Использование опорных схем, справочных таблиц, алгоритмов

Использование опорных схем, справочных таблиц,
алгоритмов при изучении отдельных вопросов школьного
курса математики.
I. На уроках часто используются всевозможные плакаты, схемы и
справочные таблицы. Они предъявляются учащимся по-разному. Одни
выдаются в готовом виде (плакаты), другие оформляются постепенно, на
нескольких уроках, по мере изучения определенного раздела теории. Иногда
учащиеся самостоятельно составляют таблицы при выполнении домашнего
задания. И наконец, таблица может быть создана на одном уроке как
конспект изложенного учителем нового материала.
В. Ф. Шаталов и его последователи используют в качестве конспектов
листы опорных сигналов, составленные из нескольких блоков. Некоторые
математические предложения в этих конспектах заменяются ключевыми
словами или рисунками, вызывающими необходимые ассоциации только у
тех, кто слушал объяснение.
II. Приветствуя в целом идею опорных сигналов, отметим все же, что
они, как и любые конспекты, предлагаемые методическими подобиями,
сковывают
инициативу
учителя,
ибопрежде
всего
отражают
индивидуальность автора. Преподавание будет более эффективным и
интересным, если учителя станут сами составлять краткие записи, отражающие
основные этапы изложения нового. Попробуем высказать ряд рекомендаций по
составлению таких записей к уроку, когда, учитель планирует, как именно будут
ученики фиксировать в своих тетрадях излагаемый им материал. Сразу
оговоримся, что речьпойдет лишь о тех уроках, где материал изучается
крупным блоком, охватывающим несколько параграфов учебника. По форме
это может быть лекция в общепринятом смысле, беседа или рассказ учителя.
Исходя из того что в конечном счете конспект должен стать
информационно-справочной
таблицей
и
сыграть
свою
роль
на
урокахтематического или итогового повторения, сформулируем некоторые
требования к его оформлению:
1
1. Материал
в
конспекте
должен
быть
разделен
на
несколько
самостоятельных, логически связанных между собой блоков. В него
желательно внести вспомогательные вопросы, с помощью которых
готовится введение нового,узловые вопросы темы и ее практическое
применение.
2. В конспекте неизбежны сокращения и некоторые произвольные
обозначения - шифры. Те и другие должны быть точно оговорены. В
принципе, способ шифровки материала у каждого учителя может быть
свой. Но учащиеся должны отличать, где используется общепринятая
символика, а где введён произвольный шифр. Путаница в этих вещах
недопустима.
Созданный по методу укрупнения дидактических единиц конспект может
стать формой записи учащимися нового и позднее использоваться на уроках
итогового повторения.
III. Теперь нужно подчеркнуть, что если учитель будет рисовать на
доске таблицу-конспект во время лекции, а ученики переписывать ее в
тетрадь, то эффективной эта работа не будет. Одни ребята быстро скопируют
конспект, не вникая в суть дела, другие будут медленно заниматься конспектом
и совсем не услышат разъяснений. В целом же класс останется пассивным.
Таким образом, с одной стороны, в конце урока желательно иметь конспект, в
котором выделено главное. А с другой — запись этого конспекта не должна
занимать много времени урока. Эти два требования помогает примирить своего
рода заготовка для конспекта. Мы имеем в виду таблицу с пропусками. В нее
нужно внести лишь фрагменты необходимых записей. Например, рисунки без
подписей, частично выписанные условия теорем, некоторые пункты алгоритмических
предписаний и т. п.
Учитель сначала разрабатывает конспект полностью на листе бумаги
стандартного размера. На другом таком же листе он выписывает фрагментызаготовки в строгом соответствии с расположением текста на основном
конспекте. Этот фрагментарный конспект кто-либо из учащихся должен
2
размножить, чтобы к лекции такой конспект-заготовку имел каждый ученик.
Точно такой конспект с пропусками учитель должен заранее написать на
доске перед началом лекции. Подготовительной работы много. Но она
проводится не для каждого урока, а только для того, на котором будет сразу
рассмотрена большая группа
вопросов, составляющих теоретический
материал примерно 6— 8 уроков. Кроме, того, конспекты, с которыми
учащиеся уходят после такой лекции, служат им потом очень долго, вплоть
до экзаменов в 11 классе.
Проиллюстрируем заполнение фрагментарной таблицы-конспекта во
время лекции, которая охватывает сразу несколько тем: «Возрастание и
убывание функции», «Экстремумы функции», «Применение производной к
построению графиков», «Наибольшее и наименьшее; значение функции».
В приведённой ниже таблице мы почти не употребляем шифра (кроме
волнистых стрелок-указателей). В то же время в таблице много сокращений:
«О.» означает слово «определение», «Т.» — «теорема», «т.» — точка. Запись𝑥 ∈
𝐷(𝑓)означает: «х принадлежит области определения функции f».
Условие
теоремы записывается в таблице до →, а заключение – после →. Рядом с
краткой
символической
записью
какого-либо
положения
дана
его
графическая интерпретация.
В целях краткости нам приходится изображать на одной таблице и то,
что в ней было первоначально до урока, и то, что появилось в ходе лекции.
Текстовой материал, предъявляемый с самого начала, выделен жирным
шрифтом, а записанный в ходе лекции — светлым.
3
О. Точка экстремума
I.
II.
а)
б)
O. Точка максимума
Для всех х 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ).
Т. (необходимое условие экстремума):
𝑓(𝑥) определена в окрестности т.𝑥0
𝑓 ′ (𝑥) существует
𝑥0 - точка экстремума
→ 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 или 𝑓 ′ (𝑥0 ) не
существует.
в)
д)
О. Точка минимума
Для всех х 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0 ). T. 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)
О. Стационарная т. 𝑓(𝑥)
→ f(x) возрастает на (a; b)
1. 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓)
2. Корень 𝑓 ′ (𝑥) = 0
е)
T. 𝑓 ′ (𝑥) < 0 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)
→ f(x) убывает на (a; b)
III.
ж)
з)
г)
Т. (достаточное условие экстремума)
2) Слева от 𝑥0
справа от 𝑥0
→
1) 𝑓 ′ (𝑥) = 0, 𝑥0 − стационарная
𝑓
< 0,
2) Слева от 𝑥0 𝑓 ′ (𝑥) > 0,
𝑓 ′ (𝑥) > 0.
справа от 𝑥0 𝑓 ′ (𝑥) < 0.
′ (𝑥)
𝑥0 - т.минимума
→
𝑥0 - т.максимума
4
В начале урока учитель объясняет, что понятие точки экстремума
объединяет два понятия, и подчеркивает это, проведя две сплошные линии к
определениям
точки
максимума
и
минимума.
Эти
определения
иллюстрируются графиками а) и б) из I блока таблицы. На рисунках учитель
выделяет некоторые окрестности точки х0и проводит к ним пунктирные линии
от х в записях определений. Так шифруются слова: «для всех х из некоторой
окрестности точки𝑥0 ». По рисункам учитель обсуждает с классом, какой знак
«<» или «>» следует поставить между выделенными в определениях
значениями𝑓(𝑥) и𝑓(𝑥0 ).
По графикам в) иг) учащиеся находят значения производной в точках
максимума и минимума. Появляются записи:𝑓′(0) = 0, 𝑓′(𝑥1 ) = 0, 𝑓 ′ (𝑥2 ) = 0.
После
таких
наблюдений
учащиеся
формулируют
теорему
Ферма.
Заканчивается I часть лекции определением стационарной точки.
Теперь учитель обращает внимание учащихся на IIблок таблицы, на
графики д) и е) и ставит задачу выявить связь между возрастанием
(убыванием) функции на (а; b) и знаком производной на (а; b).В записях
соответствующих теорем под чертой появляется слово «возрастает» (или
«убывает»).
В III блоке таблицы-конспекта зашифровано достаточное условие того,
что стационарная точка является точкой экстремума. Рассматривая рисунки
ж) из), учащиеся устанавливают знаки производной слева и справа от точки
х0 и записывают эти слова в нужных местах пункта 2).
Следующие блоки конспекта опишем отдельно.
По рис. в) и г) учитель показывает последовательность действий при
построении графика. Эта последовательность действий в зашифрованном
виде и фиксируется в блоке IV.
Построение графиков.
1. 𝐷(𝑓)
5.
5
2. 𝑓′(𝑥)
6.
𝑓(𝑥) = 0
𝑥=0
𝑥?
𝑓(0)?
3. 𝑓 ′ (𝑥) = 0
7. Дополнительные точки
4. 𝑓 ′ (𝑥) > 0, 𝑓 ′ (𝑥) < 0
8. График
В п.1 и 2 блока IV имеется в виду, что необходимо найти область
определения 𝐷(𝑓) и производную 𝑓 ′ (𝑥); уравнение или неравенство в п. 3,4
означает, что требуется решить данное уравнение или неравенство.
Последняя часть лекции отражена в блоке V, который мы приводим
ниже. Предварительно подчеркнем, что излагаемый вопрос мы подразделяем
на 3 пункта: А.1—А.3. В п. А.1 после условий, налагаемых на
рассматриваемую функцию, следует (в зашифрованном виде) указание
последовательности действий, необходимых для определения наибольшего
(наименьшего) значения функции. В п. А.2, А.3 в таких указаниях нет
необходимости.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
А.1.
а) 𝒇(𝒙)непрерывна на(𝒂, 𝒃),
б) 𝒇(𝒙)дифференцируема на [𝒂, 𝒃].
1) 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏),
2) 𝑓 ′ (𝑥) = 0, 𝑥0 - стационарная точка,
3) 𝑓(𝑥0 ) ,
4) Сравнить: 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑥0 ).
А.2.
а) 𝒇(𝒙)дифференцируема на(𝒂, 𝒃),
б) 𝒙𝟎 - единственная точка экстремума (максимума или
минимума) на (𝒂, 𝒃).
𝑓(𝑥0 ) - наибольшее (наименьшее).
А.3.
а) 𝒈(𝒙) > 0 на(𝒂, 𝒃),
б) 𝒇(𝒙) = (𝒈(𝒙))𝒏 , 𝒏 ∈ 𝑵 ,
в) 𝒇(𝒙)дифференцируема на(𝒂, 𝒃).
6
𝑔(𝑥0 ) - наибольшее (наименьшее) тогда и только тогда, когда
𝑓(𝑥0 )- наибольшее (наименьшее.)
В этом блоке много текстового материала, но учащимся не придется
много переписывать, так как большая часть блока заготовлена в конспекте
заранее. Она, повторяем, выделена жирным шрифтом.
IV. После оформления отдельного блока, в котором в явном или
неявном виде содержится способ решения определенного круга задач,
полезно показать образец их выполнения. Записать решение можно на
обороте таблицы.
Заполненная учениками таблица постепенно превращается в конспект.
В конце урока учитель еще раз проговаривает новый материал, делая акцент
на главном и показывая, как это главное выделено в конспекте.
Использование конспектов изменяет характер домашнего задания.
Например,
учащимся
можно
предложить
сделать
дома
следующее:
сопоставить таблицу с содержанием соответствующего раздела учебника;
пересказать конспект; научиться воспроизводить его вместе с графиками;
придумать упражнения, соответствующие каждому блоку таблицы.
V. Лекции часто предполагают нетрадиционное построение и
последующих
уроков.
Так,
урок,
закрепления
материала
лекции
целесообразно построить с учетом групповой формы деятельности. План
урока может быть таким:
1. Пересказ нового материала по таблице. Лидер каждой группы
распределяет блоки конспекта между ее членами и определяет очередность сообщений. Учитель следит за работой групп. Подходит то к
одной, то к другой, слушает, помогает, направляет. Если в какой-то
группе допущена ошибка, искажающая смысл математического
утверждения, то она обсуждается всем классом.
2. Фронтальная устная работа с теоретическим материалом. Приведём
7
примеры
а)
устных
заданий
по
указанному
выше
конспекту.
Можно ли, используя график, производной некоторой функции,
найти стационарные точки и точки экстремума? Ответ обоснуйте.
б)
Укажите
последовательность
промежутков
действий
при
отыскании
монотонности
функции.
в) 𝑓 ′ (𝑥) = 0. Являются ли корни этого уравнения точками экстремума?
Ответ обоснуйте.
3. Классификация упражнений. Учитель выписывает на доске несколько
заданий (от 5 до 10) и предлагает учащимся, не решая их, указать,
каким блокам таблицы они соответствуют, а затем некоторые из них
подробно разобрать со всем классом.
4. Обмен заданиями. Группы составляют упражнения по теме и
обмениваются ими. Задачи ребята тут же решают.
Только
лишь
на
третьем
уроке
после
лекции
—
назовем
его
п р а к т и к у м о м — можно приступить к решению содержательных
задач. Здесь опять ребята работают в группах. Группа рассматривает
большой список задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции, анализирует их и, руководствуясь блоком V, определяет, к какому
из п. А.1.—А.3. ее следует отнести. Затем из проанализированного списка
каждая группа выбирает 2—3 задачи и решает их.
Следующие уроки можно проводить в форме консультаций.
VI. Карточка-консультант.
В
своей
работе с
учащимися
я
часто
использую
карточки-
консультанты, которые при самостоятельной работе, при выполнении
домашнего задания, при ответе у доски, помогают ученику решить задачу. В
этой карточке содержатся все узловые моменты изучаемой темы, а также
алгоритм решения задания. Сначала карточки составляет учитель, а затем
привлекает к этому и учащихся. В процессе работы они приобретают ряд
полезных
навыков,
например
учатся
выделять
узловые
вопросы
в
прочитанном тексте, составлять алгоритмы (пусть пока в самом простом
8
виде) для решения задач. Работа по составлению карточек прививает интерес
к предмету, учит творчески воспринимать учебный материал. Наиболее
удачную карточку-консультанта оценивает не столько учитель, сколько сами
ученики.
Для иллюстрации приведем пример карточки-консультанта по алгебре
при изучении темы «Решение систем линейных уравнений» в VI классе.
Система линейных уравнений
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 ,
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 .
Графический способ
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 , (1)
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 . (2)
Способ подстановки
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 ,
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 .
1. Из какого-либо
1. Выразить y через x в
каждом уравнении.
2. Построить график
каждого уравнения.
3. Определить
координаты точек
пересечения.
уравнения выразить
одну переменную через
другую.
2. Подставить
полученное выражение
для переменной в
другое уравнений и
решить его.
3. Сделать подстановку
найденного значения
переменной и
вычислить значение
второй переменной.
Способ сложения
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 ,
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 .
1. Уравнять модули
коэффициентов при
какой-нибудь
переменной.
2. Сложить (вычесть)
почленно уравнения
системы.
3. Составить новую
систему: одно
уравнение новое, другое
– одно из старых.
4. Решить новое
уравнение и найти
значение одной
переменной.
5. Подставить значение
найденной переменной
в старое уравнение и
найти значение другой
переменной.
Ответ: x = …, y = ….
9
Карточку-консультанта можно использовать и во время ответов на вопросы
учителя. Приведем вопросы, которые были заданы учащимися.
1. Что значит решить систему линейных уравнений с двумя неизвестными?
2. Что называется решением системы линейных уравнений с двумя
неизвестными?
3. Сколько способов решения системы линейных уравнений мы знаем?
Какие?
4. В чем заключается графический способ?
5. Что можно сказать о решении системы линейных уравнений, если
графики уравнений не пересекаются?
6. Что можно сказать о решении системы! линейных уравнений, если
графики уравнений совпадают?
7. В чем заключается способ подстановки?
8. В чем заключается способ сложения?
9. В каком случае оба уравнения системы почленно складывают?
10. В каком случае оба уравнения системы почленно вычитают?
11. Чем неудобен графический способ решения системы линейных
уравнений с двумя неизвестными?
12. В каком случае удобно применять способ сложения?
13. В чем заключается геометрический смысл решения системы линейных
уравнений с двумя неизвестными?
10