Document 902360

Гимназия 1543, 9-В класс
Листик 16, 12 февраля 2011.
Неравенства 1.
Свойства неравенств – транзитивность, сложение.
Свойство умножения – если a  b  0 и c  d  0 , mо ac  bd .
Основные приемы:

Рассмотреть разность левой и правой части.

Использовать уже известные неравенства (например a 2  b2  2ab )
2
1. Докажите неравенства а) a 2  9b2  6ab б) 2a 2  b2  c2  2a(b  c) в)  a3  b3   a  b   3ab  a  b 
2. (Важная!) Докажите, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не
меньше, чем 2.
3. Докажите неравенства а)  ab2  a3   a  b    a 2b  b3   a  b  б) a 2 
1
1
a
2
a
a
4. Для неотрицательных чисел a и b докажите a3  b3  a 2b  ab2
5. Для неотрицательных чисел a и b докажите a5  b5  a 4b  ab 4  a3b 2  a 2b3
6. (Важная!) Для неотрицательных чисел a и b докажите
a 2  b2 a  b
2

 ab 
1 1
2
2

a b
ab bc ca


6.
c
a
b
8. Для неотрицательных чисел a, b и c докажите  a  b b  c  c  a   8abc .
7. Для неотрицательных чисел a, b и c докажите
9. (Важная!) Докажите неравенство a 2  b2  c 2  ab  ac  bc
10.Для неотрицательных чисел a, b и c докажите
(a  b  c) 2
 ab  ac  bc
3
11.Докажите, что если a  b , то a3  b3  a 2b  ab 2
12.Найдите наименьшее значение выражения а) x 
81
4 x 2  7 x  25
, при x  0 . б)
, при x  0
x
x
x
, при x  0 .
16  x 2
14.Найдите наибольшее значение xy, если известно, что 2 x  y  6
13.Найдите наибольшее значение выражения
15.а) Из всех прямоугольников площади S найдите прямоугольник с наименьшим
периметром. б) Из всех прямоугольников периметра P найдите прямоугольник с
наибольшей площадью.
16.Сумма n положительных чисел равна 1. Какое наибольшее значение может принимать
их произведение?