Семинар 10. Прямая на плоскости и пространстве

Семинар 9. «Векторы на плоскости и в пространстве»
1) Определить скалярное произведение векторов a  3i  4 j  7 k и b  2i  3 j  2k .
2) Определить угол между векторами a  i  2 j  3k и b  6i  4 j  2k .
3) Даны точки M1  2;0;0 , M 2  0;0;4 , Ì
3
 2;0;2 , Î  0;0;0 . Найти угол между векторами Î M 3
и M1M 2 .
4) Найти длины сторон и углы треугольника с вершинами À  1; 2;4 , Â  4; 2;0 , Ñ 3; 2;1 .
5) Найти угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его вершины
À  2;1;3 , Â  5;2; 1 , Ñ  3;3; 3 .
6) Найти
угол
между
диагоналями
параллелограмма,
построенного
на
векторах
a   6; 1;1 ; b   2;3;1 .
7) В плоскости находятся два вектора a , b . Известно, что a  3, b  4 и угол между ними 600 .
Найти длину вектора d  2à  b .
8) Даны вершины треугольника À 1;2;1 , Â  3; 1;7  , Ñ  7;4; 2  . Показать, что этот
треугольник равнобедренный.
9) Даны вершины четырехугольника À 1; 2;2 , Â 1;4;0 , Ñ  4;1;1 , D  5; 5;3 . Показать, что
его диагонали взаимо перпендикулярны.
10) При каком значении m векторы a  mi  3 j  4k и b  4i  m j  7k перпендикулярны?



11) Найти 5a  3b  2a  b , если a  2, b  3, a  b .
12) Найти векторное произведение векторов a  2i  3 j  5k и b  i  2 j  k .
13) Вычислить площадь треугольника с вершинами À 1;1;1 , Â  2;3;4 , Ñ  4;3;2 .



14) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a  3b , 3a  b , если
a  1, b  1, а угол между ними 300 .
15) Найти смешанное произведение векторов a  2i  j  k , b  i  3 j  k , c  i  j  4k .
16) Показать, что векторы a  2i  5 j  7 k , b  i  j  k , c  i  2 j  2k .
17) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB , AC и AD , если
À  2;2;2 , Â  4;3;3 , Ñ  4;5;4  , D 5;5;6  .
18) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами À  2;2;2 , Â  4;3;3 , Ñ  4;5;4  , D 5;5;6  .
19) Найти объем тетраэдра, заданного вершинами À  0;0;0 , Â 1;1;0 , Ñ  2;1;0  , D  0;0;6  .
20) Найти объем тетраэдра, заданного вершинами À  0;0;0 , Â  4;1;1 , Ñ 1;1;0  , D  0;0;8 .