Идрисов Кирилл МОБУСОШ №2 с Бижбуляк 2 тур

11 класс
1) Найти действительные решения уравнения (x+2)4+x4=82
Решение:
(x+2)4+x4=82
(х2+4х+4)2+х4=82
х4+8х3+8х2+16х2+32х+16+х4-82=0
2х4+8х3+24х2+32х-66=0
х4+4х3+12х2+16х-33=0
Делители 33: -1, 1, 11, -11, 3, -3, 33, -33
х=1
1+4+12+16-33=0, значит х=1 корень
Х=-1
1-4+12-16-33≠0
Х=3
81+108+108+48-33≠0
Х=-3
81-108+108-48-33=0, значит х=-3 корень
Разделим многочлен (х4+4х3+12х2+16х-33) на (х-1)(х+3) получим х2+2х+11
(х-1)(х+3)(х2+2х+11)=0
х2+2х+11=0
D=4-44=-40, нет решения.
Ответ: -3; 1
2) Если a  b  c делится на 6, то a 3  b3  c3 делится на 6 (a, b, c – целые числа).
Решение: Рассмотрим
a 3  b 3  c 3  (a  b  c)  a(a 2  1)  b(b 2  1)  c(c 2  1) 
 a(a  1)( a  1)  b(b  1)(b  1)  c(c  1)(c  1)
х(х-1)(х+1) делится на 2( ввиду того, что произведение двух последовательных
чисел делится на 2), так и на 3 (ввиду того, что произведение трех последовательных
чисел делится на 3), а потому и на 6.
Значит правая часть преобразований делится на 6. По условию, a  b  c делится
3
3
3
на6, поэтому a  b  c делится на 6.
Что и требовалось доказать.
3) Найти все действительные решения уравнения
D  4 sin 2 ( xy)  4  0, sin( xy)  1
x   sin( xy)
Решение: x  1
y

2
 2k , k  Z
x 2  2 x sin( xy)  1  0 .

Ответ: (1;  2k , k  Z )
2
4) Найти четырехзначное число, которые в 4 раза меньше числа, записанного теми
же цифрами, но в обратном порядке.
Решение: 4abcd=dcba
а четно. Если а=0, то abcd – трехзначное, то а=1 или а=2, иначе 4abcd – пятизначное
Значит а=2.
в-нечетное (dcba делится на 4)
4·2bcd=dcb2, следовательно в2 делится на 4, значит в – нечетное.
в=1, так как при в=3 4·2300=9·200, а d=8 или d=9
4·2bcd=dcb2 4·8=32, 4·9=36, следовательно d=8
Поэтому 4·21c8=8c12,
21с8·4=8с12
21с8·4=84(4с+3)2
4с+3=40=10с+1
с=7
4·178=8712.
Ответ: 2178
5) Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным
пятиугольником.
Решение: Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью
найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не
параллельны.
6) Вычислить:
Решение: По свойствам корня из 2,
=2
Ответ: 2
7) Доказать, что при любом натуральном значении n( n  1) число
делится на 9.
4n  15n  1
Решение: Рассмотрим Бином Ньютона n-ой степени вида (х+1)n, где n≥2. Очевидно,
что (х+1)n=х2·А+nx+1, где А – некоторое положительное целое число, зависящее от
n. В таком случае можно записать:
4n  15n  1  (3  1) n  15n  1  9 A  3n  1  15n  1  9 A  18n
Очевидно, что заданное выражение кратно 9.
Что и требовалось доказать.
8) Решить систему уравнений:
Решение:
ху=1, значит они оба либо положительны, либо оба отрицательны. Но из второго
уравнения следует, что х+у≥1, поэтому х,у положительны.
Тогда, применив неравенство: х  у  2 ху  2 , z – целое число, cos2z≥0, то из
второго уравнения следует, что х+у=2 и cos2z=0. Значит х=у=1. z 

2
 k , k  Z

Ответ: (1;1;  k , k  Z )
2
9) Найдите максимум a  b , если a  2b  1 .
Решение: a=1-2b,
(1-2b)b=b-2b2=-2(b2-0.5b)=-2(b-0.25)2+0.125, следовательно
max(ab)=0.125
Ответ: 0,125
10)
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходил мимо
неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль
платформы длиной в 378 м.
Решение: Пусть l – длина поезда, v – скорость, тогда
 7v  l
l  147



v  21м/с  75,6км / ч
25v  378  l
Ответ: 147; 75,6