1. Скалярное поле

Содержание
1. Скалярное поле ....................................................................................................... 2
2. Векторное поле. Дивергенция векторного поля ................................................. 4
3. Ротор векторного поля........................................................................................... 6
4. «Набла» - исчисление ............................................................................................ 7
5.
Основные
операции
векторного
анализа
в
криволинейных
координатах ....................................................................................................................... 7
Список литературы .................................................. Error! Bookmark not defined.
1. Скалярное поле
Задача 1
Построить поверхности равного уровня следующих скалярных полей:
(a) Φ 
x2 y2 z 2
,


4
9 16
(b) Φ 
x2  y2
,
z
(c) Φ  3 x  2 y  z ,
 
(a , r )  
(d) Φ    , (a , b  const) .
(b , r )
Задача 2
Найти производные для следующих скалярных полей в точке M0(X0,Y0, Z0) по
направлению к точке M1(X1,Y1, Z1)
a)   x 2  y 2  z 2 , M 0 (1,1,1), M 1 (3,2,1),
2
b)   x 2 y  xz 2  2, M 0 (1,1,1), M 1 (2,1,3),
c)   xe y  ye x  z 2 , M 0 (3,0,2), M 1 (4,1,3) .
Задача 3
Найти производную скалярного поля
  arctan
y
x
в точке М0(2; -2) окружности x 2  y 2  4 x  0 вдоль дуги этой окружности.
Задача 4
Найти производную скалярного поля
ф = 2xy + y2
в точке M 0 ( 2;1) эллипса x 2 / 4  y 2 / 2  1 по направлению внешней нормали к эллипсу
в этой точке.
Задача 5
Вычислить производную скалярного поля
  x2  y2  z 2
в точке M0 соответствующей значению параметра t 

2
по направлению винтовой
линии x = Rcost, y = Rsint, z = at.
Задача 6
Найти градиенты следующих скалярных полей в точке M0(x0,y0,z0)
(a)   ln x 2  y 2  z 2 ,
M 0 (1,1,1)
(b)   z  exp x 2  y 2  z 2 , M 0 (0,0,0)
3
(c)   x 2  y 2  z 2 , M 0 (1,1,1)
Задача 7
Найти градиенты следующих скалярных полей, если a , b = const и

 

r  xi  yj  zk , r  x 2  y 2  z 2 ,
(a)   ln( r ),
 
(b)   (a , r ),
 
 
(c)   (a , r )  (b , r ),
 
(d)   [a , r ] .
2
Задача 8
Показать что
(a) grad u ( ) 
du
grad ,
d
(b) ( grad  (r ), r )   (r )r ,
(с) grad (r ), r   0 .
2. Векторное поле. Дивергенция векторного поля
Задача 1
Построить векторные линии следующих векторных полей




(a) r  xi  yj  zk ,




(b) A  Ax i  Ay j  Az k , Ax , Ay , Az  const ,




(c) A  ( z  y )i  ( x  z ) j  ( y  x)k ,

 

(d) A  [c , r ], c  const .
4
Задача 2
Построить векторные линии магнитного поля бесконечного проводника с
током, заданного формулой
 
 2  
H  I ,r ,




где I  Ik – вектор тока, r – радиус-вектор точки M ( x, y, z ) ,  – расстояние от оси
проводника до точки M .
Задача 3



Вычислить поток векторного поля A  r , где r – радиус-вектор, через прямой
круговой цилиндр высотой h, радиусом основания R и осью Oz.
Задача 4
Используя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить потоки векторных
полей через указанную замкнутую поверхность S.






S : x 2  y 2  z 2 , z  4, z  0 ,
(a) A  (1  2 x)i  yj  zk ,


S : x 2  y 2  4  z, z  0, z  0 .
(b) A  2i  xzj  yk ,
Задача 5
Найти дивергенцию следующих векторных полей в ДСК:




(a) A  x( z 2  y 2 )i  y( x 2  z 2 ) j  z ( y 2  x 2 )k ,




(b) A  y 2 i  ( x 2  y 2 ) j  z (3 y 2  1)k ,




(c) A  (1  2 xy)i  y 2 zj  ( z 2 y  2 zy  1)k .
Задача 6
Вычислить дивергенцию следующих векторных полей, используя ее свойства:
5


(a) A  r



 
(b) A  r 4 r ,
(c) A  [a , r ],


   r
(d) A  (a ,[r , b ]) 5 .
r
3. Ротор векторного поля
Задача 1


 y 2i  x 2 j
в плоском векторном поле
A
x2  y2
Вычислить линейный интеграл
вдоль полуокружности x = Rcost, y = Rsint, (0 < t < π).
Задача 2



Вычислить работу силового поля F  2 xyi  x 2 j
вдоль дуги окружности
x 2  y 2  1 от точки M (1,0) до точки N (0,1) .
Задача 3
Вычислить линейный интеграл в векторном поле


 
A  xi  yj  zk
вдоль витка винтовой линии x  a cos t , y  a sin t , z  t в направлении возрастания
параметра t (0 < t < 2π).
Задача 4
Найти ротор следующих векторных полей




(a) A  ( x 2  y 2 )i  ( y 2  z 2 ) j  ( x 2  z 2 )k ,
6




(b) A  z 3 i  y 3 j  z 3 k .
Задача 5

Вычислить ротор векторных полей, если а, b - постоянные векторы, r –
радиус-вектор точки M(x,y,z).


(a) A  r ,

  

  

   

  
(b) A  (r , a )b ,
(c) A  (r , a )b ,
(d) A  (r , a )[ r , b ],
(e) A  [r , [a , r ]] .
4. «Набла» - исчисление
Используя правила "набла" исчисления, вычислить:
   
 
1. grad (a , r )(b , r ) / r 3 , a , b  const .
  
  

2. div (r )[ a , r ],  (r )  (a , [r , b ]) / r n .
  


3. rot[r , [ A, r ]], A  a cos r .
   


4. grad (a , r )( B, r ), B  b exp(sin r ) .
  
 

5. divr ( A, a ), A  [b , r ] cos r .
   

6. rot[ A, r ]( a , r ), A  вектор-функция.
 
 
7. grad ( A, B), A, B  вектор-функции.
5. Основные операции векторного анализа в криволинейных
координатах
Задача 1
Вычислить градиент скалярного поля в цилиндрических координатах
7
U   2  2 cos   e z sin  .
Задача 2
Вычислить
градиент
скалярного
поля
в
сферических
координатах
U  r 2 cos  .
Задача 3
Вычислить дивергенцию векторного поля в цилиндрических координатах



A  e   z sin  e  exp( ) cos z e z .
Задача 4
Вычислить дивергенцию векторного поля в сферических координатах



A  r 2 er  2 cos 2  e 

r 1
2

e .
Задача 5
Вычислить ротор векторного поля в цилиндрических координатах



A  e  z sin  e  exp( ) cos z ez .
8