Архимед Импульс. Закон сохранения импульса (часть третья).

Архимед
Февраль
2013
Арсеньев М.В.
Кафедра физики и астрономии
СУНЦ УрГУ
Импульс. Закон сохранения импульса (часть третья).
11. С какой скоростью v после горизонтального выстрела из винтовки стал
двигаться стрелок, стоящий на весьма гладком льду? Масса стрелка с
винтовкой и снаряжением составляет M  70кг , а масса пули m  10г и её
начальная скорость v0  700
м
.
c
Решение:
Так как на систему "стрелок-пуля" в горизонтальном направлении внешние
силы не действуют, применим к системе "стрелок-пуля" закон сохранения
импульса:
0  mv0  Mv ,
v
Ответ: v 
v
10 10 3 кг  700
70кг
mv0
.
M
м
с  0,10 м .
с
mv0
м
, v  0,10 .
с
M
12. Тридцать три богатыря, бегущие по дороге с одинаковой скоростью,
один за другим прыгают в тележку. Вначале тележка была неподвижна,
после прыжка первого богатыря она приобрела скорость v1  1,0
прыжка второго − скорость v 2  1,67
м
, после
с
м
. Найдите скорость тележки, когда в
с
ней окажутся все богатыри? При решении задачи всех богатырей считать
одинаковыми, трением тележки о дорогу пренебречь.
Решение:
Пусть m − масса богатыря, M − масса тележки, v − скорость богатыря.
Условимся, что все богатыри и тележка движутся вдоль оси OX, т. е. проекции
всех векторов импульсов будут положительными.
Вдоль оси OX на систему «богатырь-тележка» в процессе запрыгивания
богатыря внешние силы не действуют. Запишем закон сохранения импульса для
случая, когда первый богатырь запрыгивает в тележку
mv  m  M v1 .
1
Архимед
Февраль
Для второго богатыря и тележки
mv  m  M v1  2m  M v2 ,
2013
mv  mv  2mv  2m  M v2 .
Для третьего богатыря и тележки
mv  2m  M v2  3m  M v3 ,
mv  2mv  3mv  3m  M v3 .
Таким образом, скорость тележки после запрыгивания трёх богатырей
v3 
3mv
.
3m  M
Продолжая рассуждения подобным образом, получаем, что после запрыгивания
тридцать третьего богатыря скорость тележки
V 
33mv

33m  M
33mv
33v
.

M
M

m 33 
 33 
m
m

(*)
Чтобы получить ответ, необходимо найти отношение масс
M
m
и скорость
богатырей v . Для этого обратимся вновь к первым двум строчкам решения
mv  m  M v1

2mv  2m  M v2

M

mv  m1  m v1




2mv  m 2  M v
2

m


M

v  1  m v1




2v   2  M v
2

m

Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными, для этого подставим
первое уравнение во второе и выразим
M
M


21 
v1   2 
v 2 ,
m
m


M
m
M
M
 2v 2  v 2
,
m
m
M 2v2  v1 
.

m
2v1  v2
2v1  2v1
2v1  v2  M
m
 2v 2  v1  ,
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы и найдём
скорость каждого богатыря v

2v2  v1  
M

v1 .
v  1 
v1  1 
m
2v1  v2 


Подставим найденные значения в формулу (*)

2v 2  v1  
33v1 2v1  v 2  2v 2  2v1 
v1
331 
2v1  v 2 
2v1  v 2
33v1v 2
33v
V 
 


,
M
2v 2  v1 
332v1  v 2   2v 2  v1 
66v1  33v 2  2v 2  2v1
33 
33 
m
2v1  v 2
2v1  v 2
33v1v2
.
64v1  31v2
м
м
33 1,0 1,67
с
с  4,5 м .
V
м
м
с
64 1,0  311,67
с
с
V 
2
Февраль
Ответ: V 
Архимед
2013
33v1v2
м
, V  4,5 .
с
64v1  31v2
13. Две одинаковые тележки, на которых находятся два одинаковых
дворника, движутся по инерции с одинаковыми скоростями параллельно
друг другу. В некоторый момент времени на тележки начинает падать снег
равномерным потоком. Дворник, стоящий на одной из тележек, всё время
сбрасывает снег вбок, а на второй тележке дворник спит. Какая из тележек
быстрее пройдёт одно и то же расстояние?
Решение:
Рассмотрим тележку 1, с которой дворник сбрасывает снег. Так как вдоль
горизонтальной оси на систему «тележка-дворник» никакие внешние силы не
действуют, то можно записать закон сохранения импульса системы «тележкадворник» в проекциях на направление движения тележки. Пусть за
определённый промежуток времени на тележку массой M выпала первая
порция снега массой m
Mv 0  M  mv1 ,
где v0 − начальная скорость каждой тележки.
Скорость тележки стала
v1 
Mv 0
.
M m
Затем дворник сбросил этот снег перпендикулярно направлению движения,
импульс тележки стал Mv1 . Следом упала вторая порция снега
Mv1  M  mv2 .
Скорость тележки стала
Mv1
 M 
v 2 

 v0 .
M  m M  m
2
Дворник вновь сбросил эту порцию снега. Затем упала третья порция и т. д.
Скорость тележки после n  й порции снега
n
 M 
v n  
 v0 .
M  m
Теперь рассмотрим тележку 2, на которой дворник спит. Найдём скорость
тележки после падения первой порции снега
Mv0  M  mv1 ,
v1 
Mv 0
.
M m
Скорость тележки 2 после падения второй порции снега
M  mv1  M  2mv2 ,
v2 
Скорость тележки 2 после n  й порции снега
3
Mv0
M m
.
v1 
M  2m
M  2m
Архимед
Февраль
vn 
2013
Mv 0
.
M  nm
Сравнивая выражения для конечных скоростей тележек легко убедиться, что
vn  vn , следовательно, быстрее будет двигаться тележка со спящим дворником,
поэтому тележка 2 быстрее пройдёт заданное расстояние.
Ответ: тележка со спящим дворником.
14. Кубик, скользящий без трения по гладкому горизонтальному полу,
ударяется одной из своих боковых граней о вертикальную стенку.
Коэффициент трения кубика о стенку  . До столкновения кубик двигался
по направлению, которое составляет угол  со стенкой. Под каким углом 
к стенке отскочит кубик?
Решение:

Разложим начальный импульс mv0 кубика на составляющие вдоль вертикальной
стенки и перпендикулярно ей. Так как кубик соударяется упруго со стенкой,
перпендикулярная составляющая скорости не меняется по модулю, а меняется

по направлению. Это изменение происходит из-за действия силы реакции N
стенки. Закон изменения импульса в проекциях на ось OY
mv0 sin    mv0 sin    Nt ,
2mv0 sin   Nt .
где t − время соударения кубика со стенкой.
Продольная составляющая импульса уменьшается из-за действия силы трения
скольжения
mv cos   mv0 cos    Fтр t   Nt ,
mv cos   v0 cos      2mv0 sin  ,
v cos   v x  v0 cos  2  v0 sin  .
Так как составляющая вдоль оси OY не меняется, то
v y  v0 sin   v sin  .
mv0 sin   mv sin  ,
В приведённых рассуждениях v – модуль скорости кубика после столкновения
со стенкой.
Теперь можно найти искомый угол,
tg 
где 0   
vy
vx

2

v0 sin 

v0 cos   2  v0 sin 
sin 
sin  

cos  1  2

cos  


tg
1

,
1
1  2  tg
 2
tg
. Если знаменатель стремится к нулю, то tg стремится к
бесконечности, угол  при этом стремится к значению

. Это означает, что
2
кубик отскочит перпендикулярно стене. Это произойдёт при условии
1
 2  0 ,
tg
4
tg 
1
.
2
Архимед
Февраль
Ответ: tg 
1
1
 2
tg
2013
.
15. Координата тела изменяется по закону x  6,0  3,0t  0,25t 2 , а импульс − по
закону p x  12  2,0t . Найдите массу тела и действующую на него силу.
Решение:
Сравним выражения x  6,0  3,0t  0,25t 2 и x  x0  v0 x t 
a x  0,50
axt 2
м
. Видно, что v0 x  3,0 ,
с
2
м
. Составим зависимость v x  v0 x  a x t :
с2
v x  3,0  0,50t .
Умножим обе части равенства на массу m :
mvx  m3,0  0,50t  .
Так как p x  mvx , то
12  2,0t  m3,0  0,50t  ,
Проекция силы равна Fx  max ,
4,03,0  0,50t   m3,0  0,50t  ,
м

Fx  4,0кг    0,50 2   2,0 Н .
с 

Ответ: m  4,0кг , Fx  2,0Н .
5
m  4,0кг .