Элементы векторной алгебры. Определение. Вектором

Элементы векторной алгебры.
Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара
точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого
совпадают.
Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и
концом вектора.
АВ  а
Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на
одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость,
которой они параллельны.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы
коллинеарны.
Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково
направлены и имеют одинаковые модули.
Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы,
соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства
векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и
умножение на число.
  
Суммой векторов является вектор - c  a  b




Произведение - b   a; b   a , при этом a коллинеарен b .
 


Вектор a сонаправлен с вектором b ( a  b ), если  > 0.
 


Вектор a противоположно направлен с вектором b ( a  b ), если  < 0.
Свойства векторов.
   
1) a + b = b + a - коммутативность.
 

 

2) a + ( b + с ) = ( a + b )+ с
  
3) a + 0 = a



4) a +(-1) a = 0


5) () a = ( a ) – ассоциативность



6) (+) a =  a +  a - дистрибутивность

 

7) ( a + b ) =  a +  b
 
8) 1 a = a
Определение.
1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в
определенном порядке.
2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в
определенном порядке.
3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.
Определение. Если e1 , e2 , e3 - базис в пространстве и a   e1   e2   e3 , то

числа ,  и  - называются компонентами или координатами вектора a в этом базисе.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
-
равные векторы имеют одинаковые координаты,
-
при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,
 a   ( e1   e2   e3 ) = ( )e1  ( ) e2  ( ) e3 .
-
при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.
a  1 e1   2 e2   3 e3 ;
b  1 e1   2 e2   3 e3 ;
 
a + b = (1  1 )e1  ( 2   2 )e2  ( 3   3 )e3 .
Линейная зависимость векторов.
Определение. Векторы a1 ,..., a n
называются линейно зависимыми, если
существует такая линейная комбинация 1 a1   2 a 2  ...   n an  0 , при не равных нулю
одновременно i , т.е.  12   22  ...   n2  0 .
Если же только при i = 0 выполняется 1 a1   2 a 2  ...   n an  0 , то векторы называются
линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов a i есть нулевой вектор, то эти векторы линейно
зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или
несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один
из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот,
любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот,
любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.
Система координат.
Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные
системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат
должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой
совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на
плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем
координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической,
физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые
на практике системы координат.
Декартова система координат.
Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.
Вектор ОМ назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый
базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиусвектора.
Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется
совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые,
проходящие через начало координат называются осями координат.
1-я ось – ось абсцисс
2-я ось – ось ординат
3-я ось – ось апликат
Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть
координаты начала.
Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то АВ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно
ортогональны и равны единице.
Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован
называется декартовой прямоугольной системой координат.



Пример. Даны векторы a (1; 2; 3), b (-1; 0; 3), с (2; 1; -1) и d (3; 2; 2) в некотором
 

базисе. Показать, что векторы a , b и с образуют базис и найти координаты вектора d в
этом базисе.
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если
уравнения, входящие в систему:
    2  0

линейно независимы.
2  0      0
3  3    0

Тогда d   a   b   c .
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.
1 1 2
2
0
1 0
3
3
1
1 1
2
2
0
1 
3
3
1
0
1
1 1
a1  b1  c1  d1

a 2  b2  c2  d 2
a  b  c  d
3
3
3
 3

2
1
3 1
2
2 0
3 3
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
3 1
d1
b1
c1
1 = d 2
b2
c2  2
0
1 3
d3
b3
c3
3
1
2
 3  (2  3)  12  4  0
2
0
1
3 1

2
1
2 1
2
2 0
2 3
 3(3)  (2  2)  12  1.
1
 1 / 4 ;

a1 d1 c1 1 3 2
2 = a 2 d 2 c2  2 2 1  (2  2)  3(2  3)  2(4  6)  4  15  4  7;
a 3 d 3 c3 3 2  1

2
 7 / 4;

a1 b1 d1 1  1 3
a 2 b2 d 2  2 0 2  6  (4  6)  18  10;
3 =
a3 b3 d 3 3 3 2

3
 5 / 2;

  
Итого, координаты вектора d в базисе a , b , с : d { -1/4, 7/4, 5/2}.
 
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно
запустить программу, которая позволит разложить любой вектор по любому новому
  
базису, т.е. решить предыдущий пример для любых векторов d , a , b , с .
Для запуска программы дважды щелкните по значку:
В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмите Enter.
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
Release 4.
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками
начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то
AB  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 .
Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, то координаты этой
точки определяются как:
x  x 2
y  y 2
z  z 2
x 1
; y 1
; z 1
.



В частном случае координаты середины отрезка находятся как:
x = (x1 + x2)/2;
y = (y1 + y2)/2;
z = (z1 + z2)/2.
Линейные операции над векторами в координатах.
Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
a( x A , y A , z A ); b( xB , y B , z B ), тогда
a  b  c( x A  xB ; y A  y B ; z A  z B );   a  (x A ;y A ;z A )
Скалярное произведение векторов.


Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число,
равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
 
 
a  b =  a  b cos
Свойства скалярного произведения:
 

a  a =  a 2;


 

a  b = 0, если a  b или a = 0 или b = 0.


ab = b a;
 
  
4) a ( b + c ) = a  b + a  c ;

 

 
5) (m a ) b = a (m b ) = m( a  b );
1)
2)
3)
Если
рассматривать
векторы
прямоугольной системе координат, то
a( xa , y a , z a ); b( xb , yb , z b ) в
декартовой
 
a  b = xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между
векторами:
x x  y y  z a zb
cos   a b  a b
;
ab



 

 
Пример. Найти (5 a + 3 b )(2 a - b ), если a  2, b  3, ab .
 
2
   
 
2
10 a  a - 5 a  b + 6 a  b - 3 b  b = 10 a  3 b  40  27  13 ,
  2
  2
 
т.к. a  a  a  4, b  b  b  9, a  b  0 .


 
 
Пример. Найти угол между векторами a и b , если a  i  2 j  3k ,




b  6i  4 j  2k .


Т.е. a = (1, 2, 3), b = (6, 4, -2)
 
a  b = 6 + 8 – 6 = 8:


a  1  4  9  14;
b  36  16  4  56 .
cos =
8
14 56

8
2 14 14

4 2
 ;
14 7
2
7
  arccos .




Пример.
Найти скалярное произведение (3 a - 2 b )(5 a - 6 b ), если


 
a  4, b  6, а ^ b   / 3.
 
2
 
 
 
2
 

1
15 a  a - 18 a  b - 10 a  b + 12 b  b = 15 a  28 a b cos  12 b  15  16  28  4  6  
3
2
+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.



 

Пример. Найти угол между векторами a и b , если a  3i  4 j  5k ,




b  4i  5 j  3k .


Т.е. a = (3, 4, 5), b = (4, 5, -3)
 
a  b = 12 + 20 - 15 =17 :


a  9  16  25  50;
b  16  25  9  50 .
cos =
17
50 50

17
;
50
  arccos
17
.
50

  



Пример. При каком m векторы a  mi  j и b  3i  3 j  4k перпендикулярны.

b = (3, -3, -4)

a  b  3m  3  0;  m  1 .

1, 0);
a = (m,

 
  

Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a  3b  4c и 5a  6b  7c , если



      
a  1, b  2, c  3, a ^ b  a ^ c  b ^ c  .
3
 
 
 
  

 
 
 
 
( 2a  3b  4c )( 5a  6b  7c ) = 10a  a  12a  b  14a  c  15a  b  18b  b  21b  c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20c  a  24b  c  28c  c  10 a  a  27a  b  34a  c  45b  c  18b  b  28c  c = 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов.
 

Определение. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c ,
удовлетворяющий следующим условиям:
 
  
1) c  a  b sin  , где  - угол между векторами a и b ,
sin   0; 0    

 
2) вектор c ортогонален векторам a и b
  
3) a , b и c образуют правую тройку векторов.
  

 
Обозначается: c  a  b или c  [ a , b ] .

c

b


a
Свойства векторного произведения векторов:
 
 
1) b  a  a  b ;

 

 
2) a b  0 , если a  b или a = 0 или b = 0;

  
 
3) (m a ) b = a (m b ) = m( a  b );
  
   
4) a ( b + с ) = a  b + a  с ;


5) Если заданы векторы a (xa, ya, za) и b (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе
  
координат с единичными векторами i , j , k , то

i
 
a  b = xa
xb

j

k
ya
za
yb
zb
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь
 
параллелограмма, построенного на векторах a и b .

 

Пример. Найти векторное произведение векторов a  2i  5 j  k и
 


b  i  2 j  3k .


a = (2, 5, 1); b = (1, 2, -3)
  
i j k
2 5
5 1
2 1

 
 
a b  2 5 1  i
j
k
 17i  7 j  k .
2 3
1 3
1 2
1 2 3
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно
запустить программу, которая может найти скалярное и векторное произведения двух
векторов. Для запуска программы дважды щелкните на значке:
В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмите Enter.
После получения скалярного произведения нажмите Enter еще раз – будет получено
векторное произведение.
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
Release 4.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),
С(0, 1, 0).
AC  (0  2;1  2;0  2)  (2;1;2)
AB  (4  2;0  2;3  2)  (2;2;1)



i
j
k
 1  2   2  2   2 1 

AC  AB   2  1  2  i
j
k
 i ( 1  4 )  j ( 2  4 ) 
2 1
2
1
2 2
2 2 1




 k (4  2)  5i  2 j  6k .
AC  AB  25  4  36  65.
Пример.
компланарны.
1 1

3  7
7  3

S 
65
(ед2).
2
 






   
Доказать, что векторы a  7i  3 j  2k , b  3i  7 j  8k и c  i  j  k
1 1 1 1 
 

8  ~  0  4 5  , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.
2   0 4  5 
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного

 
 

 
a  3b ; 3a  b , если a  b  1; a ^ b  30 0.

 
 
 
 
 

 
   
(a  3b )  (3a  b )  3a  a  a  b  9b  a  3b  b  b  a  9b  a  8b  a

S  8 b a sin 30 0  4 (ед2).
на
векторах
Смешанное произведение векторов.
  
Определение. Смешанным произведением векторов a , b и c называется число,

равное скалярному произведению вектора a на вектор, равный векторному произведению
 
векторов b и c .
  
  
Обозначается a  b  c или ( a , b , c ).
  
Смешанное произведение a  b  c по
  
построенного на векторах a , b и c .
 
b c
модулю
равно
объему
параллелепипеда,

a

c

b
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а)хоть один из векторов равен нулю;
б)два из векторов коллинеарны;
в)векторы компланарны.
     
2) (a  b )  c  a  (b  c )
  
  
  
  
  
  
3) (a , b , c )  (b , c , a )  (c , a , b )  (b , a , c )  (c , b , a )  (a , c , b )

  
  
  
4) (a1  a 2 , b , c )   (a1 , b , c )   (a 2 , b , c )
  
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a , b и c , равен
1   
a, b , c
6



6)Если a  ( x1, y1, z1 ) , b  ( x2 , y2 , z 2 ), c  ( x3 , y3 , z3 ) , то


x1
  
(a , b , c )  x 2
y1
z1
y2
z2
x3
y3
z3
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в
одной плоскости.
AB  (2;6;1)
Найдем координаты векторов: AC  (4;3;2)
AD  (4;2;2)
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
2 6
AB  AC  AD  4
1
2
3 2  0
6
1
0
6
1
 15 0  0  15 0  0 ,
4 2 2
0
10 0 0 10 0
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D
лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если
вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
BA  (2;3;4)
Найдем координаты векторов: BD  (1;4;3)
BC  (4;1;2)
2 3 4
1
1
V   1
4  3  (2(8  3)  3(2  12)  4(1  16)) 
6
6
Объем пирамиды
4 1  2
1
(22  30  68)  20(ед 3 )
6
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.


i
j
k






BD  BC  1 4  3  i (8  3)  j (2  12)  k (1  16)  11i  10 j  17k .

4 1  2
BD  BC  112  10 2  17 2  121  100  289  510
510 / 2 (ед2)
S h
3V
120
4 510


. (ед)
Т.к. V = осн ; h 
S осн
17
3
510
Sосн =