Типовые задания для специальности:

Типовые задания для специальности:
«Математические методы в экономике»
Оптимизация и модели исследования операций
1. Найти решение задачи линейного программирования
2 x 1  3 x 2  2 x3  3 x 4  min;
2 x1  x 2  x3  x 4  2,
 x1  3 x 2  x3  x 4  1,
xi  0, i  1,2,3,4.
2. Решить задачу линейного программирования. Используя теорию двойственности,
доказать правильность полученного решения
 4 x 1  4 x3  x 4  max;
2 x1  x 2  x3  x 4  2,
 x1  3 x 2  x3  1,
xi  0, i  1,2,3,4.
3. Проверить на оптимальность заданные точки
x12  x 22  x1 x3  min
x1  2 x2  2 x3  3
3x1  x2  x3  4
xi  0,
i  1,2,3.
x1  (1,0,1), x 2  (1,1,0), x 3  (0,0,3 / 2)
4. Решить задачу графически. Используя теорему Куна-Таккера доказать правильность
полученного решения
f ( x)  x1  x2  min
x12  x22  4
x1  x2  1
5. Найти оптимальное управление. Является ли принцип максимума Л.С. Понтрягина
достаточным условием оптимальности в задаче? Обосновать ответ.
x1  x2 x1 (0)  1
x 2  x1  u 2 x2 (0)  1
 1  u (t )  1, t  [0,1]
J (u)  x1 (1)  x2 (1)  min
6. Найти оптимальное управление. Является ли принцип максимума Л.С. Понтрягина
достаточным условием оптимальности в задаче? Обосновать ответ.
x1   x2  u12 x1 (0)  0
x 2  x1  2u2 x2 (0)  1
u1 (t )   1,0,2, 1  u 2 (t )  2, t  [0,  ]

J (u )  x2 ( )   u 2 (t )dt  min
0
7. Найти допустимые экстремали в задаче вариационного исчисления
2
J(x)   ( x 2 6xt )dt  min;
0
x(0)  0, x(2)  8.
Теория вероятностей
1. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без
возвращений извлекается 3 шара. Случайная величина X – число белых шаров в
выборке. Описать закон распределения и найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины X. Вычислить функцию распределения
вероятностей F X (x ) и построить ее график.
2. Игральная кость подбрасывается 3 раза. Случайная величина X – число появлений
двойки. Описать закон распределения и найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины X. Найти функцию распределения вероятностей
F X (x) и построить ее график.
3. Производится n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с
вероятностью p. Случайная величина X – число появления события A в n опытах.
Построить ряд, многоугольник и функцию распределения случайной величины X,
найти ее математическое ожидание и дисперсию, если n=3, p=0,3.
4. Случайная величина X распределена по закону:
0
2
4
xi
pi
0,25
p1
p2
Известно, что DX=2, p1  p 2 . Найти значения параметров p1 и p 2 . Вычислить
MX.
5. Случайная величина X распределена по закону с функцией плотности f (x) ,
зависящей от постоянного параметра a:
ax 2 , 0  x  2
f ( x)  
 0, x  0, x  2
Найти:
а) значение параметра a;
в) функцию распределения вероятностей F X (x ) ;
с) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X.
6. Функция распределения случайной величины X, зависящей от постоянных
параметров a и b, имеет следующий вид:
x  0,
 0,
a  1

F ( x)  
x 2 , 0  x  b,
 2
x  b.
 1,
Известно,
что
MX=2.
P X  MX  DX .
Найти
значения
параметров
a
и
b.
Вычислить
Линейная алгебра
1) Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в
некотором базисе матрицами:
 1 1 0
  5 4 0


 2 1 2
2) Выяснить какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путём
перехода к новому базису над полем R или C:
 4 7  5
 4 5 1 


 1 9  4
Найти этот базис и соответствующий вид матрицы.
3) Найти ранг матрицы:
2
5 3 1
1 0  1 1 


5 1 0 1 


3 0 4  1
4) Найти базис и размерность подпространства пространства строк, натянутого на данную
систему векторов: f1=(1,1,1,1), f2=(2,1,1,0), f3=( 1, 1, 1, 1)
f4=(1,2,4,3), f5=(0,1,2,3);
5) Посредством процесса ортогонализации найти ортогональный базис пространства,
порождённого векторами: a) (1,2,1,4) (4,1,1,1) (3,1,1,1);
7) Решить матричное уравнение:
  1 0    2  1
  

X  
4 
 3  4  3
8) Найти общее решение и фундаментальную систему решений систем уравнений:
x1+x2+x3+x4=0
2x1- x2- 2x3+x4=0
9)Вычислить определитель:
с a 0
b c d
0 e 0
Математический анализ
1. Найти предел:
5x  1  4
.
x  x 2  2 x  15
lim
2. Продифференцировать функцию:
3. Найти неопределенный интеграл:
y  (ctgx3 ) ln x .

4
x 1  x 1
dx .
x 1 1
4. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры
Ф вокруг оси Ох:
Ф : 2 y  x2 , 2x  2 y  3  0 .
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  z ( x, y )
в замкнутой
D , ограниченной заданными линиями z  4( x  y)  x 2  y 2 ,
D : x  2y  4 , x  2y  4, x  0 .
области
6. Вычислить двойной интеграл:

S
x 2  y 2  ay , x  0 , y  0 .
dx  dy
a x y
2
2
2
,
S : x2  y2  a2 ,