МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский государственный университет физический факультет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет
физический факультет
УТВЕРЖДАЮ:
Декан физического факультета
_________________ О. Н. Чайковская
"_____"__________________2012 г.
Рабочая программа дисциплины
Векторный и тензорный анализ
Направление подготовки
011200 физика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
г. Томск − 2012 г.
1. Цели освоения дисциплины
Цель дисциплины «Векторный и тензорный анализ» состоит в освоении студентами основ
тензорного исчисления на линейном пространстве и элементарном многообразии в
объеме, необходимом для освоения курсов профессионального цикла и научноисследовательской работы.
Задачами курса являются:
 формирование у студентов навыков алгебраических и дифференциальных вычислений
с векторными и тензорными объектами;
 формирование у студентов общих представлений
об области применениях
дифференциальной геометрии в физике и освоение элементарных дифференциальногеометрих понятий.
Для изучения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» необходимо освоение
курсов «Линейная алгебра», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения»
математического и естественнонаучного цикла и частей «Механика» и «Электричество и
магнетизм» модуля «Общая физика» профессионального цикла.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина относится к модулю «Математика» математического и естественнонаучного
цикла и обеспечивает освоение студентами математического аппарата, который
используется для ковариантной формулировки физических теорий. С помощью языка и
методов тензорного анализа в физических моделях реализуется ряд фундаментальных
физических принципов, таких как: общий и специальный принцип относительности,
инвариантность относительно глобальных преобразований симметрии, калибровочный
принцип и другие. Освоение данной дисциплины необходимо студенту для изучения
базовых курсов «Электродинамика» и «Квантовая теория» профессионального цикла, а
также более чем половины курсов и научно-исследовательской работы по выбранному
профилю.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Изучение курса «Векторный и тензорный анализ» направлено на формирование
следующих компетенций:
способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности базовые
знания в области математики и естественных наук (ОК-1);
способность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК-13);
способность получить и использовать в своей деятельности знание иностранного языка
(ОК-14);
способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности навыки
работы с информацией из различных источников (ОК-16),
способность использовать базовые теоретические знания для решения профессиональных
задач (ПК-1);
способность применять на практике базовые профессиональные навыки (ПК-2);
способность использовать специализированные знания в области физики для освоения
физических дисциплин по профилю «Фундаментальная физика» (ПК-4).
способность понимать и излагать получаемую информацию и представлять результаты
физических исследований (ПК-10).
В результате изучения дисциплины студент должен:
 Знать: принципы векторного и тензорного анализа, включая основы тензорной
алгебры и общековариантной формулировки дифференциальных уравнений, основы
римановой геометрии и области ее физических приложений.
 Уметь: применять изученные методы при освоении базовых и профильных
дичциплин профессионального цикла и в научно-исследовательской деятельности на
2
старших курсах.
 Владеть языком тензорной алгебры и элементарными понятиями дифференциальной
геометрии как основы для изучения современных физических теорий.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Модуль1
Аффинное пространство.
Основные аксиомы. Операции
с векторами.
Аффинный репер,
преобразования репера.
Ковариантный тензор первого
ранга (вектор)
Ковектор. Тензоры второго
ранга. Символ Кронекера.
Тензоры произвольной
структуры. Алгебраические
операции с тензорами.
Тензорные поля в аффинном
пространстве.
Дифференцирование тензоров
в аффинных координатах.
Криволинейные координаты в
аффинном пространстве.
Тензоры произвольной
структуры в криволинейных
координатах. Параллельный
перенос вектора.
Преобразование
коэффициентов связности в
аффинном пространстве.
Модуль 2
Элементарные многообразия.
Тензоры и тензорные поля на
многообразиях. Касательное
аффинное пространство.
Пространства аффинной
связности. Параллельный
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
2
6
2
2
7
2
2
Формы текущего
контроля (по неделям
семестра) Форма
промежуточной
аттестации (по
семестрам
Индивид.
самост. раб.
Сам. работа
с препод.
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную работу
студентов и
трудоемкость (в часах)
Семинары
Раздел
Дисциплины
Лекции
№
п/п
Неделя семестра
4. Структура и содержание дисциплины
Третий семестр. Общая трудоёмкость дисциплины
составляет 2 зачётных единицы, 80 часов.
2
Консультация.
2
Решение задач.
Консультация.
Устный опрос.
2
Решение задач.
Консультация.
2
2
.
8
2
2
9
2
2
2
Решение задач.
Консультация.
3
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
перенос одноковариантного
тензора в пространствах
аффинной связности.
Геодезические.
Абсолютный дифференциал и
ковариантная производная.
Тензор кривизны, простейшие
свойства тензора кривизны
Смысл кручения.
Пространства без кручения.
Связность и симметричные
тензоры. Римановы
пространства. Операция
поднятия и опускания
индексов.
Неметризуемые пространства
аффинной связности.
Евклидовы (псевдоевклидовы)
пространства.
Геодезические как линии
наименьшей длины.
Риманова геометрия и физика.
10
2
2
11
2
2
12
2
2
13
2
14
2
Решение задач.
2
2
Консультация
2
2
2
Свободная
дискуссия
15
2
2
16
2
2
17
2
2
2
Решение задач.
Консультация.
Контрольная
работа.
Экзамен
34
30
16
Промежуточная аттестация
Всего часов
5. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки «Физика»
реализуется компетентностный подход, который предусматривает широкое использование
в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения лекций в сочетании с
внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков
обучающихся.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной
целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием
конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе составляют не менее 20%
аудиторных занятий. Занятия лекционного типа для соответствующих групп студентов
составляют не более 50% аудиторных занятий.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Примерная тематика проверочных вопросов к лекциям
Модуль 1
1. Что такое матрица перехода? Как преобразуются координаты вектора при замене
4
базиса? Что такое ковектор? Что такое дуальный базис? Как связаны матрицы перехода
между дуальными базисами? Как преобразуются координаты ковектора при замене
базиса?
2. Дать определение тензора типа ( p q ) . Что такое соглашение о суммировании по
повторяющимся индексам? Cколько компонент имеет тензор типа ( p q ) в n -мерном
пространстве? Тензор какого типа является вектором, ковектором? Что такое тензор
Кронеккера  ij ?
3. Какие алгебраические операции можно производить с тензорами? Какие тензоры можно
складывать друг с другом? Чему равен тип тензора, являющегося суммой тензоров? Чему
равны компоненты тензора, являющегося суммой тензоров? Какие тензоры можно
умножать друг на друга? Чему равен тип тензора, являющегося произведением тензоров?
Чему равны компоненты тензора, являющегося произведением тензоров? Что такое
свертка тензора по паре индексов? Чему равен тип тензора, являющегося сверткой тензора
типа ( p q ) ? Что такое подстановка индексов? Как меняется тип тензора при подстановке
индексов? Что такое симметризация (антисимметризация) тензора по индексам? Что
такое тензор, симметричный (антисимметричный) по части индексов? Доказать, что
сумма или произведение тензоров, а также свертка тензора по индексам являются
тензорами. Доказать, что тензор, симметричный (антисимметричный) по некоторым
индексам в одном базисе, является симметричным (антисимметричным) в любом базисе.
Модуль 2
1. Дать определение криволиненых координат. Что такое преобразование координат? Что
такое матрица Якоби и якобиан преобразования координат?
2. Сформулировать определение элементарного многообразия.
3. Сформулировать определение тензорного поля типа ( p q ) . Что такое векторное поле,
что такое ковекторное поле? Какие алгебраические операции можно производить с
тензорными полями? Привести примеры суммы и произведения тензорных полей, свертки
и (анти)симметризации тензорного поля по индексам.
4. Сформулировать постановку задачи об определении ковариантной производной
тензорного поля. Доказать, что частные производные тензорного поля по координатам,
вообще говоря, не образуют тензорное поле. Что такое коэффициенты аффинной
связности? Каков закон преобразования коэффициентов аффинной связности при
преобразовании координат? Записать формулу для компонент ковариантной производной
векторного, ковекторного, произвольного тензорного поля. Что такое симметричная
аффинная связность? Что такое тензор кручения?
5. Сформулировать постановку задачи о параллельном переносе вектора вдоль кривой.
Записать систему дифференциальных уравнений, определяющих параллельный перенос
вектора вдоль кривой, сформулировать для нее задачу Коши. Что такое геодезическая
линия? Записать систему дифференциальных уравнений для геодезических линий,
сформулировать для нее задачу Коши.
6. Что такое тензор кривизны аффинной связности? Каков его геометрический смысл?
Какими алгебраическими симметриями обладает тензор кривизны? Что такое тождества
Бианки?
5
7. Что такое (псевдо)риманова метрика? Какая метрика называется положительно
определенной? Что такое контравариантный метрический тензор? Сформулировать
правила подъема и опускания индексов на (псевдо)римановом многообразии. Что такое
риманова связность? Записать формулу, выражающую риманову связность через метрику.
Примерные вопросы экзаменационных билетов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Сложение векторов в аффинном пространстве. Коммутативность и
ассоциативность сложения. Нулевой вектор, противоположный вектор.
Умножение вектора на число в аффинном пространстве. Линейно зависимые и
линейно независимые системы векторов.
Базис в аффинном пространстве. Разложение вектора по базису, координаты
вектора. Координаты точки.
Преобразование аффинного репера, преобразование координат вектора.
Линейные и билинейные формы на векторах, аффиннор. Тензоры первого и
второго ранга.
Общее определение тензора произвольной структуры в аффинном пространстве.
Сложение тензоров, подстановка индексов.
Умножение тензоров, свертка тензоров.
Тензорные поля и дифференцирование тензоров в аффинном пространстве.
Введение криволинейных координат в аффинном пространстве. Взаимная
обратимость преобразований. Локальный базис. Операция с тензорами в локальном
базисе.
Параллельный перенос вектора в аффинном пространстве. Коэффициенты
аффинной связности.
Преобразование коэффициентов аффинной связности в аффинном пространстве.
Элементарное многообразие. Многообразие.
Тензоры в многообразии.
Касательное аффинное пространство.
Пространства аффинной связности.
Параллельный перенос одноковариантного тензора в пространствах аффинной
связности.
Параллельный перенос тензоров произвольной структуры в пространствах
аффинной связности.
Геодезические в пространствах аффинной связности.
Абсолютный дифференциал тензора произвольной структуры в пространствах
аффинной связности.
Ковариантная производная тензора произвольной структуры в пространствах
аффинной связности.
Тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля) в пространствах аффинной
связности. Тензор Риччи.
Введение метрики в евклидовом пространстве.
Фундаментальный (метрический) тензор в пространствах аффинной связности.
Общее определение, симметрия, ковариантные свойства.
Метрика, согласованная со связностью. Связь коэффициентов связности с
метрическим тензором.
Примеры задач для семинарских занятий, индивидуальной самостоятельной работы
и контрольной работы
Модуль 1
6
1. В некотором базисе тензоры x i  y j и akl имеют компоненты
 2
3
 2 0 3
 
 


j
x   1 
y   7 
akl   5 1 2  
 4
 1
4 5 7
 
 


Какие компоненты в этом базисе будут иметь тензоры
а) z i  xi  yi ;
б) bij  xi y j ;
в) cij  y i x j ;
i
г) di  aij x j ;
д) fi  a ji x j ;
ж) h j  c ij g i ;
з) u  aij b ji ;
е) gi  ail y l ;
и) h  aij bij
2. В двумерном пространстве задан тензор третьего ранга a ijk с компонентами в некотором
1
1
2
2
 1 a12
 a121  0  a122  1 a112  a22
 0  a122  a21
 1 . Найти всевозможные свертки
базисе a11
этого тензора.
3. Сколько различных тензоров можно построить всевозможными свертками из тензора
четвертого ранга:
а) типа (1 3) ;
б) типа (2 2) ;
а) типа (31) ;
б) типа (4 0) .
4. Доказать, что свойства симметрии (антисимметрии) тензора являются инвариантными,
т.е. что (анти)симметричный в одной системе координат тензор будет
(анти)симметричным в другой системе координат.
5. Показать, что произвольный тензор второго ранга может быть представлен в виде
суммы симметричного и антисимметричного тензоров:
bij  Aij  Sij 
Aij  Aji 
Sij   S ji 
6. Показать, что полная свертка симметричного и антисимметричного тензоров равна
нулю: Aij S ij  0
1 4 7


7. Разложить тензор d ik   2 5 8  на симметричный и антиcимметричный.
3 6 9


8. Показать, что тензор третьего ранга aijk , симметричный по первым двум индексам и
антисимметричный по последним двум индексам, т.е. такой, что
aijk  a jik 
aijk  aikj
равен нулю.
9. Показать, что если ковариантный тензор третьего ранга удовлетворяет условиям
Tijk  Tjik 
Tijk uiu ju k  0
при любом выборе контравариантного вектора u i , то компоненты этого тензора
удовлетворяют условию
Tijk  T jki  Tkij  0 
10. а) Сколько независимых компонент имеет симметричный (антисимметричный) тензор
второго ранга в n -мерном пространстве?
б) Сколько независимых компонент имеет абсолютно антисимметричный тензор ранга s
в n -мерном пространстве?
7
в) Сколько независимых компонент имеет абсолютно антисимметричный тензор ранга n
в n -мерном пространстве? Какие компоненты такого тензора не равны нулю?
г) Сколько независимых компонент имеет абсолютно симметричный тензор ранга s в
трехмерном пространстве?
0 åñëè i  k 
11. Показать, что набор величин  ik  
(символ Кронеккера) образует тензор.
 1 åñëè i  k
12. Рангом тензора второго ранга называется ранг его матрицы в некотором базисе.
Показать, что ранг тензора является инвариантом, то есть не зависит от выбора базиса.
13. Пусть ai  b j — два ненулевых вектора. Доказать, что ранг тензора a i b j равен единице.
14. Может ли тензор aik быть метрическим тензором, если его компоненты в некотором
базисе имеют вид
 1 1 2 


á) aik   1 1 2  
 2 2 0 


 2 3 4


à) aik   4 5 6  
7 8 9


0

1
â) aik  
0

0
1 0 0

0 0 0

0 1 0

0 0 1 
15. Метрический тензор имеет компоненты
 2 3 4


gik   3 5 6  
4 6 7


Найти:
 2
 
а) ковариантные компоненты вектора x i   1  ;
 4
 
б) компоненты ai j  ai j  aij тензора второго ранга с контравариантными компонентами
 0 1 0


a   1 0 0  
 0 0 0


задачи 15 найти контравариантный метрический тензор g kl . Найти
ik
16. По тензору gik
компоненты ai j  ai j  aij тензора c ковариантными компонентами из примера б) задачи 2.1.
17. Релятивистское пространство-время (пространство Минковского) является
четырехмерным псевдоевклидовым пространством, в котором метрический тензор в
некотором базисе (инерциальной системе отсчета) с координатами x0  ct x1  x x 2  y ,
x 3  z имеет вид
gik 











g 00
g01
g02
g10
g11
g12
g20
g21
g22
g30
g31
g32
g03   1 0 0 0 

g13   0 1 0 0 

 
g23   0 0 1 0 



g33   0 0 0 1
8
а) Найти ковариантные компоненты вектора a 
i











a 0 

a1 
.

a 2 

a3 
б) Найти контравариантные компоненты ковектора bi  (b0  b1 b2  b3 ) .
в) Найти компоненты
F i j  Fi j  F ij
антисимметричного тензора второго ранга с
ковариантными компонентами
18. Пусть  ijk
E1
E2
E3 
 0


 E1
0
 H 3 H2 

Fij 

  E2 H 3
0
 H1 


0 
  E3  H 2 H1
— псевдотензор Леви-Чивита трехмерного евклидового пространства в
некотором ортонормированном базисе, ai  b j
— компоненты некоторых векторов.
Найдите компоненты вектора  ijk a j bk . Каков геометрический смысл этого вектора?
Докажите, что этот вектор ортогонален векторам a и b .
19. Докажите, что контравариантные компоненты псевдотензора Леви-Чивита в
произвольном базисе равны
1
 i1i2…in 
g
где
 0 åñëè ñðåäè çí à÷åí èé èí äåêñî â i1  i2 … in åñòü î äí èí àêî âû å
 sign g  åñëè çí à÷åí èÿ èí äåêñî â i  i … i ÿâëÿþ òñÿ ÷åòí î é
1 2
n

i1i2 …in


ï î äñòàí î âêî é ÷èñåë 1 2… n
sign g  åñëè çí à÷åí èÿ èí äåêñî â i  i … i ÿâëÿþ òñÿ í å÷åòí î é
1 2
n

ï î äñòàí î âêî é ÷èñåë 1 2… n

i1i2 …in
то есть 
 (sign g ) i1i2…in .
20. а) Докажите тождество
 ij
 ij
…  ij1n
 ij
 ij
…  ij2n
…
… … …

 ij
1
1

i1i2 …in
 j j …j  sign g
1 2
n
2
1
in
j1
1
2
2
2
n
2
…  ijnn
б) Докажите, что в трехмерном евклидовом пространстве справедливы тождества
 ijk  lmn
 li  mi  ni
 l j  mj  nj 
lk  mk  nk
 ijk  lmk   li mj   mi  l j 
 li  mi

l j  mj
 ijk  ljk  2 li 
 ijk  ijk  6 
в) Докажите, что в пространстве Минковского справедливы тождества
9
 ijkl  mnrs
 mi
j
 m
 mk
 ml
 ijkl  mnkl  2
 ni  ri  si
 nj  rj  sj

 nk  rk  sk
 nl  rl  sl
 ijkl  mnrl
 mi  ni
 2( li nj   ni  mj ) 
j
j
m n
 mi  ni  ri
   mj  nj  rj 
 mk  nk  rk
 ijkl  mjkl  6 mi 
 ijkl  ijkl  24 
21. Пусть aij  a ji — компоненты антисимметричного тензора второго ранга в некотором
ортонормированном базисе трехмерного евклидового пространства. Поставим ему в
соответствие вектор с компонентами
1
a i   ijk a jk 
2
С помощью тождеств, полученных в задаче 20, докажите, что тогда aij   ijk ak .
22. С помощью тождеств, полученных в задаче 20, докажите
a) тождество для двойного векторного произведения векторов в трехмерном евклидовом
пространстве
a  (b  c )  b (a c )  c (a b ) 
б) тождество для квадрата модуля векторного произведения векторов в трехмерном
евклидовом пространстве
 a  b 2  a 2  b 2 (a b )2 
23. Ковариантный антисимметричный тензор второго ранга Fij в ортонормированном
базисе пространства Минковского имеет матрицу компонент
E1
E2
E3 
 0


 E1
0
 H 3 H2 

Fij 

  E2 H 3
0
 H1 


0 
  E3  H 2 H1
Найти матрицу компонент тензора F ij  12  ijkl Fkl . С помощью тождеств, полученных в
задаче 20, докажите, что Fij   12  ijkl F kl .
24. Пусть Sijk  S[ijk ] — компоненты полностью антисимметричного тензора третьего ранга
в ортонормированном базисе пространства Минковского. Поставим ему в соответствие
вектор с компонентами
1
S i    ijkl S jkl 
6
С помощью тождеств, полученных в задаче 20, докажите, что тогда Sijk   ijkl S l .
Модуль 2
1. Пусть {x  i  1… n} и {x  i  1… n} — координаты векторов в базисах {e i} и {ei  } в n i
i
мерном аффинном пространстве V . Найти матрицу Якоби и якобиан преобразования


координат xi  xi  xi ( x) , а также матрицу Якоби и якобиан обратного преобразования.
10
2. В какой области плоскости переход от декартовых координат к полярным является
преобразованием координат? Найти матрицу Якоби и якобиан этого преобразования.
Найти матрицу Якоби и якобиан обратного преобразования.
3. В какой области трехмерного пространства переход от декартовых координат к
сферическим является преобразованием координат? Найти матрицу Якоби и якобиан
этого преобразования. Найти матрицу Якоби и якобиан обратного преобразования.
4. В какой области плоскости преобразование
rx
ry
x  2

y  2

(r  const)
2
x y
x  y2
является преобразованием координат? Найти матрицу Якоби и якобиан этого
преобразования. Найти матрицу Якоби и якобиан обратного преобразования.
5. Гиперболические координаты (ñ   ) (ñ  0) на плоскости связаны с декартовыми
координатами соотношениями
x  ñ ch  
y  ñ sh  
В какой области плоскости переход от декартовых координат к гиперболическим является
преобразованием координат? Найти матрицу Якоби и якобиан этого преобразования.
Найти матрицу Якоби и якобиан обратного преобразования.
6. В трехмерном пространстве найти матрицу Якоби и якобиан преобразования от
сферических координат к цилиндрическим. Найти матрицу Якоби обратного
преобразования.
7. В декартовой системе координат трехмерного аффинного пространства заданы
тензорные поля с компонентами:
a) Ai  ( x y z ) ; б) Bi  (01 0) ; в) G11  x2  G22  y 2  G33  z 2  Gij  0 при i  j .
Найти компоненты тензорных полей в сферической системе координат.
8. а) Найти сумму тензорных полей aij и bij в области двумерного пространства:
a11  x 2  y 2  a12  x  a21  y  a22  x 2  y 2 , b12  xy  b11  x  b22  x  b21  x 2  y 2 .
б) Найти сумму векторных полей X i и Y i в области двумерного пространства:
б) X 1  1 X 2  2 x , Y 1  2 y  Y 2  1 .
9. а) Перемножить тензорные поля, заданные в области двумерного пространства в
порядке их записи:
d12  x3  d 21  y 3  d11  x 2  d 22  y 2 , c 2  x  c1  y .
б) Перемножить тензорные поля из примера а) в порядке, противоположном заданному.
10. В области двумерного пространства задано тензорное поле третьего ранга с
компонентами
T111  sin x1  cos x 2  T121  x1  T211  ( x1 ) 2  T221  x1 x 2 ,
x1
.
x2
а) Симметризовать его по нижним индексам.
б) Антисимметризовать его по тем же индексам.
в) Найти всевозможные свертки этого тензорного поля.
T112  sin x1  cos x 2  T122  x 2  T212  ( x 2 )2  T222 
11. а) Пусть E ( x 0  r ) H ( x 0  r ) — векторы напряженности электрического и магнитного
полей в пространстве-времени. В СТО эти векторные поля объединяются в тензор
11
электромагнитного поля — ковариантное антисимметричное тензорное поле второго
ранга с компонентами

0
Ex ( x 0  r )
Ey ( x0  r )
Ez ( x 0  r ) 


 Ex ( x 0  r )
0
H z ( x0  r ) H y ( x0  r ) 
0

Fij ( x  r ) 

  Ey ( x0  r ) H z ( x0  r )
0
H x ( x0  r ) 


  E ( x0  r )  H ( x0  r ) H ( x0  r )

0
z
y
x


0
в некоторой инерциальной системе отсӵета ( x  r )  (ct x y z ) . Найти компоненты тензора
электромагнитного поля в инерциальной системе отсчета

( x0  r ) , движущейся

относительно первой со скоростью v  (v 0 0) . Координаты ( x0  r ) и ( x0  r ) связаны
специальным преобразованием Лоренца

v
v 
x0   ( x0  x  ) 
x   ( x   x0 ) 
y  y 
z  z
c
c
1 2
 v2 
где   1  2  .
 c 
б) Найти компоненты напряженностей электрического и магнитного полей точечного
заряда e , равномерно движущегося со скоростью v вдоль оси OX .
12. На плоскости найти компоненты евклидовой метрики в полярных координатах.
Записать метрику в дифференциалах. Найти евклидов элемент площади на плоскости
dxdy в полярных координатах.
13. На евклидовой плоскости с выколотым началом координат задано векторное поле X ,
компоненты которого в полярных координатах ( r   ) равны X 1  X r  0  X 2  X   1 .
Найти ковариантные компоненты этого поля.
14. То же, что в предыдущей задаче для симметричного тензорного поля второго ранга
X 11  X rr  r  X 22  X   0  X 12  X r  1 . Вычислить также gij X ij .
15. В трехмерном пространстве найти компоненты евклидовой метрики в сферических
координатах. Записать метрику в дифференциалах. Найти евклидов элемент объема
dxdydz в сферических координатах.
16. В некоторой области трехмерного риманова пространства метрика имеет вид
ds 2  a(r )dr 2  r 2d 2  r 2 sin 2  d 2 
где a (r ) — некоторая заданная функция. В этих координатах найти смешанные и
ковариантные компоненты симметричного тензорного поля второго ранга с
контравариантными
компонентами
11
2
2
2
2
22
2
2
2
2
33
2
2
T  r (cos   sin  sin  )  T  r (cos   sin  cos  )  T  r sin  ,
T 12  r 2 sin 2  sin  cos  , T 13  r 2 sin  cos  cos  , T 23  r 2 sin  cos  sin  . Найти след поля,
т.е. свертку T i i ( x ) .
17. Найти метрику, индуцированную на поверхности сферы в трехмерном евклидовом
пространстве в сферических координатах на сфере (   ) . Найти элемент площади сферы
в этих координатах.
18. Найти метрику, индуцированную на поверхности вращения
x  g (u1 ) cos u 2 
y  g (u1 )sin u 2 
z  f (u1 )
12
в трехмерном евклидовом пространстве. Здесь g (u1 ) и f (u1 ) — заданные функции.
Найти элемент площади индуцированной метрики. Какой частный вид функций g (u1 ) и
f (u1 ) соответствует цилиндру, конусу, сфере?
19. В некоторой системе координат двумерного пространства коэффициенты аффинной
2
1
 0  12
 121  xy  122  0 . Найти
связности равны 111  x 2  112  121  xy  122  y 2 , 11
ковариантные производные тензоров Tijk и Ti jk с компонентами:
T111  x  T211  0  T112  0  T212  xy , T121  3x  T221  x  y  T122  0  T222  y ;
T111  0  T211  2 y  T121  x  y  T221  1 , T112  2 x  T122  x  y  T212  xy  T222  0 .
20. Проверьте прямым вычислением, что ковариантные производные тензорных полей
типа (01) (1 0) (2 0) являются тензорными полями.
21. Проверьте, хотя бы на примере тензорного поля низшего ранга (скажем, типа (2,2)),
что операция ковариантной производной коммутирует со сверткой.
j j …j
22. Пусть f ( x) — гладкая функция, Ti1i21…i2 q p ( x) — тензорное поле. Докажите, что
f ( x) j1 j2 …j p
Ti i …i ( x) .
x k 1 2 q
23. Докажите, что ковариантная производная удовлетворяет правилу Лейбница: если S и
R — два тензорных поля, а S  R — их произведение, то
( S  R)  (S )  R  S  (R) .
j j …j
j j …j
2
p
2
p
( k fT )i11i2…i
( x)  f ( x)( k T )i11i2 …i
( x) 
q
q
Указание. Рассмотрите конкретный пример: скажем, S — векторное поле, R —
тензорное поле типа (11) .
24. Проверьте, что тензор Кронеккера  ij ковариантно постоянен: (k )ij  0 .
25. Доказать, что если ijk — коэффициенты аффинной связности, то Sijk  ijk  kji —
тензорное поле типа (1 2) .
26. Пусть в декартовой системе координат на плоскости коэффициенты аффинной
связности равны нулю. Найти коэффициенты аффинной связности в полярных
координатах.
27. В предыдущей задаче записать и решить уравнения геодезических в полярных
координатах. Доказать, что геодезическими являются прямые.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М. Наука. 1967. — 664 с.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. –
М.: Физ.-мат. лит., 2000. – 368 с.
3. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра. Учеб. пособие
для вузов. – 2-ое изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 400 с.
4. А. Дж. Мак Коннел. Введение в тензорный анализ. – М., Физматгиз, 1963 г., 412 с. с
илл.
13
5. Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ: Сб. задач / Н.И. Кованцов,
Г.М. Зражевская, В.Г. Кочаровский, В.И. Михайловский. – 2-е изд., перераб. и доп. –
Киев.: Выща. шк., 1989. – 398 с.: ил.
6. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного анализа. - М.:
Изд-во АН СССР, 1961.
Дополнительная литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика.:Учеб. пособие. В 10 т. Т. II. Теория
поля. – 7 –е изд. , испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 512 с.
2. И.С. Сокольников. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и механике
сплошных сред. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971 г. 376 с. с илл.
3. А. Лайтман, В. Пресс, Р. Прайс, С. Тюкольски. Сборник задач по теории
относительности и гравитации. – М.:Мир, 1979. – 536 с.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Все
виды
материально-информационной
базы
Научной
библиотеки
Мультимедийное оборудование физического факультета ТГУ. Сеть Интернет.
ТГУ.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций
и ПрООП ВПО по направлению 011200 и профилю подготовки «Фундаментальная физика».
Автор
профессор Багров Владислав Гавриилович.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании методической комиссии физического факультета ТГУ
от ___________ года, протокол № ________.
14