«Каменский педагогический колледж» по МДК.01.04.Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания
advertisement
ГОСУДАРСТЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТНЛЬНОЕ УЧРЕДЖЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Каменский педагогический колледж» Учебный проект по МДК.01.04.Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания на тему: «История возникновения чисел» Выполнили: Васильчикова Олеся Ковалёва Елизавета, студенты специальности 0500146 Преподавание в начальных классах Руководитель: Сафронова С.И. 2014 г. Содержание Стр 1.Паспорт проекта………………………………………………………..3 2. Содержательная характеристика проекта…………………………………5 3. Литература…………………………………………………………....8 4. Приложения…………………………………………………………..9 2 Паспорт проекта «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет» Г.В.Лейбниц Давным-давно, много тысяч лет назад, наши далекие предки жили небольшими племенами. Они бродили по полям и лесам, разыскивая себе пищу. Люди ловили рыбу, собирали ракушки, охотились. Одевались в шкуры убитых зверей. Жизнь первобытных людей мало отличалась от жизни животных. Да и сами они отличались от животных только тем, что владели речью и умели пользоваться простейшими орудиями: палкой, камнем, привязанным к палке. Первобытные люди, так же, как и современные маленькие дети, не знали счёта. Но теперь детей учат родители и учителя, старшие братья и сёстры. - А как же учились считать наши предки? - Как люди научились записывать цифры? -На что похожи цифры? -Какие тайны скрываются в числах? -Какова роль чисел в нашей жизни? - Как использовать знания об истории возникновения и развития цифр и чисел в обучении младших школьников? В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее.Поэтому целью проектаявляется возникновения цифр и чисел. Задачи проекта: 3 изучение истории 1. Выяснить, как считали древние люди; 2. Собрать и систематизировать информацию о цифрах и числах разных народов; 3. Определить применение полученного материала в будущей профессиональной деятельности. Сроки реализации:работа надпроектом рассчитана на 2недели и может иметь дальнейшее развитие в процессе прохождения учебной и производственной практики. Планируемые результаты: Пополнение раздела «Из истории математики» в накопительных папках студентов группы; Создание презентации по истории возникновения цифр и чисел; Повышение интереса студентов и школьников к истории развития математической науки. 4 Содержательная характеристика проекта Этапы реализации проекта Первый этап – организационный На данном этапе происходило определение проблемы, цели и задач проекта. Затем разработка плана работы: изучение информационных источников, обобщение и систематизация изученного материала, создание презентации и подготовка к ее защите, представление результатов работы над проектом на уроке, самоанализ деятельности. Второй этап – практический (реализация проекта) Опираясь на изученную литературу, мы выделили следующие, значимые на наш взгляд, аспекты. Числа – это выражение определенного количества чего-либо. Интересно отметить, что слово ЧИСЛО в обратную сторону прочитывается как сочетание двух отдельных слов – [Ол] и [Сич], которые созвучны двум английским словам «All» [всё] и «Search» [искомое]. Поэтому данное сочетание русифицированных слов английского языка «ОлСич», что можно воспринимать в виде нового смыслового понятия, например - «всё искомое», и его следует понимать, как «буквально всё». Числа и действия с ними не были придуманы каким-то одним человеком. Прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им пришлось придумывать название для чисел. Интересны различные способы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были всё новые и новые знаки. Величайший древнегреческий математик Архимед научился называть громадные числа, но обозначать их он не умел. Не хватило ему нуля!Без нуля не было бы современной математики, не было бы таких достижений человеческого разума, 5 как вычислительные машины и космические корабли.Впервые 0 был придуман вавилонянами примерно 2 тысячи лет назад. Особое внимание в ходе работы мы уделили вопросам, связанным с появлением цифр на Руси. Арабские цифры в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над буквами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа. В одной из русских рукописей XVIII века написано: «Знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тма, и что есть легион, и что есть леодр...; ... сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тма десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть десять легионов». Сотни миллионов назывались «колодами».«Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под буквой ставили квадратные скобки. Остальные числа записывались буквами слева направо. В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». Еще один важный акцент следует, на наш взгляд, сделать на рассмотрении древних и современных систем счисления. При этом из непозиционных систем выделим римскую, так как ее мы часто встречаем в настоящее время и знакомим с римскими цифрами младших школьников. Из позиционных систем счисления, по нашему мнению, более пристального внимания заслуживают: двоичная (кодирование информации), шестидесятеричная (основа определения промежутков времени), десятичная (основная с которой работаем, начиная с начальной школы). Было также интересно узнать, какие числа привлекают людей, нравятся им. Для этого мы провели опрос среди учеников и учителей 3-4 классов школы в которой мы проходили практику. Подведя итоги, пришли к следующим выводам. Чаще других мальчики называли 7, 5, 6; девочки – 8,9, 5,7; любимые цифры учителей: 7, 5 и 8. 6 Еще мы обратили внимание на то, что люди используют числа, чтобы дать названия своим организациям, предприятиям. Мы провели наблюдения, и нашли некоторые из них: банк “ВТБ 24”, магазин “Пятерочка”, мебельный магазин “Пятый угол” и другие. Обобщение изученного материала по истории возникновения цифр и чисел нашло отражение в презентации (Приложение №1) и подготовке к ее защите на уроке перед однокурсниками и в разработанном для студентов материале в соответствующем разделе накопительной папки (Приложение №2). Третий этап – завершающий На данном этапе состоялась защита проекта, его оценка и рефлексия собственной деятельности. На основании чего можно сделать следующие выводы: - Обращение к вопросам истории возникновения цифр и чисел способно вызывать еще больший интерес к изучению предмета; - Работа над проектом дала возможность замечать числа вокруг нас; - Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала с целью появления заинтересованности к учебному предмету и пробуждения желания к изучению математики у учеников, а также для расширения их кругозора. 7 Литература 1. Большая математическая энциклопедия / Якушева Г.М. и др. – М.:Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005. – 639 с.: ил. 2. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 159 с.: ил. 3. Шейнина О. С., Соловьева Г. М. Математика/О. С. Шейнина, Г. М. Соловьева – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2007. – 208с. 4. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил. 5. Энциклопедия. Мудрость тысячелетий. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2004. – Автор-составитель В. Балязин. – 848 с. 6. Энциклопедически словарь юного математика /сост.А.П.Савин. Изд.3-е и доп.-М.: Педагогика-Пресс,1997. -360.:ил. 8 Приложение №1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Приложение №2 ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЧИСЕЛ И ЦИФР Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет… Г.В.Лейбниц В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Что такое числа? Числа – это выражение определенного количества. В течение тысячелетий люди использовали пальцы рук для выражения чисел. Так один предмет они показывали одним пальцем, а три – тремя. С помощью руки они могли показывать до пяти единиц. Для выражения большего количества они использовали обе руки, а в некоторых случаях и ноги. Так, чтобы сказать шесть, они показывали одну руку и палец. Чтобы сказать десять – обе руки, а чтобы сказать двадцать – обе руки и две ноги. «Если бы число пальцев на руках и ногах у человека было другое, иные были бы, конечно, господствующие во всем мире системы счисления; расти на руках у человека еще по одному пальцу, цивилизованные народы приняли бы за основание счета не десяток, а дюжину(12).» Ф. Кеджери Знаменитый русский путешественник Н.Н.Миклухо-Маклай, проведший много лет среди туземцев на островах Тихого океана, обнаружил, что у некоторых племён имеется три способа счёта: для людей, для животных и для утвари, оружия и прочих неодушевлённых предметов. То есть там в то время ещё не появилось понятие числа, не было осознано, что три ореха, три козы и три ребёнка обладают общим свойствам – их количество равно трём. Итак, появились числа 1, 2, 3, которыми можно выразить количество коров в стаде, деревья в саду, волос на голове. Эти числа впоследствии 27 получили название натуральных. Гораздо позднее появился ноль,которым обозначали отсутствие рассматриваемых предметов. Первые цифры появились у египтян и вавилонян. Позднее у древних греков, финикиян, евреев, сирийцев - цифрами тогда служили буквы алфавита. Так же было с русскими и украинцами, у которых буквы использовались вместо цифр до 16 столетия. В Европе же с 13 столетия использовались так называемые римские цифры (I, II, III, IV, V, VI и так далее). Современные цифры (так называемые арабские) были привезены в Европу арабами (как считают, из Индии).Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, владел наглядным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например, в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово «три» использовалось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», равно как «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета «один», «два», «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый» ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. 28 В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Сегодня мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета. Долго время после того, как появились названия чисел, люди их не записывали. Причина для этого была самая уважительная – они ещё не умели писать. Поэтому прибегали к зарубкам на дереве или на кости, к узелкам на верёвках, рисункам на мягкой глине и т.д. Но всё же это была ещё настоящая арифметика. Эти значки обозначали не числа, а предметы - головы скота, мешки зерна, кувшины масла. Их приходилось изображать столько, сколько было предметов. И вот примерно 5 тысяч лет назад было сделано замечательное открытие. Люди догадались, что можно знаком обозначать не одну голову скота, а сразу 10 или 100 голов. Так стали появляться цифры. Слова «цифра» возникло от арабского слова «сифр». Вот что пишет в 1202 году в «Книге об абаке» Леонардо Пизанский: «Девять индусских знаков следующие :9,8,7,6,5,4,3,2,1. С помощью этих знаков и знака 0, 29 который называется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число». В дальнейшем словом «цифра» стали называть все эти знаки. Любопытно отметить, что порядок цифр в тексте Пизанского отражает арабское заимствование, поскольку арабы пишут тексты не слева направо, а справа налево. Древние греки и евреи применяли алфавитную систему нумерации: числа от единицы до девяти, а затем все десятки и сотни обозначались буквами в порядке алфавита, над которыми ставилась черта. Создатели славянского письма перенесли этот прием на новую почву: знаки кириллицы, соответствовавшие греческим буквам, получили те же числовые значения, сверху ставилось титло. Таким образом, приходилось запоминать 27 числовых знаков –цифр. В Западной Европе вплоть до XVIII века в официальных документах применялась римская буквенная нумерация. Она использовала всего семь цифр: I-1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000. Число также записывалось в виде последовательности цифр, но из эстетических соображений запрещалось четырехкратное повторение одной и той же цифры. Так что числа 4,9,40,90,400,900 обозначались соответственно, как IV, IX, XL, XC, CD, CM,-меньшая по значению цифра оказывалась левее большей (но часовщики упорно писали на циферблатах IIIIIчтобы не путать с шестеркой VI). Римские цифры используются до сих пор в обозначениях дат и в порядковых номерах. Примеры: 31.XII, Сонет CCLXIX, XIV съезд ВКП (б), папа Иоанн XXIII, VI ступени. Интересны были различные способы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были всё новые и новые знаки. Величайший древнегреческий математик Архимед научился называть громадные числа, но обозначать их он не умел. Не хватило ему 30 самой малости. Архимед, один из гениальнейших математиков в истории человечества, не додумался до ……нуля! Знакомясь в 1классе с числом 0, вряд ли кто из нас представлял, что это- одно из величайших изобретений в математике. Без нуля не было современной математики, не было бы таких достижений человеческого разума, как вычислительные машины и космические корабли. Впервые 0 был придуман вавилонянами примерно 2 тысячи лет назад. Но они его применяли лишь для обозначения пропущенных разрядов в середине числа. Писать нули в конце записи числа они не догадались. В Индии примерно полторы тысячи лет тому назад 0 был присоединён к девяти цифрам. Появилась возможность обозначать этими цифрами любое число, как бы велико оно ни было. И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой. Если бы живший 30 тысячелетий тому назад древний человек имел представление о миллионе и захотел бы изобразить это число в виде зарубок на волчьих костях, ему пришлось бы истребить 20 тысяч волков. А для записи миллиарда не хватило бы волков во всех европейских лесах. Теперь же вся запись умещается в одной строке! Индийской системой обозначений мы пользуемся до сих пор. Арабы заимствовали у индийцев цифры и позиционную десятичную систему записи чисел. Европейцы узнали ее от арабов. Поэтому наши цифры, в отличи от римских, стали называть арабскими. Правильнее было бы называть их индийскими. Они употребляются в нашей стране начиная с XVIIвека. Первые написанные цифры, о которых мы имеем достоверные свидетельства, появились в Египте и Месопотамии около 5000 лет назад. Хотя эти две культуры находились очень далеко одна от другой, их числовые системы очень похожи: использование засечек на дереве или камне для записи прошедших дней. Египетские жрецы писали на папирусе, изготовленном из стеблей определенных сортов тростника, а в Месопотамии – на мягкой глине. 31 Конечно, конкретные формы их цифр были различны, но и в той, в другой культуре использовали простые черточки для единиц и другие метки для десятков и более высоких порядков. Кроме того, в обеих системах писали желаемую цифру, повторяя черточки и метки необходимое число раз. Египтяне писали иероглифами, то есть использовали рисунки для отображения какой – либо идеи или объекта. Эти рисунки изображали элементы флоры и фауны реки Нил и домашнюю утварь. Цифры они также писали иероглифами. У египтян были знаки для обозначения чисел от 1 до 10 и специальный иероглиф для обозначения десятков, сотен тысяч,десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов и десятков миллионов. Цифры в Древней Греции и на Руси. В Древней Греции поступили очень просто: греки не стали выдумывать специальные значки для цифры, а использовали буквы. Единицу обозначали буквой А, двойку. – В, тройку Г. Вы заметили, что греческий алфавит похож на русский – в этом нет ничего удивительного, так как славянский алфавит был создан на основе греческого монахами Кириллом и Мефодиев, приверженцами «греческой», т.е. православной веры. Чтобы не путать числа с буквами, над ними ставили черточку. Вместе с алфавитом эта система записи чисел пришла в Древнюю Русь. Правда, вместо черточки на Руси ставили волнистую линию – титло. Счет целых чисел в Индии с древних [арийских] времен носила десятичный характер. Санскрит – индоевропейский язык, Похожий на наш: 1 - эка, 2 – дви, 3 – три.Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами “пустое”, “небо”, “дыра”; единица – предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка – словами “близнецы”, “глаза”, “ноздри”, “губы”; четверка – словами “океаны”, “стороны света” и т. д. 32 Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета (Рис. 1). Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка на шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем. Рис. 1. Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки (Рис. 2). Рис.2. П осле счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры (4, стр. 12). Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, (Рис. 3). 33 Рис. 3. Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы: (Рис.4). Рис. 4. Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна. Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели (Рис.5) Рис. 5. Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», 34 которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так (Рис.6). Рис. 6. Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры. Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над буквами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа (4, стр. 15). В одной из русских рукописей XVIII века написано: «... Знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тма, и что есть легион, и что есть леодр...; ... сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тма десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть десять легионов...» Первые девять чисел записывались так: 35 Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под буквой ставили квадратные скобки. Например, число 108 записывалось в виде Числа от 11 до 19 обозначались так: Остальные числа записывались буквами слева направо, например, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». Сравнение записи цифр у разных народов. 36
