2.4.7. Методы распространения ограничений

2.4.7. Методы распространения ограничений
Во многих задачах оптимизации и структурного синтеза множество D
допустимых вариантов, задаваемое ограничениями W(X) > 0 и/или Z(X) = 0, где
X - множество управляемых переменных, включает сравнительно малое число
элементов и в качестве результатов синтеза принимается любой из этих
вариантов. Такое решение задачи часто выполняют с помощью метода распространения ограничений.
Сущность этого метода заключается в сужении допустимых интервалов
управляемых переменных X с помощью учета (распространения) исходных
ограничений на выходные параметры W и Z.
Для пояснения метода рассмотрим простой пример.
П р и м е р 4. Пусть в задаче фигурируют три управляемые переменные х, у, z,
заданы исходные интервалы допустимых значений этих переменных х є [1:100],
у є [1:100], z є [10:100], а область D определена ограничениями
х + у ≥ 5z,
(2.2)
х≥ у+5.
(2.3)
Распространение ограничения (2.2) на интервал переменной z приводит к
уменьшению его верхней границы, поскольку z≤ (хтт+ + уmах)/5 = 40 , а с учетом
ограничения (2.3) - к ее новой корректировке z ≤ 39, ибо уmах= 95, и к увеличению
нижних границ переменных х и у, так как решение неравенств х + у ≥ 50 и (2.3) дает
х ≥ 28, у ≥ 22. Таким образом, получено сужение допустимой области х є
[28:100], y є [22:95], z є [10:39].
Метод легко распространяется на задачи с нечисловыми параметрами. В этом
случае
вместо
сокращения
числовых
интервалов
уменьшают
мощности
допустимых подмножеств значений параметров.
Одним из практических приложений метода распространения ограничений
является поиск допустимых вариантов в множестве синтезируемых структур при
ограничениях на совместимость элементов структуры.
ПримерЗ. Рассмотрим фрагмент структуры, состоящий из трех компонентов
А, В и С, причем А е {а1, а2, а3, а4, а5}, В е {bl ,b2, b3, b4}, С е {с1, с2, съ}. Заданы списки
допустимых сочетаний компонентов в синтезируемой структуре:
LI: a 2, b 1; а 2 , b 1 ; а 4 ,b 2 ; а 5 ,b 3 ; а 5 , b 4 ;
L2: b1 , с1; b3 с3; b4 , с1; b 4, с 2;
L3: а2, с3; а3, с2,;а4, с3;а5,с2.
Сокращение первого списка выполняется путем поочередного выбора в нем аi,
фиксации в L3 соответствующих значений ck, a затем в L2 сопряженных с ck
значений bj. Если в L1 имеется элемент аi, bj, то он сохраняется в сокращенном
списке, остальные сочетания с аi из L1 удаляются. В нашем примере, поскольку
значения al в L3 нет, сочетание аi, bj недопустимо и из L1 удаляется. Далее для
символа аг фиксируем в L3 значение с3, ему в L2 соответствует только значение b3.
Поэтому а2,, b1 - также недопустимое сочетание. Обработав подобным образом
все списки, получаем результат распространения ограничений в виде
Ll:a5, b4; L2: b4, c2; L3:a5, с2.
Следовательно, решение состоит из единственной допустимой структуры,
включающей компоненты а5 ,b4 , сг.
В общем случае сокращение списков выполняется в итерационном процессе до
совпадения их содержимого на двух последних итерациях.