Применение теоремы Пифагора в практической жизни

Авторская работа по теме "Применение теоремы
Пифагора на практике"
в рамках практической части сетевого проекта
"Современный урок: кейс-метод"
Беликовой Е.В. учителя МБОУ СОШ № 31
г. Белгорода
Урок: геометрия
Класс: 8класс
Время занятия: 1ч 20 мин
Цели:
- образовательная: применять теоретические знания (теоремы Пифагора и другие)
при выполнении практической работы,
- развивающая: развивать логическое мышление, анализировать полученную
информацию, сравнивать и делать выводы;
- воспитательная: воспитывать коммуникативные качества работы в группе,
слышать мнения других, критично относиться к своей работе, вырабатывать общее
решение.
Вид кейса:
практический
Тип кейса:
эвристический
Проблемное задание:
Домовладельцу, который сам строит дом, необходимо выбрать тип крыши,
отвечающий природно-климатическим условиям и экономически менее затратный.
Рассчитать экономически выгодную крышу, применяя теорему Пифагора и другие
геометрические знания.
Подготовительная работа:
Обучающимся заранее объявляется, что занятие будет проводиться в режиме
кейс-метода по теме "Применение теоремы Пифагора в практической жизни".
Класс разбивается на 4 группы, которые составляет учитель ( каждой группе
ученики разного уровня подготовки, но обязательно должны входить 1-2 сильных
ученика).
Домашнее теоретическое задание:
1. Сформулируйте теорему Пифагора
2. Теорема, обратная теореме Пифагора
3. Определение прямоугольного треугольника
4. Определение равнобедренного треугольника
5. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника
6. Определение равностороннего треугольника
7. Чему равна сумма углов треугольника?
Объясняется ход предстоящего урока. Ставится проблема "Применение теоремы
Пифагора в практической жизни". Предлагается найти информацию по теме,
необходимые факты.
Проблемное задание:
Домовладельцу, который сам строит дом, необходимо выбрать тип крыши,
отвечающий природно-климатическим условиям и экономически менее затратный.
Из всех имеющихся видов крыш, наиболее простые для построения являются
крыши односкатные и двускатные. Выбираем их для практической работы по
группам. Рассчитать экономически выгодную крышу, применяя теорему Пифагора и
другие геометрические знания.
Содержание кейса:
1. Историческая справка о теореме Пифагора.
2. Ключевое задание
Уточнение задания
3. Дополнительная информация
Виды крыш
Практическая необходимость выбора крыш
4. Литература
Этапы занятия:
№ п/п
1
2
3
4
5
6
Этапы занятия
Организационная часть
Проверка теоретической части
Самостоятельная работа с кейсом в группах
Оформление результатов работы группы
Презентация и защита работ. Дискуссия
Подведение итогов.
Время (в мин)
5 мин
5 мин
30 мин
15 мин
20 мин
5 мин
Описание хода занятия-урока:
1. Вступительное слово учителя
Многие люди хотят жить в своем доме. Люди строят дома по своим проектам
с учетом своих потребностей, желаний и представлений о своем доме. Какой бы ни
был дом у него всегда есть крыша. Необходимо рассчитать количество материала
для покрытия крыши разных типов. Рассчитать экономически выгодную крышу,
применяя теорему Пифагора и другие геометрические знания.
2. Проверка домашнего задания
Учащиеся отвечают на теоретические вопросы.
1. Сформулируйте теорему Пифагора
2. Теорема, обратная теореме Пифагора
3. Определение прямоугольного треугольника
4. Определение равнобедренного треугольника
5. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника
6. Определение равностороннего треугольника
7. Чему равна сумма углов треугольника?
3. Самостоятельная работа обучающихся с кейсом.
Работа в группах.
Сам кейс предоставляется обучающимся 8 класса непосредственно на уроке
геометрии. На ознакомление с кейсом и решение проблемы отводится 30 минут
урока. Организуется работа в группах по поиску решения поставленной проблемы.
Учитель консультирует обучающихся, обучающиеся в группах обсуждают
представленные варианты, при совместной работе выясняют непонятные моменты,
ищут правильные решения.
Справка о теореме Пифагора
В древнем Китае,
в математической книге Чу-пей, так говорится о
пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на
составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда
основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который
совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Кантор (крупнейший
немецкий историк математики) считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно
уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно
папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или
"натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных
треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ
построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске
на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется
заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было
бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если
воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми
плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых
встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную
мастерскую. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о
египетской и вавилонской математике, а с другой, на критическом изучении
греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий
вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и
пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и
обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных
представлениях, превратились в точную науку."
Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема
геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести
большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по
себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника
можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на
прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть
простое соотношение: c2=a2+b2. В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Ключевое задание
Домовладельцу, который сам строит дом, необходимо выбрать тип крыши,
отвечающий природно-климатическим условиям и экономически менее затратный.
Из всех имеющихся видов крыш, наиболее простые для построения являются
крыши односкатные и двускатные. Выбираем их для практической работы по
группам. Рассчитать экономически выгодную крышу, применяя теорему Пифагора и
другие геометрические знания.
Дополнительная информация
Каждый день наш взгляд сталкивается с различными зданиями, и любое из них
венчается крышей. Это может быть типовая плоская кровля многоэтажки, или
классический двускатный «домик». Бывают и необычные варианты, которые
встречаются нечасто, и приковывают к себе внимание прохожих.
Устройство крыши и кровли (защитного покрытия, предохраняющего здание от
ветра, осадков, и прочих природных и техногенных вредных воздействий) –
последний этап монтажных работ в строительном цикле. Однако от того, насколько
успешно он будет выполнен, зависит и итоговый результат всего процесса – без
надежной кровли дом бесполезен.
Виды крыш
Какие виды крыш бывают, и по каким признакам классифицируются? Самый
важный параметр, по которому различают форму крыши – это уклон. По нему
крыши могут быть плоскими или скатными.
Крыши различают по степени уклона кровли:
- плоская (которые имеют перепад по высоте между противоположными
краями кровли в пределах 3%);
- скатная (где кровельный материал отклонен относительно поверхности
земли, не менее чем на 10%).
Отдельно следует остановиться на степени полезного использования крыши,
поскольку в условиях крупного города она оказывается неплохим способом
расширения жизненного пространства. По этому признаку крыши бывают:
- неэксплуатируемые — не предусмотренные для какого-либо использования, но
иногда требующие обслуживания, например – уборки снега зимой;
- эксплуатируемые – где поверхность крыши имеет, помимо основного назначения,
еще и дополнительные функции - спортивные площадки, места для отдыха, солярии,
открытые кафе, паркинги, "зеленая крыша"- высажены живые растения.
Рассмотрим какие виды скатных крыш существуют.
Из имеющихся, необходимо выбрать наиболее
домовладельцем.
простые
для
построения
Виды скатных крыш:
Скатные крыши делятся по количеству плоскостей:
- односкатные
- двускатные
- вальмовые
- многощипцовые.
Практическая необходимость выбора крыш
Чаще всего выбор конкретного вида скатной крыши определяется погодными
условиями региона и историческими традициями. Например, в северных регионах, с
обильным количеством снега и длительной зимой (например, севере России, в
Финляндии и Швейцарии), традиционно преобладают двускатные крыши с
длинными свесами (в классическом альпийском шале они практически доходят до
земли). Также объем осадков влияет и на уклон такой конструкции, как крыша
своими руками – ведь при 60º и более снег практически на кровле не задерживается.
В холодном климате проблема зимней очистки крыш от снега достаточно актуальна.
Однако не стоит слишком усердствовать с уклоном кровли – ведь снег служит
хорошим теплоизолятором, поэтому умеренный его слой холодному чердаку не
повредит. К тому же, чем больше уклон – тем выше расходы на устройство крыши.
Но, независимо от того, у кого какие цели, можно с уверенностью сказать одно:
кровля требуется каждому дому, и разные их формы и виды будут нам встречаться
ежедневно в обозримом будущем.
Уточненное задание
Предлагается:
1) по данным размерам дома рассчитать площадь односкатных и двускатных крыш.
Дом размерами 5,5м ˟ 8м. Высчитайте площадь крыши, которую необходимо
покрыть кровлей.
2) сравнить полученные результаты и сделать вывод, какая крыша экономически
выгодна.
1)
?
?
30º
А
? м2
С
60º
6м
В
8м
5,5м
?
?
2)
3)
?
30º
45º
30º
6м
?
?
?
45º
6м
4)
?
?
60º
60º
6м
Список литературы
1. Теорема Пифагора. Википедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%CF%E8%F4%E0%E3%
EE%F0%E0
2. Применение теоремы Пифагора. Реферат.
http://freepapers.ru/27/primenenie-teoremy-pifagora/212127.1360756.list1.html
3. http://krovlyakryshi.ru/kakie-byvayut-kryshi-176
4. Учебник. Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7-9 классы. М. Просвещение, 2010
Содержание работы обучающихся по группам:
Каждая группа обучающихся после знакомства с представленной
информацией, выполняет вычислительную работу по каждому представленному
виду крыш. Сначала, длину скатов по теореме Пифагора, затем площадь покрытия
скатов крыши. После этого выполняет сравнение полученных результатов и вывод,
какая крыша экономически выгодна.
Какие вычисления должны произвести обучающиеся при работе в группе?
1)
А
? м2
С
?
?
30º
60º
6м
В
8м
5,5м
Решение:
1. Из Δ АВС ∟С = 90º , АВ - гипотенуза, то СВ = 1/2 АВ (по свойству катета,
лежащего напротив угла в 30º). СВ = 3м.
2. По теорема Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2 .
АС2 = АВ2 - ВС2 .
АС2 = 62 - 32 = 27
АС = 5,1 м
3. Площадь по скату СВ СВ * 8= 3* 8=24м2.
4. Площадь по скату АС АС * 8= 5,1* 8=40,8м2.
5. общая площадь 64,8 м2.
Ответ: общая площадь 64,8 м2.
2)
С
?
?
30º
D
А
6м
30º
?
В
?
Решение:
1. CD  АВ, тогда АD = DВ = 3м,
2. Из Δ АСD  D = 90º , АС - гипотенуза, то СD = 1/2 АС (по свойству катета,
лежащего напротив угла в 30º).
3. Если СD = х, то АС = 2х, по теореме Пифагора АD2 + СD2 = АС2.
32 + х2 = (2х)2
9 + х2 = 4х2
х2 = 3
х = 1,7
СD = 1,7м и АС = 2* 1,7 = 3,4м
СВ = 3,4м
4. Площадь по скату СВ СВ * 8= 3,4* 8=27,2м2
5. Площадь по скату АС АС * 8= 3,4* 8=27,2м2.
6. общая площадь 54,4 м2.
Ответ: общая площадь 54,4 м2.
С
?
3)
А
?
45º
45º
6м
В
Решение:
1. Из Δ АСВ - равнобедренный,  С = 90º , АВ - гипотенуза.
Если АС =СВ = х, то по теореме Пифагора АС2 + СВ2 = АВ2.
х2 + х2 = 62
х2 = 18
х = 4,2
АС =СВ = 4,2м
2. Площадь по скату СВ СВ * 8= 4,2 * 8=33,6м2
3. Площадь по скату АС АС * 8= 4,2 * 8=33,6м2
4. общая площадь 67,2 м2.
Ответ: общая площадь 67,2 м2
С
4)
?
?
60º
А
60º
6м
В
Решение:
1. Δ АСВ - равносторонний, тогда АС =СВ = АВ = 6м.
2. Площадь по скату СВ СВ * 8= 6 * 8=48м2
3. Площадь по скату АС АС * 8= 6 * 8=48м2
4. общая площадь 96 м2.
Ответ: общая площадь 96м2 .
Такие результаты при вычислениях должны получить группы.
Полученные результаты не дают однозначного ответа о преимуществе одного
вида крыш перед другим. Т.к. необходимо учитывать природно-климатические
условия места жительства, диапазон перепада температур в течение года, а также
материальную составляющую строительных материалов.
4. Оформление результатов работы группы
Каждая группа готовит презентацию своего решения проблемы, готовят
объяснения к ходу решения, делают выводы. Готовятся отвечать на возможные
вопросы по решению.
5. Презентация и защита работ. Дискуссия
Слова учителя:
Рассказывая и объясняя свое решение проблемы каждая группа должна также
сделать вывод. Отвечать на поставленные вопросы представителей других групп.
результатом дискуссии является оптимальное решение проблемы, принятое после
обсуждения совместно с учителем.
6. Подведение итогов
Подведение итогов, обобщение полученных результатов. В рамках итоговой
части учитель организует процедуру оценки предложенных группами вариантов
ответов - решений. Критерии для оценки учитель подготовил заранее.
Критерии оценивания предложенных вариантов решений
№ п/п
1
2
3
4
5
6
Всего
Количество
баллов
Грамотное решение проблемы
10 б
Точность вычислений при выполнении работы
10 б
Лаконичность изложения, качественное описание 10 б
Культура ведения дискуссии
5б
Активность работы всех членов группы
5б
Штрафные баллы (некорректность поведения и - 5 б
др.)
40 б
Критерии оценивания
Рефлексия: обучающимся понравилось работать в рамках темы
"Математический анализ преимуществ и недостатков при выборе вида крыши
частного дома". Дети проявили математические компетентности, увидели
практическое применение полученных знаний, ассоциировали себя
специалистами. Также, учились работать в группе, выслушивать мнения других
членов группы, сопереживали за результаты совместной деятельности.