МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К УРОКУ ФИЗИКИ ДЛЯ ОЧНОГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К УРОКУ ФИЗИКИ ДЛЯ ОЧНОГО И
ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ
СТАТИКА. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ
Яббаров Юрий Зайдуллович
учитель
КГОАУ «Школа космонавтики»
РФ, Красноярский край, г. Железногорск
(уникальность текста 96%)
Вес и равновесие — результат человеческого опыта
Откуда люди узнали, что предметы имеют вес? Конечно, через свои
ощущения. Эти ощущения всем знакомы. Когда мы держим в руке камень,
поднимаем с земли тяжелый предмет, висим на перекладине, у нас появляется
ощущение тяжести — нам приходится прилагать усилие.
А что такое равновесие? Как оно связано с нашим опытом? Попробуем
рассмотреть ситуацию равновесия, в которой мы, если захотим, легко можем
оказаться.
Возьмем длинное и достаточно тяжелое бревно и уравновесим его на
своем плече. Прислушаемся к своим ощущениям. Мы стоим, не наклоняясь
ни назад, ни вперед … ни вправо, ни влево … это устойчивая позиция … она
не требует усилий, чтобы удержать себя и бревно в этом состоянии.
Если же посмотреть на это со стороны, то равновесие превращается в
«картинку». Человек в этом случае становится опорой, на которой
установлено бревно.
Теперь уберем человека, заменив его другим телом-опорой (например,
камнем) и получим «картинку» равновесия бревна на камне.
Становится понятно, что если мы имеем дело с человеком, не имеющим
такого чувственного опыта, то объяснить ему, что такое равновесие, очень
трудно. Человек, у которого такой опыт есть, вас легко поймет. Он поймет, о
чем идет речь и в том случае, если вы сразу нарисуете ему картинку.
Модели и моделирование
Когда нам требуется уравновесить бревно на плече — это практическая
задача, которая решается «ручным» способом. Мы берем это бревно, кладем
себе на плечо и сдвигаем понемногу, пока оно не окажется в равновесии. Но
бывают задачи, которые таким способом решить или нельзя, или очень
трудно, или очень долго. И тогда мы обращаемся за помощью к моделям.
Моделью обычно называют то, что заменяет собой исходное тело-объект
и используется, чтобы лучше изучить некоторые свойства этого объекта.
Например, конструкторы строят сначала модели самолетов и изучают их, а
потом уже делают настоящие самолеты.
Модели можно разделить на несколько групп. Материальные модели –
увеличенные или уменьшенные копии настоящих объектов: модели кораблей,
машин, домов и т. д. Рисунки и схемы — изображения настоящих объектов.
Математические модели — описание настоящих объектов в виде формул и
графиков. Моделированием же называется построение моделей и изучение
по ним настоящих, реальных объектов.
Рассмотрим одну из таких задач, которые не решаются практически и
требуют моделирования.
Задача
Найти точку равновесия у бревна, лежащего на земле. Бревно настолько
тяжелое, что нельзя применить «ручной» способ — поднять бревно и
уравновесить его на плече.
Решение
Что нужно делать в этой ситуации? Какие варианты решения можно
предложить? Конечно, хочется решать эту задачу известным практическим
способом: позвать кого-нибудь на помощь, вместе поднять бревно и
уравновесить на каком-нибудь камне.
Мы с вами уже знаем, что можно попробовать решить задачу на
маленьком бревне — модели настоящего бревна. Определим на модели точку
равновесия, а потом перенесем результат на большое бревно.
Как найти точку равновесия на модели бревна? В какое место нужно
поставить опору, чтобы оно было в равновесии?
1. Может, ровно посередине?
0
1м
2м
3м
4м
5м
6м
Однако видно, что это не так. Отрежем мысленно левую часть и
приложим к правой.
0
1м
2м
3м
4м
5м
6м
Легко заметить, что в правой части оказалось больше вещества и она,
конечно, тяжелее. Значит, равновесия не будет.
Итак, при помощи модели — рисунка бревна мы получили первый
результат: если ставить точку опоры посередине, то равновесия не получится.
2. Тогда передвинем опору поближе к толстому концу.
Гипотеза — это предположение
Может быть теперь равновесие
о правильном решении научной
будет? Но на картинке этого нельзя
задачи. Выдвинутую гипотезу
проверяют на опыте или при
определить. Может — да, а может — нет.
помощи логических
3. Что значит «равновесие»? Может
рассуждений.
быть, с обоих сторон от точки опоры
должен быть равный вес? Выдвинем
такую гипотезу — «Если разрезать бревно на две части по точке равновесия,
то вес у обеих частей будет одинаковым». При этом обе части бревна будут
равны еще и по объему. И тогда равновесие можно понимать так — это
равенство весов, когда вес правой части бревна, равен весу его левой части.
Попробуем проверить эту гипотезу. Сначала уравновесим модель бревна
на опоре. Для этого возьмем деревянную палочку (или морковку, или
пластилиновую модель, которые удобней разрезать). Потом отметим точку ее
соприкосновения с опорой и разрежем модель ровно по этой точке.
Вес левой части меньше, чем вес правой!
И это несмотря на то, что бревно разрезано
ровно по точке равновесия.
Затем взвесим полученные части.
И получится «удивительный результат» — веса частей окажутся
неравными! «Очевидное» предположение оказалось не верным.
Теперь мы понимаем, что даже в случае равновесия бревна вес правой
его части не равен весу левой. И нельзя найти точку равновесия бревна,
просто поделив его на две части с одинаковым весом.
Как же все-таки решается эта задача? Давайте проведем логическое
исследование с использованием моделей-рисунков.
Предположим, что вес левой части равен весу правой части. Если с
одной и другой стороны я прибавлю по одинаковому весу, то очевидно
равенство не должно меняться.
Но я могу положить дополнительный вес на разных расстояниях от
центра равновесия и тогда даже зрительно станет понятно, что одна часть
будет перевешивать другую.
Становится ясно что гипотеза не верна! Обе части бревна не могут иметь
одинаковый вес, потому что тонкая часть расположена дальше от точки
опоры, чем толстая (в среднем дальше) и, значит, она должна перевесить.
Если этого не происходит и бревно остается в равновесии, значит, толстая
часть тяжелее.
Мы сделали большой шаг вперед. Если вначале для анализа задачи мы
обращали внимание только на величину массы тел, то теперь мы нашли еще
один существенный параметр равновесия — расстояние до точки опоры
(плечо). Оказывается, «равно-весие» еще не значит, что вес должен быть
одинаковым. Ответ надо искать в комбинации этих двух параметров: веса и
длины.
Все эти рассуждения позволяют нам вывести следующую
закономерность: для того, чтобы система находилась в равновесии
необходимо, чтобы тяжелый груз находился на коротком плече, а легкий
— на длинном.
Идеальные объекты — невесомый жесткий стержень и
материальная точка
Вспомните, когда вы качались с кем-нибудь на качелях (доска,
положенная на бревно) и как равновесие качели нарушалось при
перемещении одного из вас к оси «качания». Тот, кто дальше от точки опоры,
тот и перевешивает.
Рисуя схему качели, мы тем самым делаем модель ситуации равновесия:
Все очень просто и понятно. Но попробуйте представить такую картину.
Вы остаетесь на качелях в одиночестве, передвигаетесь точку опоры поближе
к себе и … можете продолжать качаться! То есть, качели могут находиться в
равновесии, даже если груз лежит только на одной стороне, а на другой
стороне нет груза. Вы оказываетесь
уравновешены весом доски,
находящейся справа от точки опоры.
Это означает, что на равновесие качелей влияют три параметра: вес тел,
вес доски (или ее части) и расстояния от каждого тела до точки равновесия.
Но как они связаны между собой — остается непонятным.
Обратите внимание, что наша задача по нахождению точки равновесия
тяжелого бревна так и не решена. Но мы уже близки к ее решению.
Построена модель, в которой вся проблема свелась к трем параметрам и нам
нужно определить как они связаны между собой.
Как можно упростить ситуацию, чтобы она стала более понятной?
Нужно ее «очистить» от лишнего. Для этого мы скажем: «Давайте возьмем
только верхнюю поверхность доски и тогда мы отдельно сможем
рассматривать грузы и отдельно качели».
И наша ситуация преобразуется к «невесомой доске» и грузам на ней.
Чем она лучше? В ней всего два параметра — вес тела и его расстояние
от точки опоры.
Таким образом мы с вами «построили» идеальный объект — невесомый
жесткий стержень.
Такого невесомого, но жесткого стержня не существует в природе, его
нельзя из чего-либо сделать. Но если бы он существовал, то очень помог бы
нам разобраться в задаче. Для этого мы его и придумали. Объекты, которые
не существуют в природе, а создаются мышлением и позволяют понять
ситуацию в «чистом виде» называются идеальными объектами.
Теперь мы можем взвесить оба тела, измерить расстояние… А до какой
точки тела, уравновешиваемого на доске, надо измерять расстояние от точки
опоры? До точки A, B или C? Это существенно, потому что расстояние от
точки опоры до точки А в три раза больше, чем до точки С.
А
В
С
Чтобы все время действовать одинаковым способом (и не путаться),
будем работать с любым телом как с точкой, которая имеет вес, равный
весу тела. А эта точка должна находиться в центре равновесия тела.
А
В
С
А
В
С
Мы построили два идеальных объекта — это невесомый жесткий
стержень (рычаг) и материальная точка. После этого любая ситуация
уравновешивания может быть рассмотрена как система материальных точек и
невесомых рычагов.
Что для нас важно? Важно, что мы от сложного, объемного, с
неравномерным распределением вещества объекта перешли к его простой
модели, который состоит из двух материальных точек и невесомого рычага.
Вот такой переход называется «идеализацией» или построением идеальных
объектов, в которых «прозрачна сущность явлений». Идеализация — это
переход от натурального объекта (бревна, камня…) к его заместителю-схеме,
идеальному объекту (или их системе), в котором самое важное, самое
главное соотношение изучаемой ситуации становится простым.
Правило рычага
Мы получили идеальные объекты — невесомый рычаг и материальную
точку. Что это нам дает? Как с этим можно работать? Какие количественные
соотношения между этими характеристиками системы могут быть
установлены? Мы уже перешли от действий с большими телами к действиям
с их моделями (при этом мы построили идеальные объекты, из которых
состоит идеальная модель). Построенная нами идеальная модель равновесия
как бы содержит в себе все возможные ситуации равновесия различных тел.
Теперь нам предстоит установить количественные соотношения между
массами грузов и длинами плеч в ситуации равновесия и тогда задачу можно
будет считать решенной. Для этого мы проведем несколько опытов по
уравновешиванию тел.
Понятие «вес» появилось очень давно, в его основе лежит чувственный
опыт людей — ощущение тяжести. Позднее, с развитием механики,
появилось понятие «масса» и единица ее измерения — килограмм. При этом
понятие «вес» переопределилось и стало более точным. Мы будем
использовать понятие «масса», а с его точным значением вы познакомитесь
позднее, при изучении механики.
Возьмем деревянную (или пластиковую) линейку длинной 40 см и
несколько маленьких гирь весом 5 г, 10 г, 20 г, 50 г. Линейку положим на
шестигранный карандаш и будем устанавливать так, чтобы любые две
поставленные на линейку гирьки были в равновесии как на рисунке
(находились на концах линейки).
М1
М2
L1
L2
Теперь будем ставить на линейку гирьки разных весов и, передвигая
линейку относительно карандаша, добиваться состояния равновесия. В
таблицу будем записывать массу гирьки слева — М1 и расстояние до
карандаша (точки опоры) плечо — L1, и массу гирьки справа — М2 и плечо
— L2.
Получим следующие значения:
№
Масса
Масса
опыта первого груза второго груза
М1
М2
1.
50 г
5г
2.
20 г
10 г
3.
50 г
20 г
4.
20 г
5г
Первое
плечо L1
4 см
13 см
11,5 см
8 см
Второе
плечо L2
36 см
27 см
28,5 см
32 см
Теперь попробуем найти закономерность, связь между этими значениями
и выразить ее в виде формулы. Поскольку мы не знаем, какой вид должна
иметь формула, можно вести себя по разному — подождать подсказки,
посмотреть в учебнике или же делать самостоятельные пробы. Все эти пути
по-своему хороши, но выберем путь, по которому идут ученые, работающие
на переднем крае науки и которым никто подсказать не может. Будем
испытывать разные варианты.
Вариант первый: М1+L1=М2+L2
Проверяем:
В первом опыте получается 54 и 41. Равенства нет.
Во втором опыте — 33 и 37. Равенства нет.
В третьем опыте — 61,5 и 48,5. Равенства нет.
В четвертом опыте — 28 и 37. Равенства нет.
Вариант второй. М1/L1=М2/L2
Проверяем (при делении некоторые значения округляем):
1. 12,5 и 0,14
2. 1,5 и 0,4
3. 4,3 и 0,7
4. 2,5 и 0,2
Как видим, равенства здесь тоже нет.
Вариант третий: М1*L1=М2*L2
Проверяем:
1. 200 и 180
4. 260 и 270
3. 575 и 570
4. 160 и 160
Здесь мы получили интересный результат: все значения, кроме первого,
очень близки, а в четвертом опыте даже получилось точное равенство!
Возможно это и есть та связь, которую мы искали — «правило рычага».
Но если так, почему же это правило не всегда точно выполняется? Значит,
измерения у нас были не совсем точные. Такие неточности в науке
называются погрешностями. Давайте разберемся, откуда взялись
погрешности в наших опытах.
Во-первых, погрешность возникает при измерении расстояния от гирьки
до карандаша-опоры. Гирька — это не материальная точка, а карандаш — не
точечная опора, отсюда и первая ошибка в измерениях.
Во-вторых, погрешность возникает при определении М1 и М2. Линейка
отличается от идеального объекта — невесомого жесткого стержня. Она
имеет массу. А эту массу мы никак не учитывали. Отсюда появилась вторая
ошибка в измерениях.
Если этих погрешностей можно было бы избежать, правило рычага
выполнялось бы абсолютно точно для всех тел.
Правило рычага:
Два тела, соединенные рычагом
находятся в равновесии, если
произведение массы первого тела на величину плеча равно произведению
второго тела на величину соответствующего плеча.
M1
M2
L1 L2
M1*L1=M2*L2
M1 - масса первого тела;
L1 - расстояние от первого тела до точки опоры;
M2 - масса второго тела;
L2 - расстояние от второго тела до точки опоры.
Правило очень правдоподобно, но отсутствует доказательство его
абсолютной точности.
Мысленный эксперимент С. Стевина
На данном этапе правило рычага уже можно применять для решения
задач и не задумываться о его абсолютной точности. Но если мы собираемся
действовать как настоящие ученые, то мы должны понимать, что пока
получили лишь приблизительное правило, а не точный закон.
В 1586 году фламандский ученый и инженер С. Стевин предложил
доказательство правила рычага при помощи мысленного эксперимента. В
современной физике мысленный эксперимент является очень важным
теоретическим методом доказательства; им часто пользовался автор
знаменитой теории относительности Альберт Эйнштейн.
Давайте разберем это доказательство, хотя рассуждения Стевина
немного сложны и их трудно понять с первого раза. Поэтому, при первом
чтении это доказательство можно пропустить. Вернитесь к нему позже, когда
освоите остальной материал пособия. Тогда вы сможете оценить изящность и
точность рассуждений Стевина.
«Возьмем однородную балку постоянного сечения и подвесим ее за
середину. (Однородная — это значит, что все места балки не отличаются по
своему составу и свойствам друг от друга, то есть, внутри балки нет
уплотнений, пустот и т. п. Постоянное сечение означает неизменность
толщины и ширины балки на протяжении всей ее длины.)
Очевидно, что подвешенная за середину балка будет находиться в
равновесии, потому что ее правая часть ничем не отличается от ее левой
части — обе части тождественны друг другу.
Теперь мысленно разрежем балку на две неравные части А и В по линии
Х. Подвесим (подвижно) каждую часть в ее середине к дополнительному
невесомому рычагу. Этот рычаг, в свою очередь, подвесим на оси,
расположенной точно в середине балки как единого целого.
а
b
а
О
А
В
b
Длины плеч невесомого рычага, как видно на рисунке, равны а и b, а
соответствующие размеры частей балки равны 2b и 2а.
Затем выполним следующие операции:
а) временно «заморозим» подвесы А и Б (сделаем их неподвижными) —
при этом балка как единое целое сможет «качаться» на подвесе О, но будет
находиться в равновесии относительно него. Это и понятно — подвес О
держит балку точно за середину;
б) «заморозим» центральный подвес О, а подвесы А и В освободим —
обе части балки сохранят свои положения равновесия, потому что подвесы А
и Б держат их за середины, они симметричны относительно подвесов;
в) теперь «разморозим» сразу все три подвеса — при этом вся система
останется в равновесии;
г) далее мысленно повернем части балки и подвесим их за торцы как
показано на рисунке.
а
b
2b
При переворачивании частей балки их вес остается без изменения, и
длина обоих плеч тоже не меняется, следовательно, система останется в
равновесии.
Вес частей балки точно пропорционален их длинам, то есть чем больше
длина части балки, тем больше ее вес. Поэтому мы можем длины 2а и 2b на
последнем рисунке условно считать весами этих частей балки.
Если теперь умножить длину левого плеча на вес левой части балки, а
длину правого плеча на вес правой части балки, то получим:
2аb = 2bа
Это и есть доказательство правила рычага.»
Для своего доказательства Стевин использовал очевидный тезис
(аксиому). Он предположил, что однородная балка, подвешенная за свою
середину, находится в равновесии. А дальше, опираясь на эту аксиому,
Стевин проделал ряд мысленных преобразований и получил теоретический
закон, справедливый для всех случаев равновесия тел. Этот закон является
абсолютно точным, если правильно учитываются веса всех элементов
уравновешиваемой системы.
Пример 1
Точка опоры под невесомым стержнем расположена так, что длина
левого плеча равна 20 см, а длина правого — 100 см. На левую сторону
рычага положили груз массой 5 кг.
х
кг
5
кг
20 см
100 см
Какой груз нужно положить на правую сторону, чтобы система оказалась
в равновесии?
Решение
Воспользуемся правилом рычага M1*L1=M2*L2. При этом нам
неизвестна величина M2. Выражаем ее из формулы:
M1*L1
= M2
L2
Подставляем значения:
5 кг * 20 см
100 см
= 1 кг
Ответ: на правой стороне рычага должен находиться груз массой 1 кг.
Обратите внимание, длины плеч различаются в пять раз, поэтому и
массы грузов различаются тоже в пять раз, только в обратной пропорции. Это
можно выразить в виде формулы так:
M1
= L2
M2 L1
Пример 2
По краям жесткого невесомого стержня длиной L = 112 м расположены
два тела: первое имеет массу M 1 = 42 кг, а второе M 2 = 126 кг. Требуется
126
кг
42
кг
112 м
определить положение центра равновесия системы (или, другими словами,
найти такое место этого рычага куда нужно поставить точку опоры, чтобы
уравновесить систему?
Решение
Обозначим через х расстояние от начала рычага до центра равновесия
этой системы (это длина левого плеча). Тогда длина правого плеча будет
равна L-х. Подставляем эти значения в правило рычага:
M 1 *x = M 2 *(L-x) и решаем получившееся уравнение:
M 1 *x = M 2 *L-M 2 *x (раскрываем скобки)
M 1 *x+M 2 *x = M 2 *L (переносим M2*x в левую часть уравнения)
(M 1 +M 2 )x = M 2 *L
(выносим х за скобку)
x=
M 2 *L
M1+M2
(выражаем х)
x = 126кг*112м = 84 м
42кг+126кг
(подставляем значения)
Ответ: точку опоры нужно поставить на расстоянии 84 м от начала
рычага.
Рычаг в природе и технике
Все вышесказанное содержит в себе две
взаимосвязанных идеи — идею равновесия и идею
рычага. Равновесие — это сохранение телом устойчивого
положения относительно других тел, а рычаг — это
устройство, предназначенное для того, чтобы поднимать
тяжелые грузы с меньшим усилием. А правило рычага 5кг
А
О
помогает нам понимать равновесие любой системы тел.
В
В природе рычаг встречается повсеместно. Например, в опорнодвигательной системе человека и животных насчитываются сотни рычагов.
Две кости, соединенные суставом и мышца, прикрепленная к этим костям,
представляют собой простой рычаг.
Если рука удерживает груз массой 5 кг, то какое усилие при этом
развивает мышца? Посмотрим на рисунок. Мышца прикрепляется к кости в
точке О и делит руку на две части: АО и ОВ. Для двуглавой мышцы (бицепса)
человека отношение АО/ОВ приблизительно равно восьми. Это значит, что
наша мышца развивает усилие в 40 кг! Оказывается, мы сильнее самих себя,
но рычажное устройство нашего тела позволяет нам использовать только
часть нашей силы.
В растительном мире рычаги используются для удержания растения в
вертикальном положении. Чем длиннее корни, тем устойчивее дерево.
Люди открыли для себя рычаг очень давно. Это открытие по своей
древности превосходит использование огня. Даже обезьяна, взяв в руки
палку, уже применяет рычаг: когда переворачивает тяжелый камень, она
пользуется увеличением силы, действуя на длинное плечо рычага. Человек же
нашел рычагу тысячи применений.
На рисунке изображена техническая конструкция, действие которой
основано на правиле рычага.
L2
L1
M1
M2
Колодезный
Общая форма правила рычага
Как найти положение центра равновесия двух тел вы уже знаете (это
описано в примере 2). А как определить положение равновесия для системы
из нескольких тел, или даже для тела сложной формы?
Допустим, у нас есть система из трех тел, которая находится в
равновесии.
M1
M2
M3
L1
L2
L3
Правило рычага для нее выглядит так:
M1*L1=M2*L2+M3*L3
(1)
Заметьте, что в правой части уравнения два слагаемых: произведения
масс каждого груза на его расстояние до точки опоры.
А далее мы сделаем оригинальный ход: заменим два тела — M2 и M3 на
одно. Новое тело по массе должно равняться, очевидно, M2+M3, а
располагаться оно должно конечно же в центре равновесия этих двух тел.
M2
M3
M2 +M3
Размеры нового тела нас не интересуют, так как оно является идеальным
объектом, построенным нашим мышлением — материальной точкой. Но на
каком расстоянии от точки опоры должна находиться эта материальная точка
с массой M2+M3, нам пока неизвестно. Попробуем найти это расстояние.
Исходная система трех тел теперь будет выглядеть так:
M1
M2+M3
L1
х
Правило рычага для этой системы запишется следующим образом:
M1*L1=(M2+M3)*х,
(2)
где х — это расстояние от точки опоры до центра равновесия тел M2 и
M3 .
Если теперь сравнить выражения (1) и (2), то видно, что правые части у
них равны:
M2*L2+M3*L3=(M2+M3)*х
Значит х будет равно:
х=
M2*L2+M3*L3
M2+M3
Рассуждение закончено и величина х найдена. Но что дало нам это
рассуждение? Ответ прост: это и есть способ нахождения центра равновесия
для любой системы тел, расположенных на одной прямой.
Обратите внимание на то, какие величины содержатся в числителе.
Масса одного тела, умноженная на расстояние от выбранной нами точки
отсчета до этого тела; затем к этому прибавляется масса другого тела,
умноженная на расстояние от той же точки отсчета до этого тела. А в
знаменателе — сумма масс всех тел.
Если же в системе будет не два тела, а больше, то ничего принципиально
не меняется. Меняется только количество слагаемых в числителе и
знаменателе.
Вот система из n тел:
M1 M2
Точка начала
отсчета выбрана
здесь, Х1=0
M3
Mn
…
х1 х2
х3
хn
Здесь M1, M2, M3 … Mn — это массы тел, а х1, х2, х3 … хn — расстояния
от каждого тела до точки начала отсчета. Например, х1 — это расстояние от
первого тела до точки начала отсчета и оно равно нулю. Эти расстояния
являются координатами тел на оси х.
Расстояние от начала отсчета до центра равновесия этой системы
(координата центра равновесия) запишется так:
Х ц.р. =
M 1 х 1 +M 2 х 2 +M 3 х 3 +…+M n х n
M 1 +M 2 +M 3 +…+M n
Формула на первый взгляд громоздкая, но высчитывать по ней
координату центра равновесия очень легко.
Например, эта формула позволяет решить задачу о нахождении точки
равновесия бревна. Для этого бревно должно быть мысленно разделено на
части — «блины» как показано на рисунке.
М1
Х1
Мn
М2
Х2
Хn
Эти части можно заменить на материальные точки с массами М1,
М2...Мn, и координатами х1, х2...хn. Чем больше будет количество частей, чем
более тонкими будут эти части, тем точнее окажется вычисленный результат.
Для абсолютно точного вычисления координаты точки равновесия бревно
должно быть разделено на бесконечное количество частей — при этом
толщина каждой части будет стремиться к нулю и замена такого тонкого
«блина» на материальную точку произойдет без погрешностей. Метод
сложения бесконечно малых величин называется интегрированием; вы
познакомитесь с ним позднее.
Пример 3
На невесомом жестком стержне расположены 4 груза массами 1 кг, 2 кг,
3 кг и 4 кг. Расстояния между грузами одинаковые и равны 10 см. Найти
координату центра равновесия системы.
(Заметьте, что 10 см — это расстояния между центрами равновесия тел,
а не между краями тел.)
10 см
1 кг
10 см
2 кг
3 кг
10 см
4 кг
Решение
Подставим все известные величины в формулу для координаты центра
равновесия (помня при этом, что х 1 =0 см, х 2 =10 см, х 3 =20 см, х 4 =30 см):
Х ц.р. =
M 1 х 1 +M 2 х 2 +M 3 х 3 +M 4 х 4
=
M 1 +M 2 +M 3 +M 4
= 1кг*0см+2кг*10см+3кг*20см+4кг*30см
=
20 см.
1кг+2кг+3кг+4кг
Ответ: координата центра равновесия системы равна 20 см (совпадает с
центром третьего тела).
Задания для самостоятельной работы
1. Проведите опытное доказательство правила рычага с помощью
линейки и различных грузов. Результаты исследования запишите в таблицу.
Массу второго груза определите два раза: опытным путем и вычислением по
формуле. В последний столбец таблицы запишите погрешность вашего
опыта. Она находится как разность между вычисленным значением М2
(теоретическое) и полученным вами в опыте. Выполните 8-10 опытов. Если у
вас нет гирь, можно использовать монеты: 10 коп. — 2г, 50 коп. — 3г., 2руб.
— 5г.
№
опыта
L1
М1
L2
М2
М2
(теор)
Погрешность
М2 – М2
(теор)
1.
2.
…
2. Будет ли находиться в равновесии следующая система? Длины плеч у
рычага одинаковые, массы у грузов равны, а нитка, на которой подвешен
один из грузов — невесома.
3. Определить массу неизвестного груза, если система находится в
равновесии. М1=М2=1кг, М3 — ?
М1
М2
25 см
М3
25 см
50 см
4. На невесомом жестком стержне расположены 4 груза массами 4 кг, 3
кг, 2 кг и 1 кг. Расстояния между грузами одинаковые и равны 10 см. Найти
координату центра равновесия системы.
5. К невесомому жесткому стержню длиной
L=90см подцепили два воздушных шарика как
показано на рисунке. Первый шарик может поднять
груз массой 25г, а второй шарик поднимает 40г. В
какое место рычага нужно поставить точку опоры,
чтобы система была в равновесии?
6. Найти точку равновесия системы из двух грузов, лежащих на краях
тяжелой балки. М1=10кг, М2=15кг, масса балки М3=30кг, длинна балки
L=6м.
М1
М2
7. Через невесомый блок перекинута нить, к которой
прикреплены два груза с одинаковыми массами. Нить невесома, а
блок может свободно вращаться без трения в любую сторону. Что
произойдет с этой системой после того, как ее отпустят?
M