Тригонометрические функции числового аргумента

Лекция 1.
10 класс. Алгебра и начала анализа.
&1.Тригонометрические функции числового аргумента.
1) Угол в 1 радиан- центральный угол, длина дуги которого равна
радиусу окружности.
1 радиан≈ 570 . 𝜋 радиан = 1800 .
𝜋
Угол в n0 равен
1800
× 𝑛 радиан.
Угол в 𝑛 радиан равен
1800
𝜋𝑛0
.
Опорные задания.
Выразить в радианной мере величины углов:
1080 =
1450 =
𝜋𝑛
180
𝜋1080
=
𝜋1450
1800
180
=
3𝜋
4
=
3𝜋
5
;
.
Выразить в градуной мере величины углов:
5𝜋
4
2𝜋
9
=
=
5×1800
4
2×1800
9
= 5 × 450 = 2250 ;
= 400 .
2) 𝑙длина дуги =
2𝜋𝑅
𝜋𝑅
𝜋𝑛
360
180
1800
0𝑛 =
𝑆сектора круга =
𝜋𝑅 2
3600
𝑛 =
0 𝑛 , если
𝛼𝑅 2
1800
− 𝛼 рад. , то 𝑙 = 𝛼𝑅.
. Предпочтение отдается радианной мере.
Найдите длину дуги соответствующей центральному углу в 720 и R=2см.
2𝜋×2
l=
3600
× 720 =
4𝜋
5
.
1
3) Определение: 𝐬𝐢𝐧 𝜶 , 𝐜𝐨𝐬 𝜶 , 𝐭𝐚𝐧 𝜶 , 𝐜𝐨𝐭 𝜶.
На единичной окружности показать.
sin 𝛼,
cos 𝛼
tan 𝛼
cot 𝛼
у
х
у
х
𝑅
𝑅
х
у
у
𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
х
Р𝜶 (𝐬𝐢𝐧 𝜶 ; 𝐜𝐨𝐬 𝜶)
𝑅=1
4) Использование таблицы формул приведения (в справочнике).
Пример 1. sin
Пример 2. cos
Пример 3. tan
Пример 4. cot
2𝜋
3
2𝜋
3
2𝜋
3
2𝜋
3
𝜋
𝜋
3
𝜋
3
𝜋
= sin (𝜋 − ) = sin =
√3
.
2
−1
= cos (𝜋 − ) = cos =
3
𝜋
3
𝜋
3
3
2
.
= tan (𝜋 − ) = tan = −√3.
𝜋
𝜋
−√3
3
3
3
= cot (𝜋 − ) = cot =
.
Использование таблицы значений sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼 , cot 𝛼.
𝜋
а) sin2 +
3
2 3𝜋
б) tan
√3
2
2
4
2
√3
cos − sin + 4 sin = ( )
4
4
2
2
𝜋
2 5𝜋
2 2𝜋
𝜋
− cot
𝜋
6
𝜋
− cos + 4 sin
3
1
3
1
2
4
2
3
+
√2
2
−
√2
2
3
3
4
4
+4= +4=4 .
2
1
= (−1)2 − (−√3) + + 4 ×
2
( ) = 1-3+ + 4 × =1 .
5) Линия тангенса.
Учебник рис 10.
𝑙 − касательная к окружности в точке Р0 , cos 𝛼 ≠ 0,
Р𝛼 (cos 𝛼 ; sin 𝛼 ) не принадлежит оси ординат, следовательно ОР𝛼 ∩
𝑙 в точке с абсциссой 1. Ордината?
Уравнение прямой ОР𝛼 : у = х tan 𝛼, так как проходит через точку (0;0)
и (cos 𝛼 ; sin 𝛼 ), tan 𝛼 = к, тогда у=кх - прямая пропорциональность.
Так как х=1, то у = к в точке Т𝛼
У=tan 𝛼. Итак Т𝛼(1; tan 𝛼), следовательно прямая
𝑙 носит название линии тангенса.
2
𝟔). 𝐬𝐢𝐧 𝜶 , 𝐜𝐨𝐬 𝜶 , 𝐭𝐚𝐧 𝜶 , 𝐜𝐨𝐭 𝜶.
функция
E(f)
[−1; 1]
sin 𝛼
[−1; 1]
cos 𝛼
tan 𝛼
𝛼 ∈ (−∞; ∞)
D(f)
𝛼 ∈ (−∞; ∞)
𝛼 ∈ (−∞; ∞)
𝜋
cos 𝛼 ≠ 0, 𝛼 ≠ + 𝜋𝑛
2
sin 𝛼 ≠ 0, 𝛼 ≠ 𝜋𝑛
𝛼 ∈ (−∞; ∞)
cot 𝛼
Найдите значение выражения:
𝟐
а) 3𝐬𝐢𝐧 х − 𝟏.
𝟑
2
-1≤ sin х ≤ 1;
𝟏
3
𝟑
2
2
-4≤ 3sin х − 1 ≤ 2; [−4; 2].
-3≤ 3sin х ≤ 3;
3
3
б) - 𝐜𝐨𝐬 х + 𝟑.
𝟐
𝟒
3
-1≤ cos х ≤ 1;
1
1
3
1
2
4
2
- ≤ − cos х ≤ ;
1
4
1
3
2
1
2
2
4
2
[2,5; 3,5].
2 ≤ − cos х + 3 ≤ 3 ;
в) Существует ли значения функции:
sin х = 1,2; cos 2х = −3;
х
tan = 2; cot 3х = √3 ; sin 0,3х = −0,2?
2
7)
чётность
нечетная
четная
нечетная
нечетная
Аргумент х
sin(−х) = − sin х
cos(−х) = cos х
tan(−х) = −tan х
cot(−х) = − cot х
Аргумент х+2𝜋𝑛
sin(х + 2𝜋𝑛) = sin х
cos(х + 2𝜋𝑛) = cos х
tan(х + 2𝜋𝑛) = tan х
cot(х +) = cot х
Вычислите:
1
sin 7500 = sin(2 × 3600 + 300 ) = sin 300 = ;
2
1
cos(−4200 ) = cos 4200 = cos(3600 + 600 ) = cos 600 = ;
2
sin(−390
0)
0)
0
0
= − sin 390 = − sin(360 + 30
0
0)
0)
1
= − sin 300 = − ;
2
0
cos(540 = cos(360 + 180 = cos 180 = −1;
tan(−2250 ) = − tan(1800 + 450 ) = − tan 450 = −1;
cot(−7800 ) = − cot(1800 × 4 + 600 ) = − cot 600 = −√3.
8) Основные тригонометрические тождества (смотри таблицу в
справочнике).
3
Опорные задания:
4
𝜋
5
2
а) sin 𝛼 = ,
≤ 𝛼 ≤ 𝜋.
Найти: cos 𝛼 , tan 𝛼 , cot 𝛼.
Решение: cos 𝛼 = ±√1 − sin2 𝛼 = −√1 −
tan 𝛼 =
cot 𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
1
tan 𝛼
2
4 −3
= :
5
5
16
25
= −√
9
3
25
=− ;
5
4
=− ;
3
3
=− .
4
б)tan 𝛼 = , 𝛼 ∈ [𝜋;
3
3𝜋
2
].
Найти: 𝐬𝐢𝐧 𝜶 , 𝐜𝐨𝐬 𝜶 , 𝐜𝐨𝐭 𝜶.
Решение: 1+tan2 𝛼 =
1
cos2 𝛼
4
1
9
cos2 𝛼
; 1+ =
;
1
cos2 𝛼
=
13
9
9
13
; cos 2 𝛼 =
;
3
cos 𝛼 =
−3
√13
|
−3 ; так как 3 четверть, то cos 𝛼 = √13..
cos 𝛼 =
√13
sin 𝛼 = −√1 − cos2 𝛼 = −√1 −
cot 𝛼 =
1
tan 𝛼
9
13
= −√
4
13
=−
2
.
√13
3
= .
2
8)Работа с другими формулами (смотри справочник).
9) Графики тригонометрических функций.
Работа с графиками:
sin 𝛼 рис. 7,8. ; cos 𝛼 рис. 9; tan 𝛼 рис 10,12,13; cot 𝛼 рис. 14.
Найдите знак числа:
а)sin
7𝜋
4
× cot
2𝜋
3
× cos
3𝜋
7
=(3 четв. ) × (2 четв. ) × (1 четв. )
=(-)(-)(+)=+> 0.
б)sin
3𝜋
5
× cos (−
2𝜋
5
) × sin 1,2 × cot(−2,1)=(2
четв.)(4
четв.)(1
четв.)(3 четв.)=(+)*(+)*(+)*(+)=+ > 0.
4