Задача 2. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы

Задача 2.
Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы
увеличить выпуск продукции на а= 2%, надо увеличить основные фонды на b
= 4% или численность работников на c = 6%. В настоящее время один
работник за месяц производит продукции на М = 103 руб, а всего работников
L = 103. Основные фонды оцениваются в К=106руб. Найдите
производственную функцию и оптимальный размер, если период
амортизации основных фондов N = 6 месяцев, зарплата работников в месяц d
= 103руб.
Решение
Найдем коэффициенты α, β: α = а/b = 1/2, β = а/с = 1/3 следовательно:
Y  A  K 1 / 2  L1 / 3
Для нахождения А подставим в эту формулу значения K, L, M, имея в виду,
что Y = ML 10 3  10 3  10 6
10 6  A  (10 6 )1 / 2  (10 3 )1 / 3
Отсюда А =100
Таким образом, производственная функция имеет вид: Y  100  K 1 / 2  L1 / 3
Выпуск продукции измеряется в денежном выражении, так что v = 1.
Стоимость месячного содержания одного рубля фондов 1/N, т. е. получаем
систему уравнений
 50  L1 / 3 1
 Y 1

 1 / 2 
 K N
=>  K 1 / 2 6

100  K
 Y  d
 1000
 L
 3  L2 / 3
Решая совместно систему получает:
L  1000
K  9.0  10 6
Ответ: L  1000, K  9.0  10 6 , Y  100  K 1 / 2  L1 / 3
Задача 4.
Рассмотрите рынок с тремя участниками (i=1,2,3), к каждого одна и та же
функция полезности ui( x1, x 2, x3)  x1x 2 x3 . Пусть начальное вещество
первого, второго и третьего участников соответственно А=(8,8,2), В=(5,7,2),
С=(3,3,2). Найдите равновесные цены и доход каждого участника.
Решение
Решим задачу потребителя для i-го участника (i=1,2,3).
x1x 2 x3  max
 p1x1  p 2 x 2  p3 x3  Q

 x1  0, x 2  0, x3  0
Составим функцию Лагранжа:
L  x1x 2 x3   (Q  p1x1  p 2 x 2  p3x3
Найдем условный максимум.

x2 x3
2 p1 x1

x1x3
2 p2 x2

x1x2
2 p3 x3
Отсюда: p1x1  p 2 x2  p3x3
Подставим в четвертое уравнение системы, получаем:
Q
;
3 p1
Q
x2 
;
3 p2
Q
x3 
;
3 p3
x1 
Найдем доходы участников:
Q1  8 p1  8 p 2  2 p3
Q 2  5 p1  7 p 2  2 p3
Q3  3 p1  3 p 2  2 p3
Найдем суммарный спрос на каждый товар:
Q1 Q 2 Q3 16 p1  18 p 2  6 p3



3 p1 3 p1 3 p1
3 p1
Q1 Q 2
Q3 16 p1  18 p 2  6 p3
D 2( p ) 



3 p2 3 p2 3 p2
3 p2
Q1 Q 2 Q3 16 p1  18 p 2  6 p3
D3( p ) 



3 p3 3 p3 3 p3
3 p3
D1( p ) 
Приравниваем спрос и предложения:
16 p1  18 p 2  6 p3
 16
3 p1
16 p1  18 p 2  6 p3
 18
3 p2
16 p1  18 p 2  6 p3
6
3 p3
Получаем: 16 p1  18 p 2  6 p3
Найдем наименьшее общее кратное НОК (8;9;3)=72. Тогда р1=9, р2 =8,
р3 =24
Найдем равновесное распределение:
Q1  8  9  8  8  2  24  184
Q 2  5  9  7  8  2  24  149
Q3  3  9  3  8  2  24  99
Ответ: Р=(9;8;24), Q=(184;149;99)