Практическое занятие №1 (2ч) - Канский Педагогический Колледж

Министерство образования и науки Красноярского края
КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»
ГЕОМЕТРИЯ.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Материалы к практическим занятиям
Специальность 050201 – «Математика»
Канск
2011
Печатается по решению Педагогического совета колледжа
Автор-составитель:
А.В.
Анциферова,
КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»
преподаватель
Рецензенты: С.В. Ларин, кандидат физико-математических
наук, профессор ФГБОУ ВПО КГПУ им. В.П. Астафьева
Геометрия. Аналитическая геометрия на плоскости:
материалы к практическим занятиям / автор-сост. А.В. Анциферова,
рец. С.В. Ларин, КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»,
Канск, 2011 г. – 26 с.
В материалах к практическим занятиям по геометрии
представлена система заданий для отработки основных понятий и
умений по разделу «Аналитическая геометрия на плоскости»,
включающей следующие темы: «Векторы», «Прямая», «Линии
второго порядка», «Циклоидальные кривые», «Специальные кривые
для решения задач». Выполнение заданий предусматривает активное
использование компьютерных математических программ MathCad и
«Живая геометрия», что позволит студентам эффективно
организовывать самостоятельную познавательную деятельность по
изучению вопросов аналитической геометрии, работать по
формированию навыков самоконтроля и исследовательских умений.
Материалы к практическим занятиям предназначены для
специальности 050201 «Математика» по дисциплине «Геометрия».
 КГАОУ СПО «Канский
педагогический колледж»
Оглавление
Практическое занятие №1. Электронные учебные средства
4
Практическое занятие №2. Программные средства для решения
геометрических задач
5
Практическое занятие №3. Векторы на координатной плоскости.
Основные понятия
6
Практическое занятие №4. Векторы на координатной плоскости.
Действия над векторами
9
Практическое занятие №5. Прямая на координатной плоскости.
Способы задания прямой
13
Практическое занятие №6. Прямая на координатной плоскости.
Взаимное расположение прямых
15
Практическое занятие №7. Линии второго порядка. Эллипс
17
Практическое занятие №8. Линии второго порядка. Гипербола.
Парабола
19
Практическое занятие №9. Циклоидальные кривые
23
Практическое занятие №10. Специальные кривые для решения
задач
24
Практическое занятие №1
Тема: Электронные учебные средства
Цель: познакомить с библиотекой ЦОР для поддержки учебной
деятельности по геометрии
Формирование компетентностей: Систематизирует извлеченную
информацию в рамках простой заданной структуры
Практические задания
Познакомьтесь с содержанием предложенных ресурсов и заполните
следующую таблицу:
материал
текущего
семестра
справочник
задания для
контроль
задания для
тренировки
Наименование ресурса
теоретическ
ий материал
Представлены ли
Примеча
ние
Электронный учебниксправочник
«Планиметрия», ЗАО
«КУДИЦ»
Открытая математика.
Планиметрия. ООО
«Физикон»
Математика.
Практикум. «1 С»
Материал для самостоятельной работы
Познакомьтесь с содержанием предложенных ресурсов и заполните
следующую таблицу:
Открытая
математика.
Стереометрия.
материал
текущего
семестра
справочник
задания для
контроль
задания для
тренировки
Наименование
ресурса
теоретическ
ий материал
Представлены ли
Примеч
ание
ООО
«Физикон»
Уроки
геометрии.
«Кирилл и
Мефодий»
Основная учебная литература по теме
Электронный учебник-справочник «Планиметрия», ЗАО «КУДИЦ»
Открытая математика. Планиметрия. ООО «Физикон»
Математика. Практикум. «1 С»
Открытая математика. Стереометрия. ООО «Физикон»
Уроки геометрии. «Кирилл и Мефодий»
Практическое занятие №2
Тема: Программные средства для решения геометрических задач
Цель: сформировать представление о современных средствах решения
математических задач, познакомить с основными возможностями
математического пакета MathCad и компьютерной среды Geometer's
Sketchpad, научить выполнять отдельные математические действия
данными средствами.
Формирование компетентностей:
Теоретические основы: возможности математического пакета
MathCad, компьютерной среды Geometer's Sketchpad
Практические задания
Средствами математического пакета MathCad постройте:
график функции y=2x+5
график функции y=x3-10
график функции y=1/x
график функции y=sin(2x-5)+3
график функции y=ln(x2+1)
Используя возможности среды Geometer's Sketchpad, постройте
постройте угол, равный данному
постройте точку пересечения высот треугольника
постройте точки пересечения медиан треугольника
постройте центр окружности вписанной в треугольник
постройте центр окружности, описанной около треугольника
Практическое занятие №3
Тема: Векторы на координатной плоскости. Основные понятия
Цель: закрепить основные понятия темы: вектор, координаты вектора,
длина вектора коллинеарность векторов.
Формирование компетентностей: классифицировать, действовать по
алгоритму
Теоретические основы: система координат на плоскости, виды
системы координат,
координаты точки на плоскости, вектор, координаты вектора на
плоскости, модуль вектора, радиус – вектор, единичный вектор,
коллинеарные
векторы
(сонаправленные,
противоположно
направленные, противоположные), равные векторы.
Вопросы к теме:
Дайте определение системе координат на плоскости.
Назовите виды системы координат.
Что называют координатами точки на плоскости.
Дайте определение вектора.
Как вычисляются координаты вектора.
Дайте определение модуля вектора. Как вычисляется модуль вектора?
Какой вектор называется единичным?
Какой вектор называется радиус – вектором?
Дайте определение коллинеарных, сонаправленных, противоположно
направленных, противоположных, равных векторов.
Практические задания
1. Откройте программу Geometer's Sketchpad. Откройте документ
Векторы
2. Среди предложенных векторов найдите и последовательно
расположите следующие векторы, начиная от точки (1,3): (5,2),
(6,0), (0,1), (-1,1), (0,1), (1,1), (2,0), (1,-1), (0,-1), (-1,-1), (5,-2), (-4,1), (0,-2), (1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,1), (-1,0),
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
(-1,-1), (-3,0), (-1,1), (-1,-1), (1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,4). Какой рисунок
у Вас получился?
Разбейте все множество векторов на подмножества:
- коллинеарных векторов;
- неколлинеарных векторов.
Выделите подмножества:
сонаправленных векторов;
противоположно направленных векторов;
противоположных векторов;
равных векторов;
единичных векторов.
Какие из подмножеств содержат ортогональные между собой
векторы?
Создайте новый документ, отобразите прямоугольную систему
координат. Постройте точку А(5,8).
Переместите точку А в точку, симметричную ей
относительно оси OX. Какие она имеет координаты?
Переместите точку А в точку, симметричную ей
относительно оси OY. Какие она имеет координаты?
Переместите точку А в точку, симметричную ей
относительно начала координат. Какие она имеет
координаты?
Постройте точку В(2,3). Определите координаты вектора AB
Постройте вектор, равный вектору AB с началом в точке (-2, 4)
Постройте вектор, противоположный вектору AB с концом в
точке (6,-10)
Постройте вектор, сонаправленный с вектором AB
Постройте вектор, противоположно направленный вектору AB
Материал для самостоятельной работы
- Постройте вектор a(2,4) .
- Отразите вектор a от оси ОУ (определите его
координаты).
- Постройте вектор b  5i  3 j .
- Постройте вектор c коллинеарный вектору b .
- Определите координаты конца вектора d (1,7) , если
A(3,3) – начало вектора.
- Определите координаты вектора, если его модуль равен 5
и он противоположно направлен вектору a .
- Определите координаты единичного вектора,
ортогонального вектору b , с началом в точке A.
- Определите координаты вектора, с концом в точке,
симметричной точке A относительно начала координат,
сонаправленного с вектором d , если их модули относятся
как 2:3.
КИМ для самоконтроля
Ответьте на вопросы.
Векторы называются коллинеарными, если они:
- выходят из одной точки
- равны по модулю
- лежат на параллельных прямых
- образуют развернутый угол
Векторы называются равными, если:
- они сонаправлены
- их модули равны
- они коллинеарны
- они сонаправлены и их модули равны
Координаты вектора равны:
- разности соответствующих координат конца и начала
вектора
- разности соответствующих координат начала и конца
вектора
- сумме соответствующих координат конца и начала
вектора
- квадрату разности соответствующих координат концов
вектора
Модуль вектора равен:
- сумме квадратов его координат
- разности квадратов его координат
- корню квадратному из разности его координат
- корню квадратному из суммы квадратов его координат
Практическое занятие №4
Тема: Векторы на координатной плоскости. Действия над
векторами
Цель: отработать умения выполнять действия над векторами
геометрически
Формирование компетентностей: Осуществляет текущий контроль
своих действий по заданным критериям. Исследование, проводит
наблюдение\эксперимент, делать выводы в соответствие с
поставленной задачей
Теоретические основы: произведение вектора на число, сумма
векторов, разность векторов, скалярное произведение векторов,
условие коллинеарности векторов, условие перпендикулярности
векторов, угол между векторами, линейная комбинация векторов,
линейная зависимость векторов.
Вопросы к теме:
1. Дайте определение произведения вектора на число.
2. Дайте определение суммы векторов.
3. Дайте определение разности векторов.
4. Дайте определение скалярного произведения векторов.
5. Сформулируйте условие коллинеарности векторов.
6. Сформулируйте условие перпендикулярности векторов.
7. Дайте определение угла между векторами.
8. Как вычисляется угол между векторами?
9. Сформулируйте свойства сложения векторов.
10. Сформулируйте свойства вычитания векторов.
11. Сформулируйте свойства умножения вектора на число.
12. Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.
13. Дайте определение линейной комбинации векторов.
14. Дайте определение линейной зависимости векторов.
Практические задания
1. Откройте программу Geometer's Sketchpad, отобразите
прямоугольную систему координат.
2. Постройте вектор a(3,4) .
3. Постройте вектор b(2,6) с началом в точке (5,2).
4. Постройте вектор c равный вектору b , с началом в точке
(6,-6).
- Преобразуйте вектор c в вектор, противоположный вектору
b . Каковы его координаты?
- Преобразуйте вектор c в вектор, сонаправленный с вектором
b , длина которого в два раза больше длины вектора b . Каковы его
координаты? Проверьте свой ответ, сравнив их модули.
- Преобразуйте вектор c в вектор, противоположно
направленный вектору b , длина которого в два раза меньше длины
вектора b . Каковы его координаты? Проверьте свой ответ, сравнив их
модули.
5. Постройте вектор, равный сумме векторов a b . Каковы его
координаты?
6. Постройте вектор, равный сумме векторов a b c . Каковы его
координаты?
7. Постройте вектор, равный разности векторов a b . Каковы его
координаты?
8. Постройте вектор, равный разности векторов c a . Каковы его
координаты?
9. Вычислите скалярное произведение векторов a b .
Экспериментально определите при каком взаимном
расположении двух векторов их скалярное произведение
положительно, отрицательно, равно нулю.
10. Постройте единичный вектор, параллельный оси OX.
Определите его координаты. Сколько существует таких
различных векторов?
11. Экспериментально определите координаты середины отрезка
(любого). Сформулируйте правило, докажите его.
Материал для самостоятельной работы
1. Среди векторов a(1,4) , b(4,1) , c(0,3) , d (8,2) , e(4,1) , f (6,2) , g (0.6,0.8) ,
h(8,2) , k (2,0) , t (8,2) , определите:
- коллинеарные векторы;
- сонаправленные векторы;
- противоположно направленные векторы;
- противоположные векторы;
- векторы, параллельные координатным осям;
- единичные векторы;
- равные векторы.
2. Геометрически постройте сумму векторов и определите их
координаты: b + t ; a + c + e .
3. Не выполняя построений, определите координаты вектора
d +k + f .
4. Определите вид треугольника АВС, если В(-4,6) и С(10,-2).
5. Представьте вектор e(5,10) в виде линейной комбинации
векторов f (13,4) и g (9,3) .
6. Задайте треугольник координатами вершин. Вычислите
координаты центроида этого треугольника.
7. Задайте координатами вершин правильный треугольник.
КИМ для самоконтроля
Если координаты двух векторов пропорциональны, то векторы:
- равные
- компланарные
- коллинеарные
- ортогональные
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то векторы:
- равные
- противоположные
- коллинеарные
- ортогональные
Скалярное произведение двух векторов равно:
- произведению модулей векторов и синуса угла между
ними
- произведению модулей векторов и косинуса угла между
ними
- произведению суммы модулей векторов и косинуса угла
между ними
- произведению модулей векторов
Скалярное произведение векторов равно:
- произведению сумм соответствующих координат
- произведению координат векторов
- сумме произведений соответствующих координат
векторов
- разности произведений соответствующих координат
векторов
Если вектор умножить на число -0,5, то получим вектор:
- сонаправленный с данным, длина которого в 2 раза
меньше данного
- сонаправленный с данным, длина которого в 2 раза
больше данного
- противоположно направленный, длина которого в 2 раза
меньше данного
- противоположно направленный, длина которого в 2 раза
больше данного
Векторы коллинеарны, если:
- координаты одного обратны координатам другого
- координаты одного пропорциональны координатам
другого
- разноименные координаты их равны
- их скалярное произведение равно нулю
Векторы ортогональны, если:
- их координаты пропорциональны
- их координаты взаимно обратны
- их скалярное произведение равно 1
- их скалярное произведение равно 0
Если скалярное произведение векторов равно произведению их
модулей, то векторы:
- образуют угол 45 градусов
- образуют угол 0 градусов
- противоположные
- перпендикулярные
Практическое занятие №5
Тема: Прямая на координатной плоскости. Способы задания
прямой
Цель: отработать умение составлять уравнение прямой, заданной
различными способами; переходить от одного вида уравнения прямой
к другому
Формирование компетентностей: Соотносит запланированный и
полученный результат по заданным характеристикам.
Теоретические основы: нормальный вектор прямой, направляющий
вектор прямой, способы задания прямой, виды уравнения прямой.
Вопросы к теме:
1. Дайте определение нормального вектора прямой.
2. Дайте определение направляющего вектора прямой.
3. Каким набором элементов можно задать прямую?
4. Какой вид может иметь уравнение прямой на плоскости?
5. Как составить уравнение прямой:
- по направляющему вектору и точке,
- по двум точкам,
- по нормальному вектору и точке,
- по отрезкам, отсекаемым прямой на осях координат?
6. Что можно сказать о положении прямой на координатной
плоскости, по ее уравнению:
- каноническому
- параметрическим
- “в отрезках”
- с угловым коэффициентом
7. Как перейти от одного вида уравнения прямой к другому виду?
8. Что можно рассказать по уравнению о положении прямой на
плоскости?
9. Как определить взаимное расположение точки и прямой?
10. Как определить точку пересечения двух прямых?
Практические задания
Средствами математического пакета MathCad, постройте прямую:
1. заданную уравнением 2x-y+3=0
2. заданную уравнением x  3  y  5
2
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
7
заданную уравнением x=4+3t, y=1-8t
проходящую через точки (-3,4), (8,1)
образующую угол 60 с положительным направлением оси OX
отсекающую на осях координат отрезки 7 и 4 ед.
проходящую через точку (11,3), перпендикулярно вектору (-2,-5)
проходящую через точку (-4,9), параллельно вектору (1,7)
проходящую через точку (-5,12), параллельно вектору (0,10)
Материал для самостоятельной работы
1. Задайте уравнениями пять прямых:
- l1 – каноническим уравнением;
- l2 – общим уравнением;
- l3 – параметрическими уравнениями;
- l4 – уравнением с угловым коэффициентом;
- l5 – уравнением "в отрезках".
2. Для каждой прямой определите координаты направляющего и
нормального векторов. Постройте их в той же системе координат.
3. В одной системе координат постройте каждую прямую.
4. Вычислите координаты точек пересечения прямых l1 и l2, l2 и l3.
5. Для прямой l2 составьте параметрические уравнения, для l3 –
каноническое.
КИМ для самоконтроля
1. Прямая l задана уравнением: 2x+3y-1=0
2. Запишите координаты направляющего и нормального векторов
этой прямой
3. Составьте уравнения прямой l1, параллельной l и проходящей
через точку А(2,3).
4. Составьте уравнения прямой l2, перпендикулярной l и проходящей
через точку В(-1,4). Найдите точку их пересечения.
5. Составьте параметрические уравнения прямой, заданной: А(2,-1) и
В(3,5)
6. Составьте каноническое уравнение прямой, заданной: А(-5,3) и
направляющим вектором m(-1,4). Приведите его к общему виду.
7. Составьте общее уравнение прямой, заданной: точкой А(1,1) и
нормальным вектором n(2,-3). Приведите его к уравнению «в
отрезках».
Практическое занятие №6
Тема: Прямая на координатной плоскости. Взаимное
расположение прямых
Цель: отработать умение определять расположение прямой по ее
уравнению; определять взаимное расположение прямых, заданных
уравнениями различного вида.
Формирование компетентностей: Соотносит запланированный и
полученный результат по заданным характеристикам. Самостоятельно
проводит наблюдение\эксперимент, планируя его ход в соответствии с
поставленной задачей.
Теоретические основы: параллельные прямые, пересекающиеся
прямые, перпендикулярные прямые, угол между прямыми.
Вопросы к теме:
1. Назовите возможные случаи расположения двух прямых на
плоскости.
2. Как определить угол между двумя прямыми?
3. Как установить параллельность прямых?
- через направляющие векторы
- через нормальные векторы
- через угол
- через коэффициенты общего уравнения
- через систему уравнений.
4. Как установить перпендикулярность прямых?
Практические задания
Откройте программу Geometer's Sketchpad. Откройте документ
Прямая на плоскости. Работая с предложенной моделью,
экспериментально, определите:
- связь углового коэффициента прямой с ее расположением в
системе координат;
- связь свободного члена в уравнении прямой с ее
расположением в системе координат;
- условие параллельности двух прямых;
- условие перпендикулярности двух прямых.
Средствами математического пакета MathCad, постройте прямую:
1. перпендикулярную прямой 5x+3y-1=0, проходящую через
точку (2,3)
2. параллельную прямой -x+3y+7=0, проходящую через точку (4,1)
3. перпендикулярную прямой x  2  y  3
5
7
4. параллельную прямой x=8-t, y=2+5t
5. симметричную прямой 8x-3x+1=0 относительно OX, OY,
начала координат
6. параллельную оси OX
7. образующую тупой угол с положительным направлением оси
OX
8. пучок прямых, проходящих через точку (5,5); запишите общий
вид уравнения
9. пучок параллельных прямых; запишите общий вид уравнения
Материал для самостоятельной работы
1. Задайте прямую общим уравнением
2. Определите угол между прямой и положительным
направлением оси ОХ.
3. Напишите каноническое уравнение прямой, параллельной
данной, проходящей через точку (2,3).
4. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом,
перпендикулярной данной, проходящей через точку (1,-5).
5. Определите точку пересечения первой прямой и третьей.
6. Определите угол между первой прямой и прямой 2x-5x+2=0
КИМ для самоконтроля
Прямые параллельны, если векторы, лежащие на них:
- перпендикулярные
- коллинеарные
- компланарные
- образуют угол 100 градусов
Прямые перпендикулярны, если векторы, лежащие на них:
- перпендикулярные
- коллинеарные
- компланарные
- образуют угол 100 градусов
Угол между прямыми и угол между векторами, лежащими на них:
-
равны всегда
равны иногда
не равны никогда
всегда дополняют друг друга до 180 градусов
Практическое занятие №7
Тема: Линии второго порядка. Эллипс
Цель: отработать умение составлять уравнение эллипса по различным
элементам, строить эллипс циркулем и линейкой
Формирование компетентностей: Самостоятельно проводит
наблюдение\эксперимент, планируя его ход в соответствии с
поставленной задачей. Соотносит запланированный и полученный
результат по заданным характеристикам.
Теоретические основы: определение эллипса, характеристическое
свойство эллипса, каноническое и параметрические уравнения
эллипса, свойства эллипса
Вопросы к теме:
1. Сформулируйте определение эллипса, его характеристическое
свойство.
2. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса?
3. Какой вид имеют параметрические уравнения эллипса?
4. Что называют осями эллипса?
5. Как связаны полуоси эллипса с его уравнением?
Практические задания
Откройте программу Geometer's Sketchpad. Откройте документ Эллипс.
Исследуя работу модели, определите:
- правило построения точек эллипса циркулем и линейкой;
- форму эллипса при с  0;
- форму эллипса при с  а.
Средствами математического пакета MathCad:
1. постройте эллипс
фокусов.
2. постройте эллипс
x2 y 2

 1 , определите координаты его
25 16
x2 y 2

 1 , определите координаты его
4
9
фокусов.
3. Предложите способ доказательства симметричности эллипса
x2 y 2

 1 относительно его координатных осей и начала
25 16
координат.
4. Постройте окружность с центром (0,0) и диаметром 10.
5. Постройте эллипс, расстояние между фокусами которого равно
8, а большая ось равна 10.
6. Постройте эллипс, проходящий через точки (5, 1) и (-1, 3).
7. Постройте эллипс
x2 y 2

 1, определите графически
48 36
положение точек А(6, -3), В(-2, 5), С(3, -6), D(8,0), Е(2,2).
Сформулируйте правило определения взаимного
расположения точек и эллипса аналитически.
8. Постройте эллипс
x2 y 2

 1 , вычислите длину диаметра
36 9
эллипса, составляющего угол 30 с положительным
направлением оси ОХ.
Материал для самостоятельной работы
x2 y2

1
4 16
2. Постройте линию, заданную уравнением: x 2  y 2  25
1. Постройте линию, заданную уравнением:
3. Постройте эллипс, большая ось которого 4, малая – 1
4. Постройте эллипс, большая ось которого 10, расстояние между
фокусами – 8
5. Постройте эллипс, проходящий через точки ( 3 , -2); (  2 3 ,
1)
6. Постройте окружность с центром в точке (1,2) и радиусом 3
7. Постройте эллипс с центром в точке (2,-3) и эксцентриситетом
0,5
КИМ для самоконтроля
1. Найдите геометрическое место точек, для которых расстояние
до точки А(4,0) вдвое больше расстояния до точки В(1,0).
2. Определите, какое из предложенных уравнений описывает
касательную к эллипсу в точке (x0, y0), заданному в
канонической форме:
-
a
x  x0 y 0 ;
b
x0
y
x  20 y  1 ;
2
a
b
y
- ax + by + x0 y0 = 0.
3. Как оно соотносится с уравнением эллипса?
x2 y2
4. Напишите уравнение касательной к эллипсу

1 в
25
3
точке, имеющей абсциссу, равную 4.
Практическое занятие №8
Тема: Линии второго порядка. Гипербола. Парабола
Цель: отработать умение составлять уравнения гиперболы и параболы
по различным элементам, строить линии циркулем и линейкой
Формирование компетентностей: Самостоятельно проводит
наблюдение\эксперимент, планируя его ход в соответствии с
поставленной задачей. Соотносит запланированный и полученный
результат по заданным характеристикам. Наблюдать, Делать выводы,
читать геометрический чертеж
Теоретические основы: определение гиперболы и параболы,
характеристическое свойство линий, канонические уравнения линий.
Вопросы к теме:
1. Сформулируйте определение гиперболы, ее
характеристическое свойство
2. Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболы?
3. Как построить асимптоты гиперболы? Какими уравнениями
они задаются?
4. Сформулируйте определение параболы, ее характеристическое
свойство
5. Какой вид имеет каноническое уравнение параболы?
6. Какое уравнение имеет директриса параболы?
Практические задания
1. Откройте программу Geometer's Sketchpad. Откройте документ
Гипребола. Исследуя работу модели, определите:
- правило построения точек гиперболы циркулем и линейкой;
- форму гиперболы при с  0;
- форму гиперболы при с  а.
2. Откройте документ Парабола. Исследуя работу модели,
определите:
- правило построения точек параболы циркулем и линейкой;
- форму параболы при стремлении расстояния между
фокусом и директрисой к 0;
- форму параболы при стремлении расстояния между
фокусом и директрисой к 
Средствами математического пакета MathCad:
1. Постройте гиперболу
x2 y2

 1 . Определите координаты
9
4
вершин.
x2 y2
2. Постройте линию 

 1 . Определите координаты
16 36
вершин. Чем уравнение отличается от предыдущего
уравнения?
3. Как связано расстояние между вершинами с коэффициентами
уравнения?
4
4
x2 y2
4. Постройте линии:

 1 , y  x , y   x . Как
5
5
25 16
связаны эти уравнения?
5. Постройте гиперболу, угол между асимптотами которой равен
90.
6. Исследуйте гиперболу на симметрии.
7. Параболу, заданную уравнением y2 = 8x. Определите
координаты ее фокуса. Постройте ее директрису
8. Параболу, располагающуюся:
- во II и III четвертях
- в I и II четвертях
- в III и IV четвертях
9. Экспериментально определите, какая из прямых является
касательной к гиперболе в ее точке М(x0,y0)
y
a2
x  20  1
b
- x0
x0
y
x  20  1
2
b
- a
x0
y
x  20  1
2
b
- a
x2 y2

1
9
10. Постройте касательную к линии 8
, проходящую
через точку (2;0)
11. Экспериментально определите, какая из прямых является
касательной к параболе в ее точке М(x0,y0)
- yy0= p(x - x0)
- yy0= p(x + x0)
12. Постройте касательную к параболе y2 = 10x в точке (2,5;5)
Материал для самостоятельной работы
1. Постройте гиперболу, действительная ось которой параллельна
оси ОУ, расстояние между фокусами равно 8, центр в точке (4,-2).
2. Постройте параболу, проходящую через точку (3,4), вершина в
точке (1,2).
3. Постройте окружность, вписанную в параболу y2 = 12x – 5.
4. Решите графически системы уравнений:
-
x2 y2
 1;
 
 32 18
3x  4 y  24  0.

-
x2 y2
 1;
 
4
5
 x  y  5  0.

-
-
 y 2  4 x;

5x  y  6  0.
 y 2  6 x;
 2
 x  y 2  25.
КИМ для самоконтроля
1. Составьте уравнение параболы (+ постройте):
- Расстояние от фокуса, лежащего на оси ОХ, до вершины
равно 4.
- Парабола симметрична относительно оси ординат и
проходит через точку М(5,1).
- Фокус имеет координаты (3,0).
- Директриса имеет уравнение х+15=0.
2. Составьте уравнение гиперболы (+ постройте):
- Расстояние между вершинами равно 8, расстояние между
фокусами равно 10.
- Действительная полуось равна 3, гипербола проходит через
точку (6,23).
- Угол между асимптотами равен 60º, гипербола проходит
через точку (43,2).
3. Вычислите сторону правильного треугольника, вписанного в
параболу y2=4x, если одна из вершин треугольника совпадает с
вершиной параболы.
4. Постройте параболу, заданную в канонической форме,
проходящей через точку (6,3).
5. Постройте прямую, проходящую через фокус параболы y2 =
18x перпендикулярно ее оси.
Практическое занятие №9
Тема: Циклоидальные кривые
Цель: выявить правило построения циклоидальных кривых, научиться
строить линии с различными модулями
Формирование компетентностей: Самостоятельно проводит
наблюдение\эксперимент, планируя его ход в соответствии с
поставленной задачей. Соотносит запланированный и полученный
результат по заданным характеристикам. Наблюдать, Делать выводы,
читать геометрический чертеж
Теоретические основы: циклоида и ее уравнение, эпициклоида
(определение, параметрические уравнения, построение), гипоциклоида
(определение, параметрические уравнения, построение)
Вопросы к теме:
1. Дайте определение каждой линии
2. Каким уравнением описывается каждая из линий?
3. От чего зависит форма каждой линии?
4. В какой зависимости находятся величины R и r?
5. Что называют модулем линии (m)?
Практические задания
1. Откройте программу MathCad. Откройте документ
Циклоидальные кривые
2. Используя модель, выявите правило построения эпициклоиды,
гипоциклоиды
3. Рассмотрите частные случаи линий:
- Кардиоида (m=1)
- Астроида (m=-1/4)
- Кривая Штейнера (m=-1/3)
4. Используя возможности среды Geometer's Sketchpad постройте:
- Эпициклоиду: m=1/3, m=2/3
- Гипоциклоиду: m=-1/5, m=-2/5
Материал для самостоятельной работы
1. Постройте циклоиду
2. Эпициклоиду: m=6/5
3. Гипоциклоиду: m=-5/4
КИМ для самоконтроля
1. Составьте план построения циклоиды
2. Составьте план построения эпициклоиды
3. Составьте план построения гипоциклоиды
Практическое занятие №10
Тема: Специальные кривые для решения задач
Цель: сформулировать определение трех кривых: Циссоиды
Диоклеса, Квадратрисы Динострата, Конхоиды Никомеда; выявить
план их построения.
Формирование компетентностей: выстраивать план, исследовать
Теоретические основы: классические задачи на построение,
неразрешимые циркулем и линейкой; определения кривых:
Циссоиды Диоклеса, Квадратрисы Динострата, Конхоиды Никомеда
Вопросы к теме:
1. Сформулируйте задачу о трисекции угла
2. Сформулируйте задачу об удвоении куба
3. Сформулируйте задачу о квадратуре круга
4. Сформулируйте задачу о спрямлении окружности
5. Сформулируйте определения кривых: Циссоиды Диоклеса,
Квадратрисы Динострата, Конхоиды Никомеда
Практические задания
1. Используя возможности среды Geometer's Sketchpad и текст
учебника, постройте модель:
- получения Циссоиды Диоклеса
- получения Квадратрисы Динострата
- получения Конхоиды Никомеда
2. Используя полученные модели, исследуйте форму каждой
линии
Материал для самостоятельной работы
Используя специальные кривые, решите задачи о трисекции угла,
спрямлении окружности, удвоении куба.
КИМ для самоконтроля
1. Составьте план построения Циссоиды Диоклеса
2. Составьте план построения Квадратрисы Динострата
3. Составьте план построения Конхоиды Никомеда
Оригинал-макет и компьютерная верстка:
А.П. Афанасьева, Т.Н. Игошина, Е.Н. Федоров,
методисты отдела информационных технологий
663606, г. Канск, ул. 40 лет Октября, 65
тел. (39161) 2-56-30, факс (39161) 2-55-91
E-mail: kanskcol@rambler.ru