МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БРАТСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО-БУМАЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Специальность 140448
«Техническая эксплуатация обслуживание электрического и
электромеханического оборудования (по отраслям)»
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К НИМ
по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
Братск 2013
Содержание
Введение……………………………………………………………
Раздел 1 Элементы линейной алгебры…………………………..
1.1 Матрица, виды матриц. Операции над матрицами.
Элементы матрицы. Обратная матрица……………………….
1.2 Решение систем линейных уравнений………………………..
1.3 Задания для практической работы № 1………………………
1.4 Задания для практической работы № 2………………………
Раздел 2 Основы математического анализа………………………
2.1 Предел функции в точке и на бесконечности.
Непрерывность функции……………………………………
2.2 Задания для практической работы № 3 ………………………
Раздел 3 Основы дифференциального исчисления………………
3.1 Дифференцирование функций………………………………
3.2 Задания для практической работы № 4………………………
3.3 Задания для практической работы № 5………………………
3.4 Задания для практической работы № 6………………………
3.5 Задания для практической работы № 7………………………
Раздел 4 Основы интегрального исчисления………………….…
4.1 Интегрирование функций……………………………………..
4.2 Задачи для практической работы № 8…………………….….
4.3 Задачи для практической работы № 9………………………..
4.4 Задачи для практической работы № 10…………..…………..
Раздел 5 Основы теории вероятностей и математической
статистики………………………………………………..
5.1 Элементы комбинаторики………………………………….…
5.2 События. Операции над событиями……………………….…
5.3 Вычисление вероятностей простых и сложных событий……
5.4 Вариационный и статистический ряд. Эмпирическая
функция……………………………………………………….,..
5.5 Дискретная случайная величина (ДСВ). Законы
распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ…….....
5.6 Задачи для практической работы № 11……………………….
5.7 Задачи для практической работы № 12…………………….…
5.8 Задачи для практической работы № 13…………………….…
5.9 Задачи для практической работы № 14……………………….
Раздел 6 Основы теории комплексных чисел………………….…
6.1 Комплексные числа………………………………………….…
6.2 Задачи для практической работы № 15……………………….
Заключение……………………………………………………….…
Список использованных источников………………………..…….
2
3
4
4
8
9
11
15
15
19
21
21
31
33
36
37
41
41
45
47
49
51
51
53
54
55
60
62
62
65
68
71
71
72
74
75
Введение
Данное методическое пособие содержит лекционный материал курса
«Математика» для студентов второго курса специальности 140448
«Техническая
эксплуатация
обслуживание
электрического
и
электромеханического оборудования (по отраслям)» очного факультета, а
также дидактический материал по пятнадцати практическим работам.
В пособии особое внимание уделяется практическим задачам таких
разделов Математики как, «Элементы линейной алгебры», «Элементы
математического анализа», «Элементы теории вероятностей и математической
статистики».
3
Раздел 1 Элементы линейной алгебры
1.1 Матрица, виды матриц. Операции над матрицами. Элементы
матрицы. Обратная матрица
Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.
где aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.
Основные виды матрицы:

квадратная (это матрица с равным числом столбцов и строк);

транспонированная (можно получить, поменяв строки и столбцы
матрицы местами. Матрица A размера
при этом преобразовании
T
станет матрицей A размерностью
);

единичная (квадратная матрица, элементы главной диагонали
которой равны единице, а остальные равны нулю).
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи
систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом
случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а
количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем
линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую
столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);

в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу
матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем
матрицы).
Рассмотрим операции над матрицами более подробно.
1. Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все
элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов
матриц A и B.
2. Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в
построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого
элемента матрицы A на это число.
3. Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения
) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны
сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя
и столбце второго (умножение строки на столбец).
4
Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк
в матрице B. Если матрица A имеет размерность
, матрица B —
,
то размерность их произведения AB = C есть
. Смотри рисунок 1.
Рисунок 1 - Правило умножения двух матриц
2 0 −1
1 −2 3
Пример 1: Найти А+2В, если А = (
),В=(
).
1 −3 4
0 4 −1
2 + 2 ∙ 1 0 + 2 ∙ (−2) −1 + 2 ∙ 3
Решение: А + 2В = (
)=
1 + 2 ∙ 0 −3 + 2 ∙ 4 4 + 2 ∙ (−1)
4 −4 5
=(
)
1 5 2
1
0
2 0 −1
Пример 2: Найти А ∙ В, если А = (
) , В = (−2 4 )
1 −3 4
3 −1
Решение: А ∙ В =
2 ∙ 1 + 0 ∙ (−2) + (−1) ∙ 3 2 ∙ 0 + 0 ∙ 4 + (−1) ∙ (−1)
−1
1
=(
)=(
)
1 ∙ 1 + (−3) ∙ (−2) + 4 ∙ 3 1 ∙ 0 + (−3) ∙ 4 + 4 ∙ (−1)
19 −16
Пример 3: Решить матричное уравнение: 2𝐷𝐴 − 3𝐴 = 2𝑋,
−1 0 2
−1 3
А=(
), 𝐷 = (
)
3 −4 5
4 6
1
10 −12 13
23 −24 20
Решение: 𝐷 ∙ 𝐴 = (
), 2𝐷𝐴 − 3𝐴 = (
), 𝑋 = 2 ∙
14 −24 38
19 −36 61
11.5
−12
10
(2𝐷𝐴 − 3𝐴) = (
)
9.5 −18 30.5
Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или ΔA.
Формула для вычисление определителя второго порядка:
(1)
Формулы для вычисление определителя третьего порядка:
а) разложение по элементам первой строке:
5
(2)
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31;
б) по правилу звездочки (или Саррюса)
(3)
где точки – это элементы определителей.
Основные свойства определителей.
Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.
Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться
только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами
будут обладать и столбцы.
Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на
некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.
Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.
Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.
Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен
нулю.
Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается
на —1.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам
одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки,
умноженные на одно и то же число.
Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего
порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного
вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный
элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному
элементу aij будем обозначать Mij.
Пример 4: минором M12, соответствующим элементу a12, будет определитель
по формуле ()1, который получается вычёркиванием из данного
определителя 1-ой строки и 2-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его
минор Mij, умноженный на (–1)i+j. Алгебраическое дополнение элемента aij
обозначается Aij.
6
Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением
элемента и его минором выражается равенством:
Aij = (–1)i+jMij
(4)
Например,
Пример 5: Дан определитель
. Найти A13, A21, A32.
Решение:
.
Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется
матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию
. (Это
определение вводится по аналогии с умножением чисел). Понятие обратной
матрицы вводится только для квадратных матриц.
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:
1. Найти определитель матрицы A.
2. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице.
3. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы AТ и
составить матрицу, элементами которой являются числа Aij.
1
4. Умножить матрицу, полученную в пункте 3 на .
∆А
(5)
1 −1 1
Пример 6: Найти обратную матрицу А-1, если А = (2 1 1) и выполнить
1 1 2
проверку.
1 −1 1
1 1
2 1
2 1
Решение: ∆𝐴 = |2 1 1| = 1 ∙ |
|—1 ∙ |
|+1∙|
|=
1 2
1 2
1 1
1 1 2
= (1 ∙ 2 − 1 ∙ 1) + (2 ∙ 2 − 1 ∙ 1) + (2 ∙ 1 − 1 ∙ 1) = 1 + 3 + 1 = 5
1 2 1
1 1
𝑇
А = (−1 1 1), 𝐴11 = (−1)1+1 ∙ |
| = (−1)2 (2 − 1) = 1, аналогично
1 2
1 1 2
𝐴12 = 3, 𝐴13 = −2, 𝐴21 = −3, 𝐴22 = 1, 𝐴23 = 1, 𝐴31 = 1, 𝐴32 = −2, 𝐴33 = 3
1
3 −2
̃
А = (−3 1
1 ), по формуле (5) получим:
1 −2 3
А
−1
1
̃ = ∙ (−3
= ∙А
∆А
5
1
1
1
3 −2
1
1 )=
−2 3
1
3
−2
5
−3
5
1
5
1
5
1
5
−2
5
3
5
5
(5
7
.
)
Для проверки используется формула:
А ∙ А−1 = Е,
1
где Е = (0
0
(6)
0 0
1 0).
0 1
1.2 Решение систем линейных уравнений
Дана система:
1. Метод Гаусса. Часто вместо того, чтобы писать новую систему
уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑏1
системы (𝑎21 𝑎22 𝑎23 | 𝑏2 ), и затем приводят её к треугольному или
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑏3
диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие
преобразования:

перестановка строк или столбцов;

умножение строки на число, отличное от нуля;

прибавление к одной строке другие строки.
2. Матричный метод. Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы
неизвестных и свободных членов:
получаем
,
решение
матричного
уравнения в виде
X = A-1B
3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 2
Пример 7: Решить систему методом Гаусса. {4𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 1
5𝑥 − 6𝑦 + 4𝑧 = 3
3 −3 2 2
(4 −5 2| 1) −(4⁄3)𝐼
5 −6 4 3 −(5⁄3)𝐼
3 −3
2
2
(0 −1 − 2⁄3| − 5⁄3)
0 −1 2⁄3 − 1⁄3 −𝐼𝐼
3 −3
2
2
(0 −1 − 2⁄3| − 5⁄3) ∙ 3
0 0 −4⁄3 − 4⁄3 ∙ 3
8
(7)
3 −3 2 2
(0 −1 −2| −5)
0 0 −4 −4
3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 2
{ −𝑦 − 2𝑧 = −5 решая систему с конца, получим z=1, y=1, x=1
−4𝑧 = −4
Пример 8: Решить систему методом обратной матрицы
Здесь использовали формулу (7).
1.3 Задания для практической работы № 1
Вариант 1
3
1
1) Вычислить определитель любым способом | 5 −3
−2 4
2) Найти обратную А
−1
2
2|
−4
2 −1
матрицу и выполнить проверку 𝐴 = (1 1
4 1
2
2)
4
Вариант 2
1 −1
1) Вычислить определитель любым способом | 3
3
−2 4
2) Найти обратную А
−1
матрицу и выполнить проверку
9
2
2|
5
4 1
𝐴 = (1 1
8 3
−3
−1)
−6
Вариант 3
3 −1
1) Вычислить определитель любым способом | 1
3
−1 1
2) Найти обратную А
−1
матрицу и выполнить проверку
2
1|
−4
5 −9 −4
𝐴 = (1 −7 5 )
4 −2 1
Вариант 4
5 −1 9
1) Вычислить определитель любым способом |7 1
1|
3 −1 −1
2) Найти обратную А
−1
матрицу и выполнить проверку
1 −5 1
𝐴 = (3 2 1)
4 −3 0
Вариант 5
2 −3 −9
1) Вычислить определитель любым способом |6 11 10 |
8 −5 −21
2) Найти обратную А
−1
матрицу и выполнить проверку
5 5 −4
𝐴 = (1 −1 5 )
4 −4 9
Вариант 6
0
1
1) Вычислить определитель любым способом | 9 −3
−2 −7
2) Найти обратную А
−1
матрицу и выполнить проверку
1
5|
−4
7 −2 −1
𝐴 = (6 −4 5 )
1 2
4
Вариант 7
22 0 100
1) Вычислить определитель любым способом | 0
1
1 |
−20 0 −40
10
3 2
𝐴 = (2 3
5 1
2) Найти обратную А−1 матрицу и выполнить проверку
1
−5)
−4
Вариант 8
−40 0 −20
1) Вычислить определитель любым способом | 1
1
1 |
100 0
0
2) Найти обратную А
−1
3 2
1
𝐴 = (2 2 −3)
1 −1 1
матрицу и выполнить проверку
Вариант 9
37 2 −7
1) Вычислить определитель любым способом |−3 4
1|
10 20 0
2) Найти обратную А
−1
2 −1 2
𝐴 = (4 1 4)
1 1 2
матрицу и выполнить проверку
Вариант 10
5
2
1) Вычислить определитель любым способом |−9 9
11 −5
−11
11 |
0
2) Найти обратную А−1 матрицу и выполнить проверку
8 −1 3
𝐴 = (4 1 6)
4 −2 3
1.4 Задания для практической работы № 2
Вариант 1
7х + 2у = 1
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
8х − 4у = 2
10х + у + 4𝑧 = 1
2.Решить систему матричным методом: {𝑥 − 2𝑦 − 7𝑧 = −3 ;
2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 0
11
х−у−𝑧 =0
3. Решить систему методом Гаусса: { 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 7
Вариант 2
−5𝑥 − 𝑦 = 2
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
𝑥 + 2𝑦 = 35
5х − 3у + 2𝑧 = 19
2.Решить систему матричным методом: {4𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 31 ;
3𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 = 31
х − 4у − 2𝑧 = 0
3. Решить систему методом Гаусса: {3𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = −21
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −4
Вариант 3
8𝑥 − 11𝑦 = 1
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
−𝑥 + 2𝑦 = 11
2х − у + 2𝑧 = −3
2.Решить систему матричным методом: { 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4 ;
3𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 3
5х − 3у + 4𝑧 = 11
3. Решить систему методом Гаусса: { 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
Вариант 4
1. Решить систему по формулам Крамера:
9𝑥 + 12𝑦 = 5
;
{
𝑥−𝑦=6
4х − у − 5𝑧 = 1
2.Решить систему матричным методом: { 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 6 ;
3𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 = −2
х + 2у + 𝑧 = 4
3. Решить систему методом Гаусса: {3𝑥 − 5𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 = 8
12
Вариант 5
25𝑥 − 𝑦 = 15
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
2𝑥 − 2𝑦 = 3
3х − 2у + 𝑧 = −3
2.Решить систему матричным методом: {5𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 11 ;
𝑥+𝑦+𝑧 =1
4х − 3у + 𝑧 = 43
3. Решить систему методом Гаусса: { 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
2𝑥 + 𝑦
= 13
Вариант 6
18𝑥 + 2𝑦 = 20
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
30𝑥 − 𝑦 = 3
3х + 2у + 𝑧 = 14
2.Решить систему матричным методом: {2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 12 ;
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 11
5х + 3у + 3𝑧 = 48
3. Решить систему методом Гаусса: {2𝑥 + 6𝑦 − 3𝑧 = 18
8𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 21
Вариант 7
4𝑥 − 3𝑦 = 2
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
7𝑥 + 8𝑦 = 15
2х − 3у + 𝑧 = −3
2.Решить систему матричным методом: { 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −1 ;
3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 11
х−у−𝑧 = 0
3. Решить систему методом Гаусса: { 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 7
Вариант 8
40𝑥 − 12𝑦 = 18
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
3𝑥 + 5𝑦 = 10
13
4х + у − 2𝑧 = 10
2.Решить систему матричным методом: {−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −1;
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 1
х − 4у − 2𝑧 = 0
3. Решить систему методом Гаусса: {3𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = −21
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −4
Вариант 9
28𝑥 − 18𝑦 = 5
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
11𝑥 + 3𝑦 = 4
3х + 4у + 2𝑧 = 5
2.Решить систему матричным методом: {5𝑥 − 6𝑦 − 4𝑧 = −3 ;
−4𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 1
5х − 3у + 4𝑧 = 11
3. Решить систему методом Гаусса: { 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
Вариант 10
−5𝑥 − 𝑦 = −3
1. Решить систему по формулам Крамера: {
;
3𝑥 + 2𝑦 = 8
5х + у − 2𝑧 = 5
2.Решить систему матричным методом: { 10𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 ;
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −11
х + 2у + 𝑧 = 4
3. Решить систему методом Гаусса: {3𝑥 − 5𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 = 8
14
Раздел 2 Основы математического анализа
2.1 Предел функции в точке и на бесконечности. Непрерывность
функции
Определение предела по Коши и Гейне. Пусть функция f (x) определена
на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не
требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)
Число L называется пределом функции f (x) при
, если для каждого
существует такое число
, что |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 при условии 0 <
|𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Данное определение предела известно как – определение или
определение Коши.
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎
Существует также определение предела функции
которому функция f (x) имеет предел L в точке x =
последовательности {𝑥𝑛 }, сходящейся к точке a,
{𝑓(𝑥𝑛 )} сходится к L. Определения предела функции
эквивалентны.
Символом lim
обозначается левосторонний
𝑥→𝑎−0
(1)
по Гейне, согласно
a, если для каждой
последовательность
по Коши и Гейне
предел, в котором
переменная x, приближаясь к a, принимает значения x < a. Соответствующий
предел lim 𝑓(𝑥) называется левосторонним пределом функции f (x) в точке x
𝑥→𝑎−0
= a.
Аналогично, символом lim
обозначается правосторонний предел, в
𝑥→𝑎+0
котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x > a.
Соответствующий предел lim 𝑓(𝑥) называется правосторонним пределом
𝑥→𝑎+0
функции f (x) в точке x = a.
Отметим, что двусторонний предел lim 𝑓(𝑥) существуют лишь тогда,
𝑥→𝑎
когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то
есть lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥). В этом случае lim 𝑓(𝑥) =
𝑥→𝑎−0
𝑥→𝑎+0
𝑥→𝑎
= lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥).
𝑥→𝑎−0
𝑥→𝑎+0
Обозначения последовательностей: {𝑛} = {1,2,3,4, … } - натуральные
числа; {2𝑛} = {2,4,6,8, … } - четные числа, {2𝑛 − 1} = {1,3,5,7, … } - нечетные
числа. Для вычисления необходимо помнить, что:
С
∞
= 0,
С
0
= ∞,
где 0 − б⁄м, ∞ − б⁄б , С − постоянная.
15
(2)
Алгоритм раскрытия неопределенности

: при x   . Пусть m –

наивысшая степень числителя, n - наивысшая степень знаменателя. Тогда:
1) m  n 
am
, где am и bn коэффициенты при x m и x n
bn
2) m  n  
3) m  n  0
Замечательные пределы:
sin x
tgx
ln 1  x 
an
 1 , lim
 1 , lim
 1 , lim a x  1 , lim
 0 , 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛.
x 0
x 0 x
x 0
x  n!
x0
x
x
x
1
 1

1  x x  e
II ЗП: lim 1    e , lim
x 0
x 
x
.

1
Пример 1: Найти первые три члена ряда an 
.
2n  1
I ЗП: lim
Решение: Подставляем вместо n числа 1, 2 и 3:
1
1
1
1
1
1
 ; a2 
 ; a3 

2 1  1 3
22 1 5
231 7
3 4 5 6
Пример 2:Написать общий член ряда а)     ...
1 3 5 7
1 4
9
16
25



 ...
б) 
1 1 2 1 2  3 1 2  3  4 1 2  3  4  5
a1 
Решение:
а) Заметим, что в числителе натуральные числа, начиная с трех, а в знаменателе
только нечетные натуральные числа. Значит, формула общего члена будет
an 
n2
.
2n  1
б) Заметим, что в числители квадраты натуральных чисел, а в знаменателе
факториал натуральных чисел, т.е. n!  1 2  3  4  ...  n . Значит, формула общего
n2
члена будет a n 
.
n!
x 2  2 x  4  1  2 1  4 7

  3,5
x 1
3 x
3   1
2
3x  9 3  3  9 0
5
5
5

  0 , в) lim

 
б) lim
2
2
x 3 2
x 2 4 x  8 4  2  8 0
3
3
3


0
г) lim
x  4 x  1 4    1 
Пример 3: Вычислить a) lim
2
Пример 4: Раскрытие неопределенности 0⁄0
3x 2  2 x  0 
x(3x  2)
3x  2  2 2
    lim
 lim


2
x0 2 x  5 x
 0  x0 x(2 x  5) x0 2 x  5  5 5
x 2  5x  6  0 
( x  2)( x  3)
x  2 3 2 1
    lim
 lim

 , x 2  5x  6  0 , 𝐷 =
б) lim
2
x 3 3x  9 x
x

3
x

3
3x( x  3)
3x
3 3 9
0
2
1, 𝑥1,2 = 2; 3 x  5x  6  x  2x  3 по формуле ax 2  bx  c  ax  x1 x  x2  , где
x1 , x 2 - корни уравнения
16
а) lim
x
x
5 x  5 x
0
    lim


5  x  5  x  0  x0 5  x  5  x 5  x  5  x
x( 5  x  5  x )
x( 5  x  5  x )
x( 5  x  5  x )
 lim
 lim
 lim

2
2
x0
x0
x0
5 x5 x
 2x
5 x  5 x
в) lim
x0

 

5 x  5 x
5 5 2 5


 5
2
2
2
 lim
x0
Пример 5: Раскрытие неопределенности ∞⁄∞
7x2  2x    m  2
7
7
 


2
3  2x
2
 n  2  m  n  2
5x 2  x 4    m  4
б) lim
 

x  5 x  3 x 3
 n  3  m  n
x2
 m  2
в) lim
 
0
3
x  3  2 x
 n  3  m  n
а) lim
x 
Пример 6: Раскрытие неопределенности ∞ − ∞
lim ( x  x 2  4 x )      lim ( x  x 2  4 x ) 
x
x0
(x  x2  4x )
(x  x2  4x )

x2  ( x2  4x )2
x 2  ( x 2  4 x)
x2  x2  4x
 lim
 lim
 lim

x0
x0
x0 
4
4
4
2
x  x 1
x  x 1  
x1  1  
x
x
 x

4x
4
4
 lim
 lim

2
x0 
4 1 1 0
4  x0
1 1
x1  1  
x
x

Пример 7: Раскрытие неопределенностей с помощью замечательных пределов
sin 3x  0 
t
sin t 3
sin t 3
3
    3x  t; x  ; x  0  t  0  lim
  lim
 1 
t 0
t 0
t 2 
2x
3
t 2
2
0

2
1
3
3
3
15
2 x  2 x 5 x

15
lim
5 x
lim
5x


3
3




 e x 2x  e x 2  e 2
б) lim 1   1    lim 1  3 


x   2 x 
 x   2 x  


1
4
x

1
1  5x

1
4
4
lim 4 x 
lim


5x   
4x

 1
  lim 1 4 x 
 e x   5x  e x   5  e 5
в) lim 1 4 x 




 x 0

x 0


а) lim
x0
Алгоритм исследования функции на непрерывность.
1) Найти точки разрыва (либо даны, либо находим по области
определения функции).
2) Найти левосторонний и правосторонний пределы в точке разрыва:
а) если хотя бы один из этих пределов не существует или равен ∞, то
точка разрыва 2го рода;
17
б) если односторонние пределы конечны и равны между собой, то точка
разрыва 1го рода – устранимого;
в) если односторонние пределы конечны и не равны между собой, то
точка разрыва 1го рода – конечного.
3) Найти асимптоты к графику функции (если это возможно):
а) Вертикальные: х=а, если х=а – точка разрыва 2го рода,
lim
т.е.
𝑓(𝑥) = ∞
𝑥→𝑎
lim
б) Горизонтальные: y=b, если
𝑓(𝑥) = 𝑏, сколько конечных
𝑥 → ±∞
пределов, столько и асимптот.
в) Наклонные: y=kx+b, коэффициенты находятся по формулам:
lim 𝑓(𝑥)
,
𝑥 → ±∞ 𝑥
(3)
lim
[𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥]
𝑥 → ±∞
(4)
𝑘=
𝑏=
если к=0, то наклонных асимптот нет.
4) Схематично построить график функции
Пример 8: Исследовать на непрерывность и построить схематично
𝑥
график функции 𝑦 =
𝑥−3
Решение: 1) D(y): 𝑥 − 3 ≠ 0, 𝑥 ≠ 3, следовательно х0=3 – точка разрыва
𝑥
3−0
𝑙𝑖𝑚
2) 𝑓(3 − 0) =
=
= −∞ левосторонний предел
𝑥 → 3 − 0 𝑥−3 3−0−3
𝑥
3+0
𝑙𝑖𝑚
𝑓(3 + 0) =
=
= +∞ правосторонний предел,
𝑥 → 3 + 0 𝑥−3 3+0−3
следовательно х0=3 – точка разрыва 2го рода
3
𝑙𝑖𝑚 𝑥
3) асимптоты: а)
=
= ∞, следовательно х=3 – вертикальная
𝑥 → 3 𝑥−3 3−3
асимптота
𝑥
𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑙𝑖𝑚
б)
=1
= 1, следовательно у=1 –
𝑥 → +∞ 𝑥−3
𝑥 → −∞ 𝑥−3
горизонтальная асимптота
𝑥
𝑙𝑖𝑚
в)по формуле (3): 𝑘 =
(𝑥−3) ÷ 𝑥 = 0 наклонных асимптот нет
𝑥→∞
4) На рисунке 2 изображен график функции:
Пример 9: Исследовать на непрерывность и построить схематично график
𝑥 + 1, 𝑥 < 1
функции 𝑦 = {2 + 𝑥, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
2𝑥 2 , 𝑥 > 2
Решение: 1) х0=1 и х0=2 – точки разрыва
𝑙𝑖𝑚 (𝑥
2) 𝑓(1 − 0) =
+ 1) = 2 левосторонний предел
𝑥 →1−0
18
𝑙𝑖𝑚
(2 + 𝑥) = 3 правосторонний предел, 2 ≠ 3
𝑥 →1+0
следовательно х0=1 – точка разрыва 1го рода конечного
𝑙𝑖𝑚 (2
𝑓(2 − 0) =
+ 𝑥) = 4 левосторонний предел
𝑥 →2−0
𝑙𝑖𝑚
(2𝑥 2 ) = 8 правосторонний предел, 4 ≠ 8
𝑓(2 + 0) =
𝑥 →2+0
следовательно х0=2 – точка разрыва 1го рода конечного
𝑓(1 + 0) =
Х=3
у
У=1
х
𝑥
𝑦=
𝑥−3
Рисунок 2 – График функции
3) асимптот нет
4) для построения определим необходимые точки для каждой части графика
(рис. 3): 𝑦 = 𝑥 + 1 прямая (0,1), (-1,0)
𝑦 = 2 + 𝑥 прямая (1,3), (2,4)
𝑦 = 2𝑥 2 парабола ветви вверх (3,8), (4, 32)
Х=2
Х=1
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Рисунок 3 – График функции
2.2 Задания для практической работы № 3
Вариант 1. Исследовать на непрерывность и построить график:
𝑥 + 4, 𝑥 < −1
𝑥2
2
а) 𝑦 =
б) 𝑦 = {𝑥 + 2, −1 ≤ 𝑥 < 1
2𝑥−4
2𝑥, 𝑥 ≥ 1
19
Вариант 2. Исследовать на непрерывность и построить график:
𝑥 − 2, 𝑥 < 0
4
а) 𝑦 =
б) 𝑦 = { 2, 𝑥 = 0
5−𝑥
𝑥 2 − 2, 𝑥 > 0
Вариант 3. Исследовать на непрерывность и построить график:
𝑥 + 2, 𝑥 ≤ −1
𝑥2
2
а) 𝑦 =
б) 𝑦 = {𝑥 + 1, −1 < 𝑥 ≤ 1
𝑥−6
3 − 𝑥, 𝑥 > 1
Вариант 4. Исследовать на непрерывность и построить график:
𝑥 − 2, 𝑥 < 0
3
а) 𝑦 =
б) 𝑦 = { −2, 𝑥 = 0
1−2𝑥
−𝑥 − 2, 𝑥 > 0
Вариант 5. Исследовать на непрерывность и построить график:
𝑥 − 2, 𝑥 < 2
1
а) 𝑦 = 2
б) 𝑦 = {
𝑥 −6𝑥+8
𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 2
Вариант 6. Исследовать на непрерывность и построить график:
𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 0
9
а) 𝑦 =
б) 𝑦 = {
2
16−𝑥
−𝑥 − 1, 𝑥 < 0
Вариант 7. Исследовать на непрерывность и построить график:
2𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 0
1
а) 𝑦 = 2
б) 𝑦 = {
𝑥 −5𝑥+6
−2𝑥 − 1, 𝑥 < 0
Вариант 8. Исследовать на непрерывность и построить график:
3𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 0
4
а) 𝑦 =
б) 𝑦 = {
25−𝑥 2
−3𝑥 + 1, 𝑥 < 0
Вариант 9. Исследовать на непрерывность и построить график:
𝑥 + 4, 𝑥 < −1
𝑥2
2
а) 𝑦 =
б) 𝑦 = {𝑥 + 2, −1 ≤ 𝑥 < 1
2𝑥−4
2𝑥, 𝑥 ≥ 1
Вариант 10. Исследовать на непрерывность и построить график:
𝑥 − 2, 𝑥 < 0
4
а) 𝑦 =
б) 𝑦 = { 2, 𝑥 = 0
5−𝑥
𝑥 2 − 2, 𝑥 > 0
20
Раздел 3 Основы дифференциального исчисления
3.1 Дифференцирование функций
Производной функции называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к
нулю:
y
f x  x   f x 
 lim
x  0 x
x  0
x
.
y( x)  lim
(1)
Дифференцирование – это операция нахождения производной функции.
Дифференцирование состоит из двух этапов:
1) применение правил дифференцирования:
1. C  u '  C  u ' ,
2. u  v  w  ...'  u'v' w'... –для конечного числа слагаемых
3. u  v '  u'v  u  v' ,
 u  u 'v  u  v'
4.  ' 
v2
v
5. y  f (U ( x)); y  f (u )  u ( x) - для сложной функции
2) применение формул дифференцирования:
C ' 0 …………………
x '  1………………
x '  n  x
n
n1
………………
1
1
 '   2
x …………………
 x
1
x '
2 x …………
ln x '  1 ;
x ……………
lg x '  lg e  1
x ……………
a x '  a x  ln a ……………
 
e '  e ……………
x
x
21
….(2)
….(3)
….(4)
.(5)
……….(6)
…….(7)
…….(8)
…….(9)
…….(10)
sin x '  cos x …………
cos x '   sin x ……………
tgx' 
1
cos2 x ………
ctgx'   12
sin x …………
arcsin x '  1 2
1  x …………
arccos x '   1 2
1  x ………
arctgx'  1 2
1  x ……………
arcctgx'   1 2
1  x …………
……….(11)
…….(12)
………….(13)
……….(14)
……….(15)
………….(16)
…….(17)
……….(18)
3) Правило Лопиталя для вычисления пределов.
0
1.Раскрытие неопределенности :
0
0
lim 𝑓(𝑥)
lim 𝑓′(𝑥)
=[ ]=
0
𝑥 → 𝑎 𝑔(𝑥)
𝑥 → 𝑎 𝑔′(𝑥)
2. Раскрытие неопределенности
∞
∞
(19)
:
∞
lim 𝑓(𝑥)
lim 𝑓′(𝑥)
=[ ]=
∞
𝑥 → 𝑎 𝑔(𝑥)
𝑥 → 𝑎 𝑔′(𝑥)
(20)
Пример 1. Найти производную функции y  2 x . Применяем правило:
(C  U )  C  U  , получим: y  2  x  2  1  2 , т.к. ( x)  1 ;
x
2
Пример2. Найти производную функции y  . Применяем правило:
1
1
1
 x   1  , т.к. ( x)  1 ;
2
2
2
Пример 3. Найти производную функции y  4 x . Применяем правило:
(C  U )  C  U  , получим: y   4  x  4  1  4 , т.к. ( x)  1 ;
(C  U )  C  U  , получим: y 
Пример 4. Найти производную функции y  2 x  3 . Применяем правило:
(k  x  b)  k  x  b  k  1  0  k , получим: y  2  x  3  2  1  0  2 , т.к. ( x)  1 ;
Пример 5. Найти производную функции y  3  5 x . Применяем правило:
(k  x  b)  k  x  b  k  1  0  k , получим: y  3  5  x  0  5  1  5 , т.к. ( x)  1 ;
22
Пример 6. Найти производную функции y  1  x , получим: y   1 ;
Пример 7. Найти производную функции y  x 2 . По формуле (4), получим:
y  2  x 21  2 x
Пример 8. Найти производную функции y  x 3 , получим: y  3  x 31  3x 2 ;
Пример 9. Найти производную функции y  x 9 , получим: y  9  x 91  9 x8 ;
Пример 10. Найти производную функции y  5x 4  2 x 3  x 2  4 x  1 . По правилу
u  v  w  ...'  u'v' w'... , получим:



y   5 x 4  2 x 3  x 2  4 x   1  20 x 3  6 x 2  2 x  4 ;
sin x
Пример 11. Найти производную функции y  x3  4 ln x 
. По правилу
5
u  v  w  ...'  u'v' w'... получим

sin x 

3



y   x   4 ln x   
 . По правилу C  u '  C  u ' получим
 
 5 

1
3



y   x   4ln x   sin x  . По формулам дифференцирования (4, 7, 11)
 
5
1 1
получим y  3x 2  4    cos x
x 5
Пример 12. Найти производную функции y  3 x  x 2 .
     
По правилу u  v '  u'v  u  v' получим


y   3 x   x 2  3 x   x 2  . По формулам дифференцирования (4, 9) получим
 
 
3x 2

y 
 x  3x  2x
ln 3
Пример 13. Найти производную функции y  x 3  1 2  x 2 
Применяем правило: u  v '  u'v  u  v' , получим:


y   x 3  1  2  x 2  x 3  1  2  x 2  3x 2  2  x 2  x 3  1   2 x  

 
 
 


 6 x  5x  2 x ;
2
4
ex
Пример 14. Найти производную функции y 
cos x
 u  u 'v  u  v'
По правилу  ' 
получим
v2
v
23
 


 e x   cos x  e x  cos x 
. По формулам дифференцирования (10, 12)
y   
2
cos x 
получим y 
e x  cos x  e x   sin x  e x  cos x  e x  sin x

2
cos x
cos2 x
Пример 15. Найти производную функции y 
7x  3
3  7x
 u  u 'v  u  v'
Применяем правило:  ' 
, получим:
v2
v
7 x  3  3  7 x   7 x  3  3  7 x   7  3  7 x   7 x  3   7  
y 
3  7 x 2
3  7 x 2
42

3  7 x 2 .
Пусть дана сложная функция y=g(u), где u=f(x).
Теорема 1. Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке x, а
функция y=g(u) определена на множестве значений функции f(x) и
дифференцируема в точке u=f(x), то сложная функция y=g(f(x)) в данной точке
x имеет производную, которая находится по формуле
𝑦𝑥´ = 𝑔´ (𝑢) ∙ 𝑓 ´ (𝑥) или 𝑦𝑥´ = 𝑦𝑢´ ∙ 𝑢𝑥´
(21)
76
Пример 16: Найти производную функции y   3  x 4  . Выполним замену


u  3  x 4 , тогда y  u 76 . По правилу y  f (U ( x)); y  f (u )  u ( x) получим
75

75

75
4
4
4
76










y   u    u  76u  u  76 3  x    3  x   76 3  x     4 x 3  










75
 304 x 3   3  x 4 


Пример 17. Найти производную функции 𝑦 = (𝑥 3 − 5𝑥 + 7)9 Данная функция
является сложной степенной функцией y= u9 , где u = 𝑥 3 − 5𝑥 + 7. Поэтому
получим: 𝑦 ´ = 𝑦 = ((𝑥 3 − 5𝑥 + 7)9 )´ = 9(𝑦 = (𝑥 3 − 5𝑥 + 7)8 ∙ (𝑥 3 − 5𝑥 + 7)´ =
9(𝑥 3 − 5𝑥 + 7)8 ∙ (3𝑥 2 − 5).
3
Пример 18. Найти производную функции 𝑦 = √(5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 )2
Эта функция также является сложной степенной функцией, а именно
2
2
𝑦 = 𝑢3 , где u=5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 . Поэтому 𝑦 ´ = ((5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 )3 )´ =
2
−1
= (5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 ) 3 ∙ ( 5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 )´ =
3
2(3−4𝑥)
3
3 √5+3𝑥−2𝑥 2
Пример 19: Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
24
0
0
lim 𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥
lim (𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥)′
lim 1−𝑐𝑜𝑠𝑥
=[ ]=
=
=
[
]=
3
3
2
0
0
𝑥→ 𝑥
𝑥 → 0 (𝑥 )′
𝑥 → 0 3𝑥
0
0
lim (1−𝑐𝑜𝑠𝑥)′
lim 𝑠𝑖𝑛𝑥
=
=[ ] =
2 )′
(3𝑥
6𝑥
0
𝑥→0
𝑥→0
=
lim (𝑠𝑖𝑛𝑥)′
lim 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos 0 1
==
=
=
𝑥 → 0 (6𝑥)′
𝑥→0 6
6
6
Признаки возрастания и убывания функции.
Теорема. Если производная функции y=f(x) в данном промежутке
значений x положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если
отрицательна, то функция убывает. Как возрастающие, так и убывающие
функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция
возрастает или убывает – промежутками монотонности.
Максимум и минимум функции. Значения аргумента, при которых
значения функции являются наибольшими или наименьшими, называются
соответственно точками максимума или минимума функции, а значение
функции при этих значениях аргумента – максимумом или минимумом (или
экстремумами) ее. Точками экстремума могут служить только критические
точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых
производная обращается в нуль или терпит разрыв. Если при переходе через
критическую точку 𝑥0 производная 𝑓′( 𝑥) меняет знак, то функция 𝑓( 𝑥) имеет
в точке 𝑥0 экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с
минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе
через критическую точку 𝑥0 производная 𝑓′( 𝑥) не меняет знака, то
функция 𝑓( 𝑥) в точке 𝑥0 не имеет экстремума.
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции,
непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и
вычислить значения функции в этих точках;
2)найти значения функции на концах промежутка;
3)сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них
являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в
рассматриваемом промежутке.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции
y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором
промежутке 𝑓′′( 𝑥) > 0, то кривая выпукла вниз (или вогнута) в этом
промежутке; если же 𝑓′′( 𝑥) < 0, то кривая выпукла вверх (или выпукла) в
этом промежутке.
Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости и
вогнутости этого графика, называется точкой перегиба. Точками перегиба
могут служить только критические точки, принадлежащие области
определения функции y=f(x), в которых вторая производная 𝑓′′( 𝑥) обращается
25
в нуль или терпит разрыв. Если при переходе через критическую точку 𝑥0
вторая производная 𝑓′′( 𝑥) меняет знак, то график функции имеет точку
перегиба (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )).
Пример 19. Найти промежутки монотонности функции f(x)=x2-8x+12
Решение. Находим производную: 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 8; имеем 2x-8=0, x=4
Последующие рассуждения представим в таблице 1.
Таким образом, данная функция в промежутке -∞<x<4 убывает, а в
промежутке 4<x<∞ возрастает.
Пример 20. Исследовать на экстремум функцию f(x)=-x2+5x+6.
Находим производную: 𝑓 ′ (𝑥) = −2𝑥 + 5, -2x+5=0, x=2,5. Составим
таблицу 2.
Таблица 1- Нахождение промежутков монотонности
x
-∞<x<4
f´(x)
f(x)
_
4
4<x<∞
0
+
↘
↗
Графиком функции f(x)=-x2+5x+6 служит парабола, изображенная на
рисунок 4.
Таблица 2 - Нахождение экстремумов функции
x
-∞<x<2,5
f´(x)
f(x)
+
2,5
2,5<x<∞
0
Fmax=f(2,5)=0,25
↗
-
↘
у
A (2,5;0,25)
х
0
Рисунок 4 - График функции
Пример 21. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x)=x2-4x+3
в промежутке 0≤ х≤3. Решение. f ′(x)=2x-4, 2x-4=0, x=2 – критическая точка.
Находим f(2)=-1;далее вычисляем значения функции на концах промежутка:
f(0)=3, f(3)=0. Итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигается ею
во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается
на левом конце промежутка (рисунок 5).
26
Рисунок 5 - График функции
Пример 22. Найти промежутки выпуклости кривой f(x)=x4-2x3+6x-4.
Решение. Находим f ′(x)=4x3-6x2+6, f ′′(x)=12x2-12x=12x(x-1). Очевидно, что в
промежутках -∞<х<0 и 1<х<∞ выполняется неравенство f ′′(x)>0,т.е. в этих
промежутках кривая выпукла вниз, а в промежутке 0<х<1 имеет место
неравенство f ′′(x)<0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх.
Пример 23. Найти точки перегиба кривой f(x)=6х2-х3
Решение. Находим f ′(x)=12х-3х2 ,f ′′(x)=12-6х. Полагая, что f ′′(x)=0, получим
единственную критическую точку х=2.Так как в промежутке -∞<х<2 имеем f
′′(x)>0, а в промежутке 2<х<∞ имеем
f ′′(x)<0, то при х=2 кривая имеет точку
перегиба. Найдем ординату этой точки: f(2)=16. Итак, (2;16) – точка перегиба.
Алгоритм исследования функции
1) Найти область определения функции D(y)
а) для многочленов: 𝑥 ∈ (−∞; +∞); б) для дробных функций: знаменатель ≠ 0;
в) для иррациональных функций: подкоренное выражение ≥ 0; г) для
логарифмических функций: все что есть под знаком логарифма > 0.
2) Исследовать на четность / нечетность
а) 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) - четная функция, график симметричен относительно оси Оу
б) 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) - нечетная функция, график симметричен относительно
начала координат (0; 0); в) 𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) - ни четная, ни нечетная
функция, НЕТ симметрии.
3) Найти пересечения с осями координат (если это возможно)
а) График ∩ 𝑂𝑋 => 𝑦 = 0, тогда найдите х
б) График ∩ 𝑂𝑌 => 𝑥 = 0, тогда найдите y
4) Исследовать на монотонность и экстремум (табл. 3);
а) Найти 𝑦′
б) 𝑦 ′ = 0 и найти х (если это возможно);
в) D(y) из пункта (1) разбить значениями х из пункта (4б), если таковые есть;
г) заполнить таблицу:
Таблица 3 – Исследование на монотонность и экстремум
x
Промежутки D(y) из пункта (1) разбить значениями х из пункта (4б),
если таковые есть
y’ Значения производной на каждом промежутке
y
«поведение» графика функции
27
Если 𝑦 ′ > 0, то 𝑦 ↑, а если 𝑦 ′ < 0, то 𝑦 ↓. Определить точки экстремума:
максимум или минимум.
Таблица 4 – Исследование на выпуклость и перегиб
x
Промежутки D(y) из пункта (1) разбить значениями х из пункта (5б),
если таковые есть
y’’
Значения второй производной на каждом промежутке
y
«поведение» графика функции
5) Исследовать на выпуклость и перегиб
а) Найти 𝑦′′;б) 𝑦 ′ ′ = 0 и найти х (если это возможно);
в) D(y) из пункта (1) разбить значениями х из пункта (5б), если таковые есть;
г) заполнить таблицу 4:
Если 𝑦 ′ ′ > 0, то 𝑦 ∪, а если 𝑦 ′ ′ < 0, то 𝑦 ∩. Определить точки перегиба.
6) Найти асимптоты, если это возможно.
а) Вертикальные: х=а, если х=а – точка разрыва 2го рода,
lim
lim
т.е.
𝑓(𝑥) = ∞; б) Горизонтальные: y=b, если
𝑓(𝑥) = 𝑏,
𝑥 → ±∞
𝑥→𝑎
сколько конечных пределов, столько и асимптот; в) Наклонные: y=kx+b, где
lim 𝑓(𝑥)
lim
[𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥] если к=0, то наклонных асимптот
𝑘=
,𝑏=
𝑥 → ±∞ 𝑥
𝑥 → ±∞
нет.
Пример 24: 𝑦 = ln(𝑥 + 2)
Решение: 1) D(y): 𝑥 + 2 > 0, 𝑥 > −2, т. к. функция логарифмическая,
следовательно 𝑥 ∈ (−2; +∞)
2) 𝑓(−𝑥) = ln(−𝑥 + 2) ≠ 𝑓(𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) функция ни четная, ни нечетная,
симметрии нет.
3) а) График ∩ 𝑂𝑋 => 𝑦 = 0, тогда ln(𝑥 + 2) = 0. Т.к. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑏 =
𝑎𝑐 и 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑏 = ln 𝑏, то 𝑥 + 2 = 𝑒 0 , 𝑥 + 2 = 1 ↔ 𝑥 = −1 ↔ график ∩ 𝑂𝑋 в точке
(-1; 0);
б) График ∩ 𝑂𝑌 => 𝑥 = 0, тогда 𝑦 = ln(0 + 2) = ln 2 ≈ 0,7 ↔ график ∩ 𝑂𝑌 в
точке (0; 0,7)
1
1
1
4) 𝑦 ′ =
∙ (𝑥 + 2)′ =
;
= 0; 1 ≠ 0 и 𝑥 + 2 ≠ 0 как знаменатель.
𝑥+2
𝑥+2 𝑥+2
Значит нет решений. Заполним таблицу 5:
Таблица 5 – Исследование на монотонность и экстремум
x
−2; +∞
y’
+
y
↑
𝑦 ′ (0) =
1
1
= >0
0+2 2
28
1
5) 𝑦 ′′
1
= ((𝑥 + 2)−1 )′ = −(𝑥 + 2)−2 = − (𝑥+2)2; − (𝑥+2)2 = 0; −1 ≠ 0 и
(𝑥 + 2)2 ≠ 0 как знаменатель. Значит нет решений. Заполним таблицу 6.
Таблица 6 – Исследование на выпуклость на перегиб
x
−2; +∞
y’’
y
∩
1
1
=
−
<0
(0 + 2)2
4
lim
6) 𝑥 ≠ −2, вертикальные:
ln(𝑥 + 2) = ln(−2 + 2) = ln 0 = ∞, значит
𝑥 → −2
lim
𝑥 = −2; горизонтальные:
ln(𝑥 + 2) = ∞, нет; значит наклонных тоже
𝑥 → ±∞
𝑦′
′(0)
=−
нет.
7) Строим график (рисунок 6)
у
у
у
0,7
-2 -1
0
0,7
х
-1
0
0,7
х
-2 -1
0
х
-2
Рисунок 6 – График функции
Отмечаем все найденные точки и плавной линией соединяем все точки,
учитывая возрастание, убывание и выпуклость графика.
Пример 25: 𝑦 = 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4
Решение: 1) D(y): 𝑥 ∈ (−∞; +∞), т. к. дан многочлен; 2) 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)4 −
5(−𝑥)2 + 4 = 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 𝑓(𝑥) функция четная, график симметричен
относительно оси Оу; 3) а) График ∩ 𝑂𝑋 => 𝑦 = 0, тогда 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0. Т.к.
𝑥 2 = 𝑡 , то 𝑡 2 − 5𝑡 + 4 = 0, 𝐷 = 9, 𝑡1,2 = 4; 1 ↔ 𝑥 2 = 1 ↔ 𝑥 = ±1 и 𝑥 2 = 4 ↔
𝑥 = ±2 график ∩ 𝑂𝑋 в точках (-1; 0), (1; 0), (-2; 0) и (2; 0)
б) График ∩ 𝑂𝑌 => 𝑥 = 0, тогда 𝑦 = 04 − 5 ∙ 02 + 4 = 4 ↔ график ∩ 𝑂𝑌 в
точке (0; 4)
4) 𝑦 ′ = 4𝑥 3 − 10𝑥; 4𝑥 3 − 10𝑥 = 0; 𝑥 = 0 и 𝑥 = ±√2,5 ≈ ±1,6. (рис. 7 и табл. 7)
−√2,5 0 √2,5
x
Рисунок 7 – Промежутки
29
Таблица 7 - Исследование на монотонность и экстремум
x −∞; −√2,5 −√2,5 −√2,5; 0 0 0; √2,5 √2,5 √2,5; +∞
y’
0
+
0
0
+
-2,25
4
-2,25
↑
↓
↑
y
↓
min
max
min
5
5) 𝑦 ′′ = 12𝑥 2 − 10; 12𝑥 2 − 10 = 0; 𝑥 = ±√ ≈ ±0,9 (таблица 8)
6
6) т.к. D(y): 𝑥 ∈ (−∞; +∞), значит точек разрыва нет, следовательно и асимптот
нет
7) Строим график (рисунок 8)
Таблица 8 - Исследование на выпуклость и перегиб
5
√
−∞;
−
x
6
y’
+
∪
y
5
5 5
5
5
√
√ ; +∞
−√
−√ ; √
6
6 6
6
6
0
0
+
0,5
0,5
∩
∪
перегиб
перегиб
у
-0,9
-2
у
у
4
0,9
0 -2,25
4
4
2 х
-2 -0,9
0,9
-2,25
2 х
-2
-0,9
0,9
-2,25
2 х
Рисунок 8 – График функции
Геометрический смысл:
tg  y  x0   k кас
(21)
Где kкас. - угловой коэффициент касательной проведенной к графику
функции y  f (x) в точке x0 .
Уравнение касательной проведенной к графику функции в точке x0 ; y0 
имеет вид:
y  y0  yx   x  x0 
(22)
Уравнение нормали проведенной к графику функции в точке x0 ; y0  имеет
вид:
30
y  y0  
1
  x  x0 
y x 
(23)
Физический смысл: производная по смыслу – скорость какого-либо
процесса. Рассмотрим формулы, использующиеся при решении физических
задач:
V  S (t )  скорость ,
a  V (t )  ускорение
(24)
Пример 26: Дано уравнение: y  3x 2  2 x  1 . Найти:
1) угловой коэффициент касательной в точке x0  1 ;
2) найти точку, в которой касательная наклонена к оси Ох под углом   135 ;
3) составить уравнение касательной в точке x0  1 .
Решение: 1) k кас  y x0   3  2 x  2  6 x  2 , k кас  y 1  6  1  2  4
2) tg  y x0   k кас и tg135  1 , отсюда
y0  y ( x0 )  
 6 x0  2  1 ;  6 x0  3 ; x0 
1
2
3
3) т.к. y  y0  yx   x  x0  , тогда при y1  2 и y1  4 ,
4,
получим y   2  4x 1 . Отсюда имеем уравнение касательной: y  4 x  2 .
1
1
y  y0  
  x  x0 
y  ( 2)  
  x  1
y x 

4
, тогда
, получим
1
1
1
9
х  . Отсюда имеем уравнение нормали: y  х  .
4
4
4
4
2
Пример 27: Дан закон движения точки: S (t )  5t  2t 2  t 3 . Найти:
3
y2
1) формулы скорости и ускорения;
2) значения скорости и ускорения в момент времени t0  1сек. ;
3) время, при котором скорость и ускорение равны нулю.
Решение: 1) V  S (t )  5  4t  2t 2 ; a  V (t )  4  4t
2) V (1)  5  4  2  7 ; a(1)  4  4  0
3) V  0   2t 2  4t  5  0  квадратное _ уравнение ; D  b 2  4ac  16  40  56 ,
t1, 2 
b D
14
1
2a
2
, a  0  4  4t  0  t  1
3.2 Задания для практической работы № 4
Задание: найти производную функций.
Вариант № 1
31
1
1. y  10 x3  2 x 2  1 , 2. y  5 x  x , 3. y  2 cos x  3 sin x , 4. y  tgx  3ctgx
2
2x  1
5. y  x3  1  x  , 6. y  e x  ln x , 7. y 
2x 1
Вариант № 2
cos x
x
3. y 
 5 sin x 4. y  4arctgx  3arcctgx
2 ,
3
,
1
2  3x
5. y  x 2   x  2 , 6. y  7 x  7. y 
x,
2  3x
Вариант № 3
1. y  3x 4  2  7 x3 , 2. y  x 
x
 2 x 3. y  5 cos x  2 sin x ,
3
,
3x  1
4. y  3 arccos x  2arcctgx , 5. y  x 2  2  3x , 6. y  4 x  ln x , 7. y 
3x  1
Вариант № 4
1. y  7 x3  5 x 2  3 , 2. y 
1
x
 6 x 3. y  6tgx  ctgx
7
4
,
3x  4
4. y  7 arccos x  2 arcsin x , 5. y  x 4  2  x  , 6. y  2 x  e x , 7. y 
3x  4
1. y  3x3  2 x  5 , 2. y 
Вариант № 5
1
1. y  8 x5  3x 2  5 x , 2. y  2 x  5 x , 3. y  ctgx  7tgx
2
4. y  2 arccos x  3arctgx , 5. y  x 4  1  2 x  , 6. y  4e x  ln x , 7. y 
Вариант № 6
8
x
sin x

3. y 
 9 cos x
3
x 2 ,
tgx
1
5  4x
4. y  ctgx 
5. y  x3  5 x  2 , 6. y  e x  7. y 
5 ,
x,
5  4x
1. y  3x5  4 x 2  10 x3 , 2. y 
Вариант № 7
32
7x 1
1 7x
sin x
1. y  12 x  7 x 4  5 x 2  3 , 2. y  e x  2 x , 3. y  7 cos x 
2
9x  2
4. y  12 arcsin x  5arcctgx , 5. y  x   x 2  3  6. y  8 x  ln x , 7. y 

,
2  9x
Вариант № 8
1
 4 x 3. y  14 sin x  3 cos x
7
,
7x  3
4. y  9 arccos x  5arctgx , 5. y  2 x3  1  7 x  , 6. y  4 ln x  e x , 7. y 
7x  3
Вариант № 9
1. y  15 x 2  9 x  5 x3 , 2. y 
tgx
 8ctgx
3
8x  1
4. y  7 arcsin x  8arctgx , 5. y  x5  2  x , 6. y  5e x  ln x , 7. y 
8x  1
1. y  7 x  5 x 2  9 , 2. y  7 cos x  9 sin x , 3. y 
Вариант № 10
cos x
x
 sin x  1
. y
2 ,
2
2
2  7x
4. y  4  arctgx  arcctgx  , 5. y  x 2  3  x  , 6. y  6 x  7. y 
x,
2  7x
1. y  3x 4  2 x  6 x3 , 2. y  7 x 
Вариант № 11
6
1. y  8 x3  5 x  3 , 2. y  4 x 2  2 x , 3. y  9tgx  ctgx
5
arccos x  2arcctgx
2  4x
4. y 
5. y  x   2x 2  3  6. y  8 x  ln x , 7. y 

,
7
4x 1
,
Вариант № 12
1. y  4 x3  7 x 2  3 x , 2. y 
1
4
 e x 3. y  7tgx  ctgx
7
9
,
5x  3
4. y  7  arctgx  arcsin x  , 5. y  5 x3  7  x  , 6. y  ln x  x , 7. y 
1  3x
33
3.3 Задания для практической работы № 5
Вариант 1
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑥 10 − 24𝑥 3 + 4𝑥, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
А) 𝑦 = 𝑒 arcsin 𝑥 , Б) 𝑦 = sin 3𝑥, В) 𝑦 = ln(𝑡𝑔 [5𝑥])
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑒 𝑥−𝑒 −𝑥−2𝑥
lim 𝑥 2
lim ln 𝑥
А)
, Б)
, В)
𝑥
𝑥 → 𝑥−sin 𝑥
𝑥 →𝑒
𝑥 → ln(sin 𝑥)
∞
0
0
Вариант 2
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 7𝑥 3 − 4𝑥 9 + 2𝑥 + 3, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
А) 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 , Б) 𝑦 = sin2 𝑥, В) 𝑦 = sin(𝑙𝑛 [7𝑥])
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑒 𝑥−1
lim ln 𝑥
lim ln(cos 𝑥)
А)
, Б)
3 , В)
𝑥 → sin 𝑥
𝑥 → √𝑥
𝑥→ 𝑥
∞
0
0
Вариант 3
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 3𝑥 5 − 14𝑥 2 − 7𝑥 + 2, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
А) 𝑦 = 𝑒 √𝑥 , Б) 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥 2 + 3), В) 𝑦 = ln(sin[5𝑥 ])
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑒 𝑥
lim 2𝑥 −3𝑥
lim 𝑥∙cos 𝑥−sin 𝑥
А)
,
Б)
, В)
5
𝑥 −5𝑥
𝑥
4
𝑥2
𝑥→
𝑥→
𝑥→
∞
0
0
Вариант 4
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 4 − 2𝑥 11 + 8𝑥 3 − 𝑥, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
2
2
А) 𝑦 = 3𝑥 , Б) 𝑦 = ln(3 − 7𝑥), В) 𝑦 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑥
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
𝑥
1
1
lim 1
lim
lim
А)
(ln 𝑥 − ln 𝑥), Б)
(𝑐𝑡𝑔 𝑥 − 𝑥), В)
(𝑥 ∙ sin 𝑥)
𝑥→
𝑥→
𝑥→
1
∞
0
34
Вариант 5
1. Найти производные высших порядков:
𝑥2
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 3𝑥 − 5𝑥 10 + 𝑥 7 − , Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = ln(2𝑥 − 3)
3
2. Найти производные сложных функций:
1
А) 𝑦 = 2sin 𝑥 , Б) 𝑦 = cos(𝑥 3 ), В) 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑥 3−33
lim 𝑥 3 −2𝑥 2 −𝑥+3
lim 𝑒 2𝑥−cos 2𝑥
А)
,
Б)
,
В)
𝑥 → 𝑥 2−32
𝑥 → 𝑥 3+7𝑥+6
𝑥 → 𝑒 3𝑥−cos 3𝑥
3
1
0
Вариант 6
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑥 10 − 24𝑥 3 + 4𝑥, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
А) 𝑦 = 𝑒 arcsin 𝑥 , Б) 𝑦 = sin 3𝑥, В) 𝑦 = ln(𝑡𝑔 [5𝑥])
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑒 𝑥−𝑒 −𝑥−2𝑥
lim 𝑥 2
lim ln 𝑥
А)
, Б)
, В)
𝑥
𝑥−sin
𝑥
𝑒
𝑥→
𝑥→
𝑥 → ln(sin 𝑥)
∞
0
0
Вариант 7
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 7𝑥 3 − 4𝑥 9 + 2𝑥 + 3, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
А) 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 , Б) 𝑦 = sin2 𝑥, В) 𝑦 = sin(𝑙𝑛 [7𝑥])
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑒 𝑥−1
lim ln 𝑥
lim ln(cos 𝑥)
А)
, Б)
3 , В)
sin
𝑥
𝑥→
𝑥 → √𝑥
𝑥→ 𝑥
∞
0
0
Вариант 8
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 3𝑥 5 − 14𝑥 2 − 7𝑥 + 2, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
А) 𝑦 = 𝑒 √𝑥 , Б) 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥 2 + 3), В) 𝑦 = ln(sin[5𝑥 ])
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑒 𝑥
lim 2𝑥 −3𝑥
lim 𝑥∙cos 𝑥−sin 𝑥
А)
,
Б)
, В)
5
𝑥
𝑥
𝑥2
𝑥 →𝑥
𝑥 → 4 −5
𝑥→
∞
0
0
Вариант 9
35
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 4 − 2𝑥 11 + 8𝑥 3 − 𝑥, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
2
2
А) 𝑦 = 3𝑥 , Б) 𝑦 = ln(3 − 7𝑥), В) 𝑦 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑥
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
𝑥
1
1
lim 1
lim
lim
А)
(ln 𝑥 − ln 𝑥), Б)
(𝑐𝑡𝑔 𝑥 − 𝑥), В)
(𝑥 ∙ sin 𝑥)
𝑥→
𝑥→
𝑥→
1
∞
0
Вариант 10
1. Найти производные высших порядков:
𝑥2
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 3𝑥 − 5𝑥 10 + 𝑥 7 − , Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = ln(2𝑥 − 3)
3
2. Найти производные сложных функций:
1
А) 𝑦 = 2sin 𝑥 , Б) 𝑦 = cos(𝑥 3 ), В) 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑥 3−33
lim 𝑥 3 −2𝑥 2 −𝑥+3
lim 𝑒 2𝑥−cos 2𝑥
А)
,
Б)
,
В)
𝑥 → 𝑥 2−32
𝑥 → 𝑥 3+7𝑥+6
𝑥 → 𝑒 3𝑥−cos 3𝑥
3
1
0
Вариант 11
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑥 10 − 24𝑥 3 + 4𝑥, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
А) 𝑦 = 𝑒 arcsin 𝑥 , Б) 𝑦 = sin 3𝑥, В) 𝑦 = ln(𝑡𝑔 [5𝑥])
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑒 𝑥−𝑒 −𝑥−2𝑥
lim 𝑥 2
lim ln 𝑥
А)
, Б)
, В)
𝑥
𝑥 → 𝑥−sin 𝑥
𝑥 →𝑒
𝑥 → ln(sin 𝑥)
∞
0
0
Вариант 12
1. Найти производные высших порядков:
А) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 7𝑥 3 − 4𝑥 9 + 2𝑥 + 3, Б) 𝑦 ′′ =?, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
2. Найти производные сложных функций:
А) 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 , Б) 𝑦 = sin2 𝑥, В) 𝑦 = sin(𝑙𝑛 [7𝑥])
3. Вычислить пределы, с помощью правила Лопиталя:
lim 𝑒 𝑥−1
lim ln 𝑥
lim ln(cos 𝑥)
А)
, Б)
3 , В)
𝑥 → sin 𝑥
𝑥 → √𝑥
𝑥→ 𝑥
0
∞
0
3.4 Задания для практической работы № 6
36
Исследовать функцию и построить график:
1 вариант 1) 𝑦 = 2𝑥 2 − 8𝑥; 2)𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 − 6
2 вариант 1) 𝑦 = −3𝑥 2 + 12𝑥; 2)𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 3
3 вариант 1) 𝑦 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 4; 2)𝑦 = 2𝑥 3 + 9𝑥 2 + 12𝑥 − 2
4 вариант 1) 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 15; 2)𝑦 = 𝑥 3 − 12𝑥 2 + 145
5 вариант 1) 𝑦 = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2; 2)𝑦 = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 − 10
6 вариант 1) 𝑦 = −𝑥 2 + 𝑥 + 6; 2)𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 8
7 вариант 1) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥; 2)𝑦 = 2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 8
8 вариант 1) 𝑦 = 2𝑥 2 − 3; 2)𝑦 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 + 8
9 вариант 1) 𝑦 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 12; 2)𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 − 1
10 вариант 1) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3; 2)𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2
3.5 Задания для практической работы № 7
Задание 1. Дано уравнение линии. Найти: 1) угловой коэффициент
касательной в точке x0  0 ; 2) найти точку, в которой касательная наклонена к
оси Ох под углом   45 ; 3) составить уравнение касательной и нормали в
точке x0  0 . Варианты:
1.1. y  2 x 2  2 x
1.2. y  x 2  4 x  8
1.3. y  2 x 2  4 x  3
1.4. y  2 x 2  2 x  1
1.5. y  2 x 2  8 x  9
1.6. y  3 x 2  6 x  4
1.7. y   x 2  2 x  2
1.8. y  x 2  3
1.9. y   x 2  4 x
1.10. y   x 2  4 x  4
1.11. y  3 x 2  3 x
1.12. y  x 2  8 x  16
1.13. y  3 x 2  4 x  2
37
1.14. y  2 x 2  2 x  1
1.15. y  4 x 2  8 x  7
1.16. y  5 x 2  5 x  2
1.17. y   x 2  4 x  3
1.18. y  x 2  5
1.19. y   x 2  3x
1.20. y  2 x 2  8 x  6
1.21. y  6 x 2  6 x
1.22. y  x 2  9 x  2
1.23. y  3 x 2  6 x  1
1.24. y  7 x 2  5 x  3
1.25. y  9 x 2  8 x  2
1.26. y  4 x 2  4 x  7
1.27. y  3x 2  4 x  5
1.28. y  x 2  6
1.29. y  8 x 2  2 x
1.30. y   x 2  7 x  3
1.31. y   x 2  5 x  9
1.32. y  7 x 2  3x
1.33. y  4 x 2  8 x  1
Задание 2. Дан закон движения точки: S  S (t ) . Найти: 1) формулы скорости и
ускорения; 2) значения скорости и ускорения в момент времени t  t0 ; 3) время,
при котором скорость и ускорение равны нулю. Варианты:
1
1
2.1. S  t 3  t 2  6t  2 , t0  1
3
2
2
1
2.2. S  t 3  t 2  t  1 , t0  2
3
2
2
7
2.3. S  t 3  t 2  6t  1 , t0  1
3
2
2.4. S  t 3  t 2  t  2 , t0  3
1
2.5. S  t 3  3t 2  8t  3 , t0  1
3
38
1
5
2.6. S  t 3  t 2  6t  2 , t0  2
3
2
1
2.7. S   t 3  2t 2  5t  1 , t0  1
3
5
2.8. S  t 3  2t 2  t  1 , t0  3
3
1
1
2.9. S   t 3  t 2  12t  1 , t0  2
3
2
4
11
2.10. S   t 3  t 2  3t  2 , t0  2
3
2
1
1
2.11. S  t 3  t 2  12t  4 , t0  1
3
2
1
5
2.12. S  t 3  t 2  6t  7 , t0  2
3
2
1
5
2.13. S  t 3  t 2  6t  3 , t0  3
3
2
1
6
2.14. S  t 3  t 2  27t  1 , t0  1
3
2
1
2.15. S  t 3  4t 2  16t  3 , t0  3
3
1
1
2.16. S  t 3  t 2  12t  2 , t0  2
3
2
4
2.17. S  t 3  6t 2  9t  1 , t0  1
3
2
1
2.18. S  t 3  t 2  6t  8 , t0  2
3
2
1
2.19. S  t 3  3t 2  8t  1 , t0  3
3
4
2.20. S   t 3  4t 2  3t  2 , t0  2
3
1
2.21. S  t 3  4t 2  9t  4 , t0  3
3
1
9
2.22. S  t 3  t 2  8t  3 , t0  2
3
2
1
2.23. S  t 3  t 2  15t  1 , t0  2
3
2
5
2.24. S   t 3  t 2  3t  1 , t0  1
3
2
1
2.25. S  t 3  3t 2  91t  3 , t0  1
3
39
1
2.26. S  t 3  4t 2  105t  2 , t0  1
3
1
2.27. S  4t 3  t 2  6t  2 , t0  2
2
5
2.28. S  t 3  t 2  2t  1 , t0  3
2
1
2.29. S  t 3  t 2  3t  4 , t0  2
3
1
2.30. S  t 3  2t 2  21t  2 , t0  1
3
1
2.31. S  t 3  3t 2  7t  3 , t 0  4
3
1
5
2.32. S  t 3  t 2  9t  2 , t 0  3
3
2
1
2.33. S   t 3  2t 2  2t  5 , t 0  2
3
40
Раздел 4 Основы интегрального исчисления
4.1 Интегрирование функций
Совокупность всех первообразных для функции f (x) или для
дифференциала f ( x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается:
 f ( x)dx  F ( x)  C ,
(1)
f (x) - подынтегральная функция;
f ( x)dx - подынтегральное
где
выражение; C - произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1) Постоянный множитель выносится за знак интеграла:  a  f ( x)dx  a   f ( x)dx .
2) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых
функций:   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
Для вычисления интегралов используют интегралы элементарных
функций:
 dx  x  C
n
 x dx 
x n 1
C
n 1
dx
 ln x  C
x
ax
x
 a dx  ln a  C

41
(2)
(3)
(4)
(5)
e
x dx  e x  C
 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
 tgxdx   ln cos x  C
 ctgxdx  ln sin x  C
(9)
(10)
dx
 ctgx  C
2
sin x
(12)
dx
x
 arcsin  C
a
a2  x2
(13)
dx
 ln x  x 2  a 2  C
x2  a2

(8)
(11)


(7)
dx
 tgx  C
cos2 x


(6)
dx

1
x
arctg  C
a
a
a2  x2
dx
1
ax
 2 2  2a  ln a  x  C
a x
Пример 1: Вычислите интеграл:  4  sin x dx .
Решение: По правилу  a  sin x dx  a   sin x dx получим  4  sin x dx 
 4   sin x dx . По формуле (7) получим 4   sin x dx  4   cos x   c 
 4 cos x  c .
Пример 2: Вычислите интеграл: 
1
dx .
16  x 2
1
1
Решение: По формуле (15) получим 
dx  
dx 
16  x 2
42  x 2
1
x
  arctg  c
4
4
1  x 
 dx .
Пример 3: Вычислите интеграл:  
x


42
(14)
(15)
(16)
1  x 
1
x
 dx    
 dx . По
Решение: Распишем дробь на два слагаемых  
x
x
x




1
x
 dx 
правилу   f x   g x dx   f ( x)dx   g ( x)dx получим ∫  
x
x


m
1
am
dx
x
n
 a mn ; a m  a n ; a  a 2 ,
 
dx . По свойству степеней
x
x
an
1
1

1

dx
x
dx
dx
получаем   
dx     x 2 dx     x 2 dx . По формулам (3, 4),
x
x
x
x
1
1
1
 1

dx
x 2
x2
получим    x 2 dx  ln x 
 c  ln x 
 c   ln x  2  x  c .
1
1
x
 1
2
2
3
x
Пример 4: Вычислите интеграл:  e dx .
Решение: Выполним замену, получим:
u  3x
3x
u
u
u
3x

 e dx  u du  3x  dx  3dx   e  3  3   e du  3  e  c  3  e  c
du
du  3dx
dx 
1
1
1
du
3
Здесь использовали формулу  e x dx  e x  c
Вычисление определенных интегралов непосредственно.
3 3 33 03
x


90 9
Пример 5.  x 2 dx 
3
3
3
0
0
4
4
Пример 6.  dx  1   dx  1  ln x 14  1  ln 4  ln 1  1  ln 4
7x 7
x 7
7
7
1
1
3
Вычисление определенных интегралов методом замены переменной
lnx = t
(lnx)′ dx = dt
e 9lnx
Пример 7. ∫1
5x
9
e lnx
dx = ∫1
5
x
1
dx =
x
1
dx = dt; dx = dt: = xdt
x
t в = lne = 1
t н = ln1 = 0
(
43
)
=
1
9 1 t
9 1
9 t2
9 12 02
9 1
9
= ∫
∙ xdt = ∫ tdt = ∙ | = ∙ ( − ) = ∙ =
= 0,9
5 0 x
5 0
5 2 0 5 2
2
5 2 10
20x = t
(20x)′ dx = dt
1
2
1
4
20x
Пример8. ∫ e
20dx = dt; dx =
dx =
1
20
et |
5
=
1
20
10
= ∫5 et
20
1
t в = 20 ∙ = 10
(
10
dt
2
1
t н = 20 ∙ = 5
4
dt
20
=
1
10
∫ et dt =
20 5
)
∙ (e10 − e5 )
Определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции (рисунок
9), ограниченной снизу – осью OX, сверху кривой y=f(x), слева и справа –
прямыми x=a, x=b.
Пример 9: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2x+4, y=0, x=1,
x=-1
Таблица 9 – Точки прямой
X 0
-2
y 4
0
Решение: y=2x+4 – прямая. Для построения прямой необходимо найти две
точки (таблица 9).
𝑏
𝑏
а) 𝑆 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
б) 𝑆 = − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
44
𝑏
𝑏
в) 𝑆 = ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Рисунок 9 – Графики функций
y=0 – ось OX, x=1, x= -1 – прямые параллельные OY. Строим все линии на
1
𝑥2
рисунке 10. 𝑆 = ∫−1(2𝑥 + 4)𝑑𝑥 = (2 + 4𝑥) | −11=
2
= (𝑥 2 + 4𝑥)| −11=1 + 4 − (1 − 4) = 8
Рисунок 10 – график функции
Пример 10: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2, y=2x
Решение: y=x2 – парабола, ветви вверх. Для построения параболы необходимо
найти точки (таблица 10).
Таблица 10 – Точки параболы
X -2 -1 0
2
1
y
4
1
0
4
1
y=2x – прямая. Для построения прямой необходимо найти две точки (таблица
11).
Таблица 11 – Точки прямой
X 0
2
y 0
4
Найдем a и b: x2=2x, x2-2x=0, x(x-2)=0, x=0, x=2; следовательно a=0, b=2.
Построим графики функций на рисунке 11.
45
Рисунок 11 – График функции
8
𝑺 = 𝑆б − 𝑆м = 4 − =
𝑺м =
2
∫0 𝑥 2 𝑑𝑥
=
12−8
3
3
𝑥3 2 8
| =
3 0 3
4
2
= , 𝑺б = ∫0 2𝑥𝑑𝑥 = 2
3
𝑥2 2
| =𝑥 2 | 20=4,
2 0
4.2 Задания для практической работы № 8
Задание: Найти интегралы.
Вариант 1
x
x
2
 2 dx , 2.  1  x  dx , 3.  7  7 dx
 2
5
3 
dx 5. 
4.  

dx 6.

2
2
2
16  9 x 
 sin x cos x  ,
,
1.

2
25  x 2
Вариант 2
2 dx 3.  3 e x dx
, 

3
2
dx
4.  cos x  2 sin x dx 5. 
dx 6. 
,
2
2
9 x
36  4 x 
,
1.  4 xdx 2.
,
  x  2
Вариант 3
x2
1. 
dx 2.  x 2   x3  3x dx 3.  3  5 x dx

 ,
2
,
3
3
dx
4.  1  2 cos3x dx , 5. 
dx 6. 
2
2
81  x
1 x
,
Вариант 4
1.  25 x 4dx 2.
,
 4  x    x
3  5 dx 3.  x 4 4 x dx



 , 

46
dx
4.  9tgxdx 5. 
,
5x
dx 6.
2
64  x
,
8

49  x 2
dx
Вариант 5
1.  3xdx 2.   8  3 x dx 3.
,

 ,
4.


5
 e x dx
 sin 2 x

 
  x  4
4x
2 dx 5.
dx 6.

,
2
9 x
,

3
16  x 2
dx
Вариант 6
 2  x    x  x


3 dx 3. 4  x dx

 , 
5
5
dx
4.   2 x 2  sin 5 x dx 5. 
dx 6. 
2

 ,
2
16  x
25  x
,
1.  9 x 2dx 2.
,
Вариант 7
1.  10 xdx 2.   x 2  4    x3  3 dx 3.   x 2  2 x dx
,

 
 ,


4
3
dx
4.   2e3x  sin x dx 5. 
dx 6. 
2

 ,
2
49  x
64  x
,
Вариант 8
2 dx 3.  4 x  2 x3 dx
, 

3
8
dx
4.  3  2 sin x dx 5. 
dx 6. 
,
2
2
4 x
25  x
,
1. 
3
dx 2.
2x  1 ,
  x  2
4.3 Задания для практической работы № 9
Задание: вычислить интегралы.
47
1 вариант
п
2
а) ∫0 cos 𝑑𝑥
3
г) ∫√2
𝜋
2
𝜋
−
2
2 2𝑑𝑥
∫1 𝑥 2−9
б)
в) ∫ (cos х − sin х)dx
𝜋
х
𝜋
е) ∫06 е𝑠𝑖𝑛 х ∙ 𝑐𝑜𝑠 х
д) ∫02 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
х2 −1
2 вариант
𝜋
4 𝑑𝑥
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
3
𝜋
2
а) ∫
б)
𝜋
2
𝜋
6
1
∫0 3𝑒 𝑥 𝑑𝑥
2
г) ∫0 sin 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥
в) ∫ cos х𝑑𝑥
д)
𝜋
2
3 𝑑𝑥
∫2 3𝑥+4
е) ∫0
sin 𝑥
3
√𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
dx
3 вариант
𝜋
4
𝜋
−
3
а) ∫ sin 𝑑𝑥
г)
б)
𝜋
3
3
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4
1 2𝑑𝑥
∫0 1+𝑥 2
в) ∫
𝜋
3
𝜋
4
1 ех
∫0 ех +5
dx
𝜋
д) ∫ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
𝑥
е) ∫𝜋 cos 𝑑𝑥
2
2
4 вариант
𝜋
3 𝑑𝑥
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4
2𝜋
𝑥
3
1 4𝑑𝑥
а) ∫
б) ∫0
𝜋
г) ∫0 cos 𝑑𝑥
д) ∫02
4
0
в) ∫−1(х2 + 2х)𝑑𝑥
𝑥 2 −4
𝜋
sin 𝑥𝑑𝑥
е) ∫03 𝑒 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥𝑑𝑥
√cos 𝑥
5 вариант
а)
2
∫1 (4𝑥 3
1
г)∫0 (𝑥 2
2
б)
− 6𝑥 + 2𝑥 + 1)dx
3
+ 1) 𝑑𝑥
𝜋
3 sin 𝑥
𝜋
1−cos 𝑥
2
д)∫
𝜋
21
𝜋
2
4
9 𝑑𝑥
∫4 𝑥
√
в) ∫
𝜋
2
cos 𝑥𝑑𝑥
е) ∫0 𝑒 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
6 вариант
а)
3
∫2 (3𝑥 2
1
г)∫0 (2𝑥 3
− 4𝑥 − 1)𝑑𝑥
4 2
+ 1) 𝑥 𝑑𝑥
б)
4 𝑑𝑥
д)∫2
𝑥−1
1 𝑑𝑥
∫0 𝑥 2 −1
𝜋
2
𝜋
2
3
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
6
в) ∫
𝑑𝑥
е)∫0 √2 sin 𝑥 + 1 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
48
7 вариант
п
2
а) ∫0 cos 𝑑𝑥
3
г) ∫√2
б)
𝜋
2
𝜋
−
2
2 2𝑑𝑥
∫1 𝑥 2−9
в) ∫ (cos х − sin х)dx
𝜋
х
𝜋
е) ∫06 е𝑠𝑖𝑛 х ∙ 𝑐𝑜𝑠 х
д) ∫02 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
х2 −1
8 вариант
𝜋
4 𝑑𝑥
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
3
𝜋
2
а) ∫
б)
𝜋
2
𝜋
6
1
∫0 3𝑒 𝑥 𝑑𝑥
2
г) ∫0 sin 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥
в) ∫ cos х𝑑𝑥
д)
𝜋
2
3 𝑑𝑥
∫2 3𝑥+4
е) ∫0
sin 𝑥
3
√𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
dx
9 вариант
𝜋
4
𝜋
−
3
а) ∫ sin 𝑑𝑥
г)
б)
1 2𝑑𝑥
∫0 1+𝑥 2
𝜋
3
𝜋
4
1 ех
∫0 ех +5
𝜋
3
3
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4
в) ∫
𝜋
д) ∫ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
dx
𝑥
е) ∫𝜋 cos 𝑑𝑥
2
2
10 вариант
𝜋
3 𝑑𝑥
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4
2𝜋
𝑥
3
а) ∫
г) ∫0 cos 𝑑𝑥
4
1 4𝑑𝑥
б) ∫0
𝑥 2 −4
𝜋
д) ∫02
sin 𝑥𝑑𝑥
√cos 𝑥
0
в) ∫−1(х2 + 2х)𝑑𝑥
𝜋
е) ∫03 𝑒 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥𝑑𝑥
4.4 Задания для практической работы № 10
Группа 1
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1) 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2, 2) 𝑦 = 𝑥 2 + 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2
1
3) 𝑦 = , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3, 4)𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = −3𝑥
𝑥
5)𝑦 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 18, 𝑦 = −2𝑥 + 18
Группа 2
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1) 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 = 3, 2) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 3
49
𝜋
3) 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = , 4)𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2
2
2
5) 𝑦 = 𝑥 − 6𝑥 + 9, 𝑦 = 3𝑥 − 9
Группа 3
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0, 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0, 𝑦 = 0, 2) 𝑦 = 0,5𝑥 2 + 2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3
𝜋
3) 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = , 4)𝑦 = 4𝑥 3 , 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2
3
5)𝑦 = −𝑥 2 + 10𝑥 − 16, 𝑦 = 𝑥 + 2
Группа 4
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1) 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0, 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 6
𝜋
𝜋
2) 𝑦 = −𝑥 2 − 2𝑥 + 8, 𝑦 = 0, 3) 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = , 𝑥 =
6
3
4)𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 5)𝑦 = 0,5𝑥 2 − 4𝑥 + 10, 𝑦 = 𝑥 + 2
Группа 5
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
2
4
1) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 3, 2) 𝑦 = − 𝑥 2 + 𝑥, 𝑦 = 0
9
3
2
3) 𝑦 = −3𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 4)𝑦 = −𝑥 + 2𝑥 + 3, 𝑦 = 0
5)𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3, 𝑦 = 3𝑥 − 1
Группа 6
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1) 𝑦 = 3𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = −3, 𝑥 = 2, 2) 𝑦 = −𝑥 2 + 6𝑥 − 5, 𝑦 = 0, 𝑥 = 3, 𝑥 = 2
3) 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = −3, 4)𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 + 2
1
5)𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 4, 𝑦 = −𝑥 + 10
3
Группа 7
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1
2
1) 𝑦 = − 𝑥 2 + 3, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 3, 2) 𝑦 = , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 4
3
𝑥
3) 𝑦 = −3𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 4)𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 + 8
5)𝑦 = −𝑥 2 + 𝑥 + 6, 𝑦 = 0
50
Раздел 5 Основы теории вероятностей и математической статистики
5.1 Элементы комбинаторики
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих
элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов
обозначается символом Рn. Пусть мы имеем n элементов. На первое место
можно поставить любой из них всего п выборов. На второе место любой из
оставшихся, т. е. n-1 выбор. На третьем месте любой из оставшихся после
первых двух выборов, т. е. n-2 выбора и т. д. В результате получим: Рn = n·(n1)·(n-2)…2·1. Если произведение обозначим 1·2·3…(n-1)·n = n!, то число
всевозможных перестановок из к элементов вычисляется по формуле:
𝑃𝑛 = 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛
(1)
Размещением из n элементов по к (к≤n) называется любое множество,
состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных n
элементов.
51
Каждое множество при размещении отличается порядком элементов или
их составом. Число размещений из n элементов по к обозначают Аkn.
𝑛!
𝐴𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!
(2)
Сочетанием из n элементов по к называется любое множество,
составленное из к элементов, выбранных из данных n элементов.
Число сочетаний из n элементов по к обозначается Сkn. В сочетаниях не
имеет значения порядок элементов, сочетания отличаются составом элементов.
𝐶𝑛𝑘 =
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
(3)
Бином Ньютона:
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝐶𝑛0 ∙ 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 0 + 𝐶𝑛1 ∙ 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑏1 +
+𝐶𝑛2 ∙ 𝑎𝑛−2 ∙ 𝑏 2 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1 ∙ 𝑎1 ∙ 𝑏 𝑛−1 +
+𝐶𝑛𝑛 ∙ 𝑎0 ∙ 𝑏 𝑛
(4)
(к+1)-ый член разложения бинома Ньютона (𝑎 + 𝑏)𝑛
𝑇𝑘+1 = 𝐶𝑛𝑘 ∙ 𝑏 𝑘 ∙ 𝑎𝑛−𝑘
(5)
Пример 1: Сколькими способами можно расставить 7 бегунов на 7 дорожках?
Решение: Р7 =7!=1·2·3·4·5·6·7=5040
Ответ: 5040 способов.
Пример 2: На собрание пришли 3 девочки и 4 мальчика. Сколькими способами
можно их рассадить, если девочки хотят сидеть рядом?
Решение: Если рассмотреть девочек как одну, всего перестановок будет Р5. В
каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р3 перестановок девочек.
Искомое число перестановок: Р5·Р3 = 5!·3!=1·2·3·4·5·1·2·3=720
Ответ: 720 способов.
Пример 3:Учащиеся одного класса изучают 8 предметов. Сколькими способами
можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных
предметов.
Решение: Расписание на один день отличаются либо порядком следования
предметов, либо самими предметами. Значит, здесь речь идет о размещении из
8 элементов по 4. А48= 8·7·6·5=1680.
Ответ: 1680 способов.
Пример 4:Сколько существует пятизначных телефонных номеров, в каждом из
которых все цифры различны и первая цифра различна от нуля?
Решение: Число размещений из десяти элементов по пять – А510. Число
размещений начинающихся с цифры ноль – А49. Число телефонных номеров
равно: А510 – А49 =10·9·8·7·6 – 9·8·7·6 = 27216.
52
Ответ: 27216 номеров.
Пример 5:Из 12 учеников нужно выбрать 3 ученика на улусный новогодний
бал. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним учеником.
Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 12 элементов по 3:
С312 = 1·2·3·…·9·10·11·12 = 220
1·2·3·1·2·3·…·9
Ответ: 220 способов
Пример 6: В классе 10 девочек и 8 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных.
Сколькими способами можно сделать этот выбор, если: а) среди них должен
быть 1 мальчик; б) это могут быть любые 3 ученика?
Решение: а) выбрать одного мальчика можно С18 способами:
С18 = 1·2…·8 = 8
1!·1·2·..·7
Выбрать из 10 девочек 2 дежурных можно С210 способами:
С210 = 1·2·…·8·9·10 = 45
1·2·1·2·…·8
Способов из 3 дежурных, среди которых 1 мальчик, всего:
С18 · С210 = 8·45=360
Ответ: 360 способов.
б) любых 3 учеников из 18 учащихся можно выбрать
С318 = 1·2·3…15·16·17·18 = 816
1·2·3·1·2·3·…·15
Ответ: 816 способов.
Пример 7. Разложить бином
по степеням x.
Решение:
Применяем
формулу
бинома
Ньютона:
Значения
формуле:
биномиальных
коэффициентов
находим
последовательно
С𝑘𝑛 + С𝑘+1
= С𝑘+1
𝑛
𝑛+1
по
(6)
Например,
Получаем:
1
12
Пример 8. Найти девятый член разложения степени бинома ( + 𝑥)
Решение: Применяем формулу Tk+1 =
1 12−8
(𝑥)
1 4
Cnk
k
n−k
∙b ∙a
1
= 495 ∙ x 8 ∙ ( ) = 495 ∙ x 8 ∙ 4 = 495 ∙ x 4
𝑥
𝑥
5.2 События. Операции над событиями
53
𝑥
8
, тогда T9 = T8+1 = C12
∙∙ x 8 ∙
Событие – явление, которое происходит в результате осуществления
какого-либо комплекса условий.
Сами испытания проводятся человеком или природой. Условия могут
меняться помимо воли испытателя, поэтому исходом испытания может быть не
ожидаемое событие, а какое-либо другое заранее неизвестное, которое
называется случайным.
Случайное событие- это событие, которое может произойти или не
произойти в результате одного испытания. Обозначение событий- заглавные
буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.. Примеры: Испытание- бросание
монеты. Случайные события- выпадение герба или цифры. Испытание- выстрел
по мишени. Случайные события- выбивание количества очков от 0 до 10.
Рассмотрим пример: из урны, содержащей 5 красных шаров, вынимают два
шара. Событие - оба шара- красные произойдет обязательно, а событие- один из
них белый- произойти не может. Первое из этих событий называется
достоверным, а второе -невозможным.
Достоверное событие- это событие, которое обязательно произойдет в
результате испытания.
Невозможное событие- это событие, , которое не может произойти в
результате испытания.
События А и В называются несовместными, если наступление одного из
них исключает появление другого.
События А и В называются совместными, если в результате данного
испытания появление одного не исключает появление другого.
̅ называются противоположными или взаимно
События А и А
дополнительными, если не появление одного влечет появление другого.
Пример: испытание- контрольная работа. События- студент справился с
работой и- не справился. В результате испытания обязательно произойдет либо
первое, либо второе.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление
события А влечет за собой появление события В.
Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно
должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта
группа событий называется полной группой. Рассмотрим группы событий
испытания - выстрел по мишени: 1. Аi, i=0-10, выбивание i очков; 2. Четное В и
нечетное С количество очков; 3. Выбивание очков меньше 5- событие D,
выбивание очков больше 4 - событие Е. В каждой группе какое -либо событие в
результате испытания обязательно произойдет, причем появление одного из
них исключает появление всех остальных. Такие события называются полной
группой событий. Два противоположных события составляют полную группу.
Составим полную группу событий для испытания- подбрасывание трех
монет одновременно (без учета порядка следования). Выпадение герба
обозначим Г, цифры- Ц. Каждое элементарное событие запишем в виде
сочетания этих обозначений: ГГГ, ГЦЦ, ГГЦ, ЦЦЦ. Полная группа состоит из
54
4-х элементарных событий. В результате испытания обязательно выпадет
какая-либо из этих комбинаций.
Операции над событиями. Сумма событий. Суммой нескольких событий
называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в
результате испытания. Сумма событий А и В обозначается : А+В. Если события
А и В совместные, то их сумма означает наступление А или В, или их
совместное появление.
Произведение событий. Произведением нескольких событий называется
событие, состоящее в их совместном наступлении в результате испытания.
Обозначение произведения событий : АВ. Пусть событие А- из колоды карт
вынут "валет", событие В- вынута карта бубновой масти, тогда событие АВ
означает их совместное наступление, а именно, что вынут бубновый "валет".
Испытание- бросание кубика. События: А- выпадение четного количества
очков, В- выпадение очков, кратных трем. Тогда событие АВ- выпадение шести
очков.
5.3 Вычисление вероятностей простых и сложных событий
Вероятностью события А называется отношение числа m случаев,
благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев:
P  A 
Свойства: 1) 0  p A  1
m
n
 невозможное 
(7)
 достоверное 
  0 3) p
  1
2) p
 событие

 событие

Теоремы сложения вероятностей (если произошло или А или В)
1) А и В несовместны (или только А, или только В)
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
(8)
2) А и В совместны (или только А, или только В, или только А и В)
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵)
(9)
Теоремы умножения вероятностей (если А и В происходят одновременно)
1) А и В независимы
𝑃(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
(10)
𝑃(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃в (𝐴)
(11)
2) А и В зависимы
55
Пример 9: Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность
появления карты пиковой масти?
Решение: Пусть А – выпадение карты пиковой масти. Всего событий n  36 ,
число благоприятствующих событий (всего пиковых карт) m  9 . Тогда
P  A 
9
 0,25 .
36
5.4 Вариационный и статистический ряд. Эмпирическая функция
Генеральная совокупность (ГС) – это все объекты, предназначенные для
исследования. Количество объектов ГС называется её объемом (N). Число
элементов в выборке называется объемом выборки (n).
Первичная обработка выборки. Пусть из ГС извлекли выборку, причем
разные объекты имели бы разные числовые значения (xi) изучаемого параметра.
Наблюдаемые значения изучаемого параметра называются вариантами (xi).
Последовательность вариант, записанная в порядке возрастания
(убывания), называется вариационным рядом: {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 } есть
вариационный ряд, если 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛 ( или 𝑥1 ≥ 𝑥2 ≥ 𝑥3 ≥ ⋯ ≥ 𝑥𝑛 ).
Число, показывающее, сколько раз данная варианта 𝑥𝑖 встречается в
совокупности, называется частотой варианты (ni).
𝑛
Отношение 𝑖 = 𝜔𝑖 называется относительной частотой варианты.
𝑛
Статистическим распределением выборки (или статистическим рядом)
называется перечень вариант 𝑥𝑖 вариационного ряда и соответствующих им
частот 𝑛𝑖 (либо относительных частот 𝜔𝑖 ) смотри таблицу 12.
При большом объеме выборки или при незначительных отклонениях
вариант строят интервальный статистический ряд: интервал, содержащий все
значения выборки, разбивают на k равных интервалов и подсчитывают частоты
интервалов.
Таблица 12 – Вариационный ряд
…
𝒙𝒊
𝑥1
𝑥2
𝑥𝑘
…
𝒏𝒊
𝑛1
𝑛2
𝑛𝑘
Размахом выборки называют расстояние между наибольшим и
наименьшим значением вариант этой выборки.
Расчет длины и границ интервалов проводится по следующим формулам:
∆𝑥 =
𝑥𝑚𝑎𝑥 −𝑥𝑚𝑖𝑛
𝑘−1
,
(12)
= 𝑥1 ,
(13)
где k-количество задаваемых интервалов;
𝑥лев = 𝑥𝑚𝑖𝑛 −
56
∆𝑥
2
𝑥прав = 𝑥𝑚𝑎𝑥 +
∆𝑥
2
.
(14)
Остальные границы рассчитываются по формуле
𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 + ∆𝑥.
(15)
Частотой интервала называется количество всех вариант, попавших в
данный интервал.
Интервальный ряд представлен в таблице 13, где 𝑥̂𝑖 -середина интервала
(𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 ).
Таблица 13 – Интервальный ряд
(𝒙𝒊 ; 𝒙𝒊+𝟏 )
№
𝒏𝒊
𝒙̂𝒊
(𝑥1 ; 𝑥2 )
1
𝑛1
𝑥
̂1
(𝑥2 ; 𝑥3 )
2
𝑛2
𝑥
̂2
…
…
…
…
(𝑥𝑘−1 ; 𝑥𝑘 )
k
𝑛𝑘
𝑥̂𝑘
После построения статистического ряда выборки строят их
геометрические аналоги, полигон и гистограмму.
Полигоном частот называют ломаную линию на координатной плоскости,
отрезки которой соединяют последовательно точки (𝑥1 ; 𝑛1 ), (𝑥2 ; 𝑛2 ), … , (𝑥𝑘 ; 𝑛𝑘 )
(рисунок 12).
Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы (𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 )
𝑛
длиной ∆𝑥, а высоты равны отношению 𝑖 рисунок 13.
∆𝑥
На гистограмме частот строят эмпирическую функцию плотности
распределения 𝑓 ∗ (𝑥) (рисунок 13).
ni
n2
n1
x1 x2
xi
x3
Рисунок 12 – Полигон
Эмпирической функцией распределения (обозначается 𝐹 ∗ (𝑥)) называют
функцию, определяющую для каждого числа x относительную частоту события
X < x:
𝐹 ∗ (𝑥) =
57
𝑛𝑥
𝑛
,
(16)
где 𝑛𝑥 -число вариант, меньших х, n – объем выборки.
Рисунок 13 – Гистограмма
Пример 10. Получены результаты тестового экзамена по математике в баллах:
5,3,7,10,5,5,2,10,7,2,7,7,4,2,4. Представить данные в виде вариационного и
статистического ряда, построить полигон.
Решение. Объем выборки n = 15. Упорядочим выборку и получим
вариационный ряд: 2,2,2,3,4,4,5,5,5,7,7,7,7,10,10. Построим статистический ряд
(табл. 14)
Таблица 14 – Статистический ряд
3
4
5
7
10
𝒙𝒊 2
1
2
3
4
2
𝒏𝒊 3
Полигон частот представлен на рисунке 14. Пример 11. В течение месяца
ежедневно тщательно изучался расход горючего на автопредприятии. В
результате получены данные: 102,256; 78,235; 95,624; 69,124; 112,352;
108,782; 119,546; 86,325; 89,126; 97,563; 101,325; 62,358; 110,256; 99,325;
103,651; 107,896; 111,238; 68,265; 72,348; 76,158; 97,589; 105,465; 88,658;
96,102; 112,325; 124,852; 106,324; 119,521; 114,368; 120,563. Построить
равномерный интервальный ряд из семи интервалов, гистограмму и функцию
плотности распределения.
Рисунок 14 – Полигон
58
Решение. Вычислим длину каждого элементарного интервала:
𝑥
−𝑥
62,494
∆𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 =
≈ 10,416, где k = 7 –количество
𝑘−1
6
интервалов; 𝑥лев = 𝑥𝑚𝑖𝑛 −
∆𝑥
10,416
∆𝑥
2
= 𝑥1 = 62,358 −
10,416
2
задаваемых
= 57,15, 𝑥прав = 𝑥𝑚𝑎𝑥 +
+ = 124,852 +
= 130,06. Остальные границы рассчитываются по
2
2
формуле 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 + ∆𝑥.
𝑥2 = 57,15 + 10,416 = 67,566; 𝑥3 = 67,566 + 10,416 = 77,982,
𝑥4 = 88,398; 𝑥5 = 98,814; 𝑥6 = 109,23; 𝑥7 = 119,646; 𝑥8 =130,062
Подсчитываем количество вариант, попадающих в каждый из интервалов:
в первый интервал (между значениями х1 и х2) попадает всего одна варианта, во
второй – 4, в третий -2, в четвертый – 6, в пятый – 8, в шестой -7, в седьмой – 2.
Строим интервальный ряд (табл. 15):
Таблица 15 – Интервальный ряд
№ интервала
xi;xi+1
ni
1
1
57,15; 67,566
2
4
67,566; 77,982
3
2
77,982; 88,398
4
6
88,398; 98,814
5
8
98,814; 109,23
6
7
109,23; 119,646
7
119,646; 130,062
2
Объем выборки -30. Сумма интервальных частот тоже равна30,
следовательно, частоты подсчитаны верно. Гистограмма и эмпирическая
функция плотности распределения представлены на рисунок 15.
Пример 12. Найти эмпирическую функцию распределения по данному
распределению выборки и построить её график. Данные представлены в
таблице 16.
Рисунок 15 – Гистограмма и эмпирическая функция
xi
ni
Таблица 16 – Данные примера 12
2
5
7
8
1
3
2
4
59
Рисунок 16 – График функции
Решение. Найдем объем выборки n=1+3+2+4=10. Наименьшая варианта х = 2,
следовательно F*(x) = 0 при x < 2. Значение события X<5 наблюдалось 1 раз, то
есть F*(x)=1/10 при 2 ≤ 𝑥 < 5. Значение события X<7 наблюдалось 4 раза,
поэтому F*(x)=4/10 при 5 ≤ 𝑥 < 7. Значение события X<8 наблюдалось 6 раз,
поэтому F*(x)=6/10 при 7 ≤ 𝑥 < 8. Так как х=8 – наибольшая варианта, то
F*(x)=10/10=1 при𝑥 ≥ 8. Таким образом, получили аналитическое задание
искомой эмпирической функции распределения:
0,
𝑥<2
0,1 , 2 ≤ 𝑥 < 5
𝐹 ∗ (𝑥) = 0,4, 5 ≤ 𝑥 < 7
0,6, 7 ≤ 𝑥 < 8
{ 1, 𝑥 ≥ 8
А график имеет вид (рисунок 16).
5.5 Дискретной случайной величины (ДСВ). Законы распределения
ДСВ. Числовые характеристики ДСВ
Случайной величиной называют такую переменную величину, которая под
воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями
принимать те или иные значения из некоторого множества чисел. Случайная
величина Х называется дискретной, если результаты наблюдений
представляют собой конечный или счетный набор возможных чисел.
Законом распределения дискретной случайной величины называют
соотношение, устанавливающее связь между отдельными значениями
случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Соответствие между возможными значениями x1, x2,…,xn случайной
величины Х и их вероятностями p1, p2,…,pn называется законом распределения
случайной величины Х.
Закон распределения случайной величины может быть представлен в
виде таблицы 17.
Таблица 17 - Закон распределения
случайной величины
x1
x2
…
xi
…
xn
х
60
р
p1
p2
…
pi
…
pn
Сумма вероятностей равна единице, т.е.
p1+ p2+…+pn=1.
(17)
Биномиальное распределение. Пусть случайная величина Х- число
появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность появления события А равна p, а непоявления – q=1-p. Очевидно,
что Х может принимать значения 0,1,2,…,n, вероятности которых определяются
по формуле Бернулли:
𝒎 𝒏−𝒎
𝑷𝒏 (𝒎) = 𝑷(𝑿 = 𝒎) = 𝑪𝒎
, m=1,2,3…n.
𝒏𝒑 𝒒
(18)
Закон распределения случайной величины Х, имеющий вид (таблице18)
называется биномиальным распределением.
Таблица 18 - Биномиальное распределение случайной величины Х
0
1
2
…
m
…
n
х
𝐦 𝐦 𝐧−𝐦
𝟎
𝟎
𝐧
𝟏
𝟏
𝐧−𝟏
𝟐
𝟐
𝐧−𝟐
𝐧
р 𝐂𝐧 𝐩 𝐪 𝐂𝐧 𝐩 𝐪
𝐂𝐧 𝐩 𝐪
𝐂𝐧 𝐩 𝐪
𝐂 𝐧 𝐩 𝐧 𝐪𝟎
Пример 13. Составить закон распределения числа попаданий в цель при
четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.
Решение. Случайная величина Х – число попаданий в цель при четырех
выстрелах – может принимать значения 0,1,2,3,4, а соответствующие им
вероятности находим по формуле Бернулли:
𝐏(𝐗 = 𝟎) = 𝐂𝟒𝟎 𝟎, 𝟗𝟎 𝟎, 𝟏𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏;
𝐏(𝐗 = 𝟏) = 𝐂𝟒𝟏 𝟎, 𝟗𝟏 𝟎, 𝟏𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟔;
𝐏(𝐗 = 𝟐) = 𝐂𝟒𝟐 𝟎, 𝟗𝟐 𝟎, 𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟖𝟒;
𝐏(𝐗 = 𝟑) = 𝐂𝟒𝟑 𝟎, 𝟗𝟑 𝟎, 𝟏𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟏𝟔;
𝐏(𝐗 = 𝟒) = 𝐂𝟒𝟒 𝟎, 𝟗𝟒 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟔𝟏
Итак, искомый закон распределения имеет вид (таблица 19):
Таблица 19 - Закон распределения числа попаданий в цель при четырех
выстрелах
0
1
2
3
4
х
0,0001
0,0036
0,0486
0,2916
0,6561
р
Математическое ожидание. Среди числовых характеристик ДСВ весьма
важной является математическое ожидание, которое указывает, какое среднее
значение случайной величины следует ожидать в результате испытаний или
наблюдений.
Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х
называется сумма произведений всех ее возможных значений на их
вероятности:
61
M(X)=𝐱 𝟏 𝐩𝟏 + 𝐱 𝟐 𝐩𝟐 + 𝐱 𝐧 𝐩𝐧 = ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐱 𝐢 𝐩𝐢
(19)
Пример14. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон
распределения (табл.20):
Таблица 20 - Закон распределения ДСВ
х -1
р 0,2
0
0,1
1
0,25
2
0,15
3
0,3
По формуле находим М(Х)=-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,25+2∙0,15+3∙0,3=1,25
Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата ее
отклонения: D(X)=M(X-M(X))2. Более удобной для вычисления является
формула:
D(X)=М(Х2) – (М(Х))2 .
(20)
Пример15. Дискретная случайная величина распределена по закону (таблица
21), найти D(X).
Таблица 21- Закон распределения ДСВ
0
1
2
х -1
0,4
р 0,2 0,1 0,3
Находим сначала М(Х)=-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,3+2∙0,4=0,9, а затем
М(Х2)=1∙0,2=0∙0,1+1∙0,3+4∙0,4=2,1, D(X)=2,1-0,92=2,1-0,81=1,29
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х
называется квадратный корень из дисперсии
σ(Х)=√𝐃(𝐗).
(21)
5.6 Задания для практической работы № 11
Вариант 1
Задача 1. Сколькими способами можно составить пятизначное число из цифр 1,
3, 5, 7, 9?
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 20 человек?
Задача 3. Сколькими способами можно из 30 человек назначить председателя и
секретаря?
Задача 4. Во взводе 5 сержантов и 30 солдат. Сколькими способами можно
выбрать наряд из двух сержантов и трёх солдат?
Задача 5. Разложить выражение по формуле бинома Ньютона (2m2 – n4)5
14
Задача 6. Найти одиннадцатый член разложения степени бинома (3𝑥 + 5√𝑥)
62
Вариант 2
Задача 1. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг разных
авторов?
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать 3 разные краски из 5 разных
красок?
Задача 3. Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух
дежурных, один из которых - старший?
Задача 4. Из 11 роз и 6 гербер нужно составить букет, в котором 3 розы и 2
герберы. Сколько разных букетов можно составить?
Задача 5. Разложить выражение по формуле бинома Ньютона (k6 – 3d2)4
2 12
Задача 6. Найти восьмой член разложения степени бинома (𝑥 2 − )
𝑥
5.7 Задания для практической работы № 12
Вариант 1
Задание: 1) Решите задачи
1) В математическом бое участвовали команды Братской, Зиминской и
Тулунской школ. Сколько вариантов распределения мест между ними
возможно?
2) У Спящей Красавицы 7 платьев. Сколькими способами она может их
надевать, меняя каждый день, в течение недели?
3) Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест и одного
поощрительного приза, если в олимпиаде по математике участвуют 24 ученика?
4) Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего
имеется 20 учебных предметов, а в расписание могут быть включены 6
предметов?
5) Сколько вариантов распределения двух путевок в президентскую ёлку
можно составить для 6 претендентов?
6) Алладин захотел купить для Жасмин два браслета. Сколькими способами он
может их выбрать из 36 браслетов?
7) Решите уравнение: 20𝐴3𝑛−2 = 𝐴5𝑛
2) Ответьте на вопросы:
1.Какие из следующих событий являются достоверными, какие невозможными,
какие случайными
a. Два попадания при трех выстрелах
b. Появление не более 18 очков при бросании трех игральных костей
c. Наугад выбранное трехзначное число не более 1000
d. Наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений,
меньше 400?
e. Появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 3 числа при
произвольном однократном наборе указанных цифр
f. Случайная встреча Пети и Кати около театра
63
2.Какие из событий являются частью другого события
a. Попадание в мишень одним выстрелом
b. Попадание в мишень по меньшей мере одним из четырех выстрелов
c. Попадание точно в мишень одним из двух выстрелов
d. Попадание в мишень не более чем пятью выстрелами
3.В чем состоит события A+B?
A-попадание в мишень одним выстрелом, B-попадание в мишень двумя
выстрелами.
4.В чем состоит событие A+B+C+D? Если A-лотерейный выигрыш 1 рубль, Bлотерейный выигрыш 2 рубля, C-лотерейный выигрыш 3 рубля, D-лотерейный
выигрыш 4 рубля.
5.В чем состоит событие A1+A2+A3+…+A100? Если A1- поражение мишени
одним выстрелом,
A2- поражение мишени двумя выстрелами, A3- поражение мишени тремя
выстрелами, …,
A100- поражение мишени сотней выстрелов
6.Выясните смысл событий u+u, v+v, u+v, если: u – достоверное событие; v –
невозможное событие.
7.В чем состоят события: а) ABC; б) AB. Если A-появление нечетного числа
очков при бросании игральной кости, B - непоявление трех очков при бросании
игральной кости, C - непоявление пяти очков при бросании игральной кости.
8.Докажите: а) 𝐴1 ̅̅̅
𝐴4 = 𝐴2 + 𝐴3 , б) 𝐴2 ∙ 𝐴3 = 𝑉, в) 𝐴1 ∙ 𝐴2 = 𝐴2 . Если A1появление четного числа очков при бросании игральных костей, A2-появление
двух очков при бросании игральных костей, A3-появление четырех очков при
бросании игральных костей, A4-появлении шести очков при бросании
игральных костей.
9.В чем состоят события: а) 𝐴 − 𝐵, б) 𝐴 − 𝐵̅, в) 𝐴̅ − 𝐵, г) ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 − 𝐵, д) 𝐴̅ − 𝐵̅, если
A-ежедневный завтрак, B-завтрак в понедельник.
10.Образуют ли полные группы событий следующие события: а) A1-появление
герба при подбрасывании монеты, A2-появление цифры при подбрасывании
монеты; б) В цель выпущено два выстрела, известно, что: A0-попаданий нет,
A1- попадание одно, A2-попадания два.
11.Придумайте три события, которые образовывали бы полную группу
несовместимых событий.
Вариант 2
Задание: 1) Решите задачи
1) Старушка Бэйбэрикээн заказала у кузнеца 5 колокольчиков для своих пяти
коров. Сколькими способами она может надеть колокольчики на своих
коровах?
2) Сколько различных восьмизначных чисел можно составить из цифр
1,2,3,4,5,6,7,8 при условии, что ни одно из них не повторяется?
3) Сколькими способами Иван Царевич может выбрать себе жену, ткачиху и
повариху из 9 девушек?
64
4) Сколькими способами Мышка может выбрать трех друзей из ежа, лисы,
зайца, волка и медведя, чтобы жить в теремке?
5) Сколькими способами Красная Шапочка может собрать букет для своей
бабушки из 5 цветов, если в поле всего 10 разновидностей цветов?
6) У Васи 5 заветных желаний, а волшебница обещала ему исполнить любые
три из них. Сколькими способами он может выбрать желания для исполнения?
7) Решите уравнение: 𝐴3𝑛−2 = 4𝐴2𝑛−3
2) Ответьте на вопросы:
1.Какие из следующих событий являются достоверными, какие невозможными,
какие случайными
a. Опаздывание Московского экспресса в субботние дни
b. Появление 17 очков при бросании трех игральных костей
c. Появление слова «мама» при случайном наборе букв а, а, м, м.
d. Появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 9 числа при
случайном однократном наборе указанных цифр
e. Появление не более 12 очков при однократном бросании двух игральных
костей
f. Вручение футболистам братского клуба «Байкал 38» кубка Иркутской
области
2.Какие из событий являются частью другого события
a. Появление трех очков при бросании игральной кости
b. Появление не более трех очков при бросании игральной кости
c. Появление не более четырех очков при бросании игральной кости
d. Появление четырех очков при бросании игральной кости
3.В чем состоит события A+B? A-появление двух гербов при бросании двух
монет, B-появление герба и цифры при бросании двух монет.
4.В чем состоит событие A+B+C?. A-лотерейный выигрыш 10 рублей, Bлотерейный выигрыш 20 рублей, C-лотерейный выигрыш 25 рублей
5.В чем состоит событие A+B+C? A-появление 6 очков при бросании игральной
кости, B-появление 5 очков при бросании игральной кости, C-появление 4
очков при бросании игральной кости.
6.В чем состоит событие 𝐴 ∙ 𝐵, если: A-попадание первым выстрелом, Bпопадание вторым выстрелом.
7.В чем состоят события: а) AC; б) BC, если A-появление нечетного числа
очков при бросании игральной кости, B-непоявление трех очков при бросании
игральной кости, C-непоявление пяти очков при бросании игральной кости.
8.Докажите: а) 𝐴1 ̅̅̅
𝐴3 ̅̅̅
𝐴4 = 𝐴2 , б) 𝐴1 ̅̅̅
𝐴2 ̅̅̅
𝐴3 = 𝐴4 , в) ̅̅̅
𝐴1 𝐴2 ̅̅̅
𝐴3 𝐴4 = 𝑉. A1-появление
четного числа очков при бросании игральных костей, A2-появление двух очков
при бросании игральных костей, A3-появление четырех очков при бросании
игральных костей, A4-появлении шести очков при бросании игральных костей.
9.В чем состоят события: а) 𝐴 − 𝐵, б) 𝐴 − 𝐵̅, в) 𝐴̅ − 𝐵, г) ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 − 𝐵, д) 𝐴̅ − 𝐵̅, если
A-сдача экзамена, B-получение «5».
65
10.Образуют ли полные группы событий следующие события: а) B1-появление
гербов при подбрасывании двух монет, B2-появление цифр при подбрасывании
двух монет;
б) В цель выпущено два выстрела, известно, что: C1- попадание не менее
одного, C2-промаха не менее одного.
11.Придумайте три события, которые образовывали бы полную группу
несовместимых событий.
5.8 Задания для практической работы № 13
Вариант 1
1. Сколькими способами можно составить пятизначное число из цифр 1, 3, 5, 7,
9?
2. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 20 человек?
3. Сколькими способами можно из 30 человек назначить председателя и
секретаря?
4. Во взводе 5 сержантов и 30 солдат. Сколькими способами можно выбрать
наряд из двух сержантов и трёх солдат?
5. Из 500 зарегистрированных браков 70 распадаются в течение первого года
жизни. Найти, чему равна относительная частота расторжения брака в течение
первого года.
6. По цели произведено 12 выстрелов, зарегистрировано 5 попаданий. Чему
равна относительная частота попадания в цель?
7. В урне 3 черных и 7 белых шаров. Из урны случайным образом берут один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
8. В одной урне находится 3 белых и 5 черных шаров, в другой 4 белых и 7
черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара окажутся белыми.
9. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется
кратным либо 3, либо 7, либо тому и другому одновременно.
Вариант 2
1. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг разных авторов?
2. Сколькими способами можно выбрать 3 разные краски из 5 разных красок?
3. Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных, один
из которых - старший?
4. Из 11 роз и 6 гербер нужно составить букет, в котором 3 розы и 2 герберы.
Сколько разных букетов можно составить?
5. Из 250 зарегистрированных браков 20 распадаются в течение первого года
жизни. Найти, чему равна относительная частота расторжения брака в течение
первого года.
66
6. По цели произведено 13 выстрелов, зарегистрировано 6 попаданий. Чему
равна относительная частота попадания в цель?
7. В урне 4 черных и 12 белых шаров. Из урны случайным образом берут один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.
8. В одной урне находится 3 белых и 5 черных шаров, в другой 4 белых и 7
черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара окажутся черными.
9. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется
кратным либо 5, либо 7, либо тому и другому одновременно.
Вариант 3
1. Сколькими способами можно составить шестизначное число из цифр 1, 2, 3,
5, 7, 9 без повторений?
2. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 15 человек?
3. Сколькими способами можно из 27 человек назначить председателя и
секретаря?
4. Во взводе 7 сержантов и 15 солдат. Сколькими способами можно выбрать
наряд из трех сержантов и пяти солдат?
5. Из 370 зарегистрированных браков 23 распадаются в течение первого года
жизни. Найти, чему равна относительная частота расторжения брака в течение
первого года.
6. По цели произведено 14 выстрелов, зарегистрировано 5 попаданий. Чему
равна относительная частота попадания в цель?
7. В урне 7 черных и 5 белых шаров. Из урны случайным образом берут один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
8. В одной урне находится 7 белых и 4 черных шаров, в другой 5 белых и 9
черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара окажутся белыми.
9. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется
кратным либо 2, либо 7, либо тому и другому одновременно.
Вариант 4
1. Сколькими способами можно расставить на полке 9 книг разных авторов?
2. Сколькими способами можно выбрать 4 разные краски из 10 разных красок?
3. Сколькими способами можно из 23 человек назначить двух дежурных, один
из которых - старший?
4. Из 7 роз и 4 гербер нужно составить букет, в котором 4 розы и 3 герберы.
Сколько разных букетов можно составить?
5. Из 460 зарегистрированных браков 53 распадаются в течение первого года
жизни. Найти, чему равна относительная частота расторжения брака в течение
первого года.
67
6. По цели произведено 15 выстрелов, зарегистрировано 6 попаданий. Чему
равна относительная частота попадания в цель?
7. В урне 13 черных и 7 белых шаров. Из урны случайным образом берут один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.
8. В одной урне находится 7 белых и 4 черных шаров, в другой 5 белых и 9
черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара окажутся черными.
9. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется
кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Вариант 5
1. Сколькими способами можно составить четырехзначное число из цифр 3, 6,
7, 9?
2. Сколькими способами можно выбрать четырех дежурных из 15 человек?
3. Сколькими способами можно из 26 человек назначить председателя и
секретаря?
4. Во взводе 9 сержантов и 27 солдат. Сколькими способами можно выбрать
наряд из двух сержантов и четырех солдат?
5. Из 315 зарегистрированных браков 16 распадаются в течение первого года
жизни. Найти, чему равна относительная частота расторжения брака в течение
первого года.
6. По цели произведено 16 выстрелов, зарегистрировано 7 попаданий. Чему
равна относительная частота попадания в цель?
7. В урне 6 черных и 7 белых шаров. Из урны случайным образом берут один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
8. В одной урне находится 11 белых и 7 черных шаров, в другой 13 белых и 5
черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара окажутся белыми.
9. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется
кратным либо 3, либо 2, либо тому и другому одновременно.
Вариант 6
1. Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг разных авторов?
2. Сколькими способами можно выбрать 5 разные краски из 20 разных красок?
3. Сколькими способами можно из 25 человек назначить двух дежурных, один
из которых - старший?
4. Из 20 роз и 10 гербер нужно составить букет, в котором 7 роз и 4 герберы.
Сколько разных букетов можно составить?
5. Из 300 зарегистрированных браков 35 распадаются в течение первого года
жизни. Найти, чему равна относительная частота расторжения брака в течение
первого года.
68
6. По цели произведено 17 выстрелов, зарегистрировано 8 попаданий. Чему
равна относительная частота попадания в цель?
7. В урне 5 черных и 8 белых шаров. Из урны случайным образом берут один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.
8. В одной урне находится 11 белых и 7 черных шаров, в другой 13 белых и 5
черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара окажутся черными.
9. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется
кратным либо 4, либо 7, либо тому и другому одновременно.
5.9 Задания для практической работы № 14
Вариант 1
1. Изучается работа трех независимо установленных технических
устройств. Вероятность того, что в данный момент работает первое – 0,2,
второе – 0,4, третье – 0,8. Случайная величина Х – число работающих в данный
момент устройств. Составьте закон распределения для сл.в. Х. Найдите
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. В магазине фирма проводит опрос покупателей с предположением дать
оценку продукции фирмы по 10-балльной шкале от 0 до 10. В течение одного
дня получены следующие результаты:
2,5,8,4,9,10,9,9,8,10,5,2,2,2,3,10,4,6,7,2,8,5,2,9,10,10,7,5,4,6,2,1,0,2,3,6,2,8,5,9,10,4
,5,9,5,7,7,7,4,8,9,9,2,7,10,7,8,6,3,9,5,7,8,4,9,2,4,7,8,6,5,10,6,4,6,10,8,8,5,7,6,4,2,3,1,
10,5,8,6,5,8,7,9,8,7,7,8,6,9,5,6,9,7,3,4. Постройте статистический ряд, полигон,
эмпирическую функцию распределения.
Вариант 2
1. Изучается работа трех независимо установленных технических
устройств. Вероятность того, что в данный момент работает первое – 0,3,
второе – 0,25, третье – 0,7. Случайная величина Х – число работающих в
данный момент устройств. Составьте закон распределения для сл.в. Х. Найдите
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. Староста записывал результаты экзамена по математике студентов
своей группы и получил следующие результаты:
5,3,4,2,2,5,5,3,3,4,4,5,3,2,2,3,3,3,5,5,4,4,3,3,3,3,3,4,2,5. Постройте статистический
ряд, полигон, эмпирическую функцию распределения.
Вариант 3
1. Изучается работа трех независимо установленных технических
устройств. Вероятность того, что в данный момент работает первое – 0,23,
69
второе – 0,34, третье – 0,54. Случайная величина Х – число работающих в
данный момент устройств. Составьте закон распределения для сл.в. Х. Найдите
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. Телерадиозавод проводил исследования на качество собственной
продукции. Контрольная комиссия проверила партию телевизоров,
подготовленных к продаже. В результате проверки в сборочный цех вернули 50
телевизоров, в каждом из которых выявлено от 1 до 10 точек риска, могущих
привести к поломке в период гарантийного срока работы:
5,6,2,3,1,5,4,6,3,2,8,9,10,2,5,4,,3,2,3,2,3,5,2,4,8,9,7,10,2,3,4,5,6.6,6,3,2,1,2,5,2,4,5,2,
5,6,1,10,5,2.. Постройте статистический ряд, полигон, эмпирическую функцию
распределения.
Вариант 4
1. Изучается работа трех независимо установленных технических
устройств. Вероятность того, что в данный момент работает первое – 0,12,
второе – 0,47, третье – 0,81. Случайная величина Х – число работающих в
данный момент устройств. Составьте закон распределения для сл.в. Х. Найдите
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. На автопредприятии изучается работа автопарка. За месяц ежедневных
наблюдений получены результаты километража перевозок 185,695; 224,007;
199,799; 200,512; 179,882; 213,083; 200,321; 191,280; 192,880; 207,730; 192,578;
199,490; 194,593; 198,371; 186,431; 198,313; 191,867; 202,093; 195,670; 198,227;
183,256; 203,286; 194,885; 206,188; 198,087; 201,325; 187,898; 179,869; 193,458;
186,598. Разбейте данные на 7 одинаковых по длине интервалов, постройте
интервальный ряд, гистограмму и эмпирическую функцию плотности
распределения.
Вариант 5
1. Изучается работа трех независимо установленных технических
устройств. Вероятность того, что в данный момент работает первое – 0,44,
второе – 0,27, третье – 0,6. Случайная величина Х – число работающих в
данный момент устройств. Составьте закон распределения для сл.в. Х. Найдите
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. Из стада в 1000 овец за неделю постригли 50. Результаты стрижки овец
записывались зоотехником. В результате были получены данные (в кг): 4,3; 4,7;
3,2; 2,7; 2,5; 5,1; 4,3; 3,4; 5,1; 2,9; 2,8; 2,5; 4,2; 5,3; 3,7; 4,1; 5,7; 6,1; 5,9; 2,8; 3,9;
4,7; 5,2; 3,9; 4,5; 6,8; 4,9; 5,3; 6,0; 4,9; 3,6; 5,8; 4,6; 3,9; 2,9; 4,9; 7,1; 5,9; 5,2; 4,3;
6,6; 7,0; 5,9; 4,8; 3,2; 4,7; 6,2; 5,9; 6,1; 4,8. Разбейте выборку на 9 равных
интервалов, постройте гистограмму и эмпирическую функцию плотности
распределения.
70
Раздел 6 Основы теории комплексных чисел
6.1 Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида a  bi (алгебраическая
форма), где а и b – действительные числа, i – некоторый символ, при чем
i  1.
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической
форме.
z1  z 2  a  bi   c  di   a  c   b  d i
z1  z 2  a  bi   c  di   a  c   b  d i
z1  z 2  a  bi   c  di   ac  bd   ad  bc i
z1 a  bi ac  bd bc  ad



i
z 2 c  di c 2  d 2 c 2  d 2
(1)
(2)
(3)
(4)
zn  
z
 z
 ...
z

n раз
71
(5)
Изображение комплексного числа. Число z  a  bi изображается с
помощью вектора OA с началом в начале координат и с концом в точке Aa; b  .
Модуль комплексного числа:
z  a2  b2
.
(6)
Тригонометрическая форма комплексного числа:
z  a  bi  r cos  i sin  
(7)
5
1  2i
5
5  0i 5  1  0  2 0  1  5  2
5  10
Решение.

 2

i


i  1  2i
1  2i 1  2i
5
5
1  22
12  2 2
Пример 2. Найти z 1 , если z  7  2i
1 1  0i 7
2
Решение. z 1  
  i
z 7  2i 53 53
Пример 3. Изобразить геометрически z  7  2i .
Решение. Получим вектор (рисунок 17)с началом в начале координат и концом
в точке (7;-2).
1
3
i.
Пример 4. Записать в тригонометрической форме z  
2 2
Пример 1. Вычислить:
2
2
a 1
1
1 3
4
 1   3 
Cos




1





1
Решение. r     
;
;
4 4
4
r 2
2
 2   2 
Sin 
b
3
3
.

1 
r
2
2
Далее
находим
по
таблице
тригонометрических функции угол  . Получаем, что  
формулу: z 
1
3






i  1   cos  i sin   cos  i sin
2 2
3
3
3
3

y
7
x
-2
72

3
22
значений
. Все подставим в
Рисунок 17 – Вектор комплексного числа
Таблица 22 – Значение тригонометрических функций
6.2 Задания для практической работы № 15
Вариант 1
1) Вычислить:
а) 2  7i   6  4i  , б) 8  3i   2  i , в) 3  4i   5  i  , г)
1  2i
  i   1
2i
13
2) Найти z 1 : z  2  i
17
3) Построить точки, соответствующие комплексным числам:
а) z  6  2i , б) z  4  2i , в) z  2  3i
4) Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел.
Изобразить геометрически сумму и разность. z1  2  i, z2  3  i
5) Представить в тригонометрической форме: z   3  i
Вариант 2
1) Вычислить:
а) 5  9i   1  4i  , б) 6  2i   7  8i , в) 5  7i   4  3i  ,
2i
4i
 3  4i  
2i
3  2i
2) Найти z 1 : z  3  7i
г)
3) Построить точки, соответствующие комплексным числам:
а) z  2  2i , б) z  5  3i , в) z  2  6i
4) Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел.
Изобразить геометрически сумму и разность. z1  2  3i, z 2  1  2i
3 3i 3
5) Представить в тригонометрической форме: z   
2
2
73
Заключение
В данных методических рекомендациях кратко изложен теоретический
материал, вошедший в программу изучения дисциплины «Математика» для
специальности
140448
«Техническая
эксплуатация
обслуживание
электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)» по
новым ФГОС.
В каждый раздел были включены примеры решения задач по теме и
задачи для самостоятельного решения, которые дают возможность студенту
основательно подготовиться к практической работе, зачету и экзамену.
74
Список использованных источников
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах:
Учеб.пособие. – М.: Высш.шк., 1986. – 319с.
2. Апанасов П. Т., Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учеб. пособие
для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303 с.
3. Богомолов Н. В. Математика: учеб. для ссузов. – М.: Дрофа, 2006. – 395с.
4. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие. – М.:
Наука., 1990 – 547 с.
5. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов на базе средней
школы: Учеб. пособие. – 2-е изд. – М.: Наука., 1990 – 576 с.
6. Говоров В. М. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: ООО «Мир
и образование», 2003. – 480 с.
7. Дадаян А. А. Математика: Учебник. – М.: Форум: ИНФРА, 2005. – 552 с.
8. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: Учеб.
пособие для студентов высш. техн. Учеб. заведений / под редакцией Б. П.
Демидовича. – М.: ООО «Издательство Астрель», 2002 – 495 с.
9. Математика. Математическое программирование: Учебное пособие/
О.Г.Ларионова, Е.В.Лищук, С.В. Акульшина. – Братск: ГОУ ВПО «БрГУ»,
2005. – 123с.
75
10. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.]. Ч.1. –
М.: Айрис-пресс, 2006. – 288с.
11. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.]. Ч.2. –
М.: Айрис-пресс, 2006. – 288с.
12. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для
вузов / Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др.; Под. ред. проф. Н. Ш.
Кремера. – И.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 432 с.
13. Шипачев В. С. Математический анализ. Теория и практика: учеб. пособие
для вузов. – М.: М, 2006. – 349с.
76