 12
3. Разность потенциалов между заданными точками
(3)
  1  2  0   55,6  55,6 B .
62
1.3.21. Определить потенциал  до которого можно зарядить
уединённый металлический шар радиусом R = 10 см, если напряжённость поля при которой происходит электрический пробой воздуха
равна Еmax = 3 МВ/м. Определить максимальную поверхностную плотность зарядов  перед пробоем.
Решение
1. Напряжённость электрического поля на поверхности шара равна
1 Q
1   4R 2 
(1)
E

 ,
4 0 R 2 4 0
R2
0
откуда
 max  E max  0  3 10 6  9 10 12  27 мкКл / м 2 .
(2)
2. Предельный потенциал на поверхности сферы
 max  E max R  3 10 6  0,1  300 кВ .
(3)
1.3.22. Две бесконечные параллельные плоскости
находятся на расстоянии d = 0,5 см друг от друга. На
плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 1 = 0,2 мкКл/м2 и 2 =  0,3
мкКл/м2. Определить разность потенциалов между
плоскостями.
d

-
Решение


1 Воспользуемся уравнением потенциала заряженной бесконечной плоскости


x ,
2 0
где х  расстояние от поверхности пластины до точки, в которой определяется потенциал.
2. В пространстве между пластинами существуют одновременно два
электрических поля противоположного


1   1 d,   2  2 d .
(1)
2 0
2 0
2. Разность потенциалов между пластинами определится как результат суперпозиции двух полей
0,2   0,310 6  0,05  140 B .
1 1   2
 
d
(2)
2 0
9 10 12
63
1.3.23. Металлический шарик диаметром d = 2 см заряжен отрицательно до потенциала  = 150 В. Сколько электронов находится на
его поверхности?
Решение
1. Потенциал на поверхности проводящей заряженной сферы определяется как
R
,
(1)

0
где   поверхностная плотность зарядов, связанная с зарядов следующим соотношением
Q
Q
.
(2)

,  
4R 2
4R 0
2. Определим далее из уравнения (2) величину заряда шарика
(3)
Q  4R 0  .
3. Количество электронов, составляющих в сумме заряд Q
Q 4 0 R 12,56  9 10 12  0,01 150
(4)
Ne  

 110 9 .
e
e
1,6 10 19
1.3.24. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала 
= 20 В каждая, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал
большой капли?
Решение
1. Определим, в каком соотношении находятся радиусы малых и
большой капли
4
4
100 r 3  R 3 ,  R  r 3 100  4,64 r ,
(1)
3
3
где r  радиус малой капли, R  радиус большой капли
2. При слиянии малых капель в одну заряд суммируется, но он распределяется по большей площади. Потенциал заряженной проводящей
сферы определяется как
Q
r


,
(2)
4 0 r  0
где Q  заряд одной малой капли до слияния.
3. Потенциал большой капли после слияния малых капель, таким
образом, будет составлять
100  Q
100  100  20
 


 421 B .
(3)
4 0 4,64 r 4,64
4,64
64
1.3.25. Две круглые металлические пластинки радиусом R = 10 см
каждая заряженные разноимённо, расположены параллельно на расстоянии d = 1 см друг от друга. Пластинки притягиваются с силой F =
2 мН. Определить разность потенциалов между пластинками.
Решение
d
1. Напряжённость электрического поля в
пространстве между пластинами связана с Q
1
-Q2
разностью потенциалов следующей зависимоF1,2
F2,1
стью
 U
d
,
(1)
E
 ,  U
0 d
0
где   поверхностная плотность заряда на
U
пластинах.
2. Сила электростатического взаимодействия пластин
qq
 2   2 R 4  2 R 4
.
(2)
F


2
2 0 d
2 0 d 2
2 0 d 2
3. Выразим из уравнения (2) поверхностную плотность заряда и подставим в уравнение (1)
d 2F 0
 2
,
(3)
R

U
d
R2
2F 0 d
d2
 2
 0 R
2F 10 4

 0 10 2
2 10 3
 84 В .
3,14  9 10 12
1.3.26. Диэлектрический шар радиусом R =
1 м равномерно заряжен с объёмной плотностью заряда  = 100 нКл/м3. Определить разность потенциалов двух точек, расположенных внутри шара на расстоянии r1 = 0,2 м и r2
= 0,8 м от центра шара.
R
(4)

о 

Решение
1. В соответствии с теоремой Гаусса
напряжённость поля заряженной сферы определяется уравнениями
Q
E n ds  , при r  R , E n  E ,

0
s

65
(1)
4
r
.
(2)
E  4R 2    R 3 ,  E 
3
3 0
2. Разность потенциалов между двумя произвольными точками, расположенными внутри шара
r2
r2
r 2  r 2 
r
(3)
1  2  Edr 
dr  2 1 ,
3 0
3 0  2
r1
r1

 

10 8 0,16  0,04 
 111 B .
6  9 10 12
1.3.27. Электрическое поле генерируется
бесконечным цилиндром диаметром D = 0,2 м,
заряженным равномерно с линейной плотностью заряда  = 1 мкл/м. Определить разность потенциалов между двумя точками,
отстоящими от поверхности цилиндра на
расстоянии r1 = 0,1 м и r2 = 0,4 м.
(4)

D
r1


r2
E
Решение
1. Напряжённость поля бесконечного, заряженного равномерно цилиндра на расстоянии r его поверхности определяется уравнением

E
.
(1)
2 0 r
2. Разность потенциалов между двумя произвольными точками
определяется следующим соотношением
R r2
R  r2
 dr

.
(2)
1  2  Edr 

ln
2

r
2

R  r1
0
0
R r1

 
10 6
0,14
ln
 4267 B .
12
6,28  9 10
0,11
(3)
1.3.28. Диэлектрическая сфера радиусом R, несёт равномерно распределённый по объёму, электрический заряд с объёмной плотностью .
Найти зависимость величины потенциала шара в функции расстояния от
его центра.
Решение
1. Вне шара потенциал определяется уравнением (см. задачу 1.3.26)
66
R 3
.
(1)
3 0 r
2. Потенциал внутри шара при (r < R) можно определить путём прибавления к потенциалу (1) величину работы, производимой электрическим полем над положительным единичным электрическим зарядом при
его перемещении вдоль радиуса. Электрическое поле на поверхности
шара радиуса R определяется уравнением
4 3R 3 ,
Q
(2)
E

4 0 R
4 0 R 2
работа по перемещению единичного заряда в этом случае определится
следующим соотношением
R
R
R
r


2
2
E
(
r
)
dr

dr

(3)
r
r 3 0 3 0 r rdr  6 0 R  r  .
3. Таким образом, потенциал поля внутри шара можно представить
посредствам следующей суммы
4 3R 3   R 2  r 2  
1

.
(4)
4 0 R 2
6 0
6 0 3R 2  r 2 

1.3.29. Сферическая частица ртути с потенциалом 1 = 10 кВ при
падении распалась на N = 10 одинаковых шарообразных капель. Определить потенциал каждой из капель.
Решение
1. Если радиусы исходной частицы и капель принять за R и r, а заряды  Q1,qi, то потенциалы 1 и i можно выразить следующим образом
Q1
qi
1 
i 
,
(1)
4 0 R
4 0 r
2. На основании закона сохранения заряда
Nq 1
.
(2)
1 
4 0 R
3. Найдём отношение потенциалов
1 Nq i 4 0 r Nr


.
(3)
i
4 0 Rq 1
R
4. Соотношение радиусов определится сравнением объёмов
R  r3 N .
5. Подставляя уравнение (4) в уравнение (3), получим
i  1
3
N 2  10 4
67
3
100  2,1кВ .
(4)
(5)
1.3.30. Бесконечная плоскость несёт, равномерно распределённый
электрический заряд с поверхностной плотностью  = 4 нКл/м2. Определить модуль и направление градиента потенциала, создаваемого
этой плоскостью.
z
Решение
1. Если в произвольном электричеn
y ском поле взять две бесконечно близкие

точки 1 и 2, расположенные, например,
о
на оси z, то z2  z1 = dz. Работа по переx
мещению единичного заряда из точки 1 в
точку 2 будет равна dA = Ezdz. Элементарную работу можно определить с другой стороны, используя понятие потенциала dA = 1  2 =  d. Приравнивая оба выражения, получим d =  Ezdz. Последнее соотношение
можно распространить и на две другие оси
d
d
d
.
(1)
Ex   , Ey  
, Ez  
dx
dy
dz
2. Уравнение (1) можно записать в векторной форме

       
(2)
E  
i
j
k.
y
z 
 x
3. Выражение, стоящее в скобках называется градиентом скаляра .
Таким образом
     
(3)
grad 
i
j
k   ,
x
y
z
или
(4)
E  grad   .
4. Вектор напряжённости бесконечной равномерно заряженной
плоскости направлен по внешней нормали и равен по модулю

Ez 
.
(5)
2 0 
5. Модуль градиента потенциала, таким образом, определится как

4 10 9
В
grad  E z 

 222 .
(6)
2 0 2 1 9 10 12
м
6. Знак минус в уравнении (4) показывает, что вектор градиента потенциала направлен в противоположную сторону относительно вектора
напряжённости, т.е. в сторону противоположную направлению внешней
нормали.
68
1.3.31. Напряжённость однородного электрического поля в некоторой его точке равно Е = 600
В/м. Вычислить разность потенциалов  между
данной точкой и другой, лежащей на прямой, составляющей угол  = 600 с направлением вектора
напряжённости поля и отстоящей на расстоянии
r = 2 мм
х
2
r
Ех
1

Е
Решение
1. Выберем ось х в направлении отрезка r, совместив начало системы отсчёта с заданной точкой 1. Проекция вектора напряжённости поля
на выбранное направление определится как
(1)
E x  E  cos  .
2. Запишем далее уравнение, связывающее напряжённость электрического поля с его потенциалом
d
Ex  
,  d  E x dx  E cos   dx .
(2)
dx
3. Чтобы получить искомую разность потенциалов достаточно проинтегрировать уравнение (2) в пределах от 0 до r
r
    E cos   dx  E cos   r ,
(3)
  600  0,5  2 10 3  0,6 B .
(4)
0
1.3.32. Длинный, тонкий прямолинейный проводник заряжен с равномерно распределённой плотностью  = 1 мкКл/м. Определить модуль
и направление градиента потенциала в точке, отстоящей от проводника на расстоянии r = 0,1 м .
Решение
1. Запишем уравнение потенциала заряженной прямолинейной
длинной нити

r  
ln r  const .
(1)
2 0
2. Определим модуль градиента потенциала

d d  
 1
10 6
кВ
. (2)
grad 
 
ln r  

 177
12
dr dr  2 0
2

r
56
,
5

10

0
,
1
м
0

69
1.4. Работа по перемещению зарядов в электрическом поле
1.4.1. Точечные заряды q1 = 1 мкКл и q2 = 0,1 мкКл находятся на
расстоянии r1 = 0,1 м друг от друга. Какую работу А1 совершают силы
поля при удалении второго заряда посредствам силы Кулона на расстояние r2 = 10 м. Чему будет равна работа силы Кулона А2 при удалении
второго заряда на бесконечное расстояние от первого?
Решение
1. Работа по перемещению заряда численно равна изменению потенциальной энергии
qq 1 1
 1
1
(1)
A1  1 2     9 10 9 10 13 
   81 10 4 Дж ,
4 0   r1 r2 
0
,
1
10


qq 1
A1  1 2
 9 10 4 10  90 10 4 Дж .
(2)
4 0  r1
1.4.2. Электрическое поле создано двумя положительными одинаковыми точечными зарядами q. Определить работу А1,2 при перемещении
заряда q1 = 10 нКл из точки 1 с потенциалом 1 = 300 В в точку 2.
а
а
а

q
q
1

2
Решение
1. Запишем уравнение потенциала 1, который представляется в виде суммы потенциалов зарядов q
1 q
1 q
q
1 

+
.
(1)
4 0 a 4 0 a 2 0 a
2. Найдём величину потенциала 2
q
q
q
2 


.
(2)
4 0 3a 4 0 a 3 0 a
3. Разность потенциалов
q
1   2 
.
(3)
6 0 a
4. Работа по перемещению заряда q1 из точки с потенциалом 1 в
70
точку с потенциалом 2
A1, 2  q1 1   2  
q 1q
q
 1 1  1мкДж .
3  2 0 a 3
(4)
1.4.3. Определить работу А1,2
по перемещению заряда q1 = 50
нКл из точки 1 в точку 2 в поле,
созданном двумя разноимёнными
точечными зарядами с |q| = 1
мкКл, если расстояние а = 0,1 м.
2 
2а

а
Решение
а
1. Определим величину поq
1
тенциала 1
1 q
1 q
1 

 0.
4 0 a 4 0 a
2. Потенциал в точке 2
1
q
1 q
q  1
1

2 


  .
4 0 a 2 2 4 0 2a 4 0 a  2 2 2 
q
(1)
(2)
3. Работа А1,2, совершаемая при перемещении заряда q1 из точки 1 в
точку 2
  5 10 8  0,145 
 
A1, 2  q1 1   2   q1 0   

(3)
4 0 a

 
 10 9  5 10 7  9 10 9  0,145  6,5 10 4 Дж.
1.4.4. Электрическое поле создано
бесконечной равномерно заряженной
плоскостью с поверхностной плотностью заряда  = 2 мкКл/м2. В поле
вдоль прямой, составляющей угол  =
600 с плоскостью, между точками 1 
2 перемещается точечный электрический заряд q = 10 нКл. Какая совершается при этом перемещении работа,
если расстояние между точками а =
0,2 м?
71
2
q

1

Решение
1. Определим силу, действующую на заряд q в точке 1
q
.
F  qE 
2 0
2. Работа по перемещению заряда на расстояние r
qa
A1, 2  Fr  F  a  sin  
sin  .
2 0
A1, 2 
2 10 6 1 10 8  0,2
 0,87  1,9 мкДж .
2  9 10 12
(1)
(2)
(3)
1.4.5. На отрезке прямого
тонкого проводника равномерно
распределён электрический заряд

с линейной плотностью  = 1
В
С
мкКл/м. Какую надо совершить
работу для перемещения точечного электрического заряда q = 1 нКл из точки В в точку С?
a
a
a
Решение
1. Рассмотрим элементарный участок стержня протяжённостью dх,
заряд, которого можно представить как
dQ  dx .
(1)
2. Определим потенциал, создаваемый выделенным участком проводника на удалении х по оси
1 dQ
1 dx
d 

.
(2)
4 0 x
4 0 x
3. Потенциал в точке В определится интегрированием уравнения (2)
в следующих пределах
2a

dx


 B   d 

ln x 
ln 2 .
(3)

4 0 a x
4 0
4 0
4. Потенциал в точке С определится по аналогии с уравнением (2)
3a

dx


 C   d 

ln x 
ln 1,5 .
(4)
4 0 2a x
4 0
4 0
5. Работа по перемещению заряда из точки В в точку С
q
ln 2  ln 1,5  2,7 мкДж .
A BC  q B  C  
(5)
4 0
72
1.4.6. Тонкий стержень свернут в полукольцо, которое заряжено с
линейной плотностью  = 133 нКл/м. Какую работу нужно совершить,
чтобы переместить заряд q = 6,7 нКл из центра полукольца в бесконечность?
y
Решение
dEy
dE
1. Выделим элемент кольца dl
и определим напряжённость элекj
трического поля этого элемента в
центре кольца
о
dEx х
i
R
dl
.
(1)
dE 
4 0 R 2

dl
2. Элементарный потенциал в
центре кольца от его элемента dl
определится как
dl
.
(2)
d 
4 0 R
3. Потенциал, создаваемый полукольцом в его центре будет равен
алгебраической сумме потенциалов от всех элементарных участков
R


1 
dl 
.
(3)

4 0 R 0
4 0
4. На бесконечном удалении от центра кольца потенциал 2 = 0, поэтому работа по перемещению заряда q определится следующим образом
6,7 10 9 133 10 9
A o  q1   2  
 25 мкДж .
(4)
4  9 10 12
1.4.7. Тонкий стержень, согнутый в
кольцо радиусом R = 0,1 м, несёт электрический заряд с линейной плотностью  =
300 нКл/м. Точечный заряд q = 5 нКл, находившийся первоначально в центре кольца,
переносят на расстояние а = 0,2 м по оси.
Какая при этом совершается работа?

а
q


R
Решение
1. Уравнение для определения потенциала кольца было получено в
задаче 1.3.14
(1)
1  R 2 0 .
73
2. Потенциал на удалении а от плоскости кольца
2R
R
,
2 

4 0 r 2 R 2  a 2
(2)
0
3. Работа по перемещению заряда q на расстояние а

R 
1
,
A  q1   2  
1
2
2 
2 0 
R a 

A
0,1 3 10
7
2 10
 5 10
9
12

R
1
0,12  0,22


R

1 


2R

  50 мкДж .


(3)
(4)
1.4.8. Проводящий шар имеет потенциал  = 1 кВ. Заряд q
= 1 мкКл переносится из точки
1 в точку 2. Определить работу, совершаемую при перемещении заряда.
Рушение
1. Электрический заряд проводящего шара, равномерно распределённый по его поверхности, и потенциал, связаны соотношением
Q

,  Q  4 0 R .
(1)
4 0 R
2. Запишем далее уравнения потенциалов шара на удалении от его
центра на 2R и 4R
Q

Q

1 
 , 2 
 .
(2)
4 0 2R 2
4 0 4R 4
3. Работа по перемещению заряда q из точки с потенциалом 1 в
точку с потенциалом 2
 
6
3
A  q1   2   q    0,25 q  0,25 10 10  250 мкДж . (3)
2 4
74