РГР для студентов 2 курса (4 семестр) ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

РГР для студентов 2 курса (4 семестр)
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Первые три задачи каждого варианта необходимо решить при следующих
условиях:
1. Найти работу векторного поля a вдоль заданной кривой L .

2. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить поток вектора a
через ориентированную поверхность P.

3. Пользуясь формулой Стокса, найти циркуляцию вектора a по контуру L в
положительном направлении относительно вектора s .
Вариант № 1
1. a  yi  xj;
L : x  2 cos t , y  2 sin t , 0  t 

2
.




2. a  x 3i  y 3 j  z 3 k ; P - внешняя сторона боковой поверхности конуса
x2  y2 
R2
h
2
z 2 , 0  z  h.

 
x 2  y 2  4 
3. L : 
; a  zi  xj  yk ; s  k .
z  0



4. Показать, что поле вектора a  6 xy i  (3x 2  2 y ) j потенциально, найти
его потенциал.
Вариант № 2

 

1. a  x 2  y 2 i  x 2  y 2 j;
L :b 2 x 2  y 2 a 2  a 2b 2
от M 1 (a,0) до
M 2 (0, b).

 

2
2
2. a  2xi  yj  zk ; P - внешняя сторона части параболоида 9  z  x  y ,
отсеченного плоскостью z  5.
 x 2  y 2  z 2  16

2
3. a  z i ; L : 
( x  0, y  0, z  0); s  k






x

0

y

0

z

0



4. Вычислить ротор векторного поля a  rc , где c - постоянный вектор,



 
r  r , r  xi  yj  zk .
Вариант № 3




1. a  ( y  2)i  (2  x) j  ( x  y) k ; L : x  acos t , y  asin t , z  t , t  0;2 .




2. a  x 2 i  ( y  z ) j  zk ; P - внешняя сторона полусферы z  9  x 2  y 2 .




3. a  2 xzi  yj  zk ; L - контур, образованный пересечением плоскости
x  y  2z  2 с координатными плоскостями; s  k .


4. Найти производную скалярного поля u  3 2 x  y 2 xz 3 в точке  1;2;1 в


направлении градиента поля   z ln x 2  1  y  z 2  e 2 y  x в точке
0;0;1 .
Вариант № 4


1. a  xyi  ( y  x) j ; L : y



2

 x от точки M 1 (0;0) до M 2 (1;1).
2. a  (2x  2 y)i  zj  3yk ;
P-
внешняя
параболоида y  x 2  z 2 (0  y  1).




3. a  (x  2z )i  (z  3y  z ) j  (5x  y)k ;
сторона
L
-
части
контур
поверхности
треугольника
ABC :A(1;0;0); B(0;1;0); C (0;0;1); s  k .
4. Вычислить дивергенцию векторного поля

 

постоянные векторы, а r  xi  yj  zk .

  

c  b (r a ), где a и b -
Вариант № 5




1. a  yzi  zxj  xyk ;
L  отрезок прямой от точки A(1;0;3) до точки
B(4;3;6).
 

2
2
2. a  2 xi  yj ; P  внешняя сторона поверхности цилиндра x  y  4 ,
ограниченного плоскостями z  2 и z  6.

  y 3 x 3
;
3. a 
;

;
2
z
 3

3


L - линия пересечения цилиндра
x2  z2  R2 с
плоскостью x  Ry  z  R; s  i .




 
4. Вычислить дивергенцию поля a  r ln r , где r  xi  yj  zk ,

r  r.
Вариант № 6
1. a  (2b  y)i  (a  y) j;

L : x  b(t  sin t ), y  b(1  cos t ), 0  t 



2
.
2. a  xi  yj  zk ; P  внешняя сторона боковой поверхности пирамиды,
ограниченной плоскостями x  y  z  3, x  0, y  0, z  0.
x 2  y 2  z 2  4

 


L : x 2  y 2  z 2
; s  k .
3. a  yi  zk  xj ;
z  0


2
2 
2
2 
2
2
4. Найти ротор векторного поля a  ( x  y )i  ( y  z ) j  ( z  x )k .
Вариант № 7

2
2
1. a  ( x j  y i ) ( x
53
 y5 3 ) ;
L : x  R cos 3 t , y  R sin 3 t
от
точки
M 1 ( R;0) до точки M 2 (0; R ).




2
2
2
2
2. a  xzi  yzj  z k ; P  внешняя сторона части сферы x  y  z  9,
отсеченной плоскостью z  2 (z  2).


2
2
2
3. a  zy i  xz j  x yk ;
4. Вычислить
z 2  y 2  x
L:
; s  i .
x

9

дивергенцию
векторного

 r
a ,
r
поля
где





r  xi  yj  zk , r  r .
Вариант № 8
2
L  контур
1. a  ( x  y )i  ( xy  3 y ) j ;
ABC : A(1;1), B(3;1), C (2;2).




2. a  ( x  y )i  ( y  z ) j  (z  x ) k ;
поверхности
P
пирамиды,
треугольника
внешняя
сторона
ограниченной
боковой
плоскостями
x  y  z  4, x  0, y  0, z  0.
x 2  y 2  4
L:
; s  k .
z

3




2
3. a  yi  x j  zk ;
4. Проверить,
является
ли
соленоидальным




a  y 2 i  ( x 2  y 2 ) j  z (3y 2  1)k .
векторное
поле
Вариант № 9
2
2
2
1. a  ( xj  yi ) ( x  y ) ; L  контур x  y



2 3
2
a

xi

y
z
j

(
y

x
)
k
2.
;
P
2
 R2.
внешняя
сторона
x  R2  y2  z2 .

 

3. a  yi  zj  xk ;
 z  2(1  x 2  y 2 ) 
L:
; s  k.
z

0

4. Является ли поле, образованное вектором




a  (1  2xy )i  y 2 zj  (z 2 y  2xy  1)k потенциальным?
полусферы
Вариант № 10
1. a   y 2 xi  x 2 yj; L : x  cos t , y  sin t ; от M 1 1;0 до M 2 0;1.



2. a  2 xi  ( z  1) k ; P  внешняя сторона боковой поверхности цилиндра
x 2  y 2  4 , ограниченного плоскостями z  0, z  1.



x 2  y 2  1

3. a  xyi  yzj  zxk ; L : 
; s  j.
y

z

1


 

4. Доказать, что поле вектора a  e x sin yi  e x cos yj  k потенциально и
найти его потенциал.
Вариант № 11



1. a  (2b  y)i  (b  y) j ;
L  первая
арка
кривой
x  b(t  sin t ), y  b(1  cost ).

 

2. a  xi  j  z 2 k ; P  внешняя сторона цилиндрической поверхности
x 2  y 2  1, ограниченной плоскостями x  z  1, z  0.




3. a  ( z 2  x 2 )i  ( x 2  y 2 ) j  ( y 2  z 2 )k ;
z  4  x 2  y 2

L:
; s  k.
2
2
 z  x  y




r


4. Найти дивергенцию поля a  f ( r )  , где r  xi  yj  xk , r  r .
r
Вариант № 12



1. a  yi  ( y  x 2 ) j ; L : y  2 x  x 2 от M 1 0;0 до M 2 2;0 .




2. a  ( xz  y 2 )i  x 2 yj  y 2 zk ; P  внешняя сторона поверхности конуса
x 2  z 2  y 2 , 0  y  1.
x 2  y 2  4
L:
; s  i.
x

2
z

5




3. a  zi  yk ;
4. Найти производную функции z  x 2 y  xy 3  3 y  1 в точке (2;1) в
направлении, идущем от этой точки к началу координат.
Вариант № 13

2
 

2
1. a  x  2 y i  y  2 x j ;
N ( 0;2 ).




2. a  2 xi  (1  2 y ) j  2 zk
x2
от точки M (4;0) до точки
L: y  2 
8
P;
P
внешняя
сторона
поверхности
параболоида x 2  z 2  1  2 z, ограниченного плоскостью z  0, (z  0).


x 2  y 2  z 2  1

3. a  yi  xj  zk , L : 
, s  k .
x

z





4. Вычислить дивергенцию векторного поля a  x 2 yzi  xy 2 zj  xyz 2 k в
точке (1;1/2;-1).
Вариант № 14
1.
a 
1
1
i  j;
y
x
L : x  R cos t , y  R sin t от M 1 R;0 до M 2 0; R  .

 

2
2
2. a  xi  yj  x  y  1 k ;
P -внешняя
сторона
однополостного
гиперболоида z  x 2  y 2  1, ограниченного плоскостями z  0, z  3 .




3. a  2 x  z i  2 y  z  j  xyzk ;
параболоида
L  пересечение
x2  y2  1  z
 x  0, y  0, z  0;
с
координатными
плоскостями
x  0, y  0, z  0
s  k.

 
 

4. Вычислить ротор векторного поля a  r , b b , где b - постоянный вектор, а

 

r  xi  yj  zk .
Вариант № 15

 

1. a  x 2  2 xy i  y 2  2 xy j ; L : y  x 2 от точки ( 11
; ) до точки (11
; ).

2. a  ( y
2


 z 2 )i  y 2 j  2 yzk ; P -внешняя сторона поверхности конуса,
x 2  z 2  y 2 , ограниченной плоскостями y  0, y  1.
x 2  z 2  1  y
L:
x  0  y  0  z  0


2
2
2
3. a  y i  x j  z k ;
 x  0; y  0; z  0;
s j.
4. Проверить, является ли векторное поле

 2 xz  y
2


 




a  2 xy  z 2 i  2 yz  x 2 j 

k потенциальным, и если оно потенциально, то вычислить
его потенциал.
Вариант № 16




1. a  (2xy  3z  1)i  (x  2 y ) j  (3x  5)k ; L  отрезок OA, от O0;0;0 до
2
A1;3;5.


2
2
2
2. a  xyzk ; P  внешняя сторона полусферы z  R  x  y .




xy
a

yi

xj

e
k
3.
; L : x 2  y 2  R 2 , z  5; s  k .



    
a  r , r c , r  xi  yj  zk ,
4. Вычислить дивергенцию поля
где

c-
постоянный вектор.
Вариант № 17
2

1. a  ( x  2 y )i  ( y
2

 2 x) j ; L  ломаная MON : M (4;0); O(0;0); N (0;2) в
направлении от M к N .

3
3
3

2. a  x i  y j  z k ;
P
внешняя
сторона
поверхности
конуса
x 2  y 2  z 2 ( z  0), ограниченного сферой x 2  y 2  z 2  R 2 .

 

3. a  yi  zj  xk ;
x 2  y 2  z 2  R 2
L:
;
x  0  y  0  z  0
 x  0, y  0, z  0;

2
4. Вычислить дивергенцию векторного поля a  grad ( x  y
(1;2;3).
s  i .
2
 z 2 ) в точке
Вариант № 18




1. a  ( x  2)i  ( x  y ) j  2 zk ; L  отрезок AB в направлении от точки
A(1;2;1) к точке B(2;1;1).




2. a  ( xy  y )i  ( yz  z ) j  ( yx  x ) k ;
P
внешняя сторона цилиндра
x 2  y 2  4, z  0, z  3.
x 2  y 2  1
L:
; s  k.
z

0
.





   
4. Вычислить ротор вектора a  (r , j )r , где r  xi  yj  zk .




3. a  xyi  yzj  zxk ;
Вариант № 19



L  ломанная
1. a  ( x  y )i  ( z  x) j  ( x  y )k ;
ABCA
A(1;0;0);
B(0;1;0); C (0;0;1) .




2. a  2 xi  yj  zk ; P  внешняя сторона части поверхности параболоида
9  z  x 2  y 2 , z  5.


2
2
2
3. a  y i  x j  z k ;

x2  y2 1  z
 x  0, y  0, z  0 ; s  k .
L:






x

0

y

0

z

0

3
2
2
4. Найти производную функции z  x  3x y  3xy  1 в точке M ( 3;1) в
направлении, идущем от этой точки к точке N ( 6;5).